精品解析：宁夏青铜峡市宁朔中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

青铜峡市宁朔中学2026―2027（一）高三年级第一次月考数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】可知，则. 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在上单调递减，选项A错误； 开口向下，对称轴是轴，在区间上单调递减，选项B错误； 是指数函数，底数，在上单调递减，选项C错误； 是对数函数，底数，在区间上单调递增，选项D正确. 3. 已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：若，由，可得；若，由，可得， 不满足充分性，故A错误； 选项B：根据函数的单调性知，“”是“”的充要条件，故B错误； 选项C：由，可得；不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 选项D：“”不能得出，也不能推出， 故是的既不充分也不必要条件，故D错误． 4. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 5. 若命题：“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词为真命题求出的范围，再取其补集即可得解. 【详解】由，，得当时，对任意实数不恒成立， 因此，则，解得， 当命题：“，”是假命题时，， 所以实数的取值范围是. 故选：A 6. 若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知利用基本不等式“1”的巧用，可求的最小值，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化可求． 【详解】因为正数满足，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 若不等式恒成立，则， 解得，所以实数的范围是. 故选：C． 7. 已知，，，其中为自然常数（），则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的值有相同的形式，进而构造函数，并用函数的导数判断函数的单调性，再利用单调性判断函数值的大小可得. 【详解】因为，， ， 令，则. 又因为，令，得. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 因为，所以， 因此. 8. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D. 【详解】由为奇函数有：，即，又，所以，所以， 即，所以，所以，故A正确； 由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称， 当时，，作出函数的图像： 由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以， 所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确； 由，又，在单调递减，所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确， 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 的共轭复数 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，，虚部为，故A正确； 对于B，在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，故B错误； 对于C，的共轭复数，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若|+|=， 则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示判断A，根据向量数量积的坐标运算判断BCD. 【详解】对于选项A，，则，，A正确； 对于选项B，，则，，B正确； 对于选项C，与的夹角为锐角，则，， 但当时，与同向，夹角为，C错； 对于选项D，，解得或，D正确. 11. 下列有关函数的命题正确的是（ ） A. 偶函数的定义域为，则 B. 已知，则“”的必要不充分条件是“为奇函数” C. 满足对任意的都有成立，则 D. 若的定义域是，则的定义域为 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A，偶函数的定义域关于原点对称，故区间端点满足 ，A正确. 选项B，若为奇函数，则对任意恒成立： 得到 ，得，可推出； 但时，，时，为偶函数，不是奇函数. 因此“为奇函数”是“”的充分不必要条件，B错误. 选项C，由，得的图象关于点中心对称，即. 对配对： ， 令得，即，总和为，C错误. 选项D，的定义域为，即， 故，即的定义域为. 对，令，解得，即定义域为，D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，，则与夹角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，，利用向量夹角余弦的坐标公式求解即可. 【详解】不妨设，， 则，， 所以，， 设与夹角为， 则. 13. 已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【解析】 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 14. 已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，， （1）证明数列 是等比数列； （2）若数列 的通项公式为 ,求数列 的前n项和. 【答案】（1）证明：因为，所以，即，为常数， 故数列是等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的概念，计算证明为常数，即可； （2）由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，从而知，进而得，再采用错位相减法，即可得解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，即， 所以， 故， 所以， 两式相减得，， 所以． 16. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列． （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的期望和方差． 【答案】（1） ． （2） 0 1 2 （3），【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各柱状频率之和为1计算即可. （2）利用分层抽样方法，先确定 的所有可能取值为0，1，2，然后计算对应的概率，进而得到分布列. （3）根据二项分布计算期望和方差即可. 【小问1详解】 依题意，得 ， 解得 ． 【小问2详解】 依题意，成绩在的人有 （人）， 成绩在的人有 （人）， 用分层随机抽样的方法抽取5人， 则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人． 所以 的所有可能取值为0，1，2， 则， ， 所以 的分布列为 0 1 2 【小问3详解】 因为成绩在的频率为，用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为． 又全公司中成绩在范围的人有 （人）， 所以 的可能取值为0，1，2，3，且． 方法一： 方法二：，， ，． 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以， 所以. 17. 如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，所以. 18. 设的内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形的内角和公式，可求得角； （2）首先明确点的位置，求出中线的长，利用向量法表示的长，结合余弦定理，可求得的值，再利用三角形的面积公式求面积即可. 【小问1详解】 由正弦定理：，可得， 又，所以， 即， 所以， 所以， 得， 因为为三角形内角，所以，所以，得． 又，所以． 【小问2详解】 如图：因为，所以为的重心． 延长交于点，则为中点． 因为，所以． 因为，所以，所以， 即，① 在中，由余弦定理得：， 又，，所以，② 由①②得：． 所以． 19. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； （2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：函数有两个零点，（），且满足. 【答案】（1） （2） （3） ， 令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 当时，，当时，，所以有两个零点. 不妨设为，，且， 由，可得， 所以要证，即证， 即证. 而，则， 所以要证 ，即证， 即证， 而 ， 由于，故，则， 故 ， 所以，即得证. 【解析】 【分析】（1）根据斜率求解，即可根据点斜式求解直线方程； （2）分离参数，构造函数，利用导数求解函数的最值，即可得解； （3）根据导数求解函数单调性，进而可得最小值，根据两个零点得，通过代入可将问题转为证明，进而证明得证. 【小问1详解】 ，则切线的斜率为，所以. 从而，所以处的切线方程为 ，即. 【小问2详解】 时，由得， 整理得. 令，则， 由于为上的单调递增函数，且， 故当时，，则；当时，，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，故的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市宁朔中学2026―2027（一）高三年级第一次月考数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若命题：“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，，，其中为自然常数（），则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 的共轭复数 D. 10. 已知，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若|+|=， 则或 11. 下列有关函数的命题正确的是（ ） A. 偶函数的定义域为，则 B. 已知，则“”的必要不充分条件是“为奇函数” C. 满足对任意的都有成立，则 D. 若的定义域是，则的定义域为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，，则与夹角的余弦值为________． 13. 已知正实数，满足，则的最大值是__________． 14. 已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，， （1）证明数列 是等比数列； （2）若数列 的通项公式为 ,求数列 的前n项和. 16. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列． （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的期望和方差． 17. 如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 18. 设的内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，，且，求的面积． 19. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； （2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； （3）设，证明：函数有两个零点，（），且满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $