专题08 平面解析几何（期中真题汇编，广东专用）高三数学上学期

专题08 平面解析几何 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点06 圆锥曲线中的新定义 考点01 直线与圆 1．ABD 2．D 3．BD 4．A 5．【答案】.5 【分析】 由直线垂直条件直接列式计算． 【详解】 直线与直线垂直， ，解得. 故答案为：. 6．【答案】26 【分析】 首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为3，即可求出的值，再由直线不过第三象限求出的取值范围，即可得解． 【详解】 因为得圆心为，半径， 因为圆C上恰有三点到直线l的距离均为3， 所以圆心到直线的距离为3，即，解得或， 又因为直线不过第三象限， 所以，即， 所以． 故答案为：26． 7．【答案】 【分析】 解出方程，可得其对应的点，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【详解】 因为的解为 ， 设所对应的两点分别为， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为,,， 当，即时，因为关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当，即或时， 此时,,，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：, 故答案为：. 8．【答案】（1）最大值为，最小值为     （2）     （3）最大值为，最小值为      【分析】 1）设，即，则直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，即可得出结论； （2）设，即，则直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，即可得出结论； （3）是圆上点与原点的距离的平方，数形结合可得出的最大值和最小值. (1) 小问详解： 如图，方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即， 由题意可知，直线与圆有公共点， 所以，即，解得， 故的最大值为，最小值为. (2) 小问详解： 设，即， 由题意可知，直线与圆有公共点， 所以，解得， 故的最小值为. (3) 小问详解： 是圆上点与原点的距离的平方， 设圆与轴相交于点和（点在点左侧）， 且，， 则，． 故的最大值为，最小值为. 9．【答案】或 【分析】 将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径即可求解. 【详解】 圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得， 此时切线方程为. 故答案为：或 考点02 椭圆及其性质 1．A 2．BC 3．B 4．A 5．C 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得； （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据求出，再由面积公式及二次函数的性质计算可得. (1) 小问详解： 圆的方程为：的圆心为，半径， 由题可得，点在线段的垂直平分线上，则， 所以， 根据椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设方程为，则，，所以， 所以点的轨迹的方程为 (2) 小问详解： 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，， 将直线的方程代入椭圆 ，整理得， ， 所以，， 则， ， 由得，又由椭圆方程可知，即 ， 所以，即， 即， 即， 所以，解得或 (舍去，此时过点)， 所以直线过定点， 所以，， 此时，， 所以 ， 因为，则， 所以当时取得最大值，所以的最大值为. 7．【答案】（1）     （2）      （3） 因为， 直线的方程为， 由 ，消可得， 整理得， 所以，得， 所以. 同理可得， 所以 ，当且仅当，取等号； 则 ，则当为时可取等.所以的最大值为. 又因为，所以. 【分析】 （1）求出双曲线焦点，从而求出，可求出椭圆方程； （2）由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，利用面积法可求得内切圆半径，进而可求得内切圆方程； （3）得到直线的方程为，与椭圆方程联立后得到的坐标，同理求出的坐标，根据的面积表达出，利用基本不等式求出的最大值，从而得到答案. (1) 小问详解： 由，所以， 又，所以， 故椭圆的标准方程为 (2) 小问详解： 因为点的纵坐标为 又轴， 由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点， 且的周长为， 又， ，内切圆的圆心为 内切圆的方程为 (3) 小问详解： 略 8．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由离心率及关系，求出，将点的坐标代入方程可得，算出a、b即可求解；（2）设l的方程为，联立方程组，结合韦达定理及弦长公式求解即可；（3）设直线PA的方程为，直线PB的方程为，进而求出，再由正弦定理知，，再结合基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意得，又，所以， 所以椭圆方程为， 将代入椭圆方程得， 解得， 故椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设l的方程为，则. 联立方程组 ，整理得， 则，即， 所以， 则， 解得，满足题设， 所以l的方程为. (3) 小问详解： 设，则， ，，， 设直线PA的方程为，则直线PB的方程为. 令，得，同理得，则. 在中，由正弦定理知， 同理可得. 因为，所以， 从而， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 考点03 双曲线及其性质 1．C 2．BCD 3．C 4．B 5．C 6．C 7．C 8．【答案】3 【详解】试题分析：由题意得，，，根据双曲线离心率，得． 考点：双曲线的离心率. 9．【答案】10 【详解】根据双曲线的定义转换求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程得a＝2,由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|,当直线l过点F1,且垂直于x轴时,|AB|最小,所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝ 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义的运用,需要利用定义将题中所给的线段进行转换再分析求解.属于基础题型. 10．【答案】 【分析】 由，得，令，中，由正弦定理解得，可求双曲线离心率. 【详解】 设O为坐标原点， 因为，可得， 且两渐近线关于轴对称，则， 又因为直线斜率为，则， 令，则，， 在中，由正弦定理得， 可得，解得， 可得，所以的离心率. 故答案为：. 11．【答案】（1）     （2）     （3） 设，不妨设．则直线⑦ ， 联立① ⑦ 得：， 则， 则； 同理：． 而，， 又三点共线，则有， 则， 得：， 所以的中点为定点．      【分析】 （1）由顶点到渐近线距离建立方程解得的值，从而得到曲线方程； （2）设直线方程，联立方程组得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到根与系数的关系，由三角形面积建立方程得到的值，从而得到直线方程； （3）设坐标，然后得到直线方程，联立方程组得到一元二次方程，由韦达定理得到点坐标，同理求得点坐标.从而得到，由向量共线建立等式，从而得到点纵坐标的关系，即可得证. (1) 小问详解： 因为的一条渐近线方程为， 到渐近线的距离为， 过得， 解得：， 所以的方程为① ． (2) 小问详解： 显然直线的斜率存在，设的方程为② ， ① ② 联立得：． 则有③ ，④ ， 设， 则⑤ ，⑥ ， 把⑤ ⑥ 代入：， 所以， 得：，解得：． 满足③ ④ 式，则直线的方程为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 技巧点睛，三角形在直角坐标的面积可以用铅锤高乘水平宽来表示，例如本题中(表示点的水平宽) . 考点04 抛物线及其性质 1．B 2．D 3．A 4．ABD 5．ABD 6．ABD 7．【答案】① 错误    ② 【分析】 空一：由抛物线的定义可判断结论错误； 空二：法一：设点，由题意得方程，化简可求得轨迹方程；法二：数形结合法，作出图形可求得轨迹方程. 【详解】 空一：抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹， 其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线.题设中“某学生”的解答依据忽视了“定直线不经过定点”这一关键点，因而导致错误. 空二： 法一：设点，由题意得：， 两边平方并整理得：， 即：，所以， 故点M的轨迹是一条直线，该直线方程为. 法二：作出图形可知，直线过点， 故可得点M的轨迹是一条经过且与垂直的一条， 直线.故M的轨迹为，化简，得. 8．【答案】（1）     （2） 由（1）得抛物线的标准方程为 由题可知，直线斜率不为0，所以设直线, 设，联立得 ， 所以， ， 所以， 所以.      【分析】 （1）先求出抛物线的焦点坐标，然后利用点到直线的距离公式求出，即可得出准线方程； （2）设出直线方程和交点坐标，然后联立，韦达定理，算出，即可证明. (1) 小问详解： 由题可知，则其到的距离为， 又，所以， 所以抛物线的准线方程为； (2) 小问详解： 略 9．【答案】（1）；     （2） ① 由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为， 设，由轴，且点在抛物线上，得， 直线方程为，由 ，得点， 当时，直线的斜率，其方程为， 整理得，因此直线过定点，当时，直线过点， 所以直线过定点. ②.      【分析】 （1）设点，由已知及抛物线定义建立方程求出值，即可得到抛物线的方程. （2）① 由（1）求出抛物线焦点坐标及准线方程，再设出点的坐标，并表示出点坐标，求出直线的方程即可得证；② 由① 中信息，利用数量积的定义，结合三角形面积公式求解. (1) 小问详解： 设点，由，得， 由点到轴的距离为，得， 又，则，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 由① 知，， 因此，， 所以的面积. 10．【答案】（1）     （2）（ⅰ）或：；（ⅱ）.      【分析】 （1）由抛物线的对称性质可得到，继而得到抛物线方程； （2）设：，，，联立抛物线方程与直线方程，结合韦达定理， （ⅰ）结合题干角的余弦值即可得到直线方程； （ⅱ）结合对称性以及三点共线即可得. (1) 小问详解： 当与轴垂直时，， 则，解得：，即：. (2) 小问详解： （ⅰ）由与抛物线交于，两点知直线斜率不为0， 可设：，，， 联立方程组： ，得到：， 由韦达定理：，， 则，， 因为 ， 代入可知：，解得：， 即：或：； （ⅱ）由对称性，不妨取：，由于，故：， 因为，设，所以：， 联立解得：，同理有：， 所以 ， 由（2）得：，，代入可知：， 故：， 由于，故， 则， 即：，因为， 所以：，联立解得：， 因为，，三点共线，所以在直线上， 代入得：， 解得：，故的坐标为. 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．【答案】（1）     （2）.     （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由 ，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点      【分析】 （1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； (1) 小问详解： 因为，， 所以，故的标准方程为· (2) 小问详解： 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. (3) 小问详解： 略 2．【答案】（1）     （2）或     （3）根据题意画出图像为： 由① ② 可得，. 由题意可得，，直线的方程为 ， 所以直线过定点.      【分析】 （1）根据焦点坐标和离心率条件，求出椭圆方程. （2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程组，利用韦达定理化简求解直线方程. （3）首先根据题意确定点的坐标，然后设出直线的方程，联立直线与椭圆方程组，利用韦达定理化简求出直线的方程，进而可看出该直线过定点. (1) 小问详解： 由题意可得 解得， 所以的方程为. (2) 小问详解： 依题意画出图像为： 设直线的方程为（因为点在第二象限，所以，即）， 设，. 联立直线与椭圆方程 得. 当时，. 由根与系数的关系知，① ，②. 因为是的中点，所以，结合① 解得. 代入② ，解得（舍去）， 所以直线的方程为，即或. (3) 小问详解： 略 3．【答案】（1）；     （2）（i）是定值，定值为；（ii）最小值为.      【分析】 （1）由题目所过点与离心率，结合的关系式，可得答案； （2）（i）分直线的斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，并联立椭圆方程写出韦达定理，利用直线垂直的斜率关系以及点到直线距离公式，可得答案；（ii）根据圆的对称性，分情况求弦长，利用基本不等式，可得答案. (1) 小问详解： ，解得 ，则可得椭圆. (2) 小问详解： （i）是定值，理由如下： 当直线的斜率不存在时，可设方程为，代入椭圆， 可得，易知，解得； 当直线的斜率存在时，可设方程为， 联立 ，消去可得， 由，设， 则， 可得， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，整理可得， 化简可得，解得， 由. （ii）由圆的对称性，则， 由（i）可知： 当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时， ，当且仅当时，等号成立，则， 综上可得，故的最小值为. 4．【答案】（1）     （2）是定值，.      【分析】 （1）设，，根据题意易得，，进而得到，由在双曲线上可得，进而求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与曲线Γ的方程，根据韦达定理可得，即，进而求解即可. (1) 小问详解： 设，，由题意可得， 共线，故，① 又共线，故，② 由① ② 两式相乘，得，（*） 因在双曲线上，则，即， 将其代入（*）式，得，即， 即的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由题意可设直线的方程为， 联立 ，得. 设，则，即， 则 ，为定值. 考点06 圆锥曲线中的新定义 1．B 2．AC 3．【答案】（1）．     （2） 当时，最小值为； 当时，最小值为．     （3）4      【分析】 （1）写出渐近线方程即可判断夹角； （2）设，再根据两点间距离公式化简，求解一元二次函数的最值即可； （3）设为好点，则根据好点定义求出，再根据好点定义求出直线与双曲线交于同一支时得出，即时，即可求出，求出四边形面积即可. (1) 小问详解： 渐近线，夹角为． (2) 小问详解： 设，或， 则 ， 当即时，令，最小值为； 当即时，令，最小值为． (3) 小问详解： 设为好点，考虑、需满足的充要条件． 若直线的斜率存在，设直线，， 将与联立，得．（*） 则，，， 而 ， ① 当直线与的左右两支都有公共点，即时， ，当时有最小值． 这说明，； ② 当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为：且（*）式的判别式． 此时可得：． 这说明时，判别式条件不能成立． 即时，． 当时，，解得． 另一方面，当时，． 两边平方后即得． 若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点， 则，则，， 则，显然与好点矛盾； 因此，为好点当且仅当， 于是所有好点对应的区域为， 即由构成的正方形，故所求面积为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面解析几何 6大高频考点概览 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点06 圆锥曲线中的新定义 考点01 直线与圆 1．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）（多选）已知直线，圆，则（       ） A. 过定点 B. 圆与轴相切 C. 若与圆有交点，则的最大值为0 D. 若平分圆，则 2．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）已知点，圆，点在圆上运动，点满足，动点在直线上，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C.  D. 1 3．（2026·广东中山·三模）（多选）已知直线：和圆：交于A，B两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线：垂直 C. 当最小时，其余弦值为 D. 若，直线被圆截得的弦长为 4．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）如图，已知在中，，是边上一点，且，将沿进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点的轨迹长度为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）已知直线：，：，若满足，则　　　　　　　　 6．（2026·广东东莞·联考）已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是　　　　　　. 8．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）已知实数、满足方程．求： （1）的最大值和最小值； （2）的最小值； （3）的最大值和最小值． 9．（高三上·广东汕头金山中学·期中）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　. 考点02 椭圆及其性质 1．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）设动点满足，则点的轨迹的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）（多选）已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（       ） A. 的周长为4 B. 为等边三角形 C. 的最小值为1 D. 存在点N，使得 3．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （       ） A.  B.  C.  D.  5．（2026·广东中山·三模）已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则 A.  B. 4 C. 3 D. 1 6．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T. （1）求点的轨迹的方程； （2）轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 ，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求 的最大值. 7．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）已知椭圆的短轴长为2，与双曲线有相同的左右焦点，点是椭圆上的动点，的延长线的交点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若点的纵坐标为，求内切圆的方程； （3）设分别为的内切圆半径，证明：. 8．（高三上·广东汕头金山中学·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求C的方程； （2）若斜率为1的直线与C相交于E，F两点，且，求l的方程； （3）椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值. 考点03 双曲线及其性质 1．（2026·广东深圳宝安中学·联考）双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 2．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）（多选）已知双曲线，则（       ） A. 的虚轴长为4 B. 的焦距为 C. 的实轴长为4 D. 的渐近线方程为 3．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）双曲线的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·广东东莞·联考）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D.  6．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）已知双曲线（，）的两个焦点为，，，是的右支上两点.若，∥，且，则的离心率为（     ） A.  B. 2 C.  D.  7．（高三上·广东汕头金山中学·期中）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·广东深圳理工附·质量监测）已知双曲线的离心率为2，则的值为 　　　　　　． 9．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为　　　　　　　　　　． 10．（2026·广东中山·三模）已知双曲线的左焦点为F，过点F且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于点M，N，且M，N分别位于第二、三象限，若，则C的离心率为　　　　　　　　　　 11．（2026·广东中山·三模）已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为．点在的渐近线上，过的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点． （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程； （3）证明：线段的中点为定点． 考点04 抛物线及其性质 1．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（       ）． A. 经过点 B. 经过点 C. 平行于直线 D. 垂直于直线 2．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3．（2026·广东中山·三模）已知是抛物线：的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则点的横坐标是（       ） A.  B.  C.  D. 1 4．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则直线的斜率为 B.  C.  (为坐标原点) D. 当取最小值时， 5．（2026·广东深圳宝安中学·联考）（多选）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（       ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 6．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）（多选）已知抛物线的焦点为为其上一动点，当运动到点时，，直线与相交于两点，点，则（       ） A. 的准线方程为 B. 的最小值为8 C. 若，则过点 D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 7．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）若动点M到定点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹是什么?某学生认为：“平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.”由此判断动点的轨迹是抛物线.请问该学生的判断是否正确?　　　　　　　（填“正确”或“错误”），点的轨迹方程是：　　　　　　　. 8．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）已知抛物线的焦点到直线的距离为. （1）求的准线方程； （2）若直线经过点，直线与交于两点，为坐标原点，证明：. 9．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点. ①求证：直线过定点； ②若，求的面积. 10．（2026·广东深圳宝安中学·联考）已知抛物线：（），过点的直线交于，两点，为坐标原点，当与轴垂直时，. （1）求抛物线的解析式； （2）若，过轴上一点作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且满足，，三点共线. （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）求点的坐标. 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 2．（2026·广东东莞·联考）已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. （1）求的方程； （2）若是的中点，求直线的方程； （3）过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 3．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，，为上两个动点，且，作，垂足为. （i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于、），求面积的最小值. 4．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. （1）求点轨迹方程. （2）过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 考点06 圆锥曲线中的新定义 1．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（       ） A.  B.  C.  D. 5 2．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）（多选）平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线是到两定点的距离之积为常数2的点的轨迹，设是曲线上的点，给出下列结论，其中正确的是（     ） A. 曲线关于原点成中心对称 B.  C.  D. 周长的最小值为 3．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）在平面直角坐标系中，双曲线． （1）求的两条渐近线的夹角； （2）给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； （3）对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面解析几何 6大高频考点概览 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 考点06 圆锥曲线中的新定义 考点01 直线与圆 1．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）（多选）已知直线，圆，则（       ） A. 过定点 B. 圆与轴相切 C. 若与圆有交点，则的最大值为0 D. 若平分圆，则 【答案】ABD 【分析】 利用直线方程与的取值无关，求解定点判A，利用直线与圆的位置关系判断B，C,先发现直线必过圆心，后将圆心代入直线，求解参数，判断D即可. 【详解】 对A，整理直线的方程，得，令，解得， 当时，直线方程与的取值无关，又，解得， 即必过定点，故A正确； 对B，整理圆的方程，得，易知圆心到轴的距离为， 又，故得圆与轴相切，故B正确； 对C，若与圆有交点，设圆心到直线的距离为， 可得，解得故C错误； 对D，若平分圆，则必过圆心，易知圆心为， 将代入直线的方程，得，解得，故D正确. 故选：ABD. 2．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）已知点，圆，点在圆上运动，点满足，动点在直线上，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C.  D. 1 【答案】D 【分析】 设出点、的坐标，结合向量坐标运算可得点的轨迹方程，再利用圆上的点到定直线的距离的最值求法计算即可得. 【详解】 设，，则， 由，则 ，所以 ， 故，化简得， 即点在圆上，该圆圆心为，半径， 则.    故选：D. 3．（2026·广东中山·三模）（多选）已知直线：和圆：交于A，B两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线：垂直 C. 当最小时，其余弦值为 D. 若，直线被圆截得的弦长为 【答案】BD 【分析】 对于A：整理可得，即可判断定点；对于B：分析可知对任意，直线与圆相交，取符合题意；对于C：分析可知取到最小值，等价于取到最小值，结合余弦定理运算求解；对于D：先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长. 【详解】 对于选项A：因为直线：，即， 所以直线恒过定点，且斜率为，故A错误； 对于选项B：圆：的圆心为，半径， 因为，可知点在圆内， 则对任意，直线与圆相交， 又因为直线：的斜率为， 所以当，则，两直线垂直， 所以存在使得直线与直线：垂直，故B正确； 对于选项C：若取到最小值，等价于取到最小值， 当且仅当时，取到最小值， 此时直线：,， ， 又因为直线：不可能表示，所以,即无最小，故C不正确； 对于选项D：若，则直线：， 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为，故D正确； 故选：BD. 4．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）如图，已知在中，，是边上一点，且，将沿进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点的轨迹长度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 过点作，得到动点的轨迹是以为圆心，以为半径且圆心角为的圆弧，在所在平面建立平面直角坐标系，求得直线和的方程，联立方程组，求得，得到的长，进而求得，结合弧长公式，即可求解. 【详解】 如图（1）所示，过点作，分别交于点， 则动点在平面上的射影轨迹为线段， 设当与重合时，有；当与重合时，有， 则由为定长，可知动点的轨迹是以为圆心，以为半径且圆心角为的圆弧，如图（1）所示， 在所在平面建立如图（2）所示的平面直角坐标系， 则，，，，直线，直线， 联立方程组 ，解得，即，则， 又由，可得，所以，， 所以动点的轨迹长度为. 故选：A． 【点睛】 方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略： 1、解答方法：一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键. 5．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）已知直线：，：，若满足，则　　　　　　　　 【答案】.5 【分析】 由直线垂直条件直接列式计算． 【详解】 直线与直线垂直， ，解得. 故答案为：. 6．（2026·广东东莞·联考）已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】26 【分析】 首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为3，即可求出的值，再由直线不过第三象限求出的取值范围，即可得解． 【详解】 因为得圆心为，半径， 因为圆C上恰有三点到直线l的距离均为3， 所以圆心到直线的距离为3，即，解得或， 又因为直线不过第三象限， 所以，即， 所以． 故答案为：26． 7．（25-26学年高三上·广东佛山南海区石门中学·期中）关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 解出方程，可得其对应的点，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【详解】 因为的解为 ， 设所对应的两点分别为， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为,,， 当，即时，因为关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当，即或时， 此时,,，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：, 故答案为：. 8．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）已知实数、满足方程．求： （1）的最大值和最小值； （2）的最小值； （3）的最大值和最小值． 【答案】（1）最大值为，最小值为     （2）     （3）最大值为，最小值为      【分析】 1）设，即，则直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，即可得出结论； （2）设，即，则直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，即可得出结论； （3）是圆上点与原点的距离的平方，数形结合可得出的最大值和最小值. (1) 小问详解： 如图，方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即， 由题意可知，直线与圆有公共点， 所以，即，解得， 故的最大值为，最小值为. (2) 小问详解： 设，即， 由题意可知，直线与圆有公共点， 所以，解得， 故的最小值为. (3) 小问详解： 是圆上点与原点的距离的平方， 设圆与轴相交于点和（点在点左侧）， 且，， 则，． 故的最大值为，最小值为. 9．（高三上·广东汕头金山中学·期中）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径即可求解. 【详解】 圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得， 此时切线方程为. 故答案为：或 考点02 椭圆及其性质 1．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）设动点满足，则点的轨迹的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 借助椭圆定义及其离心率定义计算即可得. 【详解】 由， 故点到点与点的距离之和为， 又，故点的轨迹为以、为焦点， 为长轴长的椭圆，则点的轨迹的离心率. 故选：A. 2．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）（多选）已知椭圆的左、右焦点为，上顶点为M，直线l经过左焦点与C交于A、B两点，与y轴交于点N．则下列判断正确的是（       ） A. 的周长为4 B. 为等边三角形 C. 的最小值为1 D. 存在点N，使得 【答案】BC 【分析】 根据给定的椭圆方程，利用椭圆的定义、性质逐项分析判断得解. 【详解】 椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，直线过点， 对于A，的周长为，A错误； 对于B，点，则，为等边三角形，B正确； 对于C，当且仅当为椭圆左顶点时，取得最小值，C正确； 对于D，假设存在点，令，由，得， 则 ，显然此方程组无解，即不存在点，使得，D错误. 故选：BC 3．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用椭圆离心率的定义直接求解. 【详解】 设椭圆的长短半轴长分别为，半焦距为，则点为一等边三角形三个顶点， 因此，所以该椭圆的离心率. 故选：B 4．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据椭圆的定义以及三角形面积公式先求出的纵坐标，然后根据椭圆方程求出横坐标，最后根据向量的数量积的坐标公式求出结果. 【详解】 根据题意知，. 因为的内切圆半径为， 所以. 设，所以， 所以，解得. 因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足， 解得，所以. 所以，所以. 故选：A. 5．（2026·广东中山·三模）已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则 A.  B. 4 C. 3 D. 1 【答案】C 【分析】 利用向量的数量积运算可得，利用，进一步利用椭圆的定义可转化为，进而得解. 【详解】 连接,设椭圆的基本量为， , 故答案为：3. 【点睛】 本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算. 6．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T. （1）求点的轨迹的方程； （2）轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 ，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求 的最大值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得； （2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据求出，再由面积公式及二次函数的性质计算可得. (1) 小问详解： 圆的方程为：的圆心为，半径， 由题可得，点在线段的垂直平分线上，则， 所以， 根据椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设方程为，则，，所以， 所以点的轨迹的方程为 (2) 小问详解： 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，， 将直线的方程代入椭圆 ，整理得， ， 所以，， 则， ， 由得，又由椭圆方程可知，即 ， 所以，即， 即， 即， 所以，解得或 (舍去，此时过点)， 所以直线过定点， 所以，， 此时，， 所以 ， 因为，则， 所以当时取得最大值，所以的最大值为. 7．（2026·广东揭阳普宁勤建学校·三调）已知椭圆的短轴长为2，与双曲线有相同的左右焦点，点是椭圆上的动点，的延长线的交点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若点的纵坐标为，求内切圆的方程； （3）设分别为的内切圆半径，证明：. 【答案】（1）     （2）      （3） 因为， 直线的方程为， 由 ，消可得， 整理得， 所以，得， 所以. 同理可得， 所以 ，当且仅当，取等号； 则 ，则当为时可取等.所以的最大值为. 又因为，所以. 【分析】 （1）求出双曲线焦点，从而求出，可求出椭圆方程； （2）由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，利用面积法可求得内切圆半径，进而可求得内切圆方程； （3）得到直线的方程为，与椭圆方程联立后得到的坐标，同理求出的坐标，根据的面积表达出，利用基本不等式求出的最大值，从而得到答案. (1) 小问详解： 由，所以， 又，所以， 故椭圆的标准方程为 (2) 小问详解： 因为点的纵坐标为 又轴， 由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点， 且的周长为， 又， ，内切圆的圆心为 内切圆的方程为 (3) 小问详解： 略 8．（高三上·广东汕头金山中学·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求C的方程； （2）若斜率为1的直线与C相交于E，F两点，且，求l的方程； （3）椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由离心率及关系，求出，将点的坐标代入方程可得，算出a、b即可求解；（2）设l的方程为，联立方程组，结合韦达定理及弦长公式求解即可；（3）设直线PA的方程为，直线PB的方程为，进而求出，再由正弦定理知，，再结合基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意得，又，所以， 所以椭圆方程为， 将代入椭圆方程得， 解得， 故椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设l的方程为，则. 