湖南长沙市长郡集团2026-2027学年九年级上学期数学第一次阶段学情分析

2026年秋季第一次学情分析 数学 注意事项：沉6/) 1.答题前，请考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条 形码上的姓名、准考证号、考室和座位号，情以門点 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； ,小3.答题时，济考生注意各大题题号后面的答题提示： 4.济勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁：， 的 北 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟；满分120分 园 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分：在下列各题的四个 约 选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.) 1.下列计算正确的是 拟 Aa5+a5=2a0 B.a3.2a2=2a5 C.(a+1)2=a2+1 D.(-2ab)2=4ab 分 2.在下列函数中表示y关于x的反比例函数的是 锅 A By一证 cy=号 D.y- 新 3.如图，l1∥2，点A在直线L2上，AB⊥AC,若∠1= 2 苦 32°，则∠2的度数为 A148 B.122° C.112° D.102° 4.若关于x的一元二次方程x2十mx一3=0的一个根 是1，则m的值为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 5求一组数据方差的算式为：子=×[(6-P+(8-一2)+(8-+ (6一x)2+(7一x)2].由算式提供的信息，下列说法错误的是 A.n的值是5 B.该组数据的平均数是7 C.该组数据的众数是6 D.若该组数据加人两个数7,7，则这组新数据的方差变小 数学诚题(N)第1页（共8页） 6对子反比例函数y=-是，下列说法不正确的是 ”W(伶1， 1310 A图象分布在第二、四象限 B.当x>0时，y随x的增大而增大 C.图象经过点(8，一1) D.若点A(x1,y),B(x2y2)都在图象上，且1<2，则<2 7.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新 建了300个充电桩，第三个月新建了32个充电桩，设该市新建智能充 电桩个数的月平均增长率为x,根据题意，列出方程为 A.300(1+2x)=432 B.300(1+2)=432 C.300(1+x)2=432 D.300(1-x)2=432 8若b0,则函数y=0x与y=兰在同一平面直角坐标系中的大致图 象是 不卡头 9.关于二次函数y=一3(x一2)2十5，下列说法正确的是 A.其图象的开口向上 B.其图象的对称轴为直线x=一2 C.其最小值为5 D.当x<2时，y随x的增大而增大 10.如图，一次函数y=ax十b的图象与x轴、y轴交于A,B两点，与反比 例函数y一的图象相交于C,D两点，过C,D两点分别作y轴，x轴 的垂线，垂足为E,F,连接CF,DE,有下列结论：①△CEF的面积等于 各：②△CEF与△DEF的面积相等，③△DCE△CDF,④EF∥CD: ⑤AC=BD,其中正确的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 数学试题(N)第2页（共8页） 二、填空题（本大题共6个小题，每小題3分，共18分）》 11.把多项式a2一4分解因式的结果是 12.已知m,n是一元二次方程x2一6.x十7=0的两个实数根，则m十n十mn 的值为 13.如图，已知∠ABC=50°，点D在BA上，以点B为圆心，BD长为半径 画弧，交BC于点E,连接DE,则∠BDE的度数是 度 14.某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自已制作的贺卡给组 内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有 人. 15.若关于x的一元二次方程x2+2x一k=0有两个相等的实数根，则k= 16.如图，二次函数y=ax2十bx十c(a>0)的图象与x轴的正半轴交于点 A(3,0),与y轴的负半轴交于点B,对称轴为直线x=1.则方程ax2十 bx十c=0的解是 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题 8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分.解答应写出必 要的文宇说明、证明过程或演算步骤，) 17.(6分)计算：122-1+（号）-(32-(x-2028)°， 鼓学试题(N)第3页（共8页） 18.(6分)先化简，再求值：[(3x-2y)(3x+2y)-x(9x-2y)]÷y,其中x =3,y=-2. 19.(6分)用适当的方法解下列方程： (1)x2-2x-5=0; (2)(x-2)2=3x-6. 20.(8分)如图，在△ABC中，点E,F分别是AB,AC的中点，过点F作 FD⊥BC,垂足为D,点M在FE的延长线上，MF=BD. (I)求证：四边形BDFM是矩形； (2)若AE+ME=8,DF=4,BC=10,求矩形BDFM的面积. 数学试题(N)第4页（共8页） 21.(8分)如图，平面直角坐标系中，反比例函数y=”(是常数，且n≠0) 与一次函数y=kx十b(k,b是常数，且k≠0)的图象相交于A(1,m), B(一3，一1)两点，一次函数的图象与y轴交于点C. (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出当x十b>”时x的取值范围； (3)在x轴上是否存在一点P,使得PA十PC最小？若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由. 22.(9分)如图，已知直线=一x一3与x轴交于点B,与y轴交于点C, 抛物线2=ax2十bx十c(a≠0)的对称轴为直线x=一1，且抛物线经过 B,C两点. (1)求抛物线的解析式； (2)当一3<x<0时，直接写出y2的取值范围； (3)在直线BC的下方的抛物线上，是否存在点N,使△NBC的面积最 大？若存在，请求出点N的坐标及最大面积；若不存在，请说明 理由 数学试题(N)第5页（共8页） 23.(9分)中秋节是我国的传统节日.月饼是中秋节的一种美食之一，月饼 寓意着团圆和完美.“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜 爱.某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和 蛋黄豆沙月饼两种进行试销.已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙月 饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙月饼的数量比用700元购进普 通豆沙月饼的数量多50个. (1)普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ (2)若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200 个.根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会 相应诚少40个.将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最 大？最大利润是多少？ 鼓学试题(N)第6页（共8页） 24.(10分)在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点A(x,y)是函 数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差y一x称为点A的“郡 值”.函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值” 例如：点A(1,3)在函数y=2x十1图象上，点A的“郡值”为3-1=2， 函数y=2x十1图象上所有点的“郡值”可以表示为y一x=2x十1一x =x+1,当3≤x≤6时，x十1的最大值为6+1=7，所以函数y=2x十1 在3≤x≤6时的“最优郡值”为7. 根据定义，解答下列问题： (1)①点B(一2,3)的“郡值”为 ②函数)y=是+z(一4K≤-1)的“最优郡值”为 (2)线段MN:y=kx十1（一1≤x≤2）的“最优郡值”为3，求k的值； (3)若二次函数y=一(x一h)2+k图象的顶点在直线y=x十9上，当 一1≤x≤4时，二次函数的“最优郡值”为7，求h的值. 数学试题(N)第7页（共8页） 25.(10分)如图1，抛物线y=一x2+bx十c交x轴于点A和点B,交y轴 于点C(0,3),且OA=OC. (1)求抛物线的表达式 (2)点D是直线AC上方抛物线上一动点，连接BC和BD,BD交AC 于点M,BD交y轴于点N,若△CMN是以CN为底的等腰三角 形，求点D的坐标； (3)如图2所示，若点P是抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴交直 线AC于Q点，请问在y轴上是否存在点E,使以P,Q,E,C为顶 点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在， 请说明理由 0 图1 图2 数学试题(N)第8页（共8页） 2026年秋季第一次学情分析 数学参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号12 4 5 6 8 10 答案DB B C D B D 1.D【解析】A.结果是2a,故本选项不符合题意；B.结果是2a,故本选项不符合题意；C.结果是a十2a十1，故本选项 不符合题意；D.结果是4a6,故本选项符合题意；故选：D. 2.B【解析】根据反比例函数的定义逐项分析判断如下： Ay一昌不是y关于x的反比例画数，不符合题意：By厂是y关于z的反比例画数，特合题意：Cy一音是y 关于x的正比例面数，不符合题意；Dy=是不是y关于x的反比例函数，不特合题意，故选：B 3.B【解析】如图， 由条件可知∠BAC=90°，∠3=90°-32°=58°. .11∥L2, .∠4=∠3=58°， .∠4+∠2=180°， .∠2=180°-58°=122. 故选：B. 4.C【解析】把x=1代入方程x2+mx-3=0得1十m-3=0,解得m=2.故选：C. 5.C【解析】A.算式中平方差项数为5，对应数据个数n=5,正确. B.平均数z=6+8十8+6十7=7，正确。 5 C.数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误. D,加入两个7后，数据更集中，方差由号=0.8减小为号≈0.571，正确.故选：C 6.D【解析】A因为y=一至=一8<0，所以因象分有在第二，四象限，正确，不特合题意； B.当x>0时，图象是第四象限的图象，y随x的增大而增大，正确，不符合题意； C将点(8，-1代入)=一成主，所以图象经过点⑧，一1)，正确，不符合题意 D.若点A(M),B(x2,y2)都在图象上，但不一定在同一象限，所以当<x2时，M和2的大小关系不确定，原说 法错误，符合题意.故选：D. 7.C【解析】根据题意得：300(1十x)2=432.故选：C 8.B【解析】.ab<0,∴.分两种情况： (1)当a>0,b<0时，正比例函数y=x的图象过原，点、第一、三象限，反比例函数y=b图象在第二、四象限，无选项 符合 (2)当Q<0,b>0时，正比例函数y=ax的图象过原点、第二、四象限，反比例函效y=是图象在第一、三象限，故B选 项正确；故选：B. 9.D【解析】根据题目中的函数解析式逐项分析判断如下： A.该函数的图象开口向下，不符合题意；B.对称轴是直线x=2,不符合题意；C.当x=2时y取得最大值5，不符合题 意；D.当x<2时，y随x的增大而增大，符合题意；故选：D. 10.C【解析】设点D的坐标为(，空)，则Fx,0. 由函数的图象可知：x>0,k>0. ∴Sa=2r.0=引会a=, 1 同理可得SAcr=2k,故①正确； 故SADEF=SACEF.故②正确； 若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF.故④正确； ③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误； 九年级数学参考答案(N)一1 ⑤法一：，CD∥EF,DF∥BE, .四边形DBEF是平行四边形， ∴.SADEF=SABED, 同理可得SAACF=SAF; 得：SADBE=SAACF 又CD∥EF,BD,AC边上的高相等， ∴.BD=AC,故⑤正确； 法二：四边形ACEF,四边形BDFE都是平行四边形， 而且EF是公共边， 即AC=EF=BD, ∴.BD=AC,故⑤正确； 因此正确的结论有4个：①②④⑤. 故选：C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.(a+2)(a-2)【解析】a2-4=(a+2)(a-2). 故答案为：(a十2)(a-2). 12.13【解析】由根与系数的关系可得：m十1=-6=6，mm= 1 1 ∴.m十n+mm=6+7=13. 故答案为：13. 13.65【解析】根据题意可得： BD=BE, ∴∠BDE=∠BED, :∠ABC+∠BDE+∠BED=180°，∠ABC=50°， ∠BDE=∠BED=65°. 故答案为：65. 14.9【解析】设这个数学小组共有x人，则每人需送出(x一1)张贺卡， 依题意得：x(x一1)=72， 整理得：x2一x一72=0， 解得：x=9,2=一8（不合题意，舍去）， 即这个数学小组共有9人， 故答案为：9. 15.-1【解析】，一元二次方程x2十2x一k=0有两个相等的实数根， ∴.△=62-4ac=22-4×1×(-b)=0, 即4+4k=0, 解得k=一1， 故答案为：一1. 16.x1=一1，x2=3【解析】由图象知，对称轴为：x=1, 抛物线与x轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为(3,0)， .另一个与x轴的交点为(-1,0)， .解是1=-1，x2=3. 故答案为：x1=-1,x2=3. 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分， 10分，共72分.) 17.【解析】原式=2√2-1+5-3-1 =22.… 18.【解析】原式=(9x2-4y2-9x2+2xy)÷y =(-4y2+2xy)÷y =-4y十2x, 当x=3,y=一2时，原式=一4×（一2）十2×3 =8+6 =l4.… 19.【解析】(1)x2-2x一5=0， x2-2x=5, x2-2x+1=5+1, x2-2x+1=6, 九年级数学参考答案(N)一2 第22、23题每题9分，第24、25题每题 4分 6分 …4分 …6分 (x-1)2=6. x-1=士√6， 1=1十6，x2=1-√6；…3分 (2)(x-2)2=3x-6, (x-2)2=3(x-2), (x-2)2-3(x-2)=0, (x-2)(x-2-3)=0, x-2=0或x-5=0, x1=2,x2=5.. 6分 20.【解析】(1)证明：·E,F分别是AB,AC的中，点， ∴.EF是△ABC的中位线， .EF∥BC, .MF-BD, ∴.四边形BDFM是平行四边形， FD⊥BC, ∴.∠BDF=90°， .平行四边形BDFM是矩形；… 4分 (2)解：，四边形BDFM是矩形， ∴.∠BME=90°，BM=DF=4, .AE+ME=8, ∴.设ME=x,则BE=AE=8-x, .BM+ME=BE, 即42+x2=(8-x)2, 解得：x=3, ,EF是△ABC的中位线， EF=2B0=号×10=5， ∴.MF=EF+ME=5+3=8, ∴.S矩形mFM=BM·MF=4X8=32. ..... 8分 21.【解析]1)起点B(-3,-1)代入y=2得：m=3, 二反比例函数的解析式为y=三 1分 x 把，点A(1,m)代入y= 2将m=3, .A1,3), 由题意可得： k+b=3, 1-3k+b=-1, /k=1, lb=2. 一次函数的解析式为y=x十2；…3分 (2)A(1,3),B(-3,-1), 由图可知，当kx十b>”时，-3<<0或x>1. …5分 (3)存在. 直线y=x十2与y轴的交点C的坐标为(0,2)，点C(0,2)关于x轴的对称，点D的坐标为D(0,一2)，直线AD与x 轴的交点就是所求点P 设直线AD的解析式为：y=1x十b. 由题意可得： k1+b1=3, b1=-2, /%=5, b=-2. .y=5x-2. “直线AD与x轴的交点P的坐标为（层，0）： …8分 九年级数学参考答案(N)一3 22.【解析】(1)已知直线y=-x-3与x轴交于点B,与y轴交于点C, 当x=0时，得：M=一3； 当1=0时，得：一x-3=0, 解得：x=一3； .B(-3,0),C(0,-3); :抛物线y2=ax2+bx十c(a≠0)的对称轴为直线x=一l,且抛物线经过B,C两，点， 设抛物线的解析式为y2=a(x十1)2十k,将点B,点C的坐标分别代入得： 0=a(-3+1)2+k, -3=a(0+1)2+k, /a=1, 解得：k=一4， y归=(x十1)2-4=x2十2x-3;…3分 (2)当-3<x<0时，-4≤y2<0. …5分 (3)存在点N,使△NBC的面积最大；理由如下： 如图，作NH∥y轴， 设，点N(x,x2+2x-3),则H(x,-x-3), Sa度=2×a-x)X(0咖-w) =2×[0-(-30]X[-x-3-(+2x-3] H =-(++， -号<0， “当2=一号，即点N(一号，)时，S有装大位，且蓑大值为 8· …9分 23.【解析】(1)设普通豆沙月饼的单价是x元，则蛋黄豆沙月饼的单价是2x元，根据题意，得 1600_700=50, 2x x 解得x=2, 经检验，x=2是所列方程的根，且符合题意， .2x=2X2=4, 答：普通豆沙月饼的单价是2元，蛋黄豆沙月饼的单价是4元；…4分 (2)设售价定为t元，利润为y元，根据题意得， y=(1-4)200-40(1-6)7】 2 =-20(t-10)2+720, .-20<0, ∴.当t=10时，y的最大值是720， 答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元.… …9分 24.【解析】(1)①点B(-2,3)的“郡值”为5， 故答案为：5… 2分 ②y兰+ 4 ∴y-x=x' .-4≤x≤-1， .x=一4时，y一x取最大值-1， “函数y=十z(一4长≤-1)的“最优郑值”为-1； 故答案为：一1；… 4分 (2)y-x=kx+1-x=(k-1)x+1, 当k>1时，2(k-1)+1=3,k=2, 当k<1时，-(k-1)+1=3,k=-1, 综上k=2或k=一1； …6分 九年级数学参考答案(N)一4 (3),二次函数y=一(x一h)十k图象的顶点在直线y=x十9上， .k=h十9， .y=-(x-h)2+h+9, ∴x=-(x-2+h十9-x=-(x-h+2)广+3， ,当一1≤x≤4时，二次函数的最优郡值为7， 当-号≥4，即≥号时，则x=4时，有最大值为7， -(4-+)》'+-7, 解得h=6或h=3(舍去)， 当-<-1，即h≤-号时，则x=-1时，有最大值为7， ∴-(1-+)+- 解得h=-2或h=1(舍去). 故h的值为一2或6.……。 25.【解析】(1)抛物线的解析式为y=一x2十2x十3；… (2)OA=OC,C(0,3)∠ACO=45°， 设直线AC的解析式为：y=kx十b, 3k+b=0, b=3, k=-1, 解得 b=3, ∴.直线AC的解析式为：y=一x十3； △CMN的底边为CN,.MC=MN,∠MCN=∠MNC=45°， .BD⊥AC,可得直线BD的解析式为：y=x十1， y=x+1, y=-x2+2x+3, x1=2,x2=-1.D(2,3).… (3)存在，理由如下： ①当CQ为菱形的对角线时，如图，PE垂直平分CQ, .OA=OC=3, ∴.∠OAC=∠OCA=45°， 此时四边形CEQP是正方形. .'PQ=EQ. 设P(m,-m2+2m十3)，则Q(m,-m+3), ∴.PQ=-m2+3m, ∴.一m2+3m=m,解得m=0(不合题意，舍去)或m=2, 此时OE=OC-m=3-2=1, ∴.E(0,1). ②当CQ为菱形的边时，作QH⊥OC于点H, 设P(m,-m2+2m十3)，则Q(m,-m十3)， ..HQ=ml PQ=|-m2+3ml, .∠OCA=45°， ∴.CQ=√2HQ=W2ml, CE=PQ=-m2+3ml=2ml, 解得：m1=3-√2，m2=3十√2，m=0(舍). ∴.E1(0,1+3w2),E2(0,1-3W2), 综上所述，符合条件的点E有三个，坐标分别为： (0,1)或(0,1-3√2)或(0,1十3√2).… 九年级数学参考答案(N)一5 10分 3分 C ! B 6分 E C B 0 …10分