新定义与创新问题的方法体系（三）几何与图形中的新定义专项训练-2027届高考数学一轮复习

新定义与创新问题的方法体系（三） 几何与图形中的新定义 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　换一种「距离」 几何部分的新定义，最爱在「距离」上做文章：把两点距离换成一个新算式，再让你在这个算式下判断、计数或求最值。这类题不必画图，按定义老实算就行。 拿到新距离，第一件事是看它能不能「按坐标拆开」。例如网线距离等于三个一元式子的和，每个坐标各管一段、互不干扰，能这样拆开，就可以一段一段处理。 拆开后逐个求范围。如果三个括号各有一个下界，而它们的和恰好等于题给的定值，那就说明三个括号都只能取下界 —— 一个等式就这样拆成了三个不等式。 有一句话要记牢： 不小于 ，并且当且仅当 在 与 之间时才取等号。用它可以少讨论很多情况。 例如动点到原点、 轴、 轴的距离之和等于 2。记 ，条件就是 ，于是 。再配上 ，它就被夹在中间：由 不小于 得上界，由它不超过 得下界。 求出范围后一定要回头看看两端取不取得到。取上界时点落在坐标轴上，取下界时两个坐标的绝对值相等，都要能对上原来的等式，否则你写出的只是范围的一部分。 要求最值时也可以倒着做：先找出「能让等号成立」的范围，再在这个范围里挑最优的点。换个顺序，计算量常常差很多。 遇到「距离之和等于两端距离」这类条件，先想等号什么时候成立。它通常就是说「点落在线段上」或「点落在某个方框里」，把几何条件直接译成坐标范围，比硬算快得多。 这类题按四步走：拆成坐标、逐个求范围、合成条件、数点或求最值。四步里最容易漏的是验证等号能否取到，写解答时务必点明。 知识点二　按规则搬动与改变形状 平移、伸缩这类新定义，说的都是「把每个点按规则搬到新位置」。求新轨迹的做法是固定的：先设新点的坐标，把老坐标反解出来，再代回老方程。 题目有时会给这种搬动起个名字（例如叫「仿射对应」），不用管它叫什么 ——横坐标乘一个数、纵坐标乘另一个数，就是它的全部意思。 例如点 搬到 ，而 的轨迹是 ，那就令 、，解出 再代回去，得到的就是 的轨迹方程。圆这样伸缩之后变成椭圆：取 、，得到的椭圆就是 ，可以直接用。 面积也跟着倍数变：两条边分别拉长固定的倍数，面积就乘上这两个倍数的乘积。所以 与 的面积之比是 ，即 。 反过来用得更勤：椭圆上的问题，常常先「换回圆」再处理。令 、，椭圆就变回单位圆 ，很多结论在圆上一眼就看出来了。 带绝对值的曲线，处理顺序是「先看对称，再只看第一象限」。像 对两条坐标轴、对原点都对称，所以研究 那一段就够了。 判断对称只做一件事：把 换成 ，或者把 换成 ，看方程变不变。不变就是关于相应的轴或原点对称，这一步是纯计算，不必靠想象。 指数是分数时，换元可以把它变成一次式。记 、，曲线就变成 ，要算的量也用它俩表示。例如求 的最大值，把它写成 ，再由 得最大值 。 判断两条曲线有几个交点，联立之后重点看取值范围。常常是「两边都小于 1」这类限制让方程无解，而不是计算有多复杂，例如曲线与 只在四个顶点处相遇。 比较面积大小时，找一个能框住曲线的简单图形最管用。曲线若整个落在一个面积为 2 的正方形里，又没有沿着边线走，那么它围出的面积必小于 2，根本不用去算积分。 变换类题的流程是「设新坐标、反解、代回」；带绝对值或根式的曲线则是「先看对称、再做换元、最后求范围」。 知识点三　算对立面与分类染色 计数类的新定义题，正面数往往很难。这时把角度换一下：要么算它的对立面，要么给对象分类染色。染色不是为了好看，是为了找出一条必然成立的规律。 例如 10 个点两两连线，每条线段染红或绿，问三边同色的三角形至少有几个。直接数同色的很难，改去数「三边颜色各不相同」的三角形，就轻松多了。 数的抓手是「角」。三角形的每个顶点处有两条边，两条同色叫同色角，一红一绿叫异色角。三边同色的三角形一个异色角也没有，三边颜色各不相同的三角形恰好有两个异色角。 所以只要数出全部异色角的个数，再除以 2，就得到三边颜色各不相同的三角形个数。这比一个个三角形去看快得多。 一个顶点处的异色角个数等于「红边数乘绿边数」。10 个点每点连出 9 条边，若其中红边有 条，异色角就有 个。 在 或 时最大，等于 20。所以异色角总数不超过 个，异色三角形不超过 100 个，三边同色的三角形至少有 个。 用二次函数求上界时别忘了 是整数：最大值取在离对称轴最近的两个整数处，不要把顶点的横坐标直接代进去。 另一类典型是覆盖问题。把棋盘的格子按「列号除以 3 的余数」分成三类，再看每一种覆盖用的小图形在每一类里各占几格。只要这几个数固定，就能用余数去卡。 例： 的方格图用 或 的矩形覆盖。按列号除以 3 的余数分类，三类分别是 24、24、16 格；横放的矩形三类各占 1 格，竖放的矩形三格都落在同一类里。 这样一来，每一类里矩形的个数就受到制约，去掉某一格之后可能就凑不齐了。这就是覆盖问题里最常用的一招。 要记住：这种办法给出的是「不可能」，不是「可能」。余数对得上只说明这种取法还没被否掉，要下结论还得真的把覆盖构造出来。 计数题先想「算对立面」，覆盖题先想「分类染色」，两者共同的思路都是把难数的对象换成好数的对象。 知识点四　一笔画与运算型定义 「一笔画」类的新定义，把多面体的棱看成线、顶点看成点，问题就变成：不重复地走遍所有的棱，最少要画几笔。 结论只有一条：最少笔数等于「引出奇数条棱的顶点」的个数的一半，并且至少 1 笔。把这条记准，剩下的都是数数。 道理并不难：每一笔有起点和终点，最多只能让两个「引出奇数条棱的顶点」各用掉一条；若这一笔最后回到了起点，就连一个也没用掉。所以笔数不会比「个数的一半」少。 反过来这个数也确实够用：把这类顶点两两配成对，在每一对之间添一条虚拟的棱，此时每个顶点都引出偶数条棱，可以一笔画完；再把添的棱去掉，这条回路就断成若干笔，笔数正好是一半。 例：正方体 8 个顶点每个都引出 3 条棱，共 8 个这样的顶点，所以要 4 笔；五棱锥 6 个顶点引出的都是奇数条棱，所以要 3 笔。 数的时候别数漏。 棱锥的顶点引出 条棱，底面每个顶点引出 3 条，奇偶性随 变化，所以 棱锥的笔数要分 是奇数还是偶数来讨论。 这类题常给出一个关于 的公式让你判断。判断它，就是判断它对所有 是否都成立，举出一个反例就足以否定。 还有一类新定义给的是一个运算。例如把两列数对应位置相乘再相加，题目把它叫作「内积」，然后问你所有可能的运算值合起来是哪些数。 研究这个集合先定两头：两列数按同样顺序相乘相加时最大，按相反顺序相乘相加时最小。两头算出来，范围就清楚了。 剩下要说明中间的整数都取得到。做法是一点点挪动某个位置上的数，看结果每次变化多少，再一段一段补齐。注意 较小时中间可能缺一个值， 大一些就连成一片了。 最后一类是「各行最大中的最小」与「各列最小中的最大」比大小。取「行最大」所在的行与「列最小」所在的列，它们的交点同时满足两个不等式，这一步就把两个量串起来了。 图形类的新定义先找「引出奇数条棱的顶点」，运算类的新定义先看「两头算得出、中间补得齐」，这两条几乎覆盖了本册所有题目。 二、方法突破 方法一　几何与图形中的新定义 这一册的题目分成两类：一类把距离、面积、对称重新定义，一类给图形换一套玩法 —— 染色、覆盖、一笔画。两类的入口不同，但都要先把这个新定义翻译成熟悉的面孔。 ★ 换了距离的题，第一步永远是把它写成各坐标分开的形式。分开之后条件就成了若干个一元不等式，逐个处理即可；哪一步拆不开，往往说明还没找到新定义的正确读法。 ★ 绝对值的三角不等式 与它的取等条件（ 在 与 之间），是判断「距离之和最小」「距离之和等于定值」这类条件的钥匙。 换了玩法的题，先想有没有更好的角度。计数题从对立面数，覆盖题给格子分类染色，一笔画题则去看每个顶点连出的条数是奇数还是偶数。 ★ 染色论证的要点是：让每一个覆盖件在各类中占的格数固定（或至少在模某个数下固定），再用类与类之间的余数矛盾排除可能。排除法给出的是必要条件，下结论前要留意这一点。 ★ 一笔画问题的结论只有一条：笔数等于「引出奇数条棱的顶点」个数的一半，且至少 1 笔。数这些顶点时不要漏，特别是 棱锥这类顶点连出条数随 变化的图形，要分奇偶讨论。 求轨迹或判断曲线性质时，「把新坐标反解回原坐标、再代回原方程」是最稳的一步。反过来，椭圆的问题常常能换回单位圆再做，两点对圆心张成直角这类结论在圆上看得最清楚。 含绝对值的曲线先看对称，再只看第一象限；此时用 这类换元把方程降成线性关系，要算的量也跟着变成 的简单式子。 题目里出现两个量的比较时，找一个同时与两者相关的位置（交点、公共项），把不等式写出来，往往一步就能定出大小关系。 ★ 做完自查：新定义给出的条件是否用全了？取等号的情形验证过了吗？计数或分类时有没有漏掉、重复？最后的结果有没有回头用原定义检验一遍？ 例题 例 1-1 【单选】定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、、均为整数，若满足的点的个数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　把条件压成「每个坐标都得取等号」 ◈ 三个括号各自有下界 4，加起来恰好等于 12，说明每一个都必须取到下界，这一步把三元的等式拆成了三个独立的一元不等式。 第 2 步　取等号的条件就是「夹在中间」 ◈ 取最小值的充要条件是 落在 与 之间，不必分类讨论。 第 3 步　独立计数 ◈ 三个坐标互不干扰，各 5 种取法，直接相乘得 125。 答　C 例 1-2 【解答】在平面直角坐标系中，设，规定：点叫做点的仿射对应点．已知点的轨迹的方程为，点的仿射对应点的轨迹为．（1）求的轨迹方程；（2）设是曲线上的两点，的仿射对应点分别为．和的面积分别记为．求；（3）设是曲线上两点，若的面积为，求证：为定值． 【解析】 第 1 步　对应关系就是「按倍数拉长坐标」 ◈ 拉长 倍、 拉长 倍，于是圆变成椭圆，面积也按同一个倍数变化。 第 2 步　面积比一步到位 ◈ 的两条边分别是 对应边的定点倍数，面积之比就是 。 第 3 步　把椭圆换回单位圆再看垂直 ◈ 令 、 后问题回到单位圆： 说明两个点对圆心张成直角，于是 ，定值自然出现。 答　(1) ；(2) ；(3) 证明见解析 例 1-3 【解答】如图，矩形网格线中，每一条线段表示一条道路，每一个交点表示一个路口，路口无信号灯，其它每个路口都只有一个圆饼形信号灯.交通法规定：当圆饼形信号灯为绿灯时，汽车左转､右转､直行都可以；当圆饼形信号灯为红灯时，汽车只能右转.某出租车司机需要把乘客从位置沿着网格线送到位置，行驶的是最短路线（即不绕路）.在所有最短路线中，把理论上等红灯时间总和最少的路线称为“最优路线”.若该出租车行驶到每个路口（司机视角）遇到红灯和绿灯的概率都为（黄灯忽略不计），遇到红灯平均等待的时间为.已知，出租车速度为. （1）已知路线一：；路线二：.请问路线一和路线二哪一条路线是“最优路线”？并说明理由.（2）若该出租车司机选择每一条最短路线的可能性相等，问该司机在所有最短路线中任选一条，能选中“最优路线”的概率是多少？（3）若该出租车司机选择了一条“最优路线”，表示该出租车从位置到位置所用的时间（单位：分钟），求的期望. 【解析】 第 1 步　先算路程，再定「最优」的口径 ◈ 任何一条最短路线的行驶时间都是 9 min，所以只要比等灯时间；而红灯时只能右转，左转和直行才需要等。 第 2 步　把「等灯口数」转成「右转次数」 ◈ 经过的 6 个有灯路口里，右转都能直接过，所以等灯口数就是 6 减去右转次数 —— 数右转比数等灯容易得多。 第 3 步　右转次数用插空法数 ◈ 走法由 4 个横步与 3 个竖步组成，右转只发生在「竖后紧跟横」的位置，把 3 个竖步插到 4 个横步前，插法数一目了然。 答　(1) 路线一是最优路线；(2) ；(3) 例 1-4 【解答】设维向量，，定义运算：.（1）当时，若且，，试比较与的大小；（2）已知，记 为所有 的取值组成的集合，其中 、，且 和 均为 的某一排列.（ⅰ）求，；（ⅱ）若，求.（提示：.） 【解析】 第 1 步　先算最大最小 ◈ 两列数同序相乘相加时最大、逆序相乘相加时最小，两端值直接写出，、 的边界就有了。 第 2 步　中间的值靠「挪动 1 的位置」凑 ◈ 把 的第 1 位固定为 1 得到低段，把 1 挪到末位得到高段，两段拼起来正好覆盖整个区间。 第 3 步　两段能不能接上全看 ◈ 时低段的上界超过高段的下界，区间连成一片； 时两段断开，缺的那个值就是 12。 答　(1) ；(2) （ⅰ），，（ⅱ） 练习 1-1. 【填空】在一块黑板上共有10个点，其中任意3点都不共线，现将任意两点用红色线段或绿色线段连结起来，在所得到的图形中三边同色的三角形至少有______________个. 1-2. 【单选】数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过 C. 曲线与有8个交点 D. 曲线所围成图形的面积小于2 1-3. 【单选】已知动点P到坐标原点O，x轴，y轴的距离之和为2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 1-4. 【多选】在如图所示的方格图中，去掉以下哪一个方格，剩下的方格图能用总共21个或的矩形方格图完全覆盖（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 1-5. 【多选】在的方格表中，任意填入个互不相等的实数，取每行的最大数得到个数，其中最小的一个是，再取每列的最小数，又得到个数，其中最大的一个是，下列结论中可能成立的有（ ） A. B. C. D. 1-6. 【多选】用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱画线，不间断、不重复，最终回到起点或到达另一个顶点的过程称为“1笔”.现定义：如果遍历一个空间多面体所有的顶点和棱至少需要笔，则该多面体称为笔画多面体.那么下列说法正确的是（ ） A. 五棱锥是3笔画多面体 B. 正方体是4笔画多面体 C. 棱锥是笔画多面体 D. 棱柱是笔画多面体 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新定义与创新问题的方法体系（三） 几何与图形中的新定义 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　换一种「距离」 几何部分的新定义，最爱在「距离」上做文章：把两点距离换成一个新算式，再让你在这个算式下判断、计数或求最值。这类题不必画图，按定义老实算就行。 拿到新距离，第一件事是看它能不能「按坐标拆开」。例如网线距离等于三个一元式子的和，每个坐标各管一段、互不干扰，能这样拆开，就可以一段一段处理。 拆开后逐个求范围。如果三个括号各有一个下界，而它们的和恰好等于题给的定值，那就说明三个括号都只能取下界 —— 一个等式就这样拆成了三个不等式。 有一句话要记牢： 不小于 ，并且当且仅当 在 与 之间时才取等号。用它可以少讨论很多情况。 例如动点到原点、 轴、 轴的距离之和等于 2。记 ，条件就是 ，于是 。再配上 ，它就被夹在中间：由 不小于 得上界，由它不超过 得下界。 求出范围后一定要回头看看两端取不取得到。取上界时点落在坐标轴上，取下界时两个坐标的绝对值相等，都要能对上原来的等式，否则你写出的只是范围的一部分。 要求最值时也可以倒着做：先找出「能让等号成立」的范围，再在这个范围里挑最优的点。换个顺序，计算量常常差很多。 遇到「距离之和等于两端距离」这类条件，先想等号什么时候成立。它通常就是说「点落在线段上」或「点落在某个方框里」，把几何条件直接译成坐标范围，比硬算快得多。 这类题按四步走：拆成坐标、逐个求范围、合成条件、数点或求最值。四步里最容易漏的是验证等号能否取到，写解答时务必点明。 知识点二　按规则搬动与改变形状 平移、伸缩这类新定义，说的都是「把每个点按规则搬到新位置」。求新轨迹的做法是固定的：先设新点的坐标，把老坐标反解出来，再代回老方程。 题目有时会给这种搬动起个名字（例如叫「仿射对应」），不用管它叫什么 ——横坐标乘一个数、纵坐标乘另一个数，就是它的全部意思。 例如点 搬到 ，而 的轨迹是 ，那就令 、，解出 再代回去，得到的就是 的轨迹方程。圆这样伸缩之后变成椭圆：取 、，得到的椭圆就是 ，可以直接用。 面积也跟着倍数变：两条边分别拉长固定的倍数，面积就乘上这两个倍数的乘积。所以 与 的面积之比是 ，即 。 反过来用得更勤：椭圆上的问题，常常先「换回圆」再处理。令 、，椭圆就变回单位圆 ，很多结论在圆上一眼就看出来了。 带绝对值的曲线，处理顺序是「先看对称，再只看第一象限」。像 对两条坐标轴、对原点都对称，所以研究 那一段就够了。 判断对称只做一件事：把 换成 ，或者把 换成 ，看方程变不变。不变就是关于相应的轴或原点对称，这一步是纯计算，不必靠想象。 指数是分数时，换元可以把它变成一次式。记 、，曲线就变成 ，要算的量也用它俩表示。例如求 的最大值，把它写成 ，再由 得最大值 。 判断两条曲线有几个交点，联立之后重点看取值范围。常常是「两边都小于 1」这类限制让方程无解，而不是计算有多复杂，例如曲线与 只在四个顶点处相遇。 比较面积大小时，找一个能框住曲线的简单图形最管用。曲线若整个落在一个面积为 2 的正方形里，又没有沿着边线走，那么它围出的面积必小于 2，根本不用去算积分。 变换类题的流程是「设新坐标、反解、代回」；带绝对值或根式的曲线则是「先看对称、再做换元、最后求范围」。 知识点三　算对立面与分类染色 计数类的新定义题，正面数往往很难。这时把角度换一下：要么算它的对立面，要么给对象分类染色。染色不是为了好看，是为了找出一条必然成立的规律。 例如 10 个点两两连线，每条线段染红或绿，问三边同色的三角形至少有几个。直接数同色的很难，改去数「三边颜色各不相同」的三角形，就轻松多了。 数的抓手是「角」。三角形的每个顶点处有两条边，两条同色叫同色角，一红一绿叫异色角。三边同色的三角形一个异色角也没有，三边颜色各不相同的三角形恰好有两个异色角。 所以只要数出全部异色角的个数，再除以 2，就得到三边颜色各不相同的三角形个数。这比一个个三角形去看快得多。 一个顶点处的异色角个数等于「红边数乘绿边数」。10 个点每点连出 9 条边，若其中红边有 条，异色角就有 个。 在 或 时最大，等于 20。所以异色角总数不超过 个，异色三角形不超过 100 个，三边同色的三角形至少有 个。 用二次函数求上界时别忘了 是整数：最大值取在离对称轴最近的两个整数处，不要把顶点的横坐标直接代进去。 另一类典型是覆盖问题。把棋盘的格子按「列号除以 3 的余数」分成三类，再看每一种覆盖用的小图形在每一类里各占几格。只要这几个数固定，就能用余数去卡。 例： 的方格图用 或 的矩形覆盖。按列号除以 3 的余数分类，三类分别是 24、24、16 格；横放的矩形三类各占 1 格，竖放的矩形三格都落在同一类里。 这样一来，每一类里矩形的个数就受到制约，去掉某一格之后可能就凑不齐了。这就是覆盖问题里最常用的一招。 要记住：这种办法给出的是「不可能」，不是「可能」。余数对得上只说明这种取法还没被否掉，要下结论还得真的把覆盖构造出来。 计数题先想「算对立面」，覆盖题先想「分类染色」，两者共同的思路都是把难数的对象换成好数的对象。 知识点四　一笔画与运算型定义 「一笔画」类的新定义，把多面体的棱看成线、顶点看成点，问题就变成：不重复地走遍所有的棱，最少要画几笔。 结论只有一条：最少笔数等于「引出奇数条棱的顶点」的个数的一半，并且至少 1 笔。把这条记准，剩下的都是数数。 道理并不难：每一笔有起点和终点，最多只能让两个「引出奇数条棱的顶点」各用掉一条；若这一笔最后回到了起点，就连一个也没用掉。所以笔数不会比「个数的一半」少。 反过来这个数也确实够用：把这类顶点两两配成对，在每一对之间添一条虚拟的棱，此时每个顶点都引出偶数条棱，可以一笔画完；再把添的棱去掉，这条回路就断成若干笔，笔数正好是一半。 例：正方体 8 个顶点每个都引出 3 条棱，共 8 个这样的顶点，所以要 4 笔；五棱锥 6 个顶点引出的都是奇数条棱，所以要 3 笔。 数的时候别数漏。 棱锥的顶点引出 条棱，底面每个顶点引出 3 条，奇偶性随 变化，所以 棱锥的笔数要分 是奇数还是偶数来讨论。 这类题常给出一个关于 的公式让你判断。判断它，就是判断它对所有 是否都成立，举出一个反例就足以否定。 还有一类新定义给的是一个运算。例如把两列数对应位置相乘再相加，题目把它叫作「内积」，然后问你所有可能的运算值合起来是哪些数。 研究这个集合先定两头：两列数按同样顺序相乘相加时最大，按相反顺序相乘相加时最小。两头算出来，范围就清楚了。 剩下要说明中间的整数都取得到。做法是一点点挪动某个位置上的数，看结果每次变化多少，再一段一段补齐。注意 较小时中间可能缺一个值， 大一些就连成一片了。 最后一类是「各行最大中的最小」与「各列最小中的最大」比大小。取「行最大」所在的行与「列最小」所在的列，它们的交点同时满足两个不等式，这一步就把两个量串起来了。 图形类的新定义先找「引出奇数条棱的顶点」，运算类的新定义先看「两头算得出、中间补得齐」，这两条几乎覆盖了本册所有题目。 二、方法突破 方法一　几何与图形中的新定义 这一册的题目分成两类：一类把距离、面积、对称重新定义，一类给图形换一套玩法 —— 染色、覆盖、一笔画。两类的入口不同，但都要先把这个新定义翻译成熟悉的面孔。 ★ 换了距离的题，第一步永远是把它写成各坐标分开的形式。分开之后条件就成了若干个一元不等式，逐个处理即可；哪一步拆不开，往往说明还没找到新定义的正确读法。 ★ 绝对值的三角不等式 与它的取等条件（ 在 与 之间），是判断「距离之和最小」「距离之和等于定值」这类条件的钥匙。 换了玩法的题，先想有没有更好的角度。计数题从对立面数，覆盖题给格子分类染色，一笔画题则去看每个顶点连出的条数是奇数还是偶数。 ★ 染色论证的要点是：让每一个覆盖件在各类中占的格数固定（或至少在模某个数下固定），再用类与类之间的余数矛盾排除可能。排除法给出的是必要条件，下结论前要留意这一点。 ★ 一笔画问题的结论只有一条：笔数等于「引出奇数条棱的顶点」个数的一半，且至少 1 笔。数这些顶点时不要漏，特别是 棱锥这类顶点连出条数随 变化的图形，要分奇偶讨论。 求轨迹或判断曲线性质时，「把新坐标反解回原坐标、再代回原方程」是最稳的一步。反过来，椭圆的问题常常能换回单位圆再做，两点对圆心张成直角这类结论在圆上看得最清楚。 含绝对值的曲线先看对称，再只看第一象限；此时用 这类换元把方程降成线性关系，要算的量也跟着变成 的简单式子。 题目里出现两个量的比较时，找一个同时与两者相关的位置（交点、公共项），把不等式写出来，往往一步就能定出大小关系。 ★ 做完自查：新定义给出的条件是否用全了？取等号的情形验证过了吗？计数或分类时有没有漏掉、重复？最后的结果有没有回头用原定义检验一遍？ 例题 例 1-1 【单选】定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、、均为整数，若满足的点的个数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 「网线距离」就是把三个坐标的差的绝对值加起来，。 于是所给条件写成 。 对任何一个实数 ，由绝对值的三角不等式有 ， 并且等号成立当且仅当 在 与 之间，即 。 三个括号各自都不小于 4，而它们的和恰为 12，所以每个括号都必须取到 4， 也就得到 、、。 题目要求 、、 都是整数，所以每个坐标各有 这 5 种取法， 三个坐标相互独立，点 的个数 ，选 C。 第 1 步　把条件压成「每个坐标都得取等号」 ◈ 三个括号各自有下界 4，加起来恰好等于 12，说明每一个都必须取到下界，这一步把三元的等式拆成了三个独立的一元不等式。 第 2 步　取等号的条件就是「夹在中间」 ◈ 取最小值的充要条件是 落在 与 之间，不必分类讨论。 第 3 步　独立计数 ◈ 三个坐标互不干扰，各 5 种取法，直接相乘得 125。 答　C 例 1-2 【解答】在平面直角坐标系中，设，规定：点叫做点的仿射对应点．已知点的轨迹的方程为，点的仿射对应点的轨迹为．（1）求的轨迹方程；（2）设是曲线上的两点，的仿射对应点分别为．和的面积分别记为．求；（3）设是曲线上两点，若的面积为，求证：为定值． 【解析】 （1）点 在 上，它的对应点是 。 反过来解出 、，代入 得 ，所以 的方程为 。 （2）由（1）知对应关系把每个坐标按固定倍数放大，所以三角形的面积也按同样的倍数变化。 记 、，则 ， 而 、，所以 ， 因此 。 （3）把 的方程做同样的换元：令 、， 则 变成 ，也就是单位圆。 记 、，其中 、。 由（2）的同一算法， 的面积为 。 因为 、 都是单位向量， 就是这两个向量张成的平行四边形的面积， 它等于 （ 为两向量的夹角），不超过 1。 而题设给出 ，代入得 ， 说明上式取到了最大值，即 ，两个向量互相垂直。 于是 由 旋转 得到， 不论顺时针还是逆时针，都有 。 所以 ， 即 是定值 3。 第 1 步　对应关系就是「按倍数拉长坐标」 ◈ 拉长 倍、 拉长 倍，于是圆变成椭圆，面积也按同一个倍数变化。 第 2 步　面积比一步到位 ◈ 的两条边分别是 对应边的定点倍数，面积之比就是 。 第 3 步　把椭圆换回单位圆再看垂直 ◈ 令 、 后问题回到单位圆： 说明两个点对圆心张成直角，于是 ，定值自然出现。 答　(1) ；(2) ；(3) 证明见解析 例 1-3 【解答】如图，矩形网格线中，每一条线段表示一条道路，每一个交点表示一个路口，路口无信号灯，其它每个路口都只有一个圆饼形信号灯.交通法规定：当圆饼形信号灯为绿灯时，汽车左转､右转､直行都可以；当圆饼形信号灯为红灯时，汽车只能右转.某出租车司机需要把乘客从位置沿着网格线送到位置，行驶的是最短路线（即不绕路）.在所有最短路线中，把理论上等红灯时间总和最少的路线称为“最优路线”.若该出租车行驶到每个路口（司机视角）遇到红灯和绿灯的概率都为（黄灯忽略不计），遇到红灯平均等待的时间为.已知，出租车速度为. （1）已知路线一：；路线二：.请问路线一和路线二哪一条路线是“最优路线”？并说明理由.（2）若该出租车司机选择每一条最短路线的可能性相等，问该司机在所有最短路线中任选一条，能选中“最优路线”的概率是多少？（3）若该出租车司机选择了一条“最优路线”，表示该出租车从位置到位置所用的时间（单位：分钟），求的期望. 【解析】 （1）先认清网格的尺寸。 在同一行内跨 4 段，长 6 km，所以横向每段 1.5 km； 在同一列内跨 3 段，长 3 km，所以纵向每段 1 km。 从 到 要走 4 段横向、3 段纵向，路程为 km， 行驶时间都是 9 min，与选哪条路无关。所以「等红灯时间最少」就成了唯一的标准。 再看路口规则：绿灯时三种走法都行；红灯时只能右转， 这意味着「右转」遇到红灯也能通过，而「左转」和「直行」必须等到绿灯，遇到红灯就要等 1 min。 于是比较两条路线，只需数一数各自有几个路口必须等灯。 把「向行号大的方向走」记为竖、把「向列号大的方向走」记为横。 路线一 的走法是竖、横、竖、横、竖、横、横， 在 、、 三处分别是左转、左转、直行，都必须等灯；其余三处是右转，不用等。 路线二 的走法是竖、横、竖、横、横、横、竖， 在 、、、 四处分别是左转、直行、直行、左转，都必须等灯；只有 、 两处是右转。 路线一有 3 个路口必须等灯，路线二有 4 个，所以路线一是最优路线。 （2）最短路线一共有 条，而每条最短路线都要等灯的路口数只与「右转的次数」有关： 一条最短路线经过 6 个有灯路口，其中右转的不用等，所以必须等的路口数等于 减去右转次数。 走法由 4 个横、3 个竖组成，右转指的是「先竖后横」的那一步， 4 个横步中，只要它前面紧跟的是竖步，就发生一次右转。 于是把 3 个竖步分到 4 个横步的前面与最后：设第 1、2、3、4 个横步之前各有 个竖步， 末尾还有 个，则 。 右转次数就是 中不小于 1 的个数，最多只能是 3， 取到 3 时这四个数恰好有三个等于 1、一个等于 0，共 4 种情形，对应 4 条最优路线。 所以所求概率为 。 （3）最优路线上有 3 个路口必须等灯，每个路口遇红灯的概率都是 ， 所以等待次数 服从二项分布 ，。 行驶时间恒为 9 min，故 min。 第 1 步　先算路程，再定「最优」的口径 ◈ 任何一条最短路线的行驶时间都是 9 min，所以只要比等灯时间；而红灯时只能右转，左转和直行才需要等。 第 2 步　把「等灯口数」转成「右转次数」 ◈ 经过的 6 个有灯路口里，右转都能直接过，所以等灯口数就是 6 减去右转次数 —— 数右转比数等灯容易得多。 第 3 步　右转次数用插空法数 ◈ 走法由 4 个横步与 3 个竖步组成，右转只发生在「竖后紧跟横」的位置，把 3 个竖步插到 4 个横步前，插法数一目了然。 答　(1) 路线一是最优路线；(2) ；(3) 例 1-4 【解答】设维向量，，定义运算：.（1）当时，若且，，试比较与的大小；（2）已知，记 为所有 的取值组成的集合，其中 、，且 和 均为 的某一排列.（ⅰ）求，；（ⅱ）若，求.（提示：.） 【解析】 （1）当 时，，。 两式相减得 。 由 、 知这个差为正，所以 。 （2）（ⅰ）取 ，让 取遍所有排列： 得 ， 得 ， 得 ， 得 ， 得 ， 得 。 再把 也取遍所有排列，得不到新的值，所以 。 同序时最大，为 ；逆序时最小，为 ，中间只有 12 取不到。 时同序最大为 ，逆序最小为 ， 逐对交换检验可知 20 到 30 之间的每个整数都能取到，所以 。 （ⅱ）下面证明 时 就是从最小值到最大值的全部整数。 两列数按同样顺序相乘相加时最大、按相反顺序相乘相加时最小，所以 ， 。 记 。把 的第 1 位固定为 1， 后面 位任意排列，就得到 取遍 到 的全部整数（这是 个数的同类问题）。 再把 取成 （把 1 挪到末位、其余顺次前移）， 算得 ；在这个基础上对前 位任意排列， 就取遍从 到 的全部整数。 当 时 ，两段首尾相接， 于是 取遍 到 的全部整数， 也就取遍 到 的全部整数。 当 时两段是 与 中间缺 5， 但取 时 ，，缺口被补上。 这也解释了 时为什么单缺一个 12： 的两段是 与 ，缺的正是 。 所以 时 。 第 1 步　先算最大最小 ◈ 两列数同序相乘相加时最大、逆序相乘相加时最小，两端值直接写出，、 的边界就有了。 第 2 步　中间的值靠「挪动 1 的位置」凑 ◈ 把 的第 1 位固定为 1 得到低段，把 1 挪到末位得到高段，两段拼起来正好覆盖整个区间。 第 3 步　两段能不能接上全看 ◈ 时低段的上界超过高段的下界，区间连成一片； 时两段断开，缺的那个值就是 12。 答　(1) ；(2) （ⅰ），，（ⅱ） 练习 1-1. 【填空】在一块黑板上共有10个点，其中任意3点都不共线，现将任意两点用红色线段或绿色线段连结起来，在所得到的图形中三边同色的三角形至少有______________个. 解析　答： 共 个三角形，逐个算同色三角形不好数，改从「异色三角形」入手。 设第 个点引出的红边有 条，则绿边有 条。 以该点为一个顶点的角有 个，其中两边一红一绿的角有 个。 一个三边不同色的三角形里恰有 2 个这样的异色角，而三边同色的三角形里一个都没有。 所以 异色三角形数 。 因为 在 或 时取最大值 ， 所以 ，异色三角形至多 个。 于是同色三角形至少有 个。 取每个点引出的红边恰为 4 或 5 条的染色（例如每个点连向环上相隔 1、2 位的点）， 可使上面每处都取到等号，此时恰有 20 个同色三角形。 所以三边同色的三角形至少有 20 个。 1-2. 【单选】数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过 C. 曲线与有8个交点 D. 曲线所围成图形的面积小于2 解析　答：C A 项：把 换成 ，方程 不变， 所以曲线关于 轴对称，A 正确。 B 项：记 、，则 ， 且 ，所以 。 而 、，故 ，B 正确。 C 项：设交点为 在第一象限内的部分，则 且 ， 其中 、。当 时 ， 所以只要 都大于 0，就有 ，与第二条方程矛盾。 可见交点只能落在坐标轴上，即 、 共 4 个，不是 8 个，C 错误。 D 项：由 且 、，可知 ， 即曲线全部落在正方形 的内部，该正方形面积为 2。 又曲线与正方形只在 4 个顶点处相接，不沿边线走，所以曲线围成的图形面积小于 2，D 正确。 所以说法错误的是 C。 1-3. 【单选】已知动点P到坐标原点O，x轴，y轴的距离之和为2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 记 ，则点 到 轴、 轴的距离分别是 、， 题设条件就是 ，即 。 由 得 ， 整理得 ，解得 。 再由 得 ， 即 ，解得 。 两个不等式都是「取等号」的充要条件，所以两端都能取到： 时点在坐标轴上， 时 。 所以 的取值范围是 ，选 B。 1-4. 【多选】在如图所示的方格图中，去掉以下哪一个方格，剩下的方格图能用总共21个或的矩形方格图完全覆盖（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 解析　答：AD 把 方格图按列分组染色：第 1、4、7 列涂红，第 2、5、8 列涂蓝，第 3、6 列涂黄。 红色与蓝色各有 格，黄色有 格。 每个 矩形横跨同一行相邻的三列，红蓝黄各占 1 格； 每个 矩形落在同一列的相邻三行，三格同色。 设用去 个 矩形、 个 矩形， 并设覆盖红、蓝、黄的 矩形分别为 、、 个， 则 。 去掉一个红格后，三种颜色的格数是 23、24、16，于是 、、。 前两式给出 ，第三式给出 ， 模 3 之下分别是 2 与 1，互相矛盾，所以红格不能去掉。 去掉一个蓝格时三种颜色是 24、23、16，同样矛盾。 去掉一个黄格时三种颜色是 24、24、15，三式都要求 是 3 的倍数，不再矛盾。 所以能去掉的只能是黄色格，也就是第 3 列或第 6 列上的格子。 对照题图，① 在第 3 列、④ 在第 6 列，② 与 ③ 都在第 1 列。 所以正确的是 A、D。 1-5. 【多选】在的方格表中，任意填入个互不相等的实数，取每行的最大数得到个数，其中最小的一个是，再取每列的最小数，又得到个数，其中最大的一个是，下列结论中可能成立的有（ ） A. B. C. D. 解析　答：ACD 设 取自第 行的最大值， 取自第 列的最小值， 看它们的交点 ：它不超过第 行的最大值，又不小于第 列的最小值， 所以 ，于是 恒成立，B 不可能成立。 A 项：取 的表格 ， 各行最大值分别为 4、3，故 ；各列最小值分别为 1、2，故 ，此时 成立。 C 项：取表格 ， 各行最大值为 2、4，故 ；各列最小值为 1、2，故 ，此时 成立。 D 项：取 的表格 ， 各行最大值为 、，故 ；各列最小值为 、，故 ， 此时 成立，而 ，即 能成立。 所以可能成立的是 A、C、D。 1-6. 【多选】用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱画线，不间断、不重复，最终回到起点或到达另一个顶点的过程称为“1笔”.现定义：如果遍历一个空间多面体所有的顶点和棱至少需要笔，则该多面体称为笔画多面体.那么下列说法正确的是（ ） A. 五棱锥是3笔画多面体 B. 正方体是4笔画多面体 C. 棱锥是笔画多面体 D. 棱柱是笔画多面体 解析　答：ABD 题目里的「1 笔」，就是沿着棱走一条不重复、不间断的路线。 一条路线有两个端点（起点与终点），所以这两个顶点连出的棱数必须是奇数； 如果最后回到了起点，那么沿途每个顶点连出的棱数都是偶数。所以一笔最多只能「用掉」两个连出奇数条棱的顶点， 要让这些顶点全部用完，笔数就不会少于「它们个数的一半」，而且这个数目确实够用。 A 项：五棱锥有 6 个顶点。底面 5 个顶点各连 2 条底棱与 1 条侧棱，也就是连出 3 条； 最上面的顶点连出 5 条侧棱，也是奇数。6 个顶点连出的全是奇数条，所以需要 3 笔，A 正确。 B 项：正方体 8 个顶点每个都连出 3 条棱，全是奇数条，需要 4 笔，B 正确。 C 项： 棱锥底面 个顶点各连出 3 条（奇数），最上面的顶点连出 条。 当 为奇数时，连出奇数条的顶点共 个，需要 笔；当 为偶数时需要 笔， 例如三棱锥需要 2 笔，与 不符，C 错误。 D 项： 棱柱的 个顶点，每个都连 2 条底棱与 1 条侧棱，也就是连出 3 条， 这 个顶点连出的都是奇数条，需要 笔，D 正确。 所以正确的是 A、B、D。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $