专题05 椭圆（期中真题汇编，山东专用）高二数学上学期

专题05 椭圆 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．B 2．B 3．B 4．BC 5．A 6．B 7．C 8．D 9．BC 10．B 11．B 12．D 13．B 14．C 15．B 16．B 17．BD 18．C 19．D 20．B 21．AD 22．BCD 23．A 24．B 25．ACD 26．AD 27．ACD 28．D 29．D 30．B 31．BCD 32．C 33．ABD 34．C 35．ABC 36．BCD 37．D 38．ABD 39．B 40．D 41．D 42．ABD 43．A 44．BCD 45．D 46．【答案】 【分析】 利用待定系数法可求椭圆的方程. 【详解】 设椭圆方程为， 由椭圆过点，，故 ，故 ， 故椭圆方程为：. 故答案为：. 47．【答案】30 【分析】 根据定义，再利用求解即可. 【详解】 由椭圆的定义得，， 则，又点在椭圆内部，， 所以， 即，当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为30. 故答案为：30. 48．【答案】 【详解】由方程表示椭圆，得到不等式组 ，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，方程表示椭圆， 则满足 ，解得且， 即实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程及其应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于较易题． 49．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆定义可求长半轴长，再求出短半轴长后可求椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程后求出交点的横坐标，从而可求弦长，再求出左焦点到直线的距离后可求面积. (1) 小问详解： 由题意可知，记. 则， 所以，故，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题设可得直线的斜率为，故其方程为， 由 得，所以，， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积. 50．【答案】 【分析】 借助椭圆定义计算即可得结论. 【详解】 由是的中点，则， 由椭圆定义可得， 则. 故答案为：. 51．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件列式计算得解； （2）联立方程组，由韦达定理将条件式化简得，再根据弦长公式求解. (1) 小问详解： 依题意可得 ， 解得， 所以的方程为. (2) 小问详解： 联立 ，消去得， 则，. 因为经过定点，且点在的内部，所以恒成立. 由， 解得. 所以， 所以. 52．【答案】 【分析】 根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于90°，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及斜率的定义即可求解. 【详解】 连接，如图所示    设则， 由椭圆的定义得 所以 在中，, 所以,即，整理得， 所以， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 53．【答案】18 【详解】 设为其焦点，点为椭圆上一点， 则， ， 当时等号成立，此时两个钉子之间的距离为. 故答案为：18. 54．【答案】（1）.     （2）.      【分析】 （1）由题意得到，再结合椭圆定义即可求解； （2）由题可设直线，直线，依次与椭圆联立求出点A，D即可求出，进而得解. (1) 小问详解： 由题可得圆心，半径为， 因为线段的垂直平分线交于点，所以，    又，所以， 又，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以，所以动点的轨迹的方程为. (2) 小问详解： 由题可得直线的斜率不为0，因为， 故可设直线，直线，， 联立方程得 ，可得，解得或1， 因为点A在x轴上方，所以，即， 所以， 联立方程得 ，可得，解得或， 因为点在x轴上方，所以，即， 所以， 所以. 55．【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由长轴长为，短轴长为2得，直接求出c，写出焦点坐标； （2）设A､B坐标为，用“设而不求法”联立方程组，得到由为锐角，利用，求出实数m的范围. 【详解】 （1）∵椭圆的长轴长为，短轴长为2 ∴ 即可得：， ∴焦点坐标为. （2）设A､B坐标为，椭圆的左焦点F(-1,0), 联立 ，消去x的： ∴ ∴ ∵为锐角，∴，即 ∴ 解得：. ∴实数m的范围 【点睛】 （1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程，可以直接写出焦点坐标； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 56．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据椭圆的定义及焦点三角形的周长可得标准方程； （2）设的直线方程代入椭圆方程，再由根与系数关系及斜率公式可得定值. (1) 小问详解： 因椭圆的两个焦点，，所以， 由的周长等于8，得， 即，得. 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，设直线的方程为，. 将方程代入椭圆方程，得， 化简整理得，， . 所以，同理. 所以， 若，则，代入根与系数关系得， 即，再消去得，得无解， 故. 所以. 故为定值. 57．【答案】13 【分析】 设椭圆左焦点，根据椭圆的定义将转化为，结合图形的几何性质，即可求得答案. 【详解】 由可知 ，， 设椭圆左焦点，则 ， 当且仅当，，共线时且当在的延长线上时等号成立． 的最大值为， 故答案为：. 58．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据等腰直角三角形的定义及椭圆的几何性质，结合椭圆过点的坐标代入方程计算即可得； （2）通过联立直线与椭圆方程，可得两交点横坐标有关韦达定理，然后再表示出、，结合韦达定理计算即可. (1) 小问详解： 由题意可知 ，解得 ， 故椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 设，， 联立 ，消去得， ，解得， ，， 则、， ， 故两直线斜率. 59．【答案】 【分析】 根据题干条件和椭圆定义，求出，在三角形中利用余弦定理得到，将上述等式联立，化简，即可求出的离心率. 【详解】 由椭圆定义可知：， 故， 令， 根据可得：， 故（① ），在三角形中， 由余弦定理得：， 化简得：，将① 代入化简得：， 两侧同时除以得：，解得：， 故答案为：. 60．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由焦点坐标得到，然后由题意得到坐标，然后代入椭圆方程，即可求得，即可写出椭圆方程； （2）设坐标，由题意得，从而建立方程组，记得两点坐标的关系，然后代入椭圆方程消元后得到M的坐标； （3）由（2）可知的坐标，设，使，建立方程后由在圆上得到坐标，由椭圆定义化简得，当R，P，三点共线时取最小值，求出最小值. (1) 小问详解： 由题可知，即， 若，且，则此时轴，即 所以，即，解得，， 所以椭圆C的标准方程. (2) 小问详解： 设，，，， 由题可知，则 ，解得 因为两点M，N在椭圆C上，所以 ，所以 ， 即 ， 解得，，所以M的坐标为. (3) 小问详解： 由题意，设，，使， 即，则， 整理得，        又点Q在圆上，所以 ，解得， 由椭圆定义得， 所以 当三点共线时，， 所以有最小值. 61．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据离心率和焦点坐标即可算出a、b的值，也即求出椭圆的方程； （2）可知定点，再根据P求出过抛物线C的切线方程，结合点到直线的距离以及椭圆的弦长公式即可求得的面积． (1) 小问详解： 由抛物线的方程，得焦点，所以在椭圆中，， 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 由直线的方程，得直线恒过定点， 由题意，得点在抛物线上，设切线的方程为， 由 ，消去，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为， 由 ，消去，整理得， ，所以，， 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． 62．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. (1) 小问详解： 已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立 ，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 63．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用圆与圆的位置关系结合椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆焦点的位置可得出动圆圆心的轨迹方程； （2）设点，则，利用两点间的距离公式求出的取值范围，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. (1) 小问详解： 解：圆的圆心为，半径． 圆的圆心为，半径， ，所以圆内含于圆． 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 从而，，所以，所以点的轨迹方程为． (2) 小问详解： 解：设点，则，则， 则， 所以，，所以， ， . 所以的取值范围为． 64．【答案】 【分析】 根据椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长公式、离心率公式以及椭圆中、、的关系来求解椭圆方程. 【详解】 已知的周长为，可得. 因为离心率，可得. 根据椭圆中. 可得椭圆的方程为. 故答案为：. 65．【答案】 【分析】 根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出的值，然后计算即可得解. 【详解】 设椭圆C的左焦点为，由椭圆定义得， 即（*）， ∵O为线段的中点，N为线段MF的中点， 由中位线的性质得，代入（*）式，解得， 故其离心率. 故答案为：. 【点睛】 本题考查椭圆定义的应用，以及椭圆的简单几何性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 66．【答案】 【分析】 根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】 根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 67．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由椭圆方程求得坐标，设外接圆的圆心为，求得圆心坐标和半径得方程； （2）设，的纵坐标分别为，，，，写出直线方程与椭圆方程联立求得，再由直线相交求得，然后利用面积比求得，得直线方程． 【详解】 解：（1）易知，，. 根据对称性可知外接圆的圆心在轴上，设为， 连接，则有，即， 解得， 设外接圆的半径为，则， ∴外接圆的标准方程是. （2）设，的纵坐标分别为，，，， 则直线的方程为，① 与联立，消去，整理得， ∴. 易知直线的方程为，② ① ②联立可得. 由题易知，∴，从而， ∴，解得或(舍去). 此时直线的方程为，即. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在求解本题第（1）问时，发现三角形的特征是求解的关键；求解第（2）问时，能够根据题意确定出点在点的右侧是一个关键点，另外，能够将两个三角形的面积的比值转化为线段的长度的比值也是关键. 68．【答案】① .5    ② 【分析】 (1)由题意得到关于a,c的等式,然后结合离心率的定义即可确定椭圆的离心率; (2)由题意利用几何关系求得a,b的值即可求得椭圆方程. 【详解】 设椭圆C的长轴长为2a(a>0),则由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1，经过的路程为，从而； 如图示： 延长,交于点F0. 在△中,PH⊥F0F2,由反射角等于入射角，可得：,则且H为中点. 在△中, 则,∴, 所以椭圆方程为. 故答案为：；. 69．【答案】（1）     （2）设、的斜率分别为、，，由（1）可知下顶点为，可得，． 将代入，整理得， 解得或，则， 可得． 将代入可得，解得或， 则，所以． 直线的斜率为， 因此直线方程为， 化简得，于是直线经过定点． 【分析】 （1）依题意可得 ，解得、即可； （2）设、的斜率分别为、，，即可得到，，联立直线与曲线方程求出、点坐标，即可求出直线的方程，从而求出定点坐标. (1) 小问详解： 依题意可得 ，解得 ， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点． （2）动曲线过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 70．【答案】（1）     （2）      （3） 设，，直线的方程为， 联立方程 ，得， 由，得， 则，， 因为直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以， 故为定值. 【分析】 （1）由题意可得 ，解出即可得； （2）借助弦长公式计算可得或，再利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离后结合面积公式计算即可得； （3）设出直线的方程，与椭圆联立后可得与交点横坐标有关一元二次方程，结合韦达定理表示出并计算即可得. (1) 小问详解： 根据题意得到 ，解得 ， 故椭圆的方程为； (2) 小问详解： 因为，解得或， 当时，直线的方程经过点，不符合题意，舍去； 当时，， 点到直线的距离， 故的面积； (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 71．【答案】（1）     （2）（i），（ii）过定点.      【分析】 （1）由焦点坐标和离心率即可求解； （2）（i）设，代入椭圆方程，由点差法求得斜率即可；（ii）联立方程组结合韦达定理得到，再利用得到，最后分类讨论求解定点即可. (1) 小问详解： 由焦点坐标得， 又，得， 所以， 则椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： （i）设， 则和， 两式相减化简可得：， 又，代入可得：， 所以直线的方程为， 即； （ii）① 若直线斜率不存在，根据对称性可知为等腰直角三角形， 得到，此时， 则直线，与椭圆方程联立， 解得，故直线过椭圆左焦点，即， ②若直线斜率存在，如图，设， 联立方程组 ，消去得， 由韦达定理可知， 由已知得，且设， 可以求出直线方程为， 令，得到，， 故，又因为， 故， 代入韦达定理得， 求得，即，得到或， 当时，直线过，此时三点重合，不符合题意； 当时，直线方程为，此时直线AB过定点 综上所述：直线过定点． 72．【答案】（1）     （2）（i）；      【分析】 （1）根据长轴长和离心率可求解出椭圆的标准方程； （2）（i）由对称性，设出点的坐标，求出直线，的斜率即可求证；（ii）由直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，即可表示出直线FH的斜率，利用基本不等式即可求最值． (1) 小问详解： 因为椭圆的长轴长为4，离心率为， 所以，，解得，，， 可得的标准方程为. (2) 小问详解： （i）如图，由对称性设，，，， 则，得， 故，，则，可得为定值； （ii）由， 联立 ， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 又，联立 ， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 所以 ， 由图知，所以，即， 当且仅当，即时取等. 所以直线的斜率k的最小值为． 73．【答案】（1）     （2） 由题解得 ，所以椭圆：， 设，则直线的方程为， 即，记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以，为关于的方程的两根， 所以. 又点在椭圆：上，所以， 所以，为定值.      【分析】 （1）根据“伸缩变换”的定义得到的方程，然后求离心率即可； （2）根据得到的方程，然后设的方程，与的方程联立，根据相切得到，即可得到，为关于的方程的两根，然后利用韦达定理得到，最后将代入即可. (1) 小问详解：    对于椭圆：，所以为， 故椭圆：（）中，， 故， 则椭圆的离心率. (2) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果. 74．【答案】（1）；     （2） 直线过点， ，，， 联立 ，消去，整理得到， 设，则 ， 与y轴交于点E，， ，，， ，， ，， ，， ，， ，， ， 为定值，求定值为；     （3）时，三角形 面积的最大值为1.      【分析】 （1）根据长轴长得到的值，从而得到椭圆方程，利用离心率公式求解即可； （2）将点代入直线得到和，将椭圆和直线联立方程组，消去，整理得到关于的一元二次方程，结合韦达定理计算即可； （3）联立与椭圆，消去，整理得到关于的一元二次方程，结合韦达定理 计算，得到的值，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离求出点到直线的距离，求出，利用基本不等式求最大值. (1) 小问详解： 椭圆I 的长轴长为4，，， 椭圆，， ，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 联立与椭圆， 即 ，消去，整理得到， 设，则 ， ， 在上， ，，，， ， ， 当为定值时，即与无关， 故，解得， 此时 又点到直线的距离， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时， 满足直线与椭圆有两个交点，则三角形 面积的最大值为1. 75．【答案】（1）     （2）2     （3）存在两定点S，T，使为定值.      【分析】 （1）根据题意得到方程，化简后得到轨迹方程； （2）设为的左焦点，由椭圆定义和三点共线转化为直线上找到一点，使得最大； （3）考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，求出点的轨迹方程为椭圆，由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或，使为定值. (1) 小问详解： 由题意得， 两边平方得， 整理得，点的轨迹的方程为； (2) 小问详解： 中，，则，为的右焦点， 设为的左焦点， 连接，则，， 则， 其中当三点共线时，取得最小值， 为到直线：的距离，所以， 所以最大值， 故的最大值为. (3) 小问详解： 存在两定点S，T，使为定值,理由如下： 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立直线与椭圆方程得， ，即， 设，则， 故 ， 故当时，取得最大值，最大值为， 此时，满足， 因为，所以， 故， 故， 令 ，两式相除得，故， 将其代入得，结合得， 化简得， 因为，所以，故，即， 当直线的斜率不存在时，设，则， 则， 不妨设点在第一象限，则当时，取得最大值， 此时的中点坐标为，满足， 故当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆， 两焦点坐标为， 由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或， 使为定值. 76．【答案】（1）     （2）（i）将代入， 消去x并整理，得， ，即， 设，则． 由，可知轴， 所以AF平分等价于， 又， 所以，即， 整理，得， 所以，化简，得， 因为，所以， 将代入，得，结合，解得， 所以m的取值范围是． 又l的方程为，所以l经过定点． （ii）      【分析】 （1）根据焦距得到，再代入点坐标即可得到椭圆方程 （2）（ⅰ）联立椭圆方程得到韦达定理式，再将角平分线转化为，再韦达定理式整体代入化简即可 （ⅱ）四边形FPAQ的面积令，得．所以，即可求解. (1) 小问详解： 设，则 解得 所以C的方程为． (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知， 则四边形FPAQ的面积 令，则； 由，得，解得． 所以， 令，易知在上是减函数， 又，所以当时，， 因此四边形FPAQ的面积的取值范围是． 77．【答案】（1）     （2）     （3） 设，仍设，，设,则， 由 得：，, ，； 由题意：   ① ，   ② ； 由①② ：； 因为， ， 所以③ ； 由①+② ④ ； 由③ ④ 可得：即， 所以，故，故点在定椭圆上.      【分析】 （1）根据轴时及离心率可求基本量，故可求椭圆方程； （2）延长交椭圆于点，由对称性求出后可得； （3）设，、，利用交轨法可求的坐标满足的方程，结合韦达定理消去所设的坐标后可得所在的轨迹方程，从而可判断点在定椭圆上. (1) 小问详解： 当轴时，，故 ， 解得，， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 延长交椭圆于点，由对称性可知，，所以， 而直线的方程为，设，， 由 得， 所以，， 所以. 所以的长为. (3) 小问详解： 略 78．【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由题意可得关于的方程组，解出即可得方程； （2）分和进行讨论，当时，可设直线的方程为即，联立直线与椭圆方程可得一元二次方程，算出，算出到直线的距离和弦长，利用面积公式即可 【详解】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）显然，直线的斜率存在， ①当时，可设直线的方程为由可设， 则，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为； ②当时，可设直线的方程为即，， 联立，消去整理得， 由，得（*）， 则有， 于是可得的中点为即， 因为，所以，化简得，结合（*）可得解得， 又到直线的距离为 所以， 即， 所以，当时，取最大值， 此时由可得，直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 79．【答案】（1）     （2）① ；②      【分析】 （1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）① 设，分和两种情况讨论，当时，可直接求得或，当时，的垂直平分线方程为：，联立直线与椭圆方程，结合条件，利用直线与椭圆的位置关系，得，化简即可求解；② 利用恰为圆心，利用圆的性质有，再求出的范围，即可求解. (1) 小问详解： 由题可知， ，解得，， 又，所以椭圆方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，设，则的中点为， ① 当时，的垂直平分线方程为， 此时，则或；即或 当时，的垂直平分线方程为：， 由 ，消得， ， 整理得， 因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点， 则， 即， 整理得， 即， 因为，所以， 而，也满足该式， 故点的方程为，即． ② 由① 知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点， 又易知点在圆内，则， 又由椭圆的性质知，，得到， 故所求线段MQ长度的取值范围是 80．【答案】（1）；（2）存在直线，的内切圆的面积最大值为. 【分析】 （1）选① 离心率，得到方程组 ，解之即可求出结果； 选② 椭圆过点，得到方程组 ，解之即可求出结果； 选③ 先分析出面积的最大时，点为椭圆得上顶点或者下顶点，得 ，解之即可求出结果； （2）根据题意分析出当最大时，也最大，内切圆的面积也最大，因此只需要求出的最大面积，设出直线方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出的面积，换元法结合导数求出函数的最值，进而求出结果. 【详解】 解：（1）选① 离心率， 依题意 ，解得 ， 所以椭圆的方程为; 选② 椭圆过点， 依题意 ，解得 ，所以椭圆的方程为; 选③为椭圆上一点，面积的最大值为，由于面积的最大时，点为椭圆得上顶点或者下顶点，所以 ，解得 ，所以椭圆的方程为; （2）设内切圆的半径为，则的面积 ， 当最大时，也最大，内切圆的面积也最大， 设，，，，，， 则， 显然直线得斜率不为0，所以设直线的方程为 由 ，得， ， ，， ，所以， 令，则，且， 有，因为 令， 当时，，则在，上单调递增，有， ，即当，时，有最大值3，得， 这时所求内切圆的面积为， 所以存在直线，的内切圆的面积最大值为. 【点睛】 （1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 81．【答案】（1）     （2）     （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值．      【分析】 （1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． (1) 小问详解： 由椭圆过点，焦距为， 得 ，解得 ， 故椭圆的方程为． (2) 小问详解： 设直线的方程为，，， 联立 ，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 82．【答案】（1）     （2） ① 设直线的方程为，， 由 ，消去并化简得， 则， ，则， 所以 . ②      【分析】 （1）根据已知条件求得，从而求得的方程. （2）① 设出直线的方程并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简求得为定值. ② 先求得的表达式，利用换元法，结合函数的单调性来求得的取值范围. (1) 小问详解： 依题意， ，解得， 所以的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以， 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以， 令，则， 所以， 函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以，即， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】 思路点睛： 利用已知条件求椭圆方程：首先利用短轴长和离心率，通过焦距和半长轴长度，得出椭圆的标准方程，这是确定椭圆方程的基础. 结合根与系数关系证明斜率的定值：设定直线的方程，结合椭圆方程，通过根与系数关系证明斜率的定值，这是确保直线和椭圆之间关系的有效方法. 利用函数单调性求取值范围：通过设定面积的函数表达式，结合椭圆的对称性和函数的单调性，得出面积的取值范围. 83．【答案】（1）     （2）2     （3）      【分析】 （1）由题干所给信息，分析出点P轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，建立合适的坐标系，即可得出点的轨迹方程； （2）由几何关系，找到以及所在的三角形，结合直角三角形求解即可； （3）等体积转化，先由割补法求出三角形的面积最大值，再设直线与椭圆联立，由韦达定理求出到平面的距离之和的最大值，即可求三棱锥体积最大值. (1) 小问详解： 由题意，取与交点为，则， 过点作竖直线交两球于两点，则与两球相切， 由于过球外一点作球的任意一条切线，切线长都相等，则， 则， 则点P轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，即， 在平面内，建立如图平面直角坐标系， 则点的轨迹方程为：. (2) 小问详解： 由题意，，，， 则，. (3) 小问详解： 如图，作，可得平面， 则. 设，， 则，， 则， 则当时，最大为. 由于不与重合，则设直线方程为，， 联立 得， ， ， 当且仅当时等号成立， 则. 84．【答案】（1） ① 由椭圆定义可知， 所以的周长，所以， 因为离心率为，故，解得， 则，由题意，椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆方程为， 直线，即， 联立得，解得或， 当时，，当时，， 因为点A在x轴上方，所以， 故⊥，折叠后有⊥， 因为二面角为直二面角，即平面⊥，交线为， 平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； ②     （2） 存在，      【分析】 （1）① 根据椭圆定义得到，结合离心率得到，求出，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆，得到，得到⊥，结合二面角为直二面角，得到线面垂直，证明出结论； ② 建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值； （2）设折叠前，折叠后对应的，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据折叠前后的周长关系得到，变形得到，代入两根之和，两根之积，求出，进而求出的值. (1) 小问详解： ① 略. ② 以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，建立空间直角坐标系，    则， ， 其中平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则 ， 令得，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为； (2) 小问详解： 设折叠前，折叠后对应的， 设直线方程为， 将直线与椭圆方程联立得，， 则， 在折叠前可知， 折叠后，在空间直角坐标系中，，， 由，， 故， 所以① ， 分子有理化得， 所以② ， 由① ② 得， 因为 ， 故， 即， 将代入上式得 ， 两边平方后，整理得， 即，解得， 因为，所以. 【点睛】 出题非常新颖，将立体几何和解析几何结合，考查学生的综合能力，在解决图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用平面几何知识或建立空间直角坐标系进行求解. 85．【答案】（1）     （2）     （3）为定值，证明如下： 如图，作出符合题意的图形， 由题设，切线的斜率必定存在，设斜率为，得到切线方程为， 联立方程组 ， 得到， 因为直线与椭圆相切，所以， 可得， 化简得， 设过的两条切线的斜率分别为， 因为的轨迹方程为，所以解得， 由韦达定理得.      【分析】 （1）利用椭圆的性质并结合题意建立方程，求出基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）结合题意，设出点的坐标，利用得到，利用得到，再将两式相加即可. （3）设出切线方程并联立方程组得到，再结合判别式得到，最后利用韦达定理求解即可. (1) 小问详解： 因为椭圆的短轴长为2，离心率为，所以，， 由椭圆的性质得，且，解得，， 则椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设， 而关于原点对称，则，可得，， 因为，所以 ，解得， 可得，因为在椭圆上，所以其坐标满足， 则，化简得， 而，， 因为，所以 ， 解得，则， 因为在椭圆上，所以其坐标满足， 则，化简得， 两式相加可得，即. (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆 1大高频考点概览 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）方程表示椭圆，则的取值范围是（     ） A.  B. 或 C.  D.  2．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆，则椭圆的短轴长为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 3．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（     ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 4．（25-26学年高二上·山东日照·期中）（多选）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（       ） A. 若为椭圆，则 B. 若为双曲线，则或 C. 曲线可能是圆 D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则 5．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（     ） A.  B. 0 C.  D.  7．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若，则椭圆C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆，若的离心率为，则（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）（多选）若分别是椭圆的左､右焦点，是上的动点，则（       ） A. 椭圆的长轴长为 B. 最大值为 C. 椭圆的焦距为2 D. 存在点，使得 10．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的动点（点不在坐标轴上），则的周长为（       ） A.  B. 6 C.  D. 3 12．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则的斜率为（       ） A.  B.  C.  D. 1 13．（25-26学年高二上·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知椭圆，其左右焦点分别为，点P是椭圆E上任意一点，则的周长为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 15．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（        ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 18．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，分别为左､右､上､下顶点，，分别为左､右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是（       ） A.  B.  C. 轴，且 D. 四边形的一个内角为 21．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）（多选）关于曲线的以下描述，正确的是（       ） A. 该曲线的范围为：， B. 该曲线既关于轴对称，也关于轴对称 C. 该曲线与直线有两个公共点 D. 该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为1 22．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）（多选）点是椭圆上任意一点，、是椭圆的左、右焦点，为原点，则（   ） A. 的周长为 B. 当时，面积为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 23．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（       ） A.  B. 5 C.  D.  25．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，的延长线交于点，且，则（     ） A. 的离心率为 B. 直线的斜率为 C. 为等腰三角形 D.  26．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（       ） A.  B.  C. 7 D.  27．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（     ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 28．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知椭圆：（），过的右焦点作直线交椭圆于，两点，若中点坐标为，则椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）已知椭圆C：的左焦点为，过原点的直线l与C交于A，B（A在第一象限）两点，P为C上异于A，B的一点，，当轴时，，，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 30．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，E上两动点M，N均位于x轴上方，且，若与的交点在y轴上，且纵坐标为，则椭圆E的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）（多选）已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 焦距为2 B. 椭圆的标准方程为 C.  D. 的最大值为 32．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中不正确的是（     ） A.  B.  C. 椭圆的离心率为 D. 是椭圆的一个焦点 33．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）已知椭圆的上下焦点分别为，左右顶点分别为为坐标原点，为线段上一点，直线垂直平分线段且交椭圆于两点，则下列说法中正确的有（       ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 以点为圆心，为半径的圆与椭圆恰有三个公共点 D. 若直线的斜率分别为，则 34．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为 A. 18，24 B. 16，22 C. 24，28 D. 20，26 35．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）（多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（     ） A. 存在使得 B. 的最小值为 C. ，则的面积为9 D. 直线与直线斜率乘积为定值 36．（25-26学年·山东德州九校·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（       ） A. 的面积最大值为 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 D. 椭圆上存在点，使得 37．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆的焦点为，，为椭圆上的任意一点，为椭圆的蒙日圆的半径．若的最小值为，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）（多选）已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（     ） A.  B. 的最大面积为 C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是 39．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（   ） A. 5 B. 5 C.  D. 4 40．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与的另一个交点为，过与垂直的直线与交于，两点，若，，则（       ） A.  B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程为 D. 的周长为13 43．（25-26学年高二上·山东日照·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  44．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）（多选）已知分别为椭圆的左､右焦点，下列说法正确的是（       ） A. 若点的坐标为是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为 B. 若椭圆上恰有4个不同的点，使得为直角，则椭圆的离心率取值范围是 C. 若圆的方程为，椭圆上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若点，椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围是 45．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  46．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为　　　　　. 47．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是　　　　　　． 48．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是　　　　　　. 49．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 50．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，是的中点，若，则　　　　　　　　　　　． 51．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知是椭圆的左顶点，且经过点. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，且，求弦的长. 52．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为　　　　　　　　　　 53．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）取两颗小钉子并钉在一张平板上（平板上垫有纸），将一条绳子两端固定在这两只钉子上，且绳长为12，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖顺势在平板上移动一圈，则笔尖在纸上画出的图形是一个椭圆.在上述实验中，笔尖与两个钉子所围成的三角形的面积的最大值是　　　　　　　　. 54．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）分别过，作平行直线，，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方.若，求的值. 55．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的长轴长为，短轴长为2. （1）求椭圆C的焦点坐标； （2）直线与椭圆C相交于A､B两点，点F为椭圆C的左焦点，若为锐角，求实数m的取值范围. 56．（25-26学年高二上·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值. 57．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）已知椭圆的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，点坐标是，则的最大值是　　　　　　. 58．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是等腰直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线：与椭圆交于、. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，求两直线斜率的值. 59．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，若，且，则的离心率为　　　　　　． 60．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求的坐标； （3）椭圆上的任意一点及（2）中的点，点在圆上，求的最小值. 61．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 62．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 63．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）已知动圆与圆外切，与圆内切． （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）求的取值范围． 64．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过的直线交于，两点，且的周长为16，则椭圆的方程为　　　　　　　　． 65．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）已知椭圆的右焦点为F，点M在C上，点N为线段MF的中点，点O为坐标原点，若，则C的离心率为　　　　　　　　. 66．（25-26学年·山东德州九校·期中）设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则　　　　　　　． 67．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）已知椭圆：的右顶点为，上､下顶点分别是，. （1）求外接圆的标准方程. （2）若点是椭圆第一象限上的点，直线与轴的交点为，直线与直线的交点为.若与的面积的比值为，求直线的方程. 68．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题： （1）椭圆C的离心率为　　　　　　　　　　． （2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为　　　　　　　　　　． 69．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 70．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：过点，离心率为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且，均不与轴垂直． （1）求椭圆的方程； （2）若，为椭圆的上顶点，求的面积； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 71．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为． （1）求出椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点． （i）当线段的中点坐标为时，求直线的方程． （ii）若直线分别与轴交于两点，且，试探究此时直线是否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由． 72．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）如图，椭圆的长轴长为4，离心率为.    （1）求的标准方程； （2）矩形的顶点，在轴上，，在上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，与轴交于点，与的另一个交点为.设直线，的斜率分别为，. （i）求的值； （ii）求直线的斜率的最小值. 73．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆：，椭圆：（）是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线. （1）求椭圆的离心率； （2）设为上异于其左、右顶点，的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值. 74．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）已知椭圆I 的长轴长为4，左，右焦点分别为，，直线与椭圆Γ交于M、N两点， (点M在点N的上方)， 与y轴交于点E. （1）求椭圆Γ的离心率； （2）若直线l过点时， 设 求证：为定值，并求出该值； （3）当为何值时， 恒为定值，并求此时三角形 面积的最大值. 75．（25-26学年高二上·山东日照·期中）已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为. （1）求点的轨迹的方程； （2）已知直线的方程为，直线上有一动点，求的最大值； （3）若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，，使为定值?若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由. 76．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知椭圆的焦距为2，点在C上，F是C的右焦点． （1）求C的方程； （2）如果直线与C相交于P，Q两点，且射线FA平分． （ⅰ）求m的取值范围，并证明l过定点； （ⅱ）求四边形FPAQ的面积S的取值范围． 77．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为.设，是椭圆上位于轴同侧的两点，且直线与直线平行，与交于点，当轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求的长度； （3）证明：点在定椭圆上. 78．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，直线l与椭圆C交于两点，且，当（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程． 79．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3． （1）求的方程； （2）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点 ①求动点的轨迹方程； ②求线段的长度的取值范围． 80．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）在①离心率，②椭圆过点，③为椭圆上一点，面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.设椭圆的左、右焦点分别为、，已知椭圆的短轴长为，______. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线交椭圆于、两点，请问的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由. 81．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 82．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.    ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 83．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．已知过球外一点作球的任意一条切线，切线长都相等． 如图一所示，将两个大小相同半径为2的球嵌入高为10的圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，平面经过球心为球与圆柱的切点，球与平面的切点分别为，直线与直线、分别交于两点，若点为截线上任一点． （1）求点的轨迹方程； （2）求的值： （3）把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”． 如图二，由（1）中所截椭圆为底面椭圆柱，为轴截面，母线长为6，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合），求三棱锥体积的最大值． 84．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，．    （1）当时， ①求证：； ②求平面和平面所成角的余弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 85．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，. （1）求椭圆的方程； （2）求动点的轨迹方程； （3）过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆 1大高频考点概览 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）方程表示椭圆，则的取值范围是（     ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】B 【分析】 根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】 由于方程表示椭圆， 所以 ，解得或. 故选：B 2．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆，则椭圆的短轴长为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 根据椭圆标准方程直接求解即可. 【详解】 由题意，椭圆,, 所以,故短轴长为. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（     ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 【答案】B 【分析】 根据条件，得，即可求解. 【详解】 由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 4．（25-26学年高二上·山东日照·期中）（多选）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（       ） A. 若为椭圆，则 B. 若为双曲线，则或 C. 曲线可能是圆 D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则 【答案】BC 【分析】 分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可 【详解】 若为椭圆，则 ，且 ，故A错误 若为双曲线，则 ， ，故B正确 若为圆，则 ， ，故C正确 若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误 故选：BC 5．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据长轴以及离心率即可求解. 【详解】 由长轴长为4，可得，又离心率为，即， 解得，故， 所以椭圆方程为， 故选：A 6．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是上的一点，的面积为，则点的横坐标是（     ） A.  B. 0 C.  D.  【答案】B 【分析】 利用三角形面积公式并结合点在椭圆上建立方程组，求解参数即可. 【详解】 由题意得，则，设， 因为的面积为，所以，解得，即 可得，解得，则点的横坐标是，故B正确. 故选：B 7．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若，则椭圆C的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】由题可得，即可得出离心率. 【详解】 设长轴为，焦距为， 由题意有，得. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆，若的离心率为，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由离心率公式和的关系即可计算求解. 【详解】 由题得的离心率， 所以. 故选：D 9．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）（多选）若分别是椭圆的左､右焦点，是上的动点，则（       ） A. 椭圆的长轴长为 B. 最大值为 C. 椭圆的焦距为2 D. 存在点，使得 【答案】BC 【分析】 利用椭圆的几何性质可对A、C判断求解；当点位于右顶点处时可得为最大值，即可对B判断求解；当点位于椭圆的上下顶点时最大，此时，则可对D求解. 【详解】 A：由题知，则，故A错误； B：由题可得，当点位于右顶点处时可得的最大值，此时，故B正确； C：因为，所以焦距为，故C正确； D：假设存在点，使得，则，当点位于椭圆的上下顶点时最大， 此时不妨设，因，，所以，，则，则最大时为锐角，所以不存在，故D错误； 故选：BC. 10．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 由题可知，记， ，， 中，由余弦定理得，又， ， . 故选：B. 11．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的动点（点不在坐标轴上），则的周长为（       ） A.  B. 6 C.  D. 3 【答案】B 【分析】 利用椭圆的定义及标准方程即可得出结果. 【详解】 由题可得，所以， 由，所以则的周长为，故B正确. 故选：B. 12．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则的斜率为（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】D 【分析】 设，，利用设而不求点差法求解中点弦斜率. 【详解】 设，，因为A，B两点在椭圆上， 所以有 ，两式相减可得， 即， 因为点是线段AB的中点， 根据中点坐标公式可得 ，即，． 代入，可得， 而就是直线的斜率k，所以直线的斜率为． 因为，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，满足条件， 故选：D 13．（25-26学年高二上·山东德州·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为45°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求得直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】 在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 14．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知椭圆，其左右焦点分别为，点P是椭圆E上任意一点，则的周长为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】 根据椭圆的定义进行求解即可. 【详解】 由题意，根据椭圆的定义可知 ，. 所以的周长为. 因为椭圆方程为，所以. 所以的周长为. 故选：C. 15．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】 因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以 ，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 16．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得． 【详解】 因为为的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 17．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（        ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【分析】 根据椭圆方程标准形式可判断A，根据椭圆定义可判断B，根据焦半径范围判断C，根据基本不等式可判断D即可. 【详解】 由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 18．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】 圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 19．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据条件得,再利用正弦定理得关系，即得离心率. 【详解】 因为为等腰三角形，，所以, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 20．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，分别为左､右､上､下顶点，，分别为左､右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是（       ） A.  B.  C. 轴，且 D. 四边形的一个内角为 【答案】B 【详解】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B；根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的一个内角为,即即三角形是等边三角形，得到，结合离心率公式判断D. 【详解】 ∵椭圆 ∴ 对于A，若，则，∴，∴，不满足条件，故A不符合条件； 对于B，，∴ ∴，∴ ∴，解得或（舍去），故B符合条件； 对于C，轴，且，∴ ∵ ∴，解得 ∵，∴ ∴，不满足题意，故C不符合条件； 对于D，四边形的一个内角为,即 即三角形是等边三角形，∴ ∴，解得∴，故D不符合条件． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了求椭圆离心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的应用，充分利用建立的等式是解题关键. 21．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）（多选）关于曲线的以下描述，正确的是（       ） A. 该曲线的范围为：， B. 该曲线既关于轴对称，也关于轴对称 C. 该曲线与直线有两个公共点 D. 该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为1 【答案】AD 【分析】 由题意曲线是焦点在y轴，对称轴是坐标轴的椭圆的右半部分和曲线是焦点在y轴，对称轴是坐标轴的双曲线的左半部分，画出图形，结合图形可得答案. 【详解】 由题意，当时，曲线方程可以化为，即为焦点在y轴，对称轴是坐标轴的椭圆的右半部分和y轴正半轴上的两个点，当时，曲线方程可以化为，即为焦点在y轴，对称轴是坐标轴的双曲线的左半部分，如图    该曲线的范围为：，，所以 A正确； 由图可知，该曲线关于轴对称，不关于轴对称，所以B错误； 曲线的渐近线方程是，所以是双曲线的一条渐近线，所以与双曲线无交点，与椭圆有一个交点，所以C错误； 由图可知，曲线上到原点距离最小的点在椭圆部分，设是椭圆部分上的点， 则，即求的最小值，所以，所以当 时，最小，此时，即点到原点的距离最小，最小值为1 ，所以D正确. 故选：AD . 【点睛】 本题考查了椭圆和双曲线的性质，关键点是画出曲线表示的图形，考查了数形结合思想、转化的思想及计算能力. 22．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）（多选）点是椭圆上任意一点，、是椭圆的左、右焦点，为原点，则（   ） A. 的周长为 B. 当时，面积为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【分析】 利用椭圆的方程和椭圆的定义结合性质逐一考查每个选项即可. 【详解】 对于椭圆，，，则， 设，则，且， 对于A选项，的周长为，A错； 对于B选项， ， 所以，故，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项， ， ， 故的最小值为，D对. 故选：BCD. 23．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作出符合题意的图形，利用椭圆的定义建立齐次方程，进而求解离心率即可. 【详解】 如图，作出符合题意的图形，找到椭圆的右焦点，连接，    由椭圆的对称性可得四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是矩形，可得， 因为，所以，则是等边三角形， 由矩形性质得，由等边三角形性质得，， 结合题意可得，由椭圆的定义得， 可得，化简得，故A正确. 故选：A 24．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（       ） A.  B. 5 C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】 由题意，椭圆的左焦点为， 由椭圆定义可得，所以， 因为,故在椭圆内， 所以， 当三点共线时，等号成立. 故选：B 25．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，的延长线交于点，且，则（     ） A. 的离心率为 B. 直线的斜率为 C. 为等腰三角形 D.  【答案】ACD 【分析】 根据椭圆的定义、的关系及余弦定理对选项逐一分析即可. 【详解】 对于C：，，则， 所以， 所以为等腰三角形，故C正确； 对于A：， 所以，解得， 所以，所以，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于D：，所以， 所以，所以，故D正确.    故选：. 26．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（       ） A.  B.  C. 7 D.  【答案】AD 【分析】 根据椭圆定义，可得，，分别讨论、和三种情况，求得各个长度，代入面积公式，即可得答案. 【详解】 设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以的面积为. 同理，当时，的面积为. 故选：AD. 27．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（     ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【分析】 由椭圆的定义，得到，结合基本不等式，可判定A正确；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C正确；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】 由椭圆，可得，则， 对于A，点是椭圆上一点，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确； 对于C，取椭圆的上顶点，且， 可得，则， 所以椭圆存在点，使得，所以C正确； 对于D中，由椭圆，可得，且， 设，其中，则， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 28．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知椭圆：（），过的右焦点作直线交椭圆于，两点，若中点坐标为，则椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程. 【详解】 设，的中点，则直线的斜率， 由 两式相减得，即， 而，，因此，又， 解得，所以椭圆的方程为：. 故选：D 29．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）已知椭圆C：的左焦点为，过原点的直线l与C交于A，B（A在第一象限）两点，P为C上异于A，B的一点，，当轴时，，，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 根据已知条件求得，，即得椭圆方程，设，则，且，进而求出点坐标，应用两点式求线段长度，即可得. 【详解】 若直线过原点且与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，此时， 由P为椭圆C上一点，设，则，轴时， 则，，故椭圆C为，， 设，则①， 因为直线l过原点即直线AB过原点O， 根据椭圆的对称性且，则有，即②， 由① ②得，，，即， 因为A，B两点关于原点对称，所以， 所以，，故. 故选：D 30．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，E上两动点M，N均位于x轴上方，且，若与的交点在y轴上，且纵坐标为，则椭圆E的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先根据题意知道得到，再根据相似三角形得到，借助离心率公式计算即可. 【详解】 如图，由于，与的交点在y轴上，结合椭圆的对称性， 知道则，代入， 求得，求得，故. 设与的交点在y轴上，为. 显然,,代入. 即，化简得，，即. 故选：B. 31．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）（多选）已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（       ） A. 焦距为2 B. 椭圆的标准方程为 C.  D. 的最大值为 【答案】BCD 【分析】 首先根据条件先求椭圆的方程，再判断选项，D选项利用椭圆的定义，将距离的和转化为距离差的最大值，利用数形结合，即可判断. 【详解】 由条件可知， ，得， 所以椭圆的焦距，椭圆的标准方程为，故A错误，B正确； ，，，故C正确； ，当点三点共线，且点在之间时，等号成立，故D正确. 故选：BCD 32．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中不正确的是（     ） A.  B.  C. 椭圆的离心率为 D. 是椭圆的一个焦点 【答案】C 【分析】 根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可求得，再由椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】 椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：， 设点在该椭圆上，则其关于的对称点代入椭圆方程有，即，则该对称点位于椭圆方程上， 同理可得其关于的对称点代入椭圆方程有 ，即，则该对称点位于椭圆方程上， 所以关于直线，所以，故A正确； 将代入，可得，所以， 所以椭圆长轴的顶点为，所以，故B正确； 将将代入，可得，所以， 所以椭圆短轴的顶点为，所以， 所以，所以，故C不正确； 焦点在，结合，可得焦点坐标为，故D正确. 故选：C. 33．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）已知椭圆的上下焦点分别为，左右顶点分别为为坐标原点，为线段上一点，直线垂直平分线段且交椭圆于两点，则下列说法中正确的有（       ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为 C. 以点为圆心，为半径的圆与椭圆恰有三个公共点 D. 若直线的斜率分别为，则 【答案】ABD 【分析】 根据垂直平分线的性质，结合离心率的公式即可求解A，根据椭圆的定义，即可求解C，根据两点距离公式，结合二次函数的性质求解的最值，根据即可求解C，根据，结合点斜式求解直线方程得，即可得直线的方程，将代入即可求D. 【详解】 由题知：，即，故A正确； 由题知：， 与的周长相等 又， 故的周长为，即的周长为，故B正确； 由可得，故，则， 设为椭圆上的任意一点，则 ， 当时，，即， 以点为圆心，为半径的圆与椭圆恰有一个公共点，故C错； 设直线的斜率为，易知：； 直线的方程为：，直线的方程为： 点的坐标满足方程： 即 又点椭圆上，点的坐标满足 代入上式可得： 即为直线的方程， 将代入得：，又，所以. 故D正确， 故选:ABD 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用． 34．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为 A. 18，24 B. 16，22 C. 24，28 D. 20，26 【答案】C 【分析】根据圆心恰好是椭圆的两个焦点，由圆心的距离及椭圆的定义即可求得最大值与最小值． 【详解】椭圆的两个焦点坐标为，且恰好为两个圆的圆心坐标为 所以，两个圆的半径相等且等于1 所以 所以选C 【点睛】本题考查了椭圆的定义及性质的简单应用，圆中最大值与最小值的求法，属于中档题． 35．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）（多选）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（     ） A. 存在使得 B. 的最小值为 C. ，则的面积为9 D. 直线与直线斜率乘积为定值 【答案】ABC 【分析】 设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D. 【详解】 解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，， 所以，，，，， 对于A选项，由于，， 所以的最大角为钝角，故存在P使得，A正确； 对于B选项，记，则， 由余弦定理： ，当且仅当时取“=”，B正确； 对于C选项，由于，故 ， 所以，C正确； 对于D选项，设，则，，于是，D错误. 故选：ABC 36．（25-26学年·山东德州九校·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为，离心率为，是椭圆上异于长轴端点的一动点，点与点关于原点对称，则（       ） A. 的面积最大值为 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆经过两点，则点的轨迹方程为 D. 椭圆上存在点，使得 【答案】BCD 【分析】 A列关系式，求椭圆方程，当点位于短轴顶点时，的面积最大；B证明四边形为平行四边形，再结合基本不等式可求；C设过点的圆的一般方程，将三点坐标代入求出圆方程，利用关于圆心对称，求出点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D当点位于短轴顶点时符合题意. 【详解】 由题意可知，，，，解得， 则，，, 当点位于短轴顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则， 因，则 , 等号成立时，故B正确； 设过点的圆的方程为， 设，且，，， 则，，， 得，， 则过点的圆的方程为，圆心， 因为圆的直径，则关于点对称，则， 令，则， 因，则， 因，则点的轨迹方程为，C正确； 当点位于短轴顶点时，此时为等边三角形，，故D正确. 故选：BCD 37．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆的焦点为，，为椭圆上的任意一点，为椭圆的蒙日圆的半径．若的最小值为，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据椭圆的性质分析可得蒙日圆的圆心为坐标原点，半径，设，根据平面向量的坐标运算可得，进而可得，代入运算即可得离心率. 【详解】 设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为， 不妨设椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，显然均为椭圆的切线， 即均在蒙日圆上， 根据对称性分析可得：蒙日圆的圆心为坐标原点，半径， 设椭圆方程为，椭圆上任一点， ∵，则， 可得 ， 注意到， 故，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为，故， 整理得，即， 整理得，即. 故选：D. 38．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）（多选）已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（     ） A.  B. 的最大面积为 C. 存在点P，使得 D. 的周长最大值是 【答案】ABD 【分析】 设，表示出和，利用椭圆方程化简即可判断AC；结合图形求解可判断B；利用椭圆定义将的周长转化为，结合图形求解可判断D. 【详解】 对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确. 故选：ABD 39．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（   ） A. 5 B. 5 C.  D. 4 【答案】B 【分析】 根据椭圆的定义可得，然后化简，要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据圆外一点到圆上一点距离的最大值即可得到结果. 【详解】 根据椭圆方程可得：， 所以， 故点为椭圆的焦点，设另一个焦点为， 设圆的圆心为，其半径为， 所以，所以， 要求的最大值，即求的最大值， 因为，所以当三点共线时，的值最大为，而的最大值为， 所以的最大值为. 故选：B. 40．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】 连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 41．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 点代入半圆上的点，求出的值，写出的坐标，当的面积最大时，点为与直线平行的直线且此直线与半圆相切于第四象限的切点，求出，设与直线平行的直线且与半圆相切的直线方程为，求出圆心为到的距离为，与半圆相切，得到，得到关于的一个方程，当点的坐标为时，的面积最大，得到在上，将点代入，得到关于的另一个方程，这两个的方程联立方程组求解即可. 【详解】 是半圆上的点， ，，，， 半椭圆（，交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点， ， 当的面积最大时， 点为与直线平行的直线且此直线与半圆相切于第四象限的切点， ， 设与直线平行的直线且与半圆相切的直线方程为， 半圆的圆心为，半径为， 圆心为到的距离为， 与半圆相切， ，，，， 当点的坐标为时，的面积最大， 在上，，， 联立 ，解得，半椭圆方程为， . 故选：D. 42．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与的另一个交点为，过与垂直的直线与交于，两点，若，，则（       ） A.  B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的方程为 D. 的周长为13 【答案】ABD 【分析】 对A：结合椭圆定义与余弦定理计算即可得；对B：利用余弦定理可得，再利用等边三角形性质离心率定义计算即可得；对C：联立直线与曲线方程，结合弦长公式计算即可得；对D：由题可得为等边三角形，则为线段的垂直平分线，再利用焦点三角形周长公式计算即可得. 【详解】 如图： 对A：，设，则， 所以， 化简得，即，则，故A正确； 对B：由，则，， 则，则， 所以为等边三角形，所以，故B正确； 对C：由，故，又，则， 由，则、，故椭圆， ，消去得， 令、，则，， 则， 整理得，即，故，故C错误； 对D：因为，为等边三角形， 故为线段的垂直平分线， 所以的周长为， 故D正确. 故选：ABD 43．（25-26学年高二上·山东日照·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出，结合勾股定理可得出关于的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值. 【详解】 设的内切圆分别切该三角形三边于点，如图所示. 由切线长定理可得，，. 则， 由可知，四边形为正方形，且其边长为. 由对称性可知，由椭圆定义可得① ， 又因为，所以② ， 联立① ② 可得，. 由勾股定理可得，即， 整理可得，即，即，整理可得，因此，. 故选：A 44．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）（多选）已知分别为椭圆的左､右焦点，下列说法正确的是（       ） A. 若点的坐标为是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为 B. 若椭圆上恰有4个不同的点，使得为直角，则椭圆的离心率取值范围是 C. 若圆的方程为，椭圆上存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若点，椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】BCD 【分析】 对A，设出，，且，表达出，分与两种情况，得到不同情况下的线段长度的最小值；对B，问题转化为当点为短轴顶点时，即可，运算得解；对C，分与两种情况，第一种情况成立，第二种情况下得到点与上顶点或下顶点重合时，最大，数形结合列出不等式，最终求出离心率的取值范围；对D，设，，，且，表达出，问题转化为在上有解，数形结合得到 ，求出离心率的取值范围. 【详解】 对于A，设，，且， ， 当时，，则，此时当时，取得最小值，最小值为，线段PT长度的最小值为； 当时，此时，则，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为. 综上，故A错误； 对于B，要使得椭圆上恰有4个不同的点，使得为直角，即当点为短轴顶点时，即可， 此时，即椭圆的离心率，故B正确； 对于C，若，此时与椭圆有公共点，故存在点，过作圆的两条切线，切点分别为，使得， 此时，即； 若，即时，如图， 连接，，显然，，则， 因为在上单调递增，要想最大，只需最大， 故当最小时，满足要求，故点与上顶点或下顶点重合时，最大， 故当时满足要求，所以， 即，所以，解得，所以， 综上，椭圆的离心率的取值范围是，故C正确； 对于D，设，，，且， 则 ， 椭圆上存在点使得，即在上有解， 即在上有解， 令，注意，， 故只需 ，解得， 所以椭圆的离心率的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 45．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用向量共线、类似点差法建立等量关系式，由直线垂直斜率的关系求出直线l的斜率. 【详解】 设，而， 因为，故， 即， 所以 ，则 ， 又都在椭圆上， 故① ，且， 即② ， ① ② 两式相减并化简得：， 即③ ， 同理可得：④ ， ④ －③ 得：， 所以， 因为，所以直线l的斜率为. 故选：D 【点睛】 直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷. 46．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为　　　　　. 【答案】 【分析】 利用待定系数法可求椭圆的方程. 【详解】 设椭圆方程为， 由椭圆过点，，故 ，故 ， 故椭圆方程为：. 故答案为：. 47．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是　　　　　　． 【答案】30 【分析】 根据定义，再利用求解即可. 【详解】 由椭圆的定义得，， 则，又点在椭圆内部，， 所以， 即，当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为30. 故答案为：30. 48．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【详解】由方程表示椭圆，得到不等式组 ，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，方程表示椭圆， 则满足 ，解得且， 即实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程及其应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于较易题． 49．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆定义可求长半轴长，再求出短半轴长后可求椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程后求出交点的横坐标，从而可求弦长，再求出左焦点到直线的距离后可求面积. (1) 小问详解： 由题意可知，记. 则， 所以，故，所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由题设可得直线的斜率为，故其方程为， 由 得，所以，， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积. 50．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，是的中点，若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 借助椭圆定义计算即可得结论. 【详解】 由是的中点，则， 由椭圆定义可得， 则. 故答案为：. 51．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知是椭圆的左顶点，且经过点. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，且，求弦的长. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据条件列式计算得解； （2）联立方程组，由韦达定理将条件式化简得，再根据弦长公式求解. (1) 小问详解： 依题意可得 ， 解得， 所以的方程为. (2) 小问详解： 联立 ，消去得， 则，. 因为经过定点，且点在的内部，所以恒成立. 由， 解得. 所以， 所以. 52．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于90°，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及斜率的定义即可求解. 【详解】 连接，如图所示    设则， 由椭圆的定义得 所以 在中，, 所以,即，整理得， 所以， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 53．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）取两颗小钉子并钉在一张平板上（平板上垫有纸），将一条绳子两端固定在这两只钉子上，且绳长为12，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖顺势在平板上移动一圈，则笔尖在纸上画出的图形是一个椭圆.在上述实验中，笔尖与两个钉子所围成的三角形的面积的最大值是　　　　　　　　. 【答案】18 【详解】 设为其焦点，点为椭圆上一点， 则， ， 当时等号成立，此时两个钉子之间的距离为. 故答案为：18. 54．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. （1）求动点的轨迹的方程； （2）分别过，作平行直线，，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方.若，求的值. 【答案】（1）.     （2）.      【分析】 （1）由题意得到，再结合椭圆定义即可求解； （2）由题可设直线，直线，依次与椭圆联立求出点A，D即可求出，进而得解. (1) 小问详解： 由题可得圆心，半径为， 因为线段的垂直平分线交于点，所以，    又，所以， 又，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以，所以动点的轨迹的方程为. (2) 小问详解： 由题可得直线的斜率不为0，因为， 故可设直线，直线，， 联立方程得 ，可得，解得或1， 因为点A在x轴上方，所以，即， 所以， 联立方程得 ，可得，解得或， 因为点在x轴上方，所以，即， 所以， 所以. 55．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）已知椭圆的长轴长为，短轴长为2. （1）求椭圆C的焦点坐标； （2）直线与椭圆C相交于A､B两点，点F为椭圆C的左焦点，若为锐角，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由长轴长为，短轴长为2得，直接求出c，写出焦点坐标； （2）设A､B坐标为，用“设而不求法”联立方程组，得到由为锐角，利用，求出实数m的范围. 【详解】 （1）∵椭圆的长轴长为，短轴长为2 ∴ 即可得：， ∴焦点坐标为. （2）设A､B坐标为，椭圆的左焦点F(-1,0), 联立 ，消去x的： ∴ ∴ ∵为锐角，∴，即 ∴ 解得：. ∴实数m的范围 【点睛】 （1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程，可以直接写出焦点坐标； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 56．（25-26学年高二上·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据椭圆的定义及焦点三角形的周长可得标准方程； （2）设的直线方程代入椭圆方程，再由根与系数关系及斜率公式可得定值. (1) 小问详解： 因椭圆的两个焦点，，所以， 由的周长等于8，得， 即，得. 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由（1）可知，设直线的方程为，. 将方程代入椭圆方程，得， 化简整理得，， . 所以，同理. 所以， 若，则，代入根与系数关系得， 即，再消去得，得无解， 故. 所以. 故为定值. 57．（25-26学年高二上·山东青岛第十九中学·期中）已知椭圆的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，点坐标是，则的最大值是　　　　　　. 【答案】13 【分析】 设椭圆左焦点，根据椭圆的定义将转化为，结合图形的几何性质，即可求得答案. 【详解】 由可知 ，， 设椭圆左焦点，则 ， 当且仅当，，共线时且当在的延长线上时等号成立． 的最大值为， 故答案为：. 58．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是等腰直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线：与椭圆交于、. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，求两直线斜率的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据等腰直角三角形的定义及椭圆的几何性质，结合椭圆过点的坐标代入方程计算即可得； （2）通过联立直线与椭圆方程，可得两交点横坐标有关韦达定理，然后再表示出、，结合韦达定理计算即可. (1) 小问详解： 由题意可知 ，解得 ， 故椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 设，， 联立 ，消去得， ，解得， ，， 则、， ， 故两直线斜率. 59．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，若，且，则的离心率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题干条件和椭圆定义，求出，在三角形中利用余弦定理得到，将上述等式联立，化简，即可求出的离心率. 【详解】 由椭圆定义可知：， 故， 令， 根据可得：， 故（① ），在三角形中， 由余弦定理得：， 化简得：，将① 代入化简得：， 两侧同时除以得：，解得：， 故答案为：. 60．（25-26学年高二上·山东德州·期中）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，轴上方的两动点在上，且，当时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求的坐标； （3）椭圆上的任意一点及（2）中的点，点在圆上，求的最小值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）由焦点坐标得到，然后由题意得到坐标，然后代入椭圆方程，即可求得，即可写出椭圆方程； （2）设坐标，由题意得，从而建立方程组，记得两点坐标的关系，然后代入椭圆方程消元后得到M的坐标； （3）由（2）可知的坐标，设，使，建立方程后由在圆上得到坐标，由椭圆定义化简得，当R，P，三点共线时取最小值，求出最小值. (1) 小问详解： 由题可知，即， 若，且，则此时轴，即 所以，即，解得，， 所以椭圆C的标准方程. (2) 小问详解： 设，，，， 由题可知，则 ，解得 因为两点M，N在椭圆C上，所以 ，所以 ， 即 ， 解得，，所以M的坐标为. (3) 小问详解： 由题意，设，，使， 即，则， 整理得，        又点Q在圆上，所以 ，解得， 由椭圆定义得， 所以 当三点共线时，， 所以有最小值. 61．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）已知抛物线的焦点为，椭圆的右焦点为，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）动直线恒过定点，过点作抛物线的切线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据离心率和焦点坐标即可算出a、b的值，也即求出椭圆的方程； （2）可知定点，再根据P求出过抛物线C的切线方程，结合点到直线的距离以及椭圆的弦长公式即可求得的面积． (1) 小问详解： 由抛物线的方程，得焦点，所以在椭圆中，， 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为． (2) 小问详解： 由直线的方程，得直线恒过定点， 由题意，得点在抛物线上，设切线的方程为， 由 ，消去，整理得， 因为直线与抛物线相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为， 由 ，消去，整理得， ，所以，， 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． 62．（25-26学年高二上·山东师范大学附属中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. (1) 小问详解： 已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立 ，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： 因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 63．（25-26学年高二上·山东济南第一中学·期中）已知动圆与圆外切，与圆内切． （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用圆与圆的位置关系结合椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆焦点的位置可得出动圆圆心的轨迹方程； （2）设点，则，利用两点间的距离公式求出的取值范围，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. (1) 小问详解： 解：圆的圆心为，半径． 圆的圆心为，半径， ，所以圆内含于圆． 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 从而，，所以，所以点的轨迹方程为． (2) 小问详解： 解：设点，则，则， 则， 所以，，所以， ， . 所以的取值范围为． 64．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过的直线交于，两点，且的周长为16，则椭圆的方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长公式、离心率公式以及椭圆中、、的关系来求解椭圆方程. 【详解】 已知的周长为，可得. 因为离心率，可得. 根据椭圆中. 可得椭圆的方程为. 故答案为：. 65．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）已知椭圆的右焦点为F，点M在C上，点N为线段MF的中点，点O为坐标原点，若，则C的离心率为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出的值，然后计算即可得解. 【详解】 设椭圆C的左焦点为，由椭圆定义得， 即（*）， ∵O为线段的中点，N为线段MF的中点， 由中位线的性质得，代入（*）式，解得， 故其离心率. 故答案为：. 【点睛】 本题考查椭圆定义的应用，以及椭圆的简单几何性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 66．（25-26学年·山东德州九校·期中）设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】 根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 67．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）已知椭圆：的右顶点为，上､下顶点分别是，. （1）求外接圆的标准方程. （2）若点是椭圆第一象限上的点，直线与轴的交点为，直线与直线的交点为.若与的面积的比值为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由椭圆方程求得坐标，设外接圆的圆心为，求得圆心坐标和半径得方程； （2）设，的纵坐标分别为，，，，写出直线方程与椭圆方程联立求得，再由直线相交求得，然后利用面积比求得，得直线方程． 【详解】 解：（1）易知，，. 根据对称性可知外接圆的圆心在轴上，设为， 连接，则有，即， 解得， 设外接圆的半径为，则， ∴外接圆的标准方程是. （2）设，的纵坐标分别为，，，， 则直线的方程为，① 与联立，消去，整理得， ∴. 易知直线的方程为，② ① ②联立可得. 由题易知，∴，从而， ∴，解得或(舍去). 此时直线的方程为，即. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在求解本题第（1）问时，发现三角形的特征是求解的关键；求解第（2）问时，能够根据题意确定出点在点的右侧是一个关键点，另外，能够将两个三角形的面积的比值转化为线段的长度的比值也是关键. 68．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题： （1）椭圆C的离心率为　　　　　　　　　　． （2）点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上，则椭圆C的方程为　　　　　　　　　　． 【答案】① .5    ② 【分析】 (1)由题意得到关于a,c的等式,然后结合离心率的定义即可确定椭圆的离心率; (2)由题意利用几何关系求得a,b的值即可求得椭圆方程. 【详解】 设椭圆C的长轴长为2a(a>0),则由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1，经过的路程为，从而； 如图示： 延长,交于点F0. 在△中,PH⊥F0F2,由反射角等于入射角，可得：,则且H为中点. 在△中, 则,∴, 所以椭圆方程为. 故答案为：；. 69．（25-26学年高二上·山东济南第三中学·期中）已知椭圆的长轴长为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设是经过椭圆下顶点的两条直线，与椭圆相交于另一点与圆相交于另一点，若的斜率不等于0，的斜率等于斜率的3倍，证明：直线经过定点. 【答案】（1）     （2）设、的斜率分别为、，，由（1）可知下顶点为，可得，． 将代入，整理得， 解得或，则， 可得． 将代入可得，解得或， 则，所以． 直线的斜率为， 因此直线方程为， 化简得，于是直线经过定点． 【分析】 （1）依题意可得 ，解得、即可； （2）设、的斜率分别为、，，即可得到，，联立直线与曲线方程求出、点坐标，即可求出直线的方程，从而求出定点坐标. (1) 小问详解： 依题意可得 ，解得 ， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将用表示为，得，故动直线过定点． （2）动曲线过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 70．（25-26学年高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：过点，离心率为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且，均不与轴垂直． （1）求椭圆的方程； （2）若，为椭圆的上顶点，求的面积； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1）     （2）      （3） 设，，直线的方程为， 联立方程 ，得， 由，得， 则，， 因为直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以， 故为定值. 【分析】 （1）由题意可得 ，解出即可得； （2）借助弦长公式计算可得或，再利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离后结合面积公式计算即可得； （3）设出直线的方程，与椭圆联立后可得与交点横坐标有关一元二次方程，结合韦达定理表示出并计算即可得. (1) 小问详解： 根据题意得到 ，解得 ， 故椭圆的方程为； (2) 小问详解： 因为，解得或， 当时，直线的方程经过点，不符合题意，舍去； 当时，， 点到直线的距离， 故的面积； (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 71．（25-26学年高二上·山东威海第二中学·期中）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，离心率为． （1）求出椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点． （i）当线段的中点坐标为时，求直线的方程． （ii）若直线分别与轴交于两点，且，试探究此时直线是否恒过一个定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由． 【答案】（1）     （2）（i），（ii）过定点.      【分析】 （1）由焦点坐标和离心率即可求解； （2）（i）设，代入椭圆方程，由点差法求得斜率即可；（ii）联立方程组结合韦达定理得到，再利用得到，最后分类讨论求解定点即可. (1) 小问详解： 由焦点坐标得， 又，得， 所以， 则椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： （i）设， 则和， 两式相减化简可得：， 又，代入可得：， 所以直线的方程为， 即； （ii）① 若直线斜率不存在，根据对称性可知为等腰直角三角形， 得到，此时， 则直线，与椭圆方程联立， 解得，故直线过椭圆左焦点，即， ②若直线斜率存在，如图，设， 联立方程组 ，消去得， 由韦达定理可知， 由已知得，且设， 可以求出直线方程为， 令，得到，， 故，又因为， 故， 代入韦达定理得， 求得，即，得到或， 当时，直线过，此时三点重合，不符合题意； 当时，直线方程为，此时直线AB过定点 综上所述：直线过定点． 72．（25-26学年高二上·山东青岛·期中）如图，椭圆的长轴长为4，离心率为.    （1）求的标准方程； （2）矩形的顶点，在轴上，，在上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，与轴交于点，与的另一个交点为.设直线，的斜率分别为，. （i）求的值； （ii）求直线的斜率的最小值. 【答案】（1）     （2）（i）；      【分析】 （1）根据长轴长和离心率可求解出椭圆的标准方程； （2）（i）由对称性，设出点的坐标，求出直线，的斜率即可求证；（ii）由直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，直线的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点坐标，即可表示出直线FH的斜率，利用基本不等式即可求最值． (1) 小问详解： 因为椭圆的长轴长为4，离心率为， 所以，，解得，，， 可得的标准方程为. (2) 小问详解： （i）如图，由对称性设，，，， 则，得， 故，，则，可得为定值； （ii）由， 联立 ， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 又，联立 ， 由根与系数的关系可得，所以， 所以，可得， 所以 ， 由图知，所以，即， 当且仅当，即时取等. 所以直线的斜率k的最小值为． 73．（25-26学年高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆：，椭圆：（）是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线. （1）求椭圆的离心率； （2）设为上异于其左、右顶点，的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值. 【答案】（1）     （2） 由题解得 ，所以椭圆：， 设，则直线的方程为， 即，记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以，为关于的方程的两根， 所以. 又点在椭圆：上，所以， 所以，为定值.      【分析】 （1）根据“伸缩变换”的定义得到的方程，然后求离心率即可； （2）根据得到的方程，然后设的方程，与的方程联立，根据相切得到，即可得到，为关于的方程的两根，然后利用韦达定理得到，最后将代入即可. (1) 小问详解：    对于椭圆：，所以为， 故椭圆：（）中，， 故， 则椭圆的离心率. (2) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果. 74．（25-26学年高二上·山东淄博·期中）已知椭圆I 的长轴长为4，左，右焦点分别为，，直线与椭圆Γ交于M、N两点， (点M在点N的上方)， 与y轴交于点E. （1）求椭圆Γ的离心率； （2）若直线l过点时， 设 求证：为定值，并求出该值； （3）当为何值时， 恒为定值，并求此时三角形 面积的最大值. 【答案】（1）；     （2） 直线过点， ，，， 联立 ，消去，整理得到， 设，则 ， 与y轴交于点E，， ，，， ，， ，， ，， ，， ，， ， 为定值，求定值为；     （3）时，三角形 面积的最大值为1.      【分析】 （1）根据长轴长得到的值，从而得到椭圆方程，利用离心率公式求解即可； （2）将点代入直线得到和，将椭圆和直线联立方程组，消去，整理得到关于的一元二次方程，结合韦达定理计算即可； （3）联立与椭圆，消去，整理得到关于的一元二次方程，结合韦达定理 计算，得到的值，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离求出点到直线的距离，求出，利用基本不等式求最大值. (1) 小问详解： 椭圆I 的长轴长为4，，， 椭圆，， ，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 联立与椭圆， 即 ，消去，整理得到， 设，则 ， ， 在上， ，，，， ， ， 当为定值时，即与无关， 故，解得， 此时 又点到直线的距离， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时， 满足直线与椭圆有两个交点，则三角形 面积的最大值为1. 75．（25-26学年高二上·山东日照·期中）已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为. （1）求点的轨迹的方程； （2）已知直线的方程为，直线上有一动点，求的最大值； （3）若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，，使为定值?若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）2     （3）存在两定点S，T，使为定值.      【分析】 （1）根据题意得到方程，化简后得到轨迹方程； （2）设为的左焦点，由椭圆定义和三点共线转化为直线上找到一点，使得最大； （3）考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，求出点的轨迹方程为椭圆，由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或，使为定值. (1) 小问详解： 由题意得， 两边平方得， 整理得，点的轨迹的方程为； (2) 小问详解： 中，，则，为的右焦点， 设为的左焦点， 连接，则，， 则， 其中当三点共线时，取得最小值， 为到直线：的距离，所以， 所以最大值， 故的最大值为. (3) 小问详解： 存在两定点S，T，使为定值,理由如下： 当直线的斜率存在时，设直线方程为，， 联立直线与椭圆方程得， ，即， 设，则， 故 ， 故当时，取得最大值，最大值为， 此时，满足， 因为，所以， 故， 故， 令 ，两式相除得，故， 将其代入得，结合得， 化简得， 因为，所以，故，即， 当直线的斜率不存在时，设，则， 则， 不妨设点在第一象限，则当时，取得最大值， 此时的中点坐标为，满足， 故当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆， 两焦点坐标为， 由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或， 使为定值. 76．（25-26学年高二上·山东淄博实验中学·期中）已知椭圆的焦距为2，点在C上，F是C的右焦点． （1）求C的方程； （2）如果直线与C相交于P，Q两点，且射线FA平分． （ⅰ）求m的取值范围，并证明l过定点； （ⅱ）求四边形FPAQ的面积S的取值范围． 【答案】（1）     （2）（i）将代入， 消去x并整理，得， ，即， 设，则． 由，可知轴， 所以AF平分等价于， 又， 所以，即， 整理，得， 所以，化简，得， 因为，所以， 将代入，得，结合，解得， 所以m的取值范围是． 又l的方程为，所以l经过定点． （ii）      【分析】 （1）根据焦距得到，再代入点坐标即可得到椭圆方程 （2）（ⅰ）联立椭圆方程得到韦达定理式，再将角平分线转化为，再韦达定理式整体代入化简即可 （ⅱ）四边形FPAQ的面积令，得．所以，即可求解. (1) 小问详解： 设，则 解得 所以C的方程为． (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知， 则四边形FPAQ的面积 令，则； 由，得，解得． 所以， 令，易知在上是减函数， 又，所以当时，， 因此四边形FPAQ的面积的取值范围是． 77．（25-26学年高二上·山东名校考试·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为.设，是椭圆上位于轴同侧的两点，且直线与直线平行，与交于点，当轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求的长度； （3）证明：点在定椭圆上. 【答案】（1）     （2）     （3） 设，仍设，，设,则， 由 得：，, ，； 由题意：   ① ，   ② ； 由①② ：； 因为， ， 所以③ ； 由①+② ④ ； 由③ ④ 可得：即， 所以，故，故点在定椭圆上.      【分析】 （1）根据轴时及离心率可求基本量，故可求椭圆方程； （2）延长交椭圆于点，由对称性求出后可得； （3）设，、，利用交轨法可求的坐标满足的方程，结合韦达定理消去所设的坐标后可得所在的轨迹方程，从而可判断点在定椭圆上. (1) 小问详解： 当轴时，，故 ， 解得，， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 延长交椭圆于点，由对称性可知，，所以， 而直线的方程为，设，， 由 得， 所以，， 所以. 所以的长为. (3) 小问详解： 略 78．（25-26学年高二上·山东实验中学·期中）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，直线l与椭圆C交于两点，且，当（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由题意可得关于的方程组，解出即可得方程； （2）分和进行讨论，当时，可设直线的方程为即，联立直线与椭圆方程可得一元二次方程，算出，算出到直线的距离和弦长，利用面积公式即可 【详解】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）显然，直线的斜率存在， ①当时，可设直线的方程为由可设， 则，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为； ②当时，可设直线的方程为即，， 联立，消去整理得， 由，得（*）， 则有， 于是可得的中点为即， 因为，所以，化简得，结合（*）可得解得， 又到直线的距离为 所以， 即， 所以，当时，取最大值， 此时由可得，直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 79．（25-26学年高二上·山东青岛第五十八中学·期中）已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3． （1）求的方程； （2）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点 ①求动点的轨迹方程； ②求线段的长度的取值范围． 【答案】（1）     （2）① ；②      【分析】 （1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）① 设，分和两种情况讨论，当时，可直接求得或，当时，的垂直平分线方程为：，联立直线与椭圆方程，结合条件，利用直线与椭圆的位置关系，得，化简即可求解；② 利用恰为圆心，利用圆的性质有，再求出的范围，即可求解. (1) 小问详解： 由题可知， ，解得，， 又，所以椭圆方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，设，则的中点为， ① 当时，的垂直平分线方程为， 此时，则或；即或 当时，的垂直平分线方程为：， 由 ，消得， ， 整理得， 因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点， 则， 即， 整理得， 即， 因为，所以， 而，也满足该式， 故点的方程为，即． ② 由① 知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点， 又易知点在圆内，则， 又由椭圆的性质知，，得到， 故所求线段MQ长度的取值范围是 80．（25-26学年高二上·山东莱西第一中学·期中）在①离心率，②椭圆过点，③为椭圆上一点，面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.设椭圆的左、右焦点分别为、，已知椭圆的短轴长为，______. （1）求椭圆的方程； （2）过的直线交椭圆于、两点，请问的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在直线，的内切圆的面积最大值为. 【分析】 （1）选① 离心率，得到方程组 ，解之即可求出结果； 选② 椭圆过点，得到方程组 ，解之即可求出结果； 选③ 先分析出面积的最大时，点为椭圆得上顶点或者下顶点，得 ，解之即可求出结果； （2）根据题意分析出当最大时，也最大，内切圆的面积也最大，因此只需要求出的最大面积，设出直线方程，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出的面积，换元法结合导数求出函数的最值，进而求出结果. 【详解】 解：（1）选① 离心率， 依题意 ，解得 ， 所以椭圆的方程为; 选② 椭圆过点， 依题意 ，解得 ，所以椭圆的方程为; 选③为椭圆上一点，面积的最大值为，由于面积的最大时，点为椭圆得上顶点或者下顶点，所以 ，解得 ，所以椭圆的方程为; （2）设内切圆的半径为，则的面积 ， 当最大时，也最大，内切圆的面积也最大， 设，，，，，， 则， 显然直线得斜率不为0，所以设直线的方程为 由 ，得， ， ，， ，所以， 令，则，且， 有，因为 令， 当时，，则在，上单调递增，有， ，即当，时，有最大值3，得， 这时所求内切圆的面积为， 所以存在直线，的内切圆的面积最大值为. 【点睛】 （1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 81．（25-26学年高二上·山东菏泽第一中学·期中）如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1）     （2）     （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值．      【分析】 （1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． (1) 小问详解： 由椭圆过点，焦距为， 得 ，解得 ， 故椭圆的方程为． (2) 小问详解： 设直线的方程为，，， 联立 ，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 82．（25-26学年高二上·山东青岛第三十九中学·期中）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）如图，过点的直线（异于轴）与交于点P，Q，过左焦点作直线PQ的垂线交圆于点M，N，垂足为.    ①若点，设直线AM，AN的斜率分别为，证明：为定值； ②记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1）     （2） ① 设直线的方程为，， 由 ，消去并化简得， 则， ，则， 所以 . ②      【分析】 （1）根据已知条件求得，从而求得的方程. （2）① 设出直线的方程并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简求得为定值. ② 先求得的表达式，利用换元法，结合函数的单调性来求得的取值范围. (1) 小问详解： 依题意， ，解得， 所以的方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 由题得，， 又，所以， 由椭圆的对称性可知， 所以， 因为直线的方程为，所以， 因为，所以直线的方程为， 将其代入，解得， 所以， 所以， 令，则， 所以， 函数在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以，即， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】 思路点睛： 利用已知条件求椭圆方程：首先利用短轴长和离心率，通过焦距和半长轴长度，得出椭圆的标准方程，这是确定椭圆方程的基础. 结合根与系数关系证明斜率的定值：设定直线的方程，结合椭圆方程，通过根与系数关系证明斜率的定值，这是确保直线和椭圆之间关系的有效方法. 利用函数单调性求取值范围：通过设定面积的函数表达式，结合椭圆的对称性和函数的单调性，得出面积的取值范围. 83．（25-26学年高二上·山东青岛第二中学·期中）用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．已知过球外一点作球的任意一条切线，切线长都相等． 如图一所示，将两个大小相同半径为2的球嵌入高为10的圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，平面经过球心为球与圆柱的切点，球与平面的切点分别为，直线与直线、分别交于两点，若点为截线上任一点． （1）求点的轨迹方程； （2）求的值： （3）把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”． 如图二，由（1）中所截椭圆为底面椭圆柱，为轴截面，母线长为6，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合），求三棱锥体积的最大值． 【答案】（1）     （2）2     （3）      【分析】 （1）由题干所给信息，分析出点P轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，建立合适的坐标系，即可得出点的轨迹方程； （2）由几何关系，找到以及所在的三角形，结合直角三角形求解即可； （3）等体积转化，先由割补法求出三角形的面积最大值，再设直线与椭圆联立，由韦达定理求出到平面的距离之和的最大值，即可求三棱锥体积最大值. (1) 小问详解： 由题意，取与交点为，则， 过点作竖直线交两球于两点，则与两球相切， 由于过球外一点作球的任意一条切线，切线长都相等，则， 则， 则点P轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，即， 在平面内，建立如图平面直角坐标系， 则点的轨迹方程为：. (2) 小问详解： 由题意，，，， 则，. (3) 小问详解： 如图，作，可得平面， 则. 设，， 则，， 则， 则当时，最大为. 由于不与重合，则设直线方程为，， 联立 得， ， ， 当且仅当时等号成立， 则. 84．（25-26学年高二上·山东青岛青岛第十七中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，．    （1）当时， ①求证：； ②求平面和平面所成角的余弦值； （2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ① 由椭圆定义可知， 所以的周长，所以， 因为离心率为，故，解得， 则，由题意，椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆方程为， 直线，即， 联立得，解得或， 当时，，当时，， 因为点A在x轴上方，所以， 故⊥，折叠后有⊥， 因为二面角为直二面角，即平面⊥，交线为， 平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； ②     （2） 存在，      【分析】 （1）① 根据椭圆定义得到，结合离心率得到，求出，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆，得到，得到⊥，结合二面角为直二面角，得到线面垂直，证明出结论； ② 建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值； （2）设折叠前，折叠后对应的，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据折叠前后的周长关系得到，变形得到，代入两根之和，两根之积，求出，进而求出的值. (1) 小问详解： ① 略. ② 以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，建立空间直角坐标系，    则， ， 其中平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则 ， 令得，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为； (2) 小问详解： 设折叠前，折叠后对应的， 设直线方程为， 将直线与椭圆方程联立得，， 则， 在折叠前可知， 折叠后，在空间直角坐标系中，，， 由，， 故， 所以① ， 分子有理化得， 所以② ， 由① ② 得， 因为 ， 故， 即， 将代入上式得 ， 两边平方后，整理得， 即，解得， 因为，所以. 【点睛】 出题非常新颖，将立体几何和解析几何结合，考查学生的综合能力，在解决图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用平面几何知识或建立空间直角坐标系进行求解. 85．（25-26学年·山东德州九校·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，. （1）求椭圆的方程； （2）求动点的轨迹方程； （3）过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？ 【答案】（1）     （2）     （3）为定值，证明如下： 如图，作出符合题意的图形， 由题设，切线的斜率必定存在，设斜率为，得到切线方程为， 联立方程组 ， 得到， 因为直线与椭圆相切，所以， 可得， 化简得， 设过的两条切线的斜率分别为， 因为的轨迹方程为，所以解得， 由韦达定理得.      【分析】 （1）利用椭圆的性质并结合题意建立方程，求出基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）结合题意，设出点的坐标，利用得到，利用得到，再将两式相加即可. （3）设出切线方程并联立方程组得到，再结合判别式得到，最后利用韦达定理求解即可. (1) 小问详解： 因为椭圆的短轴长为2，离心率为，所以，， 由椭圆的性质得，且，解得，， 则椭圆的方程为. (2) 小问详解： 设， 而关于原点对称，则，可得，， 因为，所以 ，解得， 可得，因为在椭圆上，所以其坐标满足， 则，化简得， 而，， 因为，所以 ， 解得，则， 因为在椭圆上，所以其坐标满足， 则，化简得， 两式相加可得，即. (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $