精品解析：广西壮族自治区柳州市柳州铁一中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

高二（上）数学检测 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则在复平面内对应的点在（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 6. 若一个圆锥的轴截面是一个等边三角形，则该圆锥的表面积与轴截面面积之比是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4、8，方亭的高为，则该方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线斜率为，则它的倾斜角为 B. 若，，则直线的倾斜角为 C. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 D. 若直线的斜率为，则这条直线必过与两点 10. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 当点E运动时，总成立 B. 当E向运动时，二面角逐渐变小 C. 二面角的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 13. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________. 14. 水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切.若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求直线AB和AC的斜率； （2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （3）已知这100名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率． 18. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 19. 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，∠ABC＝90°，AB＝PB＝PC＝BC＝2CD＝2，平面PBC⊥平面ABCD. （1）求证：AB⊥平面PBC； （2）求三棱锥C－ADP的体积； （3）在棱PB上是否存在点M，使CM平面PAD？若存在，求的值.若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二（上）数学检测 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得， 所以. 2. 设，则在复平面内对应的点在（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 则对应于复平面的点为，在第一象限. 3. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数性质计算即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以. 故选：D 4. 经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 故选：B 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 6. 若一个圆锥的轴截面是一个等边三角形，则该圆锥的表面积与轴截面面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设底面圆的半径为r，分别表示出圆锥的表面积与轴截面面积即可得. 【详解】设底面圆的半径为r，则母线长为2r，得侧面积是， 所以圆锥的表面积为， 轴截面是一个正三角形，边长为2r， 则其面积为， 所以面积之比是. 7. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4、8，方亭的高为，则该方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱台的体积公式即可. 【详解】由已知得该方亭上、下底面的边长分别为1、2. 所以该方亭体积为. 8. 已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由和求出范围，由题中条件得到，由得到，由题中条件得到，通过解这个不等式组得到的取值范围. 【详解】因为，且， ， 因为函数（）在区间上单调递增， 所以， 解第一个不等式， 即，即，即， 解第二个不等式， 解得，即，即， 又，则， 因为，在区间内恰有两个零点， 所以， 则，解得，即， 又，则， 则的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线斜率为，则它的倾斜角为 B. 若，，则直线的倾斜角为 C. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 D. 若直线的斜率为，则这条直线必过与两点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角关系以及两点间斜率公式，结合直线的点斜式方程可判断ABC；举反例可排除D. 【详解】对于A，设直线的倾斜角为，则由题意得，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以直线与轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为，故B正确； 对于C，因为直线过定点，且斜率为，所以直线的方程为，即， 易知，故直线必过，故C正确； 对于D，不妨取，满足直线的斜率为，但显然该直线不过与两点，故D错误． 故选：ABC. 10. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 当点E运动时，总成立 B. 当E向运动时，二面角逐渐变小 C. 二面角的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到，，从而得到平面，因为平面，所以总成立；B选项，当E向运动时，平面与平面的夹角不变；C选项，建立空间直角坐标系，设，，得到二面角的法向量，求出二面角的余弦，从而得到余弦值的最大值，得到二面角的最小值；D选项，利用体积公式求出三棱锥的体积为定值. 【详解】对于A，连接，，， 因为四边形为正方形，故， 又⊥平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面. 因为平面， 所以，同理可证. 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以总成立，故A正确. 对于B，平面EFB即平面，平面EFA即平面， 所以当E向运动时，二面角的大小不变，故B错误. 对于C，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，所以， 因为E，F在上，且， 故可设，，，则， 由题知平面ABC的一个法向量为， 设平面ABE的一个法向量为， 则，解得， 取，则，故， 设二面角的平面角为，则为锐角， 所以， 又，所以当时，取得最大值， 取得最小值，故C正确； 对于D，因为， 点A到平面EFB的距离即到平面的距离，为， 所以，为定值，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据斜率相等计算. 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 13. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________. 【答案】2或4 【解析】 【分析】由空间中点到平面距离公式，结合条件即可求得的值. 【详解】因为，所以点到平面的距离， 解得或. 故答案为：2或4. 14. 水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切.若用一个半球形容器（容器厚度忽略不计）罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是____. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定半球形容器的半径最小时，三个小球与半球、及三个小球之间的位置关系，进而确定球心、切点的位置关系，根据已知求容器半径. 【详解】当半球形容器的半径最小，即三个小球与半球球面都相切，且各切点与对应小球球心、半球球心共线，各小球两两也相切， 此时三个小球球心在桌面上投影所成正三角形的中心，即为半球最大圆的圆心（也为球心）， 如下图示：为三个小球球心，分别为它们在桌面上的投影，为半球球心， 所以为边长为的等边三角形，故， 而，故， 所以半球最小半径为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求直线AB和AC的斜率； （2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】（1）直线AB的斜率为，直线AC的斜率为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式运算求解； （2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解. 【小问1详解】 由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. 【小问2详解】 如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是． 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取的中点F，连接，， 因为E是的中点，所以且，因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过中点来证明四边形是平行四边形，然后根据线面平行的判定定理证明即可. （2）先通过线面垂直的判定定理证明平面，，然后建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过向量法求得面面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，的延长线交于一点， 平面，平面，所以平面， 又因为，所以，，两两垂直， 所以以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量，则， 即，取，得， 设平面与平面的夹角为，则. 17. 国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； （3）已知这100名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率． 【答案】（1） （2）众数为 ，平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求的值. （2）利用频率分布表估计众数和平均数. （3）先确定满意度评分值在内男性与女性的人数，再结合古典概型求概率. 【小问1详解】 由. 【小问2详解】 估计众数为， 估计平均数为：. 【小问3详解】 由题意，满意度评分值为的人有人， 其中男性人，记为，，； 女性有人，记为，. 从这5人中随机抽取2人进行座谈，所有的样本点有：，，，， ，，，，，，共10个. 记“恰有1名女性”为事件，则事件包含：，，，，，6个样本点. 所以. 18. 在中，内角所对的边分别为，． （1）求的值； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）周长为 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简原式得到的关系，再代入中求解即可； （2）将第一问结果代入中求出，再利用余弦定理求出，进而求出，得到三角形周长. 【小问1详解】 根据正弦定理可化为， 因为，所以， 又，（是三角形内角）. 把代入：， ， 所以， 由，得， 所以. 【小问2详解】 . 代入：， 由余弦定理，已知： ， 所以， . 所以周长为 19. 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，∠ABC＝90°，AB＝PB＝PC＝BC＝2CD＝2，平面PBC⊥平面ABCD. （1）求证：AB⊥平面PBC； （2）求三棱锥C－ADP的体积； （3）在棱PB上是否存在点M，使CM平面PAD？若存在，求的值.若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）存在为中点满足，. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理完成证明； （2）替换顶点位置，转而求解三棱锥的体积，即可计算出三棱锥的体积； （3）取，的中点通过证明平行四边形，然后通过线线平行证明出线面平行并计算出的值. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又因为，所以，所以平面； （2） 取的中点，连接， 因为，且为中点，所以， 又因为平面，所以，且，所以平面， 所以是三棱锥的高，且， 因为，，所以， 所以； （3）存在为的中点满足题意； 证明如下：取的中点为，取的中点，连接， 因为为，的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 所以为中点满足题意，所以. 【点睛】本题考查立体几何的综合应用，其中涉及到线面平行、垂直的证明以及求几何体的体积，难度一般.求解几何体体积时，为了计算方便，有时候可以选择替换顶点去求解几何体体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $