第六章 圆 模型65 四点共圆-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

72个模型公式速通初中几何 模型65四点共圆 模型解读 模型构建 ∠A和∠D位于线段BC同侧，且∠A=∠D D D D A 图形拆解 0 C 作△ABC的外接圆⊙O 相关结论 A,B,C,D四点共圆 如图，假设A,B,C,D ∠D<∠A,与条件中的 四点不共圆，即点D不在 ∠A=∠D矛盾， △ABC的外接圆上， .点D在△ABC的外接 证明分析 0 作△ABC的外接圆⊙O. 圆上，即A,B,C,D四 B 根据圆内角>圆周角> 点共圆 圆外角，得∠D>∠A或 模型拓展 A 已知条件 在四边形ABCD中，∠B+∠D=180° 0 B 结论 A,B,C,D四点共圆 模型应用 D 1(广元模拟)如图，在正方形ABCD中，BE为外角平分线， ∠FDE=45°，求证：FD=FE. 214 模型65)四点共圆 9/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 ·BE为外角平分线， 连接BD ∴.∠FBE=∠FBC+∠CBE=135°. 由∠FDE与 又.∠FDE=45°， ∠ABE的和为 ∴.∠FDE+∠FBE=180°， 180°，可知D,F, .D,F,B,E四点共圆. B,E四点共圆 .BD平分∠ABC, ∴.∠FBD=45°，∴.∠FED=∠FBD=45°， ∴.∠FDE=∠DEF, ∴.FD=FE D分层演练 1.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中， 2.如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB, ∠CAD=38°，求∠B+∠E的度数. 垂足为D,过点D分别作DE⊥AC, ! DF⊥BC,垂足分别为E,F,连接EF 交CD于点O.若C0=22,CD=32,求 E0·F0的值。 0 0 D B 215 72个模型公式速通初中几何 3.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠BCA=20°， :5.如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点， ∠DAC=20°，∠BCA的平分线交AB于点E, F是边AD上一点，且ED=FC,ED与FC 连接DE,求∠BDE的度数. 相交于点G,连接BG,BH平分∠GBC交 FC于点H,连接DH. E (1)求证：ED⊥FC; (2)求证：△DGH是等腰直角三角形. D F G 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5, 点D在AC上，且AD=2,E是AB上的动点， 连接DE,F,G分别是BC,DE的中点， 连接AG,FG.当AG=FG时，求线段DE的长」 B 21672个模型公式速通初中几何 又AD·DB=(AH-DH)(AH+DH)=A-D, .A-DH=x.③ 由①②③得，(x+2)2+x=2(x+3), 模型65 分层演练 模型辨识A,B,C,E四个点在同 一个圆上，可识别出四，点共圆 答案解：如图，连接CE E 五边形ABCDE是圆内接五边形， .四边形ABCE是圆内接四边形， .∠B+∠AEC=180°. .CD=CD. .∠CED=∠CAD=38°， .∠B+∠AED=∠B+∠AEC+∠CED=218° 2 模型辨识由∠CED与∠CFD互补， 可识别出C,E,D,F四，点共圆 答案解：.DE⊥AC,DF⊥BC, :.∠CED=∠DFC=90°， .∠CED+∠DFC=180°， .C,E,D,F四点共圆. .C0=2√2，CD=3√2， ∴.OD=CD-OC=√2， .由相交弦定理，可知OE·OF=OD·OC= √2×2√2=4. 解得厅3（负值已舍）. DE7-3 2 四点共圆 3 模型辨识过点D作DM⊥AC,交CE 于点F,连接AF.由∠AEF与∠ADM相等， 可识别出A,E,D,F四，点共圆 答案解：如图，过点D作OM LAC,. 交CE于点F,连接AF 06 M D .∠BCA=20°，∠DAC=20°， .DC=DA, ∴.DM为AC的垂直平分线， ∴.∠1=∠2=∠3=∠4=10°，∠7=∠CDM. .∠B=60°，∠ADB=∠BCA+∠DAC=40°， ∴.∠6=∠B+∠2=70°， ∠7=180°-LADB-70, 2 ∴.∠6=∠7， .A,E,D,F四点共圆， ∴.∠5=∠4=10°， ∴.∠BDE=∠2+∠5=20°. 4 模型辨识AG=FG=DG=GE,可识别出 A,D,F,E四点共圆 答案解：如图，连接DF,EF,过点 F作FN⊥AC于点N,FM⊥AB于点M. 16 G ME B 在△ADE中，∠BAC=90°，G是DE的中点， .∴.AG=DG=EG. 又AG=FG, ∴.A,D,F,E四点共圆，且DE是圆的直径 .∠DFE=90°. 在Rt△ABC中，AB=AC=5,F是BC的中点， .CF-BF-BC-5 FN-F 2 又.FN⊥AC,FM⊥AB,∠BAC=90°， .四边形NAMF是正方形， ·AN=AM=FW= 2 又.：∠NFD+∠DFM=90°， ∠DFM+∠MFE=90°， .∠NFD=∠MFE, ∴.△NFD≌△MFE, ·ME=DN=AW-AD=1 ∴.AE=AM+ME=3, ∴.在Rt△DAE中，DE=√AD+AE2=√13. 5 模型辨识 ●(2)由∠EGC与∠EBC 互补，可识别出E,B,C,G四，点共圆 答案 证明：(1)在正方形ABCD中， AD=CD. .·ED=FC,∠CDA=∠A=90°， ∴.Rt△AED≌Rt△DFC（HL), ∴.∠AED=∠DFC .∠AFC+∠DFC=180°， .∴.∠AFC+∠AED=180°， 117 参考答暴 ∴.∠A+∠FGE=180°. .∠A=90°， ∴.∠FGE=90°， 即ED⊥FC. (2)如图，连接EC. 由(1)得，∠FGE=90°， ∴.∠EGC=90°， ∴.∠ABC+∠EGC=180°， ∴.B,C,G,E四点共圆， F A D G E ∴.∠BGC=∠BEC. 在△BCE和△ADE中， BE=AE, ∠EBC=∠A, BC-AD .△BCE≌△ADE(SAS), ∴.∠BEC=∠AED, ∴.∠BGC=∠AED. .·∠AED+∠BED=180°， ∠BED+∠BCG=180°， ∴.∠AED=∠BCG, .∴.∠BGC=∠BCG, ∴.BG=BC 又·BH平分∠GBC交FC于点H, ∴.BH是线段GC的垂直平分线， ∴.GH=HC,∠BHC=90°. ·.'∠BCH+∠GCD=90°，∠GCD+∠GDC=90°， 72个模型公式速通初中几何 ∴.∠BCH=∠CDG .·GH=HC, .·∠DGC=∠BHC=90°，CD=CB, .GH=DG. .△BHC≌△CGD, 又.∠DGH=90°， ∴.DG=HC. ∴.△DGH是等腰直角三角形， 模型66 点、线、圆最值 分层演练 答案解：如图，连接PA,PC, 模型辨识 可看作圆内一定点与圆上 .'∠ABC=∠PBP=90°， 一动点之间的最值问题，可识别出点、线、 ∴.∠PBA=∠PBC. 圆最值模型 BP'=BP,BA=BC, 答案 解：如图，标示点A,C,连 ∴.△PBA≌△PBC(SAS), 接OA并延长交⊙O于点B,D为正方形 ∴.PA=PC=2, AC边中点，连接OD,BD. :.点P'在以点A为圆心，2为半径的圆上 连接AC,则当点P'在线段CA的延长线 D 上时，CP'最长， 此时CP'=PA+AC=2+V52+5=2+5√2， 故CP'长度的最大值为2+5√2 由点、线、圆最值模型，可知AB的长为 圆上任意一点到正方形边上任意一点距离 的最小值. 由题意可得，AC=4,OB=4, AD-OD-JAC-2. 3 模型辨识C为圆外一定点，P为圆 0A=AC、4 上一动点，可识别出点、线、圆最值模型 V2万22， 二 答案解：∠ABC=90, .AB=0B-0A=4-22 ∴.∠ABP+∠PBC=90° 故圆上任意一点到正方形边上任意一点距 ·∠PAB=∠PBC, 离的最小值为4-2√2 ∴.∠BAP+∠ABP=90°， 2 模型辨识C为圆外一定点，P'为圆 ∴.∠APB=90°， 上一动点，可识别出点、线、圆最值模型， .点P在以AB为直径的⊙O上. 118