专题01 集合与常用逻辑用语、不等式（期中真题汇编，山东专用）高三数学上学期

专题01 集合与常用逻辑用语、不等式 6大高频考点概览 考点01 集合及其基本运算 考点02 集合的新定义 考点03 常用逻辑用语 考点04 等式与不等式的性质 考点05 基本不等式及其应用 考点06 不等式的解法 考点01 集合及其基本运算 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知集合A=,B={−2,0,1,2},则(　　) A. {0,1} B. {−1,0,1} C. {−2,0,1,2} D. {−1,0,1,2} 【答案】A 【详解】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集. 详解： 因此AB=，选A. 点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 2．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出集合，利用交集的定义得解. 【详解】 ，或， ，. 故选：B. 3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）设是小于9的正整数，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据补集的定义即可求解. 【详解】 由题意可得， 又，所以， 故选：A 4．（25-26学年高三上·山东日照·期中）已知全集，集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据补集可得，进而可求交集. 【详解】 因为全集，，可得， 且集合，所以. 故选：A. 5．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知全集，集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用补集和并集的定义求解. 【详解】 ，，， ，. 故选：D. 6．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）已知集合，，则中含有的元素个数是（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 化简集合与集合，根据集合交集概念求得可解. 【详解】 集合， 集合， 所以，故中含有2个元素. 故选：C 7．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）设全集且，集合，则真子集的个数为（     ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 【答案】C 【分析】 用列举法表示出全集，根据补集的概念求得，再根据集合元素个数与真子集关系计算可得. 【详解】 全集且， 则，共4个元素， 所以真子集的个数为. 故选：C 8．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分别求出集合，，利用交集的定义即可求解. 【详解】 对于集合，由于，解得，则， 对于集合，由于，即，则，所以； 故选：A 考点02 集合的新定义 1．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知集合，，若且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出集合，结合题中定义可得结合. 【详解】 因为集合，， 所以且. 故选：A. 2．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合，则（     ） A. 若，则对于任意正实数，集合中有无限多个元素 B. 若，则中可能含有个元素 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【分析】 根据的定义分别列方程，探究解的情况. 【详解】 A选项：，即得，解得，不满足题意，即，A选项错误； B选项：，即得，， 化简可得，即，即集合中只有个元素，B选项错误； C选项：，则，当时，方程有无数个解，即，C选项错误； D选项：由 ，则函数在和上分别单调递增， 由可知，若或时，二者显然不可能同时成立，则方程无解，满足， 若，时，，即有解， 设，则，即有解， 则，即， 且方程的解为，， 所以或， 解得或， 综上所述， 故选：D. 3．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）已知集合，集合B满足． （1）判断，，，中的哪些元素属于B； （2）证明：若，，则； （3）证明：若，则． 【答案】（1），     （2）证明：先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以；     （3）证明：因为， 所以， 因为，所以，都是有理数， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即.      【分析】 （1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. (1) 小问详解： 因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 考点03 常用逻辑用语 1．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知非零向量，，则“”是“”成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据平面共线向量的坐标表示求得，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】 易知， 由， 得，解得或（舍去）， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）命题“”的否定是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由全称命题的否定可得. 【详解】 由题意可得命题“”的否定是“”. 故选：D. 3．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）已知命题，，则为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 利用全称量词命题的否定为存在量词命题，结合已知命题求出其否定，进而判断选项． 【详解】 全称量词命题的否定为存在量词命题， 全称量词命题的否定为，故D正确． 故选：D． 4．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）命题“，”的否定为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 根据全称量词命题的否定为特称量词命题可得． 【详解】 全称量词命题“，”的否定为“，”. 故选：B. 5．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 首先解高次不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】 由，即，解得且， 所以由推得出，即充分性成立； 由推不出，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）已知数列的各项均不为零，若甲：是等比数列；乙：.则甲是乙的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据充分性、必要性的定义以及等比数列的定义进行判断即可. 【详解】 若数列是公比为的等比数列，则， 所以，充分性成立； 若，则， 当时，满足， 但数列不是等比数列，所以必要性不成立； 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A. 7．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）已知命题，，则是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 由特称量词命题的否定等价于全称量词命题即可求解. 【详解】 命题，，则是“，”， 故选：D 8．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果. 【详解】 由可得，故充分性满足； 由不一定得到，比如，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A 9．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）已知，“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】 根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】 由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 10．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据充分条件、必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式以及相关性质分析即可. 【详解】 设等差数列的首项为， 由， 当时，有，即，充分性成立， 反之，若，则，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 11．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 且，或，即可求解. 【详解】 由可得且， 由可得或， 由且是或充分不必要条件， 可知是的充分不必要条件， 故选：A 12．（25-26学年高三上·山东日照·期中）已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据函数的单调性及命题充分必要性的概念直接判断. 【详解】 充分性：函数的定义域为，若，不能就此判断是增函数， 例如函数 ，此时，满足， 但该函数在定义域不是增函数，所以则是的不充分条件. 必要性：若是增函数，根据增函数定义，一定有，则是的必要条件. 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 13．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将问题转化为，利用基本不等式和对数函数单调性可分别求得的最小值，由此可构造不等式求得结果. 【详解】 ，，使得，； （当且仅当时取等号），， ，解得：，实数的取值范围为. 故选：D. 14．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（     ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】 1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 15．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 利用等差数列的前项和公式，结合充分必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 充分性：已知， 由， 可得：，即充分性成立； 必要性：已知， 可得：，得：，即必要性成立； 综上可得：“”是“”的充要条件. 故选：C 16．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）命题p：关于x的方程有且仅有一个根；命题q：已知函数的图象是双曲线，则其离心率为；对p、q命题说法正确的是（       ）． A. p真q假 B. p假q真 C. p假q假 D. p真q真 【答案】D 【分析】 结合指数函数的性质判断命题p，根据给定的双曲线求出其渐近线方程，求出实轴所在直线的方程，由此求出实半轴长，结合双曲线的几何性质求出虚半轴长，进而求出半焦距，进而求得离心率即可判断命题q. 【详解】 命题p：由，则， 因为函数在上单调递减， 则函数在上单调递减，又， 则关于x的方程有且仅有一个根，命题正确； 命题q：双曲线的渐近线为直线， 如图，令双曲线的顶点，直线为直线所夹锐角的平分线， 则直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 则直线：，由 ，得， 令双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则， 过分别作直线的垂线交直线分别于， ， 半焦距， 所以离心率为，故命题正确. 故选：D. 17．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（       ） A. 1004 B. 1007 C. 1010 D. 1013 【答案】C 【分析】 本题通过分析数组元素的大小关系，结合绝对值的运算求解参数. 【详解】 由“间距置换”定义，得，，. 由，得. 因且，故或. 若，则，，， 于是， 得，即，故. 若，同理可得. 综上所述，的值为. 故选：C. 18．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，值域为，则“”是“对任意，存在，使”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 对两个命题分别进行充分性和必要性的分析得到结论. 【详解】 命题，即值域包含所有正数； 命题对任意，存在，使； 充分性分析：若，则对任意，取，则， 故存在使得，所以能推出，充分性成立； 必要性分析： 若对任意，存在使得，这说明函数的值域无上界. 例如取，定义域，则其值域. 显然，对任意，存在（例如取），使得，命题成立； 但其值域，不满足，即命题不成立，不能推出，必要性不成立. 是的充分不必要条件. 故选：A. 19．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知“，”为真命题，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由参变量分离法可得出，求出函数在上的最小值，可得出实数的取值范围，即可得出实数的最小值. 【详解】 因为“，”为真命题， 当时，由可得， 因为函数在上单调递减，则. 综上所述，，即实数的最小值为. 故答案为：. 考点04 等式与不等式的性质 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）设，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 逐一判断，对A取，，可得结果；对B取，可得结果；对C利用不等式的性质判断即可；对D取可判断. 【详解】 解：A.取，，则不成立； B.取，，则不成立； C.∵，∴，正确； D.取，∵，∴，因此不成立. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】 因为，，所以， 由不等式的性质可得. 因此，的取值范围是. 故选：C. 3．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，的最小值为4 【答案】AC 【分析】 由幂函数的单调性比较大小判断A；由不等式性质判断 B；作差法判断C；结合正弦函数的值域，利用对勾函数的单调性求解值域判断D. 【详解】 对于A，因为函数在上单调递增，所以由即知， ，则，A正确； 对于B，若，则当时，，B错误； 对于C，由， 因，可得，故有，C正确. 对于D，因为，所以，在上单调递减， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为5，D错误， 故选：AC 4．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（     ） A. 甲比较经济 B. 甲和乙一样经济 C. 乙比较经济 D. 不能确定 【答案】C 【分析】 设两次加油的油价分别为 ，分别计算出甲、乙两人加油的平均单价，再对两者进行比较. 【详解】 设两次加油的油价分别为 ，甲每次都将油箱加满，设油箱容量为V，可得甲加油的平均单价为 . 设乙每次加油花费的钱数都为M，则第一次加油的油量 ，第二次加油的油量为，两次加油的花费为2M，总共加的油量为，可得乙加油的平均单价为 因为，所以 ，所以乙比较经济， 故选：C 5．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定　　　　　　　（填第一种或者第二种）方式比较经济. 【答案】第二种 【分析】 设第一次和第二次购物时价格分别为，，若每次购，根据条件，可求出按第一种策略购买的平均价格，若按第二种策略，设每次花元钱，则可求得按第二种策略购买的平均价格，利用作差法，即可比较二者的大小，进而可求得答案. 【详解】 按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购， 第二次购物时的价格为元，仍购， 两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购物品， 第二次仍花元钱，能购物品， 两次购物的平均价格为， 比较两次购的平均价格：， 第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济. 故答案为：第二种. 考点05 基本不等式及其应用 1．（25-26学年高三上·山东日照·期中）已知奇函数在上单调，若正实数，满足，则的最小值是（       ） A. 8 B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 利用奇函数的性质以及基本不等式，即可计算求解. 【详解】 ，∴，， ∴，即，， 当且仅当时等号成立. 故选：D． 2．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（多选）下列命题正确的有（       ） A. 若，，则 B. 已知都是正数，且，则 C. 若，则的最小值为 D. 若且，则的取值范围为 【答案】CD 【分析】 利用不等式性质可知A错误；由基本不等式及取等条件可知B错误；根据指数函数值域和基本不等式可求得C正确；利用表示，结合可求得，将化为关于的式子，利用基本不等式可求得D正确. 【详解】 对于A，，，又，，A错误； 对于B，，，（当且仅当时取等号）， 又，，B错误； 对于C，，，（当且仅当，即时取等号）， 即的最小值为，C正确； 对于D，，，解得：（舍）或； （当且仅当，即时取等号）， 的取值范围为，D正确. 故选：CD. 3．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）若，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 应用基本不等式计算判断B，C，D，应用特殊值法计算判断A. 【详解】 因为，且，则，所以，当且仅当时取等号，B选项错误； 因为，当时，，A选项错误； 因为，所以，当且仅当时取等号，C选项错误； 因为，当且仅当时取等号，D选项正确； 故选：D. 4．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板面积的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 作出图形，利用正、余弦定理，结合基本不等式即可求得这个四边形面积的最大值. 【详解】 依题意圆形木板的直径为. 设截得的四边形木板为，设， 如下图所示， 由且，得， 在中，由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理，得， 所以， 得，当且仅当时等号成立. 在中，， 由余弦定理可得， 得，当且仅当时等号成立， 所以这块四边形木板面积为. 故选：C. 5．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）（多选）已知正数，满足，则（     ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为8 【答案】ACD 【分析】 利用基本不等式逐个判断各个选项即可得到结果. 【详解】 A选项，∵，∴， ， 当且仅当时，即时取等号，A选项正确； B选项，∵，∴，即，， 当且仅当，即时取等号，B选项错误； C选项，∵，∴，， 即，∵，即，∴， ∴当且仅当，即时取等号，C选项正确； D选项，，当且仅当，即时取等号，D选项正确； 故选：ACD. 6．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（     ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 令，根据题意可化为二次函数，即可求出结果. 【详解】 根据题意，直角距离， 令，则，， 线段长度， 由，得，代入得： ， 当时，取最小值为，此时，即，满足条件. 故选：A 7．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知，则的最小值为　　　　　. 【答案】 【分析】 由对数的运算性质得出，再由基本不等式可求得的最小值. 【详解】 因为，所以，， 由对数的运算性质可得，故， 所以. 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 8．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）已知，，，则的最小值是　　　　　　　　　　　　. 【答案】4 【分析】 变形可得，则，展开化简，结合基本不等式，即可得答案 【详解】 因为， 所以，则， 所以， 则， 因为，所以，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得或（舍）， 所以的最小值是4. 故答案为：4 9．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. （1）求重兴塔高； （2）如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. 【答案】（1）米     （2）      【分析】 （1）设米，可得，，在中，由余弦定理得，，解方程即可求解； （2）过点作交于，设，可得，，由结合基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 由题意得，设米， 在中，，则； 在中，，则. 在中，由余弦定理得，， 整理得，解得或（舍） 所以重兴塔高米 (2) 小问详解： 过点作交于，设， 则在中，， 在中，， . 当且仅当，即等号成立 所以的最大值为 10．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）某人工智能算力中心通过AI训练效率评估模型优化算力资源配置．已知模型训练精度系数为，剩余训练周期为（单位：小时，），算力资源损耗效率为，满足评估模型：． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的最小值； （3）证明：当时，． 【答案】（1）且.     （2）8     （3） 根据题意即要证，当时，对任意恒成立 记，对称轴 当时，在上单调递增， 最小值为. 当时，， 所以在上的最小值在或处. 所以对任意，恒成立. 综上，当时，对于恒成立.      【分析】 （1）代入求解不等式即可； （2）代入,利用基本不等式求解; （3）将问题转化为证明当时，对任意恒成立.由变形为，令，分和两种情况，求解即可得证. (1) 小问详解： 由题意得， 化简得，即，解得或 因为，所以且. (2) 小问详解： 当且仅当即时等号成立 所以的最小值为8. (3) 小问详解： 略 考点06 不等式的解法 1．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出集合，再根据并集含义即可得到答案. 【详解】 ， 则. 故选：D. 2．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先求解集合中不等式的解集，再通过比较集合与的元素范围判断集合间的关系. 【详解】 解不等式得：，因此集合， 集合，故. 故选：D. 3．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）已知集合，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 解出集合后，利用交集定义即可得. 【详解】 由可得或，则或， 又，则. 故选：B. 4．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）设集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 确定，结合交集、补集运算即可求解. 【详解】 因为， 所以或， 所以. 故选：B 5．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）已知集合，若，则的值可以是（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 解不等式，得到，得到答案. 【详解】 ， ，则，则的值可以是. 故选：B 6．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）（多选）若关于的不等式的解集为，不等式的解集为.若是的必要不充分条件，则的值可以是（     ） A.  B.  C. 0 D. 1 【答案】ACD 【分析】 解不等式得到其解集，再把问题转化成两个集合的包含关系求的取值范围. 【详解】 由或， 即； 由，即. 因为是的必要不充分条件，所以⫋， 所以或， 所以或. 故选：ACD 7．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先通过解不等式得集合和，再利用集合的交集运算即可求解 【详解】 或， ∴. 故选：A. 8．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先通过解对数不等式及分式不等式求得集合与集合，然后通过集合的交集定义进行求解即可. 【详解】 由，解得：，得：； 由，移项得：，通分可得：， 不等式等价于，即，解得：. 得：，由此可得：. 故选：B 9．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先解出集合，再根据补集和交集的定义求解. 【详解】 ，或，， ，，. 故选：D. 10．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先结合绝对值不等式得出集合，再应用对数函数定义域及一元二次不等式得出集合，最后得出交集即可. 【详解】 由题意得集合， ， 则，故C正确. 故选：C. 11．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据一元二次不等式与相应的一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可判断出结论． 【详解】 关于的不等式的解集是， 所以，且是一元二次方程即的两根， 所以，选项A正确； ，选项B正确； ，选项D正确； 由，可得：是错误的，即选项C错误． 故选：ABD． 12．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是　　　　　　； 【答案】 【分析】 分类讨论求解不等式，结合解集中恰有两个整数可得答案. 【详解】 当时，显然不合题意； 当时，原不等式可化为，即，所以， 因为解集中恰有两个整数，所以，即； 当时，原不等式可化为，即， 所以若时，则或，不合题意；若时，则或，不合题意；若时，则，不合题意. 综上可得，； 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01集合与常用逻辑用语、不等式 考点01集合及其基本运算 考点02集合的新定义 考点03常用逻辑用语 考点04等式与不等式的性质 考点05基本不等式及其应用 考点06不等式的解法 》 考点01集合及其基本运算 1.A 2.B 3.A 4.A 5.D 6.C 7.C 8.A 》 考点02集合的新定义 1.A 2.D 3.【答案】(1)2+∈▣，7+4∈ (2)证明：先证明：若x∈A,y∈A,则xy∈A; 设x=s+▣，y=p+厅，S,t,p,q为整数， 所以xy=p+brw阿石 由于sp+3tq,sq+tp都是整数，所以xy∈A, 当x∈B,y∈B时，∈A,∈A,所以2=己∈A,所以xy∈B, (3)证明：因 X x y xy 为X=m+neB,meZ,ne石， 1 所以X m妇， m+ m 因为m∈Z,n∈Z,所 -n m-3n,m2-3m都是有理数， 119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m -n 所以 2-3n'm2-3n 都是整数， 12 所以m -3 -nm-3m三1一为整数， m2-3n m2-3n2m2-3n2m2-3n 所以m2-3n2=±1， 假如m2-3n2=-1,则m2+1=3n2,则m2+1应为3的倍数， 设k为整数，若m=3k,则m2+1=9k2+1不是3的倍数： 若m=3k+1则m2+1=9kK2+6k+2=33k2+2k+2不是3的倍数： 若m=3k+2则nm2+1=9k2+12k+5=313K+4k+1+2不是3的倍数： 所以m2-3n2≠-1，即m2-3n2=1. 【分析】 (1)根据所给定义判断元素的倒数是否属于A即可； 明若XEA,y∈A,则XyEA,即可得到∈A, （3)依题意可符m+如，从而求出m-3m=±1，再说明m2-3m-1即可 x m2-3n2 m2-3n2 (1)小问详解： 因为1 2+2-阿石 所以2+e口 _3+”y如 因为3+叵 ,所以3-口： 3- 因为0没有倒数，所以0庄B: 因为7-474E二，所以7+4口： 7+4 √▣ 综上可得2+e石，7+4石 (2)小问详解： 略 3)小问详解： 219 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 略 四 考点03常用逻辑用语 1.C 2.D 3.D 4.B 5.A 6.A 7.D 8.A 9.B 10.C 11.A 12.B 13.D 14.C 15.c 16.D 17.C 18.A 19.【答案】1 【分析】 1 1 由参变量分离法可得出m≥二，求出函数y=二在0,1上的最小值，可得出实数m的取值范围，即可得出实 数m的最小值. 【详解】 因为“3x∈0,1，mx2-x≥0”为真命题， 当x∈0,1时，由m-X之0可得m≥X 因%还数y=在0，止选减则m =1 m1万 综上所述，m≥1，即实数m的最小值为1. 3/9 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：1. ①考点04等式与不等式的性质 1.C 2.C 3.AC 4.C 5.【答案】第二种 【分析】 设第一次和第二次购物时价格分别为P1,P2,若每次购nkg,根据条件，可求出按第一种策略购买的平均 价格，若按第二种策略，设每次花元钱，则可求得按第二种策略购买的平均价格，利用作差法，即可比 较二者的大小，进而可求得答案 【详解】 按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为P1,购nkg, 第二次购物时的价格为P2元/kg,仍购nkg, 两次购物的平均价格为Pn+P”-卫+p2 2n 2 若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购k9物品， 第二次仍花m元钱，能购mkg物品， 2m= 2 两次购物的平均价格为m+m1+1, P1 P2 P1 P2 比较两次购的平均价格： PL.2-2t.2p,e-p+n-4pe=pp≥0. 21.12p1+P2 2p1+p2 2P1+p2 P1 P2 第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格， 因而用第二种策略比较经济。 故答案为：第二种 D考点5基本不等式及其应用 1.D 4/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.CD 3.D 4.C 5.ACD 6.A 7.【答案】20▣1+20V▣ 【分析】 由对数的运算性质得出a-1b=100,再由基本不等式可求得a+2b=a-1+2b+1的最小值. 【详解】 因为lga-1+lgb=2,所以a>1,b>0, 由对数的运算性质可得1ga-1b=2故a-1b=100 所以a+2b=a-1+2b+1≥212口 a-1=2b 当且仅当a-16=100时，即当a=10石时，等号成立， a>1,b>0 因此a+2b的最小值为20口 故答案为：20*▣」 8.【答案】4 【分析】 变形可得x-y是名2则xy少居子+2xy小展化的，结合木不等式可将答安 【详解】 因为y-2=x-2-2. y X y是多2则x层+2x 所以x-y=2+2y+2x+2+2x-y, x y 5/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则2y+-2x=x-yP-2x-y小-4， 因为y<0,所以-y>0,所以x-y>0,-2y>0, 2x>0, X y 所以x-yP-21x-y-4=-2y+-2x≥2如， 当且仅当2y=-2x,即X=2,y=-2时取等号， 所以x-y-2x-y-8≥0解得x-y≥4或x-y≤-2（舍）， 所以x-y的最小值是4. 故答案为：4 9.【答案】(1)AB=27米 (2)/▣ 【分析】 (1)设AB=m米，可得BC=m,BD=石，在△BCD中，由余弦定理得， 3m=m+36+2×m×36×立解方程即可求解， (2)过点F作FH⊥AB交AB于H,设HF=X,可得an∠EFH=20,an∠AFH=25,由 X X tan0=tan∠AFH-∠EFH结合基本不等式即可求解. (1)小问详解： 由题意得，设AB=m米， 在Rt△ABC中，∠ACB=45,则BC=m: 在Rt△ABD中，∠ADB=30,则BD=Wy▣！ 在△BCD中，由余弦定理得，3m2=m2+362+2×m×36×1 2 整理得2m2-6m-362=0,解得m=27或m=-24(舍) 所以重兴塔高AB=27米 (2)小问详解： 过点F作FH⊥AB交AB于H,设HF=X, 则在Rt△HEF中，tan∠EFH=20 X 6/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△HFA中，tan∠AFH=25 25_20 6 5 tan8=tan∠AFH-∠EFH=xx 1+25.20 1+500x+500 2可V▣ x2 X XX 当且仅当x= 500 即x=10V▣等号成立 十 所以tan8的最大值为四 E H----------- B 10.【答案】(1)t22且t∈N:(2)8(3) 限院副医，之字，告京对r后V成 t>0,k>0,2k>0,kt+2>0,.kt+4k-2t+34k≥0记ft=kt2+4k-2t+34k对称轴 t=-4k-2=22, 2k k 当k≥时，是2s0,fet≥1上单河道增， 最小值为f1=k+4k-2+34k=39k-2≥39×号-2>0 2 当k.名2e0.2l 2 所以ft在t∈N°上的最小值在t=1或t=2处. f1=k+14k-21+34k=39k-2≥39×-2=31>0 4 4 f12=4秋+24k-2+34k=6k-4246×号4=艺0所以对E意∈X,fE>0瓶双立 2 7/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上，当k≥时，A≥对于Vt∈N恒成立 1 4 2k 【分析】 )k=代入A≥2 求解不等式即可； 3 （2)k=代入A=2利用基本不等式求解 kt+2 (3)问明转化为证明当k2时，Kt+2之之2对任意t∈N恒成立.由≥)变形为一 kt+2 飞t+4k=2t+34k20.令ftEk+4k-2t+34k,分k2和k号两种情况，求解fCan即可 得证 (1)小问详解： +2+17≥25 由题意得 t+2 ,t∈N 化简得6t-13t+2≥0，即6t-1川t-2≥0，解得t≥2或t≤ 因为teN,所以t≥2且t∈N (2)小问详解： A-242*1卫.2+4+4-2北+4-2*4+0-2+4+0-12 1 +2 t+4 t+4 A=2t+4+50-12≥212=8口当且仅当21t+4=,50即t=1时等号成立 t+4 t+4 所以A的最小值为8. 3)小问详解： 略 D考点06不等式的解法 1.D 2.D 3.B 4.B 819 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.B 6.ACD 7.A 8.B 9.D 10.C 11.ABD 12.【答案】0,1 【分析】 分类讨论求解不等式，结合解集中恰有两个整数可得答案. 【详解】 当a=0时，显然不合题意： 当。>0时，原不等式可化为x+a-2x-2a<0即x-2x+a<0所以-a<x<2 因为解集中恰有两个整数，所以-1≤-a<0,即0<a≤1； 当。<0时，原不等式可化为×+a-2x-2a>0即x-2x+a>0 所以若a<-2时，则x>-a或x<2,不合题意；若-2<a<0时，则x>2或x<-a,不合题意；若a=-2 时，则x≠2，不合题意. 综上可得，0<a≤1： 故答案为：0,1 919 专题01 集合与常用逻辑用语、不等式 6大高频考点概览 考点01 集合及其基本运算 考点02 集合的新定义 考点03 常用逻辑用语 考点04 等式与不等式的性质 考点05 基本不等式及其应用 考点06 不等式的解法 考点01 集合及其基本运算 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知集合A=,B={−2,0,1,2},则(　　) A. {0,1} B. {−1,0,1} C. {−2,0,1,2} D. {−1,0,1,2} 2．（25-26学年高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）设是小于9的正整数，，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·山东日照·期中）已知全集，集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知全集，集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）已知集合，，则中含有的元素个数是（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）设全集且，集合，则真子集的个数为（     ） A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 8．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  考点02 集合的新定义 1．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知集合，，若且，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合，则（     ） A. 若，则对于任意正实数，集合中有无限多个元素 B. 若，则中可能含有个元素 C. 若，则 D. 若，，则 3．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）已知集合，集合B满足． （1）判断，，，中的哪些元素属于B； （2）证明：若，，则； （3）证明：若，则． 考点03 常用逻辑用语 1．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知非零向量，，则“”是“”成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）命题“”的否定是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）已知命题，，则为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）命题“，”的否定为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5．（25-26学年高三上·山东青岛青岛第一中学·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）已知数列的各项均不为零，若甲：是等比数列；乙：.则甲是乙的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）已知命题，，则是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）设，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）已知，“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 10．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 11．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高三上·山东日照·期中）已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（     ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16．（25-26学年高三上·山东莱州第一中学·期中）命题p：关于x的方程有且仅有一个根；命题q：已知函数的图象是双曲线，则其离心率为；对p、q命题说法正确的是（       ）． A. p真q假 B. p假q真 C. p假q假 D. p真q真 17．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（       ） A. 1004 B. 1007 C. 1010 D. 1013 18．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，值域为，则“”是“对任意，存在，使”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 19．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知“，”为真命题，则的最小值为　　　　　　　　　　. 考点04 等式与不等式的性质 1．（25-26学年高三上·山东青岛第五十八中学·期中）设，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）已知，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，的最小值为4 4．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（     ） A. 甲比较经济 B. 甲和乙一样经济 C. 乙比较经济 D. 不能确定 5．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定　　　　　　　（填第一种或者第二种）方式比较经济. 考点05 基本不等式及其应用 1．（25-26学年高三上·山东日照·期中）已知奇函数在上单调，若正实数，满足，则的最小值是（       ） A. 8 B. 2 C.  D.  2．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）（多选）下列命题正确的有（       ） A. 若，，则 B. 已知都是正数，且，则 C. 若，则的最小值为 D. 若且，则的取值范围为 3．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）若，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·山东菏泽·期中）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，然后将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板面积的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·山东实验中学·期中）（多选）已知正数，满足，则（     ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为8 6．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（     ） A.  B.  C. 2 D.  7．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）已知，则的最小值为　　　　　. 8．（25-26学年高三上·山东临沂·期中）已知，，，则的最小值是　　　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. （1）求重兴塔高； （2）如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. 10．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）某人工智能算力中心通过AI训练效率评估模型优化算力资源配置．已知模型训练精度系数为，剩余训练周期为（单位：小时，），算力资源损耗效率为，满足评估模型：． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的最小值； （3）证明：当时，． 考点06 不等式的解法 1．（25-26学年高三上·山东青岛第二中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·山东潍坊部分学校·期中）已知集合，则（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·山东淄博实验中学·期中）设集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·山东聊城·期中）已知集合，若，则的值可以是（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 6．（25-26学年高三上·山东济宁·期中）（多选）若关于的不等式的解集为，不等式的解集为.若是的必要不充分条件，则的值可以是（     ） A.  B.  C. 0 D. 1 7．（25-26学年高三上·山东济南第一中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高三上·山东德州·期中）已知集合，则（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高三上·山东泰安·期中）已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·山东期中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高三上·山东菏泽鄄城县第一中学·期中）（多选）已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高三上·山东青岛即墨区第一中学·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是　　　　　　； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $