第四章 总复习 知识点2 四边形综合练习-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

中考几何题典型题专项训练 QF=DF. 在△FQP和△FDB中 ∠FQP=∠FDB, OP DB, ∴.△FQP≌△FDB(SAS), ∴.∠QFP=∠DFB. .EF⊥DQ, ∴.∠QFE=90°-60°=30°， ∴.∠QFP+∠EFP=30°， ∴.∠BFD+∠EFP=30°. 三角形综合练习（三） 解：(1)如图，连接DE, 0 D 点O是△ABC的重心， .AD,BE是BC,AC边上的中线， ∴.点D,E分别为BC,AC的中点， ∴.DE为△ABC的中位线， DE∥AB,DE=2AB .△ODE△OAB, ·8册-指-号放00-n AB=2,BD=1,∴.AD=V3, ·B·A0=7x2x5=5, .S△ABG=2 1 -3 S△0ac=3 SAARC=3 a器- 3 理由如下： 由(1)得9=2，是定值： 如图，作AH⊥BC交BC于点H,作OG⊥ 交BC于点G, B HGD ∴.AH∥OG,∴.△DOG∽△DAH, …960号 50 SAOBC 3c.0c 0G1 BC-AH AH3 (3)①.四边形ABCD是正方形， ∴.CD∥BA,AB=BC=CD=4, ∴.△CME∽△AMB, EM CE ·BMAB :E为CD的中点CE=2CD=2, .在Rt△BEC中，BE=√BC+CE=2V5, 微分 EM 1 小BE=3’ 即EM=子5 ②-5am=1,且器分5c=2, 又… SACME CE 2 1 SAAMB AB =4’ ∴.SAAMB=4S△cMB=4, .S△Ac=S△BMc+SAAM=2+4=6, 又，SAADC=S△ABC, ∴.正方形ABCD的面积为6+6=12. 知识点2四边形综合练习（一）】 1.证明：DE∥AC,AE∥BD, ∴.四边形AODE为平行四边形 四边形ABCD为矩形，∴.OA=OD, .平行四边形AODE为菱形，∴.OE⊥AD. 2.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，且O 为BD的中点， ∴.AD∥BC,D0=B0,∴.∠EDO=∠FBO 又.EF⊥BD,∴.∠EOD=∠FOB=90. 在△DOE和△BOF中， ∠EDO=∠FBO, BC D0=B0, L∠EOD=∠FOB=90°， ∴.△DOE≌△BOF(ASA). (2)由(1)可得ED∥BF,ED=BF, .四边形BFDE是平行四边形. EF⊥BD,∴.四边形BFDE是菱形 设BE=ED=x,则AE=8-x. 在Rt△ABE中， 由勾股定理，得BE2=AB2+AE2, 即x2=62+(8-x)2, 廊得=约 四边形BFDE的周长为空× 2×4=25. 3.解：(1)证明：菱形ABCD的对角线AC, BD相交于点O, .D0=B0. ,E是AD的中点，EO∥AB. .EF∥OG, ∴.四边形OEFG是平行四边形 .EF⊥AB,∴.∠EFB=90°， ∴.四边形OEFC是矩形. (2),四边形ABCD是菱形， ..AC⊥BD,AB=AD=10. 在Rt△AOD中，E为AD的中点， ∴AE=24D=5,0B=4D-=5. EF=4, .在Rt△AFE中， AF=√AE2-EF2=√52-42=3. 四边形OEFG是矩形， .∴.FG=E0=5, .BG=AB-AF-FG=2. 四边形综合练习（二） 1.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.∠D=∠ECQ=90° E是CD的中点，∴.DE=CE 又.∠DEP=∠CEQ, ∴.△PDE≌△QCE(ASA). (2)①证明：.PB=PQ,∴.∠PBQ=∠Q. 又AD∥BC, ∴.∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD. .△PDE≌△QCE,∴.PE=QE. EF∥BQ,∴.PF=BF, ∴.在Rt△PAB中，AF=PF=BF, ∴.∠APF=∠PAF, ∴.∠PAF=∠EPD,∴.PE∥AF. .EF∥BQ,BQ∥AD,∴.EF∥AD, ∴.四边形AFEP是平行四边形 ②四边形AFEP不一定是菱形.理由如下： 设AP=x,则PD=1-x. 若四边形AFEP是菱形，则PE=PA=x. :CD=1,E是CD的中点DB=乃， 在Rt△PDE中，由PD2+DE2=PE2, 得(1-)2+（分=，解得x=名， 参考答案 因此当AP=名时，四边形AFBP才是菱形， 当AP≠名时，四边形AFEP不是菱形， 2.解：(1)证明：在矩形ABCD中，∠A=∠C =90°. 在△AEH和△CGF中， rAE=CG, ∠A=∠C, LAH=CF, .△AEH≌△CGF(SAS) (2)四边形EFGH为平行四边形. 理由如下：由(1)得EH=FG 在矩形ABCD中，AB=DC,AD=BC. 又.AE=CG,AH=CF, .BE DG,BF=DH, 可得△BEF兰△DGH,∴.EF=HG, ∴.四边形EFGH为平行四边形. (3)作点G关于直线BC的对称点G',连接 EG',FG', 则EG'≤EF+FG'=EF+FG. 连接AC, G 'CG'=CG=AE,AB∥CG', ∴.四边形AEGC为平行四边形， ∴.EG=AC. ∴.四边形EFGH的周长的一半大于或等于 矩形ABCD的一条对角线的长， 四边形综合练习（三） 解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC, .AB =AC,..AB=BC=AC. ∴.△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=60°， ∴.∠BCD=120° :AC是菱形ABCD的对角线， 六LACD=3LBCD=60=LABC BE=CG, ∴.△ABE≌△ACG(SAS),∴.AE=AG :AF平分∠EAG,∴.∠EAF=∠GAF. .'AH=AH,.△AEH≌△AGH(SAS). (2)①如图， 51 中考几何题典型题专项训练 过点D作DM L BC交BC的延长线于M,连 接DE. .AB=12,BE=4,∴.CG=4, .CE=DG=12-4=8. 由(1)知，△AEH≌△AGH,∴.EH=HG, .LADCH =DH +GH+DG=DH+HE +8. 要是△DGH的周长最小，则EH+DH最小，最 小为DE. 在Rt△DCM中，∠DCM=180°-120°=60°， CD=AB=12,∴.CM=6, ∴.DM=3CM=63. 在Rt△DME中，EM=CE+CM=14, 根据勾股定理得，DE=√EM+DM= W142+(65)2=419, ∴.△DGH周长的最小值为4√19+8； ②I.当OH与线段AE相交时，交点记作点 N,如图，连接CN, E .点O是AC的中点， .S△A0N=SAc0N= ,三角形的面积与四边形的面积比为1：3， &a40=1, G4ACK=CAN=EN. 点O是AC的中点， ∴.ON∥CE, 0 Ⅱ.当OH与线段CE相交时，交点记作Q,如 图，连接AQ,FG, B 52 点O是AC的中点， 5sw=5aw=5aue ,三角形的面积与四边形的面积比为1：3， m4S640=S64C0 c0=B0=2CE=7×(12-4)=4 点O是AC的中点， .OQ∥AE,设FQ=x, ..EF=EQ+FQ=4+x,CF=CQ-FQ=4-x, 由(1)知，AE=AG, ,AF是∠EAG的角平分线， ∴.∠EAF=∠GAF .AF=AF, .△AEF≌△AGF(SAS), ∴.FG=EF=4+x. 过点G作GP⊥BC交BC的延长线于P, 在Rt△CPG中，∠PCG=60°，CG=4, ..cP-]CG-2.PG-/5CP-25, .PF=CF+CP=4-x+2=6-x, 在R△FPG中，根据勾股定理得，PF2+PG2=FG, .(6-x)2+(23)2=(4+x)2, =号P0=g,f=4+g-器 5=5 :0OQ∥AE, …邵4多 5 J 即是的值为或号 知识点3圆综合练习（一） 1.解：(1)证明：连接OF和AF,设AF与DC 相交于点G,如下图所示： y D 0 G E F OA=OF,∴.∠A=∠OFA. AB为圆O的直径， ∴.∠AFB=∠AFC=90°， ∴.∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90°.申考几何题典型题专项训练 知识点2四边形综合练习（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.（湖北恩施模拟)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且DE∥AC, AE∥BD,连接OE.求证：OE⊥AD. B 2.(湖南张家界期末)如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交 AD,BC于点E,F (1)求证：△DOE≌△BOF; (2)若AB=6,AD=8,连接BE,DF,求四边形BFDE的周长 3.(北京期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点F,G在AB上， EF⊥AB,OG∥EF (1)求证：四边形OEFG是矩形； D (2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长. 92◆ 第四章 总复习P 四边形综合练习（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(海南期末)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是CD的中点，P是AD上一点（与点A,D 不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q. (1)求证：△PDE≌△QCE. (2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB=PQ时， ①求证：四边形AFEP是平行四边形； ②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由 2.（湖南娄底模拟)如图，点E,F,G,H分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA(不包括端点)上 运动，且满足AE=CG,AH=CF (1)求证：△AEH≌△CGF; (2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由； (3)请探究四边形EFGH的周长的一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由. 93 中考几何题典型题专项训练 四边形综合练习（三） 几何大冲关 (难度等级★★★) (山东济宁月考)如图，在菱形ABCD中，AB=AC,点E,F,G分别在边BC,CD上，BE=CG,AF平 分∠EAG,点H是线段AF上一动点（与点A不重合）. (1)求证：△AEH≌△AGH; (2)当AB=12,BE=4时. ①求△DGH周长的最小值； ②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的 面积与四边形的面积比为1：3.若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由。 94◆