联立方程组 ，整理得， 则，即， 所以， 则， 解得，满足题设， 所以l的方程为. (3) 小问详解： 设，则， ，，， 设直线PA的方程为，则直线PB的方程为. 令，得，同理得，则. 在中，由正弦定理知， 同理可得. 因为，所以， 从而， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 考点03 双曲线及其性质 1．（2026·广东深圳宝安中学·联考）双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】 根据双曲线方程写出渐近线方程，得出，进而可求出双曲线的离心率. 【详解】 因为双曲线的渐近线方程为， 又其中一条渐近线的倾斜角为， 所以，则， 所以该双曲线离心率为. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）（多选）已知双曲线，则（       ） A. 的虚轴长为4 B. 的焦距为 C. 的实轴长为4 D. 的渐近线方程为 【答案】BCD 【分析】 根据已知条件求得，由此求出双曲线的虚轴长、焦距、实轴长，渐近线，即可求解. 【详解】 双曲线的焦点在轴上，且，即， 所以，则，所以的虚轴长为，A错误； 的焦距为，B正确； 的实轴长，C正确； 的渐近线方程为，D正确. 故选：BCD 3．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）双曲线的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将双曲线化为标准方程，直接求解即可. 【详解】 双曲线，化为标准方程得，则，离心率为 . 故选：C. 4．（2026·广东东莞·联考）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据双曲线方程得到其渐近线方程，结合示意图分析条件求出点坐标，利用向量的坐标运算得到点坐标，代入渐近线方程，化简计算即可求得离心率. 【详解】 由双曲线可知渐近线方程为， 因为，所以， 在中，，，可得. 即， 则 又因为点在渐近线上，所以，解得，可得. 故选：B. 5．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】C 【分析】 由条件先证明，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，由的面积为结合三角形面积公式可得或，分情况解三角形求，列方程求，由此可得，再结合离心率定义求结论. 【详解】 因为直线为双曲线的一条渐近线， 所以， 圆的圆心的坐标为，半径， 所以点到直线的距离， 因为与圆交于两点（为坐标原点），所以， 因为的面积为，所以， 所以，又， 所以或， 若，则点到直线的距离， 所以，所以，所以， 所以， 此时双曲线的离心率， 若，则点到直线的距离， 所以，所以， 所以，与矛盾，舍去， 所以双曲线的离心率， 故选：C 6．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）已知双曲线（，）的两个焦点为，，，是的右支上两点.若，∥，且，则的离心率为（     ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 设，根据双曲线定义可得，根据题意可得，，结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】 设， 由双曲线定义可得， 因为，则， 又因为∥，则，即. 由余弦定理可得， 整理可得， 即，整理可得， 则，，， 即，则，所以双曲线的离心率为. 故选：C 7．（高三上·广东汕头金山中学·期中）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据重心性质得出中点的坐标，根据直线与的右支交于两点可知点在右支内部， 将的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与之间等式关系， 由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与之间等式关系， 即可得斜率的取值范围，解出即可. 【详解】 设为的中点，根据重心性质可得， 因为，则， 因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部， 故有，解得， 当直线斜率不存在时，的中点在轴上， 故三点不共线，不符合题意舍， 设直线斜率为，设， 所以，， 因为在双曲线上，所以 ， 两式相减可得：， 即， 即有成立， 即有，因为不共线， 即，即，即， 所以的离心率的取值范围为， 因为 ， 因为，即， 所以， 所以. 故选：C 【点睛】 思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有： （1）设出点的坐标； （2）根据中点坐标建立等式：，； （3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形； （4）将，及代入等式中即可得出关系. 8．（2026·广东深圳理工附·质量监测）已知双曲线的离心率为2，则的值为 　　　　　　． 【答案】3 【详解】试题分析：由题意得，，，根据双曲线离心率，得． 考点：双曲线的离心率. 9．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】10 【详解】根据双曲线的定义转换求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程得a＝2,由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|,当直线l过点F1,且垂直于x轴时,|AB|最小,所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝ 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义的运用,需要利用定义将题中所给的线段进行转换再分析求解.属于基础题型. 10．（2026·广东中山·三模）已知双曲线的左焦点为F，过点F且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于点M，N，且M，N分别位于第二、三象限，若，则C的离心率为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由，得，令，中，由正弦定理解得，可求双曲线离心率. 【详解】 设O为坐标原点， 因为，可得， 且两渐近线关于轴对称，则， 又因为直线斜率为，则， 令，则，， 在中，由正弦定理得， 可得，解得， 可得，所以的离心率. 故答案为：. 11．（2026·广东中山·三模）已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为．点在的渐近线上，过的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点． （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程； （3）证明：线段的中点为定点． 【答案】（1）     （2）     （3） 设，不妨设．则直线⑦ ， 联立① ⑦ 得：， 则， 则； 同理：． 而，， 又三点共线，则有， 则， 得：， 所以的中点为定点．      【分析】 （1）由顶点到渐近线距离建立方程解得的值，从而得到曲线方程； （2）设直线方程，联立方程组得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到根与系数的关系，由三角形面积建立方程得到的值，从而得到直线方程； （3）设坐标，然后得到直线方程，联立方程组得到一元二次方程，由韦达定理得到点坐标，同理求得点坐标.从而得到，由向量共线建立等式，从而得到点纵坐标的关系，即可得证. (1) 小问详解： 因为的一条渐近线方程为， 到渐近线的距离为， 过得， 解得：， 所以的方程为① ． (2) 小问详解： 显然直线的斜率存在，设的方程为② ， ① ② 联立得：． 则有③ ，④ ， 设， 则⑤ ，⑥ ， 把⑤ ⑥ 代入：， 所以， 得：，解得：． 满足③ ④ 式，则直线的方程为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 技巧点睛，三角形在直角坐标的面积可以用铅锤高乘水平宽来表示，例如本题中(表示点的水平宽) . 考点04 抛物线及其性质 1．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（       ）． A. 经过点 B. 经过点 C. 平行于直线 D. 垂直于直线 【答案】B 【分析】 依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解. 【详解】 如图所示： ． 因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 2．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【分析】 由代入即可求. 【详解】 设抛物线的焦点为， 由抛物线的定义知， 因为点到轴的距离为9，即， 所以， 解得. 故选：D 3．（2026·广东中山·三模）已知是抛物线：的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则点的横坐标是（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】A 【分析】 利用抛物线的定义，结合已知条件，求出的长，进而求得，再结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】 如图所示，抛物线的焦点坐标为， 过上一点作其准线的垂线，垂足为，若， 可得, 又由，所以， 在等腰中，可得， 设，根据抛物线的定义，可得，解得， 即点的横坐标为. 故选：A. 4．（25-26学年高三上·广东广州铁一中学·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则直线的斜率为 B.  C.  (为坐标原点) D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【分析】 设出直线，，，根据题意求出和的坐标，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D. 【详解】 依题意，设直线，，， 联立 得，则，， 则，解得 或 ，则，或，， 则直线的斜率为.故A正确；， 当且仅当时等号成立.故B正确； 因为，所以，故C错误； ，，则，，由抛物线的定义可得，，因为，， 当且仅当时取等号，此时，故D正确. 故选：ABD 5．（2026·广东深圳宝安中学·联考）（多选）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（       ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】 对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果. 【详解】 对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知，满足， 移项，平方可得：， 即 ，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 【点睛】 关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解. 6．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）（多选）已知抛物线的焦点为为其上一动点，当运动到点时，，直线与相交于两点，点，则（       ） A. 的准线方程为 B. 的最小值为8 C. 若，则过点 D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 【答案】ABD 【分析】 由抛物线的定义及已知得，即可判断A；作准线，由，数形结合判断B；求、与抛物线相交弦长，判断存在使，即可判断C；由抛物线的定义及圆的性质判断D. 【详解】 由题设，可得，则，准线为，A对； 由，作准线，如下图示， 则，当且仅当共线且准线取等号，B对； 若，联立，则或， 不妨令，则； 若，联立，则或， 不妨令，则； 所以，对于直线，存在使，此时直线不过，C错； 若直线过焦点时，以为直径的圆的半径为， 而的中点，即圆心的横坐标为，易知以为直径的圆与轴相切，D对. 故选：ABD 7．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）若动点M到定点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹是什么?某学生认为：“平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.”由此判断动点的轨迹是抛物线.请问该学生的判断是否正确?　　　　　　　（填“正确”或“错误”），点的轨迹方程是：　　　　　　　. 【答案】① 错误    ② 【分析】 空一：由抛物线的定义可判断结论错误； 空二：法一：设点，由题意得方程，化简可求得轨迹方程；法二：数形结合法，作出图形可求得轨迹方程. 【详解】 空一：抛物线是指平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹， 其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线.题设中“某学生”的解答依据忽视了“定直线不经过定点”这一关键点，因而导致错误. 空二： 法一：设点，由题意得：， 两边平方并整理得：， 即：，所以， 故点M的轨迹是一条直线，该直线方程为. 法二：作出图形可知，直线过点， 故可得点M的轨迹是一条经过且与垂直的一条， 直线.故M的轨迹为，化简，得. 8．（25-26学年高三上·广东揭阳·期中）已知抛物线的焦点到直线的距离为. （1）求的准线方程； （2）若直线经过点，直线与交于两点，为坐标原点，证明：. 【答案】（1）     （2） 由（1）得抛物线的标准方程为 由题可知，直线斜率不为0，所以设直线, 设，联立得 ， 所以， ， 所以， 所以.      【分析】 （1）先求出抛物线的焦点坐标，然后利用点到直线的距离公式求出，即可得出准线方程； （2）设出直线方程和交点坐标，然后联立，韦达定理，算出，即可证明. (1) 小问详解： 由题可知，则其到的距离为， 又，所以， 所以抛物线的准线方程为； (2) 小问详解： 略 9．（25-26学年高三上·广东深圳红山中学·期中）已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点. ①求证：直线过定点； ②若，求的面积. 【答案】（1）；     （2） ① 由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为， 设，由轴，且点在抛物线上，得， 直线方程为，由 ，得点， 当时，直线的斜率，其方程为， 整理得，因此直线过定点，当时，直线过点， 所以直线过定点. ②.      【分析】 （1）设点，由已知及抛物线定义建立方程求出值，即可得到抛物线的方程. （2）① 由（1）求出抛物线焦点坐标及准线方程，再设出点的坐标，并表示出点坐标，求出直线的方程即可得证；② 由① 中信息，利用数量积的定义，结合三角形面积公式求解. (1) 小问详解： 设点，由，得， 由点到轴的距离为，得， 又，则，解得， 所以抛物线的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 由① 知，， 因此，， 所以的面积. 10．（2026·广东深圳宝安中学·联考）已知抛物线：（），过点的直线交于，两点，为坐标原点，当与轴垂直时，. （1）求抛物线的解析式； （2）若，过轴上一点作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且满足，，三点共线. （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）求点的坐标. 【答案】（1）     （2）（ⅰ）或：；（ⅱ）.      【分析】 （1）由抛物线的对称性质可得到，继而得到抛物线方程； （2）设：，，，联立抛物线方程与直线方程，结合韦达定理， （ⅰ）结合题干角的余弦值即可得到直线方程； （ⅱ）结合对称性以及三点共线即可得. (1) 小问详解： 当与轴垂直时，， 则，解得：，即：. (2) 小问详解： （ⅰ）由与抛物线交于，两点知直线斜率不为0， 可设：，，， 联立方程组： ，得到：， 由韦达定理：，， 则，， 因为 ， 代入可知：，解得：， 即：或：； （ⅱ）由对称性，不妨取：，由于，故：， 因为，设，所以：， 联立解得：，同理有：， 所以 ， 由（2）得：，，代入可知：， 故：， 由于，故， 则， 即：，因为， 所以：，联立解得：， 因为，，三点共线，所以在直线上， 代入得：， 解得：，故的坐标为. 考点05 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（25-26学年高三上·广东汕头潮阳区棉城中学·期中）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】（1）     （2）.     （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由 ，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点      【分析】 （1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； (1) 小问详解： 因为，， 所以，故的标准方程为· (2) 小问详解： 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. (3) 小问详解： 略 2．（2026·广东东莞·联考）已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. （1）求的方程； （2）若是的中点，求直线的方程； （3）过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 【答案】（1）     （2）或     （3）根据题意画出图像为： 由① ② 可得，. 由题意可得，，直线的方程为 ， 所以直线过定点.      【分析】 （1）根据焦点坐标和离心率条件，求出椭圆方程. （2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程组，利用韦达定理化简求解直线方程. （3）首先根据题意确定点的坐标，然后设出直线的方程，联立直线与椭圆方程组，利用韦达定理化简求出直线的方程，进而可看出该直线过定点. (1) 小问详解： 由题意可得 解得， 所以的方程为. (2) 小问详解： 依题意画出图像为： 设直线的方程为（因为点在第二象限，所以，即）， 设，. 联立直线与椭圆方程 得. 当时，. 由根与系数的关系知，① ，②. 因为是的中点，所以，结合① 解得. 代入② ，解得（舍去）， 所以直线的方程为，即或. (3) 小问详解： 略 3．（25-26学年高三上·广东仲元中学·期中）已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，，为上两个动点，且，作，垂足为. （i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于、），求面积的最小值. 【答案】（1）；     （2）（i）是定值，定值为；（ii）最小值为.      【分析】 （1）由题目所过点与离心率，结合的关系式，可得答案； （2）（i）分直线的斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，并联立椭圆方程写出韦达定理，利用直线垂直的斜率关系以及点到直线距离公式，可得答案；（ii）根据圆的对称性，分情况求弦长，利用基本不等式，可得答案. (1) 小问详解： ，解得 ，则可得椭圆. (2) 小问详解： （i）是定值，理由如下： 当直线的斜率不存在时，可设方程为，代入椭圆， 可得，易知，解得； 当直线的斜率存在时，可设方程为， 联立 ，消去可得， 由，设， 则， 可得， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，整理可得， 化简可得，解得， 由. （ii）由圆的对称性，则， 由（i）可知： 当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时， ，当且仅当时，等号成立，则， 综上可得，故的最小值为. 4．（25-26学年高三上·广东广州黄埔区·期中）设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. （1）求点轨迹方程. （2）过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 【答案】（1）     （2）是定值，.      【分析】 （1）设，，根据题意易得，，进而得到，由在双曲线上可得，进而求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与曲线Γ的方程，根据韦达定理可得，即，进而求解即可. (1) 小问详解： 设，，由题意可得， 共线，故，① 又共线，故，② 由① ② 两式相乘，得，（*） 因在双曲线上，则，即， 将其代入（*）式，得，即， 即的轨迹方程为. (2) 小问详解： 由题意可设直线的方程为， 联立 ，得. 设，则，即， 则 ，为定值. 考点06 圆锥曲线中的新定义 1．（2026·广东汕头潮阳第一中学·联考）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（       ） A.  B.  C.  D. 5 【答案】B 【分析】 根据题意得到点到定点的距离与到定直线的距离比为，即可得到. 【详解】 因为， 所以， 表示点到定点的距离与到定直线的距离比为， 所以. 故选：B 2．（25-26学年高三上·广东清远第一中学·期中）（多选）平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线是到两定点的距离之积为常数2的点的轨迹，设是曲线上的点，给出下列结论，其中正确的是（     ） A. 曲线关于原点成中心对称 B.  C.  D. 周长的最小值为 【答案】AC 【分析】 由已知可得点满足的方程，代入点满足方程，即可判断A；由，得，可求的最大值，可得，即可判断B；由时，有最大值为1，即可判断C；由，可得时，不能构成三角形，即可判断D. 【详解】 由题意，，则， 即，即， 将代入有成立， 所以曲线C关于原点O成中心对称，A正确； 由，得，设，则， 所以，则当时，有最大值， 所以，所以B错误； 由B可知，当时，有最大值为，所以，所以C正确； 由，当且仅当时等号成立， 周长的最小值为， 而此时，不能构成三角形，即最小值不是，所以D错误. 故选：AC. 3．（25-26学年高三上·广东汕头·期中）在平面直角坐标系中，双曲线． （1）求的两条渐近线的夹角； （2）给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值； （3）对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积． 【答案】（1）．     （2） 当时，最小值为； 当时，最小值为．     （3）4      【分析】 （1）写出渐近线方程即可判断夹角； （2）设，再根据两点间距离公式化简，求解一元二次函数的最值即可； （3）设为好点，则根据好点定义求出，再根据好点定义求出直线与双曲线交于同一支时得出，即时，即可求出，求出四边形面积即可. (1) 小问详解： 渐近线，夹角为． (2) 小问详解： 设，或， 则 ， 当即时，令，最小值为； 当即时，令，最小值为． (3) 小问详解： 设为好点，考虑、需满足的充要条件． 若直线的斜率存在，设直线，， 将与联立，得．（*） 则，，， 而 ， ① 当直线与的左右两支都有公共点，即时， ，当时有最小值． 这说明，； ② 当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时， 需满足的条件为：且（*）式的判别式． 此时可得：． 这说明时，判别式条件不能成立． 即时，． 当时，，解得． 另一方面，当时，． 两边平方后即得． 若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点， 则，则，， 则，显然与好点矛盾； 因此，为好点当且仅当， 于是所有好点对应的区域为， 即由构成的正方形，故所求面积为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $