第七章 数据的分析 知识点3 四分位数、箱线图&知识点4 数据的分组-【荣恒专项】2026-2027学年八年级全一册数学——代数典型题专项训练

6.【答案】296 【解析】 2=写[(6-102+(9-10y2+ (a-10)2+(11-10)2+(b-10)2]=6.8, ∴.16+1+a2-20a+100+1+b2-20b+ 100=34, .a2+b2-20(a+b)=-184, 又6,9，a,11,b的平均数为10， ∴.6+9+a+11+b=50, 则a+b=24, .a2+b2-20×24=-184, .a2+b2=296 代数大冲关2 1.解：(1)B,C; (2).20×12÷25%=960(万台)， 1-25%-29%-31%=15%, .∴.960×15%=144（万台）. 答：估计2025年其他品牌的Pad年销售 总量是144万台； (3)建议购买C品牌，.C品牌2025年的市 场占有率最高，且5年的月销售量最稳定； 建议购买B品牌，B品牌的销售总量最 多，收到广大顾客的青睐； 建议购买A品牌，A品牌近五年的月平 均销售总量逐年稳步上升.（答案不唯一， 能说明理由，且合理即可) 2.解：(1)八年级10名学生的竞赛成绩没有 低于80分的，且在C组中的数据是94， 94,90, ∴.C组所占的百分比为3÷10×100%= 30%, .∵1-10%-20%-30%=40%， 参考答案与解析 即a=40, 八年级A组的有2人，B组的有1人，C组 有3人，D组的有4人，将这10人的成绩 从小到大排列，处在中间位置的两个数都 是94，因此中位数是94，即b=94, 七年级10名学生成绩出现次数最多的是 99,因此众数是99，即c=99, 七年级10名学生竞赛成绩的平均数为 80+86+99×3+96+90+100+82+89 10 92, 七年级的方差为=0[(80-92)2+ (86-92)2+(99-92)2×3+(96-92)2+ (90-92)2+(100-92)2+(82-92)2+ (89-92)2]=52, 即d=52, 答：a=40,b=94,c=99,d=52. (2)八年级学生的成绩较为稳定，理由： ·七年级的方差为52，八年级的方差是 50.4,而52>50.4， ∴.八年级学生的成绩较为稳定； (32160×18+0 972, 答：参加此次竞赛活动获得成绩优秀 （x≥95)的学生人数是972. 知识点3四分位数、箱线图 代数大冲关1 1.【答案】B 【解析】8名学生的成绩从低到高依次为 65,70,75,80,85,92,95,95,故上四分位数 为92+95=93.5. 2 N145 八年级代数题典型题专项训练 2.【答案】D 【解析】由题中箱线图可得，下四分位数 是132，中位数是136，上四分位数是144， 最小值是115，最大值是162，∴.各个选项 中，由图不能确定这组数据的平均数 3.【答案】B 【解析】将这组数据按照从小到大的顺 序排列得188,240,260,284,288,290， 300,360,故这组数据的上四分位数是 290+30=295,下四分位数是240+260= 2 250. 4.【答案】8.5 【解析】这5名同学的成绩按从小到大 的顺序排列为6,7,8,8,9，故这组数据的 上四分位数是生”=85 5.【答案】1518 【解析】，该组数据的中位数是16， +17=16,解得x=15. 2 .·该组数据的75%分位数是20， Y+22=20,解得y=18. 6.解：将这12个数据由小到大排序：7.5， 7.8,8.1,8.5,8.6,8.8,8.8,9.0,9.1,9.3, 9.5,9.6, 故这组数据的中位数即50%分位数Q0= 8.8+8.8=8.8, 2 下四分位数Qs=8.1+8.5=8.3. 2 上四分位数Qs=9.1十9.3=9.2 2 146* 7.解：女生组：最小值为2.7，最大值为4.2， Q25=3.15,Qs0=3.5,Q5=3.75 男生组：最小值为4.1，最大值为6.7，Q5= 4.65,Q50=5.3,Q5=5.8. 画出箱线图，如图所示. 肺活量L 7 6 女生组 男生组 8.解：(1)由题图可知，甲班成绩的中位数为 128,乙班成绩的上四分位数为128 故答案为128；128. (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩 差异要大于中等偏上的同学 (3)由题中两班成绩箱线图可以看出，甲 班成绩的中位数为128，而乙班的上四分 位数是128，同时，甲班的下四分位数明显 高于乙班，由此估计甲班平均分较高， 代数大冲关2 1.【答案】B 【解析】根据下四分位数的定义可知，下 四分位数为第2个数与第3个数的平均 数，即+b=77,a+b=154, ∴.该名考生面试的平均得分为 76+a+b+80+80+81+84+85=640 8 8 80. 2.【答案】A 【解析】由表可知，男生成绩共30个数 据，则男生成绩的下、上四分位数分别是 Q1=50,Q3=90,∴.男生成绩的四分位距 是90-50=40： 女生成绩共25个数据，则女生成绩的下、 上四分位数分别是Q1=70,Q3=70, ∴.女生成绩的四分位距是0. ·40>0,∴.男生成绩的四分位距大于女生 成绩的四分位距，故A正确，B错误； :x期=10×50+10x70+90×10=70. 30 x女= 50×5+70×15+90×5 25 =70, ∴.男生成绩的平均数等于女生成绩的平均 数，故C,D均错误。 3.【答案】B 【解析】该地区2025年10月AQI值超 过200，有重度污染天气，故A说法正确； 该地区2025年10月的AQI值比11月集 中，故B说法错误，C说法正确；从整体上 看，该地区2025年10月的空气质量好于 11月，故D说法正确 4.【答案】2 【解析】数据1,2,2，x,4,4的唯一的 众数是2，∴x=2,.数据为1,2,2,2,4,4， 共6个数..6×25%=1.5，.这组数据的 下四分位数为2. 5.解：甲的数据排序为12,13,14,14,15,15,16. 数据个数n=8， 0s=1313=13,00=1414=14, 2 2 参考答案与解析 Q5=15+15=15 2 箱线图的箱体长度为15-13=2. 乙的数据排序为12,13,13,16,19,20,22， 25 Qs=13+13=13. 2 Q0=1619=17.5. 2 Q5-20+2=21. 2 箱线图的箱体长度为21-13=8. 画出箱线图，如图所示： 时间/min 28 25 24 20- 21 16 16 15 17.5 13 12 12113121 甲 乙 甲的箱体长度2小于乙的箱体长度8，说 明甲的数据离散程度更小，结合箱线图知， 甲的数据波动更小，所以甲从家到学校所 用时间较稳定 6.解：(1)B团队负责经营12项理财产品，收 益率从小到大排列： 3.18,3.40,3.60,3.67,3.84,3.87,3.91, 3.99,4.10,4.15,4.21,4.44 .·a为前6个数据的中位数，b为后6个数 据的中位数， 3.60+3.67=3.635, .∴.a 2 6-4.10+4.15=4.125. 2 147 八年级代数题典型题专项训练 (2)画出箱线图，如图所示 收益率/% 6 5 4 2 团队A团队B 通过箱线图可知，团队A产品收益率的中 位数与团队B的几乎相等，故可知两个团 队的经营效益基本一样，但团队A的产品 收益率明显比团队B的收益率的波动大， 即团队B的经营水平更稳健，故对于稳健 型的投资者，选择团队B的理财产品更合 适 知识点4数据的分组 代数大冲关 1.【答案】B 2.【答案】小大7 3.【答案】24 【解析】第一组数据的平均数为 (87+88+90+91+92+92)÷6=90,第一 组数据的离差平方和为(87-90)2+ (88-90)2+…+(92-90)2=22;第二组 数据的平均数为(96+98)÷2=97，第二组 数据的离差平方和为(96-97)2+ (98-97)2=2.综上，组内离差平方和为 22+2=24. 148◆ 4.解：第一组数据：=3+)+7=5， 3 组内离差平方和为(3-5)2+(5-5)2+ (7-5)2=8 第二组数据：x-6+8+10=8, 3 组内离差平方和为(6-8)2+(8-8)2+ (10-8)2=8. 5.解：将4个数据按从小到大的顺序排列，可 得15,15,18,24 把它们分成两组共有3种情况，利用计算 器或信息技术工具，分别计算组内离差平 方和，如下表所示。 第一组离 第二组离 组内离差 分组 差平方和 差平方和 平方和 第1个 0 42 42 间隔 第2个 0 18 18 间隔 第3个 6 0 6 间隔 观察最后一列组内离差平方和可以发现， 当按第3个间隔分组时，组内离差平方和 最小.因此，按组内离差平方和最小的分法 为{15,15,18}，{24}.第七章 知识点3 四分位数、箱线图 知识点提炼： 组数据按从小到大的顺序排列，然后将数 相比中位数，百分位数可以较全面 百分位数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组 地反映出数据的分布信息 数据的百分位数 用三个特殊的百分位数把一组按由小到大顺 序排列的数据分成四等份，则称它们为这组 第一四分位数又称下四分位数，第 四分位数 数据的四分位数，从小到大分别称为这组数 三四分位数又称上四分位数 据的第一四分位数、第二四分位数（中位 数)、第三四分位数，分别记为Q1,Q2,Q3 第一四分位数第二四分位数第三四分位数 由箱线图，容易看出数据分布的大 箱线图 最小值 最大值 致情况，如分布的范围、中位数的大 23 456 7收益率% 小集中的范围、分布是否对称等 代数大冲关1 (难度等级★★) 1.某大学科研团队利用自主研发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21g的太阳能动力微型 无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣 社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩（单位：分）依次为65,95,75,70,95,85,92,80， 则这组数据的上四分位数为 () A.93 B.93.5 C.91.5 D.92 2.下图是根据八年级2班学生1min跳绳次数制作的箱线图，根据图形不能确定这组数据的 () 1151321361441621min跳绳次数 A.下四分位数 B.中位数 C.最大值 D.平均数 3.某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360,284,290,300,188,240,260， 288,则这组数据的上四分位数和下四分位数分别为 () A.250,290 B.295,250 C.240.300 D.240,295 4.某班5名同学参加演讲比赛.若他们的成绩（单位：分）分别是8,6,8,7,9，则这组数据的上 四分位数为 N85 八年级代数题典型题专项训练 5.已知一组数据按从小到大顺序排列：11,12,15，x,17,y,22,26.经计算，该组数据的中位数是 16,上四分位数是20，则x= ,y= 6.某校举办校园歌手大赛，决赛中12名参赛选手的得分（满分：10分）分别为9.5,8.1,7.8， 8.5,8.8,9.1,7.5,9.6,8.6,8.8,9.3,9.0.求这组数据的四分位数Q25,Q50,Q5 7.下面分别给出了25个女生和25个男生的肺活量（单位：L): 女生组：2.7,2.8,2.9,3.1,3.1,3.1,3.2,3.4,3.4,3.4,3.4,3.4,3.5,3.5,3.5,3.6,3.7， 3.7,3.7,3.8,3.8,4.0,4.1,4.2,4.2. 男生组：4.1,4.1,4.3,4.3,4.5,4.6,4.7,4.8,4.8,5.1,5.3,5.3,5.3,5.4,5.4,5.5,5.6， 5.7,5.8,5.8,6.0,6.1,6.3,6.7,6.7. 请画出这两组数据的箱线图. 8.已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示. 成绩 150 90 60 0 04 甲班乙班 (1)甲班成绩的中位数为 乙班成绩的上四分位数为 (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 86◆ 第七章 数据的分析 代数大冲关2 (难度等级★★★) 1.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表 现给出分数（单位：分），分数由低到高依次为76，a,b,80,80,81,84,85,若这组数据的下四 分位数为77，则该名考生这次面试的平均得分为 () A.79 B.80 C.81 D.82 2.下表为甲班55人某次数学小考成绩的统计结果，关于甲班男、女生此次小考成绩的统计量， 下列叙述正确的是 () 成绩/分 50 70 90 男生/人 10 10 10 女生/人 5 15 5 合计/人 15 25 15 A.男生成绩的四分位距大于女生成绩的四分位距 B.男生成绩的四分位距小于女生成绩的四分位距 C.男生成绩的平均数大于女生成绩的平均数 D.男生成绩的平均数小于女生成绩的平均数 3.下图为某地区2025年10月和11月的空气质量指数(AQI)箱线图.AQI值越小，空气质量越 好；AQI值在201~300内，说明重度污染.则下列说法错误的是() 某地区空气质量指数(AQI)箱线图 AQI 300 250 200 150 10 0 工 0 2月3月 A.该地区2025年10月有重度污染天气 B.该地区2025年11月的AQI值比10月集中 C.该地区2025年10月的AQI值比11月集中 D.从整体上看，该地区2025年10月的空气质量好于11月 4.若一组数据1,2,2，x,4,4的唯一的众数是2，则这组数据的下四分位数是 5.甲、乙两人各自记录了自己最近几天从家到学校所用的时间（单位：min), 甲：1512151316141314 乙：1620122213251319 N87 八年级代数题典型题专项训练 分别用四分位数和箱线图比较，说明谁从家到学校所用时间较稳定. 6.某银行有A和B两个理财经营团队.2025年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理 财产品，收益率（单位：%）如下： A:4.77;3.98;4.88;4.89;2.15;3.85;3.64;3.21;3.18;2.02;4.11;4.10 B:3.18;3.84;3.99;3.67;3.40;3.60;4.10;4.21;4.15;4.44;3.87;3.91 某同学想要利用四分位数分析A,B两个团队的经营水平.下表为他绘制的两个团队理财产 品收益率数据的四分位数， 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：%） 团队 m25 mso m75 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b 请根据以上信息，完成下列问题： (1)表中a= ,b= (2)该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示. 请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A,B两个团队 的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价 收益率/% 6 3 2 团队A团队B 88* 第七章 数据的分析 知识点④ 数据的分组 知识点提炼： 把一组数据分为两组，前m(m<n)个数据为一组，后(n-m)个数据为 一组，它们的平均数分别记为x,和x2,离差平方和分别为d,,那么 d=+d&+m(无1-x)2+(n-m)(2-x)2, 其中+称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度； 记d=m(x1-x)2+(n-m)(2-x)2,d是m个第一组数据平均数、(n-m)个第二组数 据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异 根据组内离差平方和最小的原则进行分组时，由于不变，既可以按d+最小来分组， 也可以按2最大来分组， 代数大冲关 (难度等级★★) 1.在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是 () A.使每组数据量相等 B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C.减少计算复杂度 D.保证组间均值相等 2.科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：umol·m2· s1),统计结果为35,30,23,17,20,25,32,30.若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需 先将数据由 到 排序，再将这8个数据分成两组时，共可以分成 种 情况 3.某小组8名学生的数学考试成绩（单位：分）分别为88,98,87,92,92,90,91,96，老师决定将 这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布.若按照以下分组方式：第一组 {87,88,90,91,92,92},第二组{96,98}，则组内离差平方和为 4.设有两组数据，第一组数据为3,5,7；第二组数据为6,8,10.分别计算这两组数据各自的组 内离差平方和。 5.甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩（单位：分）如下：15,18,15,24，按照“组内离差平方和最小” 的方法，将竞赛成绩分成两组. 4N89