4.1整式 同步练习 2026--2027学年青岛版七年级数学上册

4.1 整式 课堂基础讲练 知识 1 单项式 1. 单项式：由数或字母的积组成的代数式叫作单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式，如，x都是单项式。 2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。 如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式。例如，在单项式36t中，字母t的指数是1，36t的次数就是1，它是一次单项式；在单项式中，字母a与h的指数的和是3，的次数就是3，它是三次单项式。 例如，的系数是，次数是3。 例 1 找出下列各式中的单项式，并写出单项式的系数和次数。 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)。 ✅举一反三 用单项式填空，并指出它们的系数和次数。 (1) 每包书有15册，n包书有册； (2) 苹果原价是每千克x元，按八折优惠出售，则苹果的现价是每千克元； (3) 一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积是； (4) 如果小红用走完的路程为，那么她的平均速度为； (5) 棱长为的正方体的体积是。 知识 2 多项式 1. 多项式：几个单项式的和叫作多项式。 2. 多项式的项：多项式中，每个单项式叫作多项式的项。 3. 常数项：多项式中，不含字母的项叫作常数项。 4. 多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 拓展：一个多项式里含有几项，最高次项的次数是几就叫作几次几项式。 示例：多项式的项分别是，3x，，是一个二次三项式。 ★注意：(1) 多项式的每一项都是单项式且每一项都包含它前面的符号； (2) 当一个多项式中的各项的次数都相同，即不存在哪一项的次数最高时，任取某一项的次数作为这个多项式的次数。如的次数是2。 例 2 多项式中次数最高的项是什么？一次项系数是什么？常数项是什么？它是几次几项式？ ✅举一反三 关于多项式，下列说法正确的是（ ） A. 这个多项式是七次三项式 B. 常数项是1 C. 三次项系数是5 D. 次数最高的项为 知识 3 整式 1. 整式：单项式与多项式统称整式。 2. 单项式、多项式、整式、代数式之间的关系（如图）： 代数式包含整式；整式分为单项式、多项式。 例 3 把下列代数式分别填在相应的括号里： 。 单项式：； 多项式：； 整式：。 ✅举一反三 把下列式子分别填入下表中的适当位置：，，。 整式 单项式 多项式 非整式 课堂培优讲练 讲练 1 利用单项式的定义求值 例 1 已知是关于的五次单项式，试求下列式子的值： (1) ； (2)。 ✅举一反三 已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值。 讲练 2 利用多项式间的关系求值 例 2 已知关于x的多项式与相等，求的值。 ✅举一反三 已知整式。 (1) 若它是关于x的一次式，求m的值并写出常数项； (2) 若它是关于x的三次二项式，求m的值并写出最高次项。 讲练 3 根据数量关系列整式 例 3 请写出下列各题中的代数式。如果是单项式，请指出它们的系数和次数；如果是多项式，请指出它们的项和次数。 (1) 现需在跑道上设置提示标识，向东8米记为米，向西a米记为米。 (2) 学校想给在运动会上获奖的同学们准备盲盒礼物，现需要手工绘制盲盒，若盲盒的长和宽都是，高是，则盲盒的体积为。 (3) 因燃油涨价，某航空公司把从城市 A 到城市 B 的机票价格在原价b的基础上上涨了，三个月后又因燃油价格的回落而重新下调，则下调后的票价是。 (4) 王明妈妈上月的移动支付账单为c元，本月参加线上购物节活动，比上月支出的2倍还多50元，那么本月的支出为元。 (5) 三个连续偶数，中间的一个是2n，则最小的一个可以表示为。 (6) 某小纸盒的展开图如图，则用含a和x的式子表示这个小纸盒的展开图的周长为。 ✅举一反三 如图是由两个边长分别为的正方形拼成的图形，用含字母的式子表示图中阴影部分的面积。 讲练 4 利用整式的次数求值 例 4 如果关于的单项式与多项式的次数相同，求的值。 ✅举一反三 已知是关于的一个七次四项式，且它的最高次项的系数是7，求的值。 讲练 5 用整式解决实际问题 例 5 某景点规定成人票价为30元，学生票价为20元，满50人即可购买打八折的团体票。设一个旅游团共有x人，其中学生有y人。 (1) 用含的整式表示该旅游团购买团体票应付的总门票费； (2) 如果该旅游团有60个人，其中15个学生，那么他们购买团体票共需付的门票费是多少？ 课后达标训练 基础训练 1. 在中，整式有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2. 单项式的系数和次数分别是（） A. B. C. D. 3. 代数式，中，单项式有（） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 4. 关于多项式，下列说法正确的是（） A. 最高次项是5 B. 二次项系数是5 C. 常数项是7 D. 是五次三项式 5. 请写出一个单项式，同时满足下列条件： ①含有字母；②系数是；③次数是5。 则写出的单项式为。 6. 如图是一位同学数学笔记可见的一部分。若要补充图中这个不完整的代数式，你补充的内容是：。 7. 若多项式是关于x的二次三项式，则a的值为。 培优训练 8. 如图，第1个图形需要3个棋子，第2个图形需要8个棋子，第3个图形需要15个棋子…… 按照这样的规律，第x个图形需要个棋子（用含x的代数式表示）。 9. (1) 已知关于的多项式是六次三项式，求的值； (2) 已知关于的多项式不含二次项，求的值。 4.1整式（解析版） 课堂基础讲练 知识 1 单项式 1. 单项式：由数或字母的积组成的代数式叫作单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式，如 ，x 都是单项式。 2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。如果一个单项式的次数是 n，那么称这个单项式是 n 次单项式。 例 1 找出下列各式中的单项式，并写出单项式的系数和次数。 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 。 【答案】 (1) 是单项式，系数 ，次数 1； (2) 是单项式，系数 ，次数 2； (3) 不是单项式（分母含字母）； (4) 不是单项式（是多项式）； (5) 是单项式，系数 5，次数 4； (6) 是单项式，系数 ，次数 2。 举一反三 用单项式填空，并指出它们的系数和次数。 (1) 每包书有 15 册，n 包书有 册； (2) 苹果原价是每千克 x 元，按八折优惠出售，则苹果的现价是每千克 元； (3) 一个长方形的长是 ，宽是 ，则这个长方形的面积是 ； (4) 如果小红用 走完的路程为 ，那么她的平均速度为 ； (5) 棱长为 的正方体的体积是 。 【答案】 (1) 15n，系数 15，次数 1； (2) ，系数 ，次数 1； (3) 2ab，系数 2，次数 2； (4) ，系数 ，次数 1； (5) ，系数 1，次数 3。 知识 2 多项式 1. 多项式：几个单项式的和叫作多项式。 2. 多项式的项：多项式中，每个单项式叫作多项式的项。 3. 常数项：多项式中，不含字母的项叫作常数项。 4. 多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 例 2 多项式 中次数最高的项是什么？一次项系数是什么？常数项是什么？它是几次几项式？ 【答案】 次数最高的项：（次数为 6）； 一次项系数：； 常数项：； 它是六次四项式。 举一反三 关于多项式 ，下列说法正确的是（） A. 这个多项式是七次三项式 B. 常数项是 1 C. 三次项系数是 5 D. 次数最高的项为 【答案】D 解析： 的次数为 4，是最高次项，故为四次三项式，A 错；常数项为 ，B 错；三次项 的系数为 ，C 错。 知识 3 整式 1. 整式：单项式与多项式统称整式。 2. 代数式包含整式；整式分为单项式、多项式。 例 3 把下列代数式分别填在相应的括号里： 。 单项式：； 多项式：； 整式：。 【答案】 单项式：； 多项式：； 整式：。 注意： 分母含字母，不是整式。 举一反三 把下列式子分别填入下表中的适当位置： 。 表格 分类 式子 单项式 多项式 非整式 课堂培优讲练 讲练 1 利用单项式的定义求值 例 1 已知 是关于 的五次单项式，试求下列式子的值： (1) ； (2) 。 【答案】 由五次单项式得：，解得 ； 又系数 ，即 。 （注：题目仅给出 "五次单项式" 条件，a 的具体值无法唯一确定，需补充系数相关条件后方可求值。） 举一反三 已知多项式 是六次四项式，单项式 的次数与这个多项式的次数相同，求 的值。 【答案】 多项式最高次项为 ，次数 ，得 ； 单项式 次数 ，得 ； 故 。 讲练 2 利用多项式间的关系求值 例 2 已知关于 x 的多项式 与 相等，求 的值。 【答案】 对应系数相等：， 即 ， 即 ； 故 。 举一反三 已知整式 。 (1) 若它是关于 x 的一次式，求 m 的值并写出常数项； (2) 若它是关于 x 的三次二项式，求 m 的值并写出最高次项。 【答案】 (1) 一次式要求三次项系数为 0：，得 ； 常数项：。 (2) 三次二项式要求三次项系数不为 0 且常数项为 0： 且 ，得 ； 最高次项：。 讲练 3 根据数量关系列整式 例 3 请写出下列各题中的代数式。如果是单项式，请指出它们的系数和次数；如果是多项式，请指出它们的项和次数。 (1) 向东 8 米记为 米，向西 a 米记为 米。 (2) 盲盒的长和宽都是 ，高是 ，则盲盒的体积为 。 (3) 机票原价 b，先上涨 ，三个月后又下调 ，则下调后的票价是 。 (4) 上月移动支付账单为 c 元，本月比上月支出的 2 倍还多 50 元，那么本月的支出为 元。 (5) 三个连续偶数，中间的一个是 2n，则最小的一个可以表示为 。 (6) 某小纸盒的展开图如图，则用含 a 和 x 的式子表示这个小纸盒的展开图的周长为 。 【答案】 (1) ；单项式，系数 ，次数 1。 (2) ；单项式，系数 2，次数 3。 (3) ；单项式，系数 ，次数 1。 (4) ；多项式，项为 2c 和 50，次数 1。 (5) ；多项式，项为 2n 和 ，次数 1。 (6) （需结合展开图图形，常见答案为 形式，以实际图形为准） 举一反三 如图是由两个边长分别为 的正方形拼成的图形，用含字母的式子表示图中阴影部分的面积。 【答案】（以常见题型为例） 阴影面积 。 （注：具体结果以原图实际阴影区域为准） 讲练 4 利用整式的次数求值 例 4 如果关于 的单项式 与多项式 的次数相同，求 的值。 【答案】 多项式 的次数为 6，故单项式次数也为 6： ，得 ，即 ； 又系数 ，故 ； 。 举一反三 已知 是关于 的一个七次四项式，且它的最高次项的系数是 7，求 的值。 【答案】 最高次项 的次数为 7：，得 ； 最高次项系数 ，得 ； 故 。 讲练 5 用整式解决实际问题 例 5 某景点规定成人票价为 30 元，学生票价为 20 元，满 50 人即可购买打八折的团体票。设一个旅游团共有 x 人 ，其中学生有 y 人。 (1) 用含 的整式表示该旅游团购买团体票应付的总门票费； (2) 如果该旅游团有 60 个人，其中 15 个学生，那么他们购买团体票共需付的门票费是多少？ 【答案】 (1) 成人人数为 ，总票价： （元）。 (2) 当 时： （元）。 课后达标训练 基础训练 1. 在 中，整式有（） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【答案】C 解析： 分母含字母，不是整式；其余 4 个均为整式。 2. 单项式 的系数和次数分别是（） A. B. C. D. 【答案】D 解析：系数 ，次数 。 3. 代数式 中，单项式有（） A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 【答案】B 解析：单项式有 ，共 6 个。 4. 关于多项式 ，下列说法正确的是（） A. 最高次项是 5 B. 二次项系数是 5 C. 常数项是 7 D. 是五次三项式 【答案】D 解析：最高次项为 ，A 错；二次项系数为 ，B 错；常数项为 ，C 错。 5. 请写出一个单项式，同时满足下列条件： ① 含有字母 ；② 系数是 ；③ 次数是 5。 则写出的单项式为 。 【答案】 如 （答案不唯一，只要 指数和为 5 即可）。 6. 如图是一位同学数学笔记可见的一部分。若要补充图中这个不完整的代数式，你补充的内容是：。 是一个三次三项式。 【答案】 如 （答案不唯一，补充一个次数不超过 3 的项即可，使原式成为三项式）。 7. 若多项式 是关于 x 的二次三项式，则 a 的值为 。 【答案】 解析：，得 或 ；又 ，即 ，故 。 培优训练 8. 如图，第 1 个图形需要 3 个棋子，第 2 个图形需要 8 个棋子，第 3 个图形需要 15 个棋子…… 按照这样的规律，第 x 个图形需要 个棋子（用含 x 的代数式表示）。 【答案】（或 ） 解析：，，，故第 x 个为 。 9. (1) 已知关于 的多项式 是六次三项式，求 的值； (2) 已知关于 的多项式 不含二次项，求 的值。 【答案】 (1) 最高次项 次数为 6：，得 ； 三项式要求 的系数为 0：，得 ； 故 。 (2) 不含二次项，即二次项系数全为 0： ，得 ； ，即 ，得 ； 故 。 学科网（北京）股份有限公司 $