高一上学期数学第一次月考重难点自编模拟检测卷（提高卷）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上学期数学第一次月考重难点自编模拟检测卷 （提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：集合与常用逻辑用语 一元二次函数、方程和不等式； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 2．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知全集为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 5．已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 6．设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．，，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．下列四个命题中，是真命题的有（　　） A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C． D．至少存在一个整数，使得是整数 10．已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 11．下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 第II卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．设正数满足，则使恒成立的实数的最大值是_______． 13．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 14．若对任意，不等式恒成立，则实数___________. 四、解答题（5小题，共77分） 15．已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 16．定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 17．（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 18．（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 19．已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期数学第一次月考重难点自编模拟检测卷 （提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共19题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：集合与常用逻辑用语 一元二次函数、方程和不等式； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【分析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合；选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合；选项C.求出的解，从而得到方程的解组成的集合；选项D.根据集合的确定性判断. 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. 2．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据属于关系、相等关系及包含关系的定义判断可得. 【详解】选项A：空集的定义是不含任何元素的集合，因此，该关系错误； 选项B：是包含元素的非空集合，和不含任何元素的空集不可能相等，该关系错误； 选项C：是以空集作为唯一元素的集合，和元素为数字的集合元素完全不同，不可能相等，该关系错误； 选项D：因为规定：“空集是任意集合的子集”，因此，该关系正确. 3．已知全集为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集、补集运算可知，再结合并集运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：A. 4．设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 故选：C. 5．已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先判断集合B是A的真子集，再区分存在量词、全称量词含义：存在命题只需举一个满足的例子即可成立，全称命题需全部元素满足才成立，依次代入特殊值3、1验证四个选项，得出A正确． 【详解】，， 对于A，，，这是存在量词命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且，A正确； 对于B，，，这是存在量词命题，集合中的元素都在集合中，故不存在集合中的元素不属于集合，B错误； 对于C，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，C错误； 对于D，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，D错误． 6．设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 7．对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干所给的定义利用基本不等式探究两个式子的大小关系，根据基本不等式等号成立的条件判断最大值即可． 【详解】因为x、y为正实数，则，当且仅当时，等号成立； 则； 由可知，，且， 则，可解得； 当且仅当且；得到，解得，； 故当，时，取最大值． 8．，，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为有两个不等根，其中一根小于，另一根为即可求解. 【详解】因为，， 所以有两个不等根，其中一根小于，另一根为， 则，即，故B、D选项错误； 消元解得，故A错误，C选项正确. 二、多选题（3小题，每小题6分，共18分） 9．下列四个命题中，是真命题的有（　　） A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C． D．至少存在一个整数，使得是整数 【答案】ABD 【分析】结合实数、空集定义直接判断命题的真假即可. 【详解】对于A，该命题等价于所有无理数都是实数，为真命题； 对于B，显然为真命题； 对于C，显然不成立，为假命题； 对于D，取，能使是整数，为真命题． 10．已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较和作商比较法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，由，所以，所以A正确； 对于B，因为，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由， 因为，可得，且，， 所以，即，所以，所以C错误； 对于D，由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以D正确. 故选：ABD. 11．下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 第II卷（非选择题） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．设正数满足，则使恒成立的实数的最大值是_______． 【答案】 【分析】由正数条件得，作比值换元，将约束条件与目标不等式全部转化为关于的不等式，恒成立问题转化为求式子最小值，借助换元和基本不等式求解. 【详解】由，得，即， 利用立方和公式得， 令，则，代入得， 所以，所以， 则， 要使恒成立，需使恒成立， 因为，所以，分离参数得， ， 当且仅当时等号成立，所以， 要对所有恒成立，则， 所以，的最大值为. 13．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果． 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 14．若对任意，不等式恒成立，则实数___________. 【答案】 【分析】对参数的取值范围分类讨论，再由不等式恒成立得出相应方程即可求得实数的值. 【详解】当时，对任意可知， 若不等式恒成立，则对任意恒成立； 易知函数的图象以为对称轴，所以在上单调递增， 又因为，即与轴有两个交点，易知， 所以对任意不恒成立，不合题意； 当时， 易知时，,当时，； 令可得，又， 结合已有分析可知当时，，当时，； 若对任意，不等式恒成立，可知才能满足题意； 解得或(舍). 所以. 故答案为： 四、解答题（5小题，共77分） 15．已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 16．定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 【答案】(1) (2)或或 (3)，， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 【分析】（1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可； （3），，根据作差法得出，结合，即可证明． 【详解】（1）由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． （3）略 17．（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 【答案】（1） 因为，， 所以，即，所以， 因为，所以； （2） 当时，； 当时，； 当时，； （3）. 【分析】（1）根据不等式性质判断即可得证； （2）根据作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. （3）求出，再利用不等式的性质得解. 【详解】（1）略 （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时． 综上可得：当时，； 当时，； 当时，； （3）设， 所以， 所以. 由， 由， 所以，即． 18．（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）最小值4，此时；（2）；（3） 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可． （2）通过变形构造和定的情形，结合基本不等式求解即可． （3）通过变形构造积定的情形，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以函数的最大值为. （3）因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 19．已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）由的解集为，得 1和3是方程的两个根，结合韦达定理列方程求解参数，即可得到的解析式； （2）将代入并因式分解，根据确定对应方程的两个根，比较两个根的大小关系，根据一元二次不等式大于0的解集规律得到结果； （3）由得，根据，，结合基本不等式求最小值. 【详解】（1）的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得； . （2），，. 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3），，，得. . ，，. . 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $