5.3 二次函数的应用 课时作业 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第五章 二次函数 3 二次函数的应用 课时作业 北师大版 九年级上册　　班级：__________　姓名：__________　得分：__________ 一、知识梳理 知识点1 二次函数的最值 对于 （），当 时，函数取得最值 。当 时这个值是最小值；当 时这个值是最大值。 求最值常用两种方法： （1）配方法：把 化为 ，则 就是最值； （2）公式法：直接代入顶点坐标公式计算。 特别提醒：实际问题中自变量往往有取值范围。若顶点的横坐标在取值范围内，最值就在顶点处取得；若顶点的横坐标不在取值范围内，则应根据增减性在区间的端点处取得最值。这是本节最容易失分的地方。 知识点2 最大面积问题 解题关键：用一个字母表示出图形的相关边长，再根据面积公式列出二次函数，最后求最值。 常见的篱笆（围栏）问题：设总长为 ，靠墙的边不用篱笆，若有 段与墙垂直的篱笆，每段长 ，则与墙平行的一边长为 ，面积 。 列取值范围时要同时满足：各边长为正数；若墙长有限制，平行于墙的边不能超过墙长。 知识点3 最大利润问题 总利润＝单件利润×销售数量，单件利润＝售价－进价，总销售额＝售价×销售量。 常见设法：设涨价 元（或降价 元），则售价、销售量都可以用含 的式子表示，从而得到利润 关于 的二次函数。 注意：销售问题中常附加“销售量不低于某数”“售价不超过某数”等条件，它们决定了自变量的取值范围。 知识点4 抛物线形实际问题 如拱桥、隧道、喷泉、投篮、铅球、跳水等，其运动路线或形状可以看成抛物线。解题步骤： ①建立适当的平面直角坐标系（通常以对称轴为 轴，或以地面、水面为 轴，使表达式最简单）； ②根据已知条件写出关键点的坐标； ③用待定系数法求出表达式（已知顶点时设顶点式 ）； ④把实际问题转化为求函数值、求自变量的值或求最值的问题。 二、典型例题 例1 最大面积 用一段长为 30 m 的篱笆围成一个矩形，求矩形面积的最大值。 【解】设矩形的一边长为 m，则另一边长为 m。 由题意得 （）。 因为 ，且 在 内， 所以当 时， 有最大值 m²。 【点拨】周长一定的矩形中，正方形的面积最大。 例2 最大利润 某商品进价为 30 元/件，售价为 40 元/件时每月可卖出 300 件。市场调查发现：售价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件。设售价上涨 元，月利润为 元。求 与 之间的函数表达式，并求售价定为多少元时月利润最大。 【解】上涨 元后，单件利润为 元，月销售量为 件， 所以 （）。 配方得 。 因为 ，且 在取值范围内，所以当 时， 有最大值 4000。 此时售价为 （元）。即售价定为 50 元时，月利润最大，最大利润为 4000 元。 【点拨】“上涨 元”是设法的关键，注意区分“售价”与“上涨的钱数”。 例3 抛物线形问题 如图，一座抛物线形拱桥，桥拱的跨度为 8 m，拱顶到水面的距离为 4 m。以水面所在直线为 轴、抛物线的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，求这条抛物线的函数表达式。 （例3 图） 【解】由题意知，顶点坐标为 ，可设 。 因为跨度为 8 m，所以点 在抛物线上。 把 代入，得 ，解得 。 所以抛物线的表达式为 （）。 【点拨】坐标系建立得当，可使表达式最简单；顶点在 轴上时应设 。 三、基础过关（选择题，每小题 3 分，共 24 分） 1．用一段长为 40 m 的篱笆围成一个矩形场地，则这个矩形场地的最大面积是（　　） A．100 m²　　B．200 m²　　C．400 m²　　D．50 m² 2．二次函数 的最大值是（　　） A．3　　B．5　　C．　　D．2 3．某商品进价为 40 元/件，售价为 元/件时，日销售量为 件，则日利润最大时的售价是（　　） A．60 元　　B．65 元　　C．70 元　　D．75 元 4．如图是一座抛物线形拱桥，其表达式为 ．当水面上升到离拱顶 1 m 处时，水面的宽度为（　　） （第 4 题图） A．2 m　　B．4 m　　C．6 m　　D．8 m 5．一个直角三角形的两条直角边的和为 10 cm，则这个直角三角形面积的最大值是（　　） A．10 cm²　　B．12.5 cm²　　C．25 cm²　　D．50 cm² 6．二次函数 ，当 时，它的最大值与最小值分别是（　　） A．3 和 　　B．0 和 　　C．3 和 0　　D． 和 7．竖直向上抛出的物体，其高度 （m）与时间 （s）满足 ，则物体达到的最大高度是（　　） A．10 m　　B．15 m　　C．20 m　　D．25 m 8．用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一面靠墙的矩形场地（墙长 30 m），设垂直于墙的一边长为 m，则该场地的最大面积是（　　） A．400 m²　　B．450 m²　　C．500 m²　　D．600 m² 四、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 9．二次函数 的最小值是＿＿＿＿＿＿． 10．用长为 24 m 的篱笆围成一个矩形，当矩形的长与宽都为＿＿＿＿ m 时，面积最大，最大面积是＿＿＿＿ m²． 11．某商品进价为 20 元/件，售价为 元/件时，日销售量为 件，则当售价定为＿＿＿＿元时，日利润最大，最大日利润为＿＿＿＿元． 12．如图，某公园喷泉喷出的水柱的路线满足 （、 的单位：m），则水柱的最高点离地面＿＿＿＿ m，水柱的落地点与喷头的水平距离是＿＿＿＿ m． （第 12 题图） 13．某物体从地面竖直向上抛出，其高度 （m）与时间 （s）满足 ，则物体到达最高点所用的时间为＿＿＿＿ s，最大高度为＿＿＿＿ m． 14．已知二次函数 ，当 时，函数的最大值是＿＿＿＿，最小值是＿＿＿＿． 五、解答题（共 42 分） 15．（7 分）如图，用一段长为 36 m 的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个矩形场地，并用篱笆把它隔成两块（隔墙与墙垂直）．设与墙垂直的一边长为 m，矩形场地的面积为 m²． （第 15 题图） （1）求 与 之间的函数表达式及自变量 的取值范围； （2）当 为多少时，场地的面积最大？最大面积是多少？ 16．（7 分）某商店销售一种商品，进价为 50 元/件．当售价为 70 元/件时，每月可销售 200 件；市场调查表明，售价每上涨 1 元，每月的销售量就减少 5 件．设售价上涨 元，每月利润为 元． （1）求 与 之间的函数表达式； （2）售价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ 17．（7 分）如图，抛物线形拱桥的跨度为 8 m，拱顶到水面的距离为 4 m．以水面所在直线为 轴、对称轴为 轴建立平面直角坐标系． （第 17 题图） （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）当水面上升 1 m 时，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 18．（7 分）如图，某运动员掷铅球时，铅球的运行路线满足 ，其中 （m）是铅球离出手点的水平距离，（m）是铅球离地面的高度． （第 18 题图） （1）求铅球出手时离地面的高度； （2）铅球运行到最高点时，离地面多高？此时的水平距离是多少？ （3）求铅球落地时的水平距离（即掷铅球的成绩）． 19．（7 分）某商品进价为 30 元/件，物价部门规定其售价 （元/件）满足 ．经调查，日销售量 （件）与 满足 ．设日利润为 元． （1）求 与 之间的函数表达式； （2）售价定为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少？ 20．（7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm．点 P 从点 A 出发沿 AC 方向以 1 cm/s 的速度向点 C 运动，同时点 Q 从点 C 出发沿 CB 方向以 2 cm/s 的速度向点 B 运动，当点 Q 到达点 B 时运动停止．设运动时间为 s，△PCQ 的面积为 cm²． （第 20 题图） （1）用含 的式子表示 PC 和 CQ 的长； （2）求 与 之间的函数表达式及 的取值范围； （3）当 为何值时，△PCQ 的面积最大？最大面积是多少？ 六、拓展提升（共 10 分） 21．（5 分）用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一面靠墙的矩形场地（墙长 30 m），并在场地中间加一道与墙垂直的隔墙．设与墙垂直的一边长为 m． （1）求场地面积 与 的函数表达式，并写出 的取值范围（注意墙长的限制）； （2）求场地面积的最大值． 22．（5 分）某水果店购进一种水果，进价为 8 元/kg．当售价为 12 元/kg 时，日销售量为 100 kg；售价每提高 1 元，日销售量减少 10 kg．为保证日销售量不低于 60 kg，售价应定为多少元时日利润最大？最大日利润是多少？ 七、易错辨析与变式训练（共 16 分） 【易错提醒】①忽略自变量的取值范围，直接用顶点求最值；②顶点不在取值范围内时，不会用增减性在端点处取值；③把“售价”与“涨价”混淆；④实际问题的答案忘记写单位或忘记回答“定价是多少”；⑤靠墙问题中漏掉墙长的限制条件。 23．（4 分）判断下列说法是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”． （1）求实际问题中的最值，只要把顶点横坐标代入就一定正确．（　　） （2）抛物线 的最大值是 5．（　　） （3）总利润等于单件利润乘以销售数量．（　　） （4）在实际问题中，自变量可以取全体实数．（　　） 24．（4 分）已知二次函数 ，当 时，求 的最大值与最小值． 25．（4 分）某商品进价为 20 元/件，售价 （元/件）满足 ，日销售量为 件．求日利润的最大值． 26．（4 分）如图，用一根长为 8 m 的铝合金条制成“日”字形窗框（不计接头处的损耗），设窗框的宽为 m，面积为 m². （第 26 题图） （1）求 与 之间的函数表达式及 的取值范围； （2）求窗框面积的最大值． 参考答案与解析 一、选择题 1．A　【解析】设一边长为 m，则另一边长为 m，，当 时 最大为 100 m²． 2．B　【解析】配方得 ，因为 ，所以最大值为 5． 3．C　【解析】，当 时利润最大（最大利润为 9000 元）． 4．B　【解析】离拱顶 1 m 即 ，代入得 ，，，故宽度为 （m）． 5．B　【解析】设一条直角边为 cm，则另一条为 cm，，最大值为 12.5 cm²． 6．A　【解析】配方得 ，顶点 在 内，故最小值为 ；又 时 ， 时 ，故最大值为 3． 7．C　【解析】，当 s 时最大高度为 20 m． 8．B　【解析】平行于墙的一边长为 m，．当 时，平行于墙的边长为 30 m，恰好不超过墙长，故最大面积为 450 m²． 二、填空题 9．3　【解析】，，最小值为 3． 10．6；36　【解析】设一边为 m，，当 时（此时是正方形）面积最大为 36 m²． 11．35；225　【解析】，当 时 最大为 225 元． 12．2.25；2.5　【解析】顶点为 ，故最高点离地面 2.25 m；令 ，得 ，，取正值得 ． 13．3；45　【解析】，当 s 时最大高度为 45 m． 14．4；　【解析】配方得 ，顶点 在范围内，最大值为 4；端点处 时 ， 时 ，故最小值为 ． 三、解答题 15．【解】（1）与墙垂直的篱笆共 3 段，每段长 m，所以与墙平行的一边长为 m． 所以 ． 由 且 ，得 ． （2）配方得 ． 因为 ，且 在 内，所以当 时， 有最大值 108． 即当与墙垂直的一边长为 6 m 时，场地面积最大，最大面积为 108 m²． 16．【解】（1）售价上涨 元后，单件利润为 元，月销售量为 件． 所以 （）． （2）配方得 ． 因为 ，所以当 时， 有最大值 4500． 此时售价为 （元）．即售价定为 80 元时，每月利润最大，最大利润为 4500 元． 17．【解】（1）由题意，顶点为 ，设 ． 因为跨度为 8 m，所以点 在抛物线上，代入得 ，解得 ． 所以 ． （2）水面上升 1 m，即 ，代入得 ， 所以 ，． 故水面宽度为 （m）（约 6.9 m）． 18．【解】（1）当 时，，即铅球出手时离地面 m． （2）配方得 ． 所以当水平距离为 4 m 时，铅球最高，最大高度为 3 m． （3）落地时 ，即 ，所以 ，． 解得 ，（不合题意，舍去）． 所以铅球落地时的水平距离为 10 m，即成绩为 10 m． 19．【解】（1）（）． （2）配方得 ． 因为 ，对称轴是直线 ，而 全部在对称轴左侧， 所以在这个范围内 随 的增大而增大． 当 时， 取最大值：． 即售价定为 45 元时，日利润最大，最大日利润为 750 元． 【点拨】本题顶点不在自变量的取值范围内，必须用增减性在端点处取最值． 20．【解】（1） cm， cm． （2）因为 ∠C＝90°，所以 ． 由点 Q 到达点 B 时停止，得 ，即 ；又 ，故 ． （3）配方得 ．因为 ，且 在 内， 所以当 s 时，△PCQ 的面积最大，最大面积为 9 cm²． 四、拓展提升 21．【解】（1）与墙垂直的篱笆共 3 段（含隔墙），所以与墙平行的一边长为 m． 所以 ． 由 ，，且墙长 30 m 的限制 ， 解得 ． （2）配方得 ． 因为 ，对称轴为直线 ，且 在取值范围内， 所以当 时， 有最大值 300，即场地的最大面积为 300 m²． 【点拨】若忽略墙长限制，会误以为可以取到更大的面积，本题的取值范围正是由墙长决定的． 22．【解】设售价提高 元，则售价为 元/kg，单位利润为 元，日销售量为 kg． 由“日销售量不低于 60 kg”得 ，解得 ；又 ，故 ． 日利润 ． 因为 ，且 在 内，所以当 时， 有最大值 490． 此时售价为 （元/kg）．即售价定为 15 元/kg 时日利润最大，最大日利润为 490 元． 五、易错辨析与变式训练 23．【答案】（1）×　（2）√　（3）√　（4）× 【解析】（1）只有当顶点的横坐标在自变量的取值范围内时才成立；（4）实际问题中自变量必须使问题有意义． 24．【解】配方得 ，对称轴是直线 ，开口向上． 因为 都在对称轴右侧，所以 随 的增大而增大． 当 时，，为最小值；当 时，，为最大值． 25．【解】． 对称轴是直线 ，而 位于对称轴左侧，所以 随 的增大而增大． 当 时， 取最大值：（元）． 即日利润的最大值为 336 元． 26．【解】（1）“日”字形窗框中，横条共 3 根、竖条共 2 根， 由 ，得 ． 所以 ． 由 且 ，得 ． （2）配方得 ． 因为 ，且 在取值范围内， 所以当 m 时，窗框面积最大，最大面积为 m²（约 2.67 m²）． 学科网（北京）股份有限公司 $