专题04 几何最值模型热点（将军饮马、胡不归、阿氏圆、隐圆、费马点）有关的5类核心题型（方法+题型+实战）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

### 基本信息 以转化思想为核心，系统构建将军饮马、胡不归等5类几何最值模型的方法体系，通过“模型识别-公式建模-题型专攻”逻辑链提升解题能力，培养几何直观与逻辑推理素养。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |将军饮马|3例题+5题型|对称转化，化折线为直线|基于对称性质，结合两点距离公式解决线段和差最值| |胡不归|3例题+7题型|构造三角函数，转化加权线段|利用垂线段最短，将a·PA+PB转化为垂线段长度| |阿氏圆|3例题+4题型|构造相似三角形，替换定比线段|依据阿氏圆性质，通过相似转化PA+k·PB为两点距离| |隐圆|3例题+6题型|识别定角定边等条件，构建隐圆|结合圆周角定理，将动点轨迹转化为圆，利用圆的性质求最值| |费马点|3例题+5题型|旋转60°构造全等，转化线段和|通过旋转变换，将PA+PB+PC转化为两点距离，利用等边三角形性质|

专题04 几何最值模型热点 （将军饮马、胡不归、阿氏圆、隐圆、费马点）有关的5类核心题型 目录 第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一 将军饮马最值求解及技巧 方法二 胡不归问题及解题技巧 方法三 阿氏圆问题及解题技巧 方法四 隐圆问题及解题技巧 方法五 费马点问题及解题技巧 第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】将军饮马最值解 【题型02】胡不归问题 【题型03】阿氏圆问题 【题型04】隐圆问题 【题型05】费马点问题 第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 1. 考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：将军饮马（基础压轴，必考点）—— 核心是“对称转化”，考查线段和（差）最值，载体多为三角形、矩形、菱形，常结合角平分线、坐标轴，侧重“两点之间线段最短”，难度中档，是基础得分点。 核心考向2：胡不归（中档偏难，高频）—— 聚焦“线段加权和最值”（如a·PA + PB），核心是构造三角函数转化加权系数，载体多为三角形、直线型情境，侧重“化折为直”，是中考区分度题型之一。 核心考向3：阿氏圆（压轴重点，难点）—— 考查“线段定比和（差）最值”（如PA + k·PB，0<k<1），核心是利用“阿氏圆性质”构造相似三角形转化线段，载体多为圆与三角形结合，是高频压轴难点。 核心考向4：隐圆（压轴热点，灵活）—— 核心是“识别隐圆模型”（定角对定边、直角三角形斜边为直径等），考查圆上点到线段/点的最值，侧重“隐圆构造与圆的性质应用”，常结合几何变换，是近年命题新趋势。 核心考向5：费马点（压轴冷门，偶考）—— 考查“三角形内一点到三顶点距离和最小”，核心是“旋转60°构造全等”转化线段，载体多为锐角三角形，侧重构造思想，难度较高，多作为压轴选做题或附加问。 共性考向：均以“转化思想”为核心，将最值问题转化为“线段最短、点到圆的距离最值”，贴合中考“几何直观、逻辑推理”核心素养，设问分层，兼顾基础与区分度。 2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 瓶颈1：模型识别困难，无法快速判断题目对应最值模型（如混淆胡不归与阿氏圆的加权形式、漏判隐圆条件），找不到转化突破口，是首要失分点。 瓶颈2：转化方法不当，将军饮马不会找对称点、胡不归不会构造三角函数、阿氏圆不会找定比点、费马点不会旋转构造，无法实现“化折为直”“化繁为简”。 瓶颈3：隐圆构造薄弱，不会根据“定角定边、四点共圆”等条件识别隐圆，或构造隐圆后不会利用圆的性质（如直径所对圆周角为直角）求解最值。 瓶颈4：计算与细节失误，转化后不会利用勾股定理、相似三角形计算最值，或忽略动点运动范围、模型适用条件（如阿氏圆的定比限制），导致错解、漏解。 共性瓶颈：缺乏“模型迁移能力”，无法将基础模型应用到复杂情境（如结合几何变换、坐标系），思维固化，不会灵活构造辅助线。 结论背记 一、核心基础公式（解题地基，必背） （一）通用基础公式（所有模型均需用到） 1. 两点距离公式：（求线段长度、最值的核心工具）。 1. 垂线段最短公式：点到直线的最短距离（适配所有“点到直线”最值）。 1. 圆上点到定点距离最值：设圆心为，半径为，定点为，则，（适配阿氏圆、隐圆模型）。 1. 三角函数基础：对边斜边，邻边斜边（适配胡不归模型，转化线段关系）。 1. 旋转基础公式：点绕原点逆时针旋转60°→（适配费马点模型）。 （二）各模型专属基础公式 1. 将军饮马基础：对称点性质——点与对称点关于直线对称，则，且直线是的垂直平分线（核心转化依据）。 1. 胡不归基础：线段转化公式——（）可转化为“垂线段长度”，即（某条射线，）。 1. 阿氏圆基础：比例性质——若上任意一点满足（为定值，），则的轨迹为阿氏圆，半径（简化版，中考可直接套用）。 1. 隐圆基础：圆周角定理——定边，定角，则的轨迹为（为弦，圆心为垂直平分线上一点），直径（中考高频，快速求半径）。 1. 费马点基础：旋转性质——将绕定点旋转60°，得到，则，为等边三角形，（核心转化三条线段和）。 二、万能建模公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） 模型1：将军饮马模型（中考基础高频，必考） 1.模型识别 特征：动点在一条直线上运动，求（、为定点）的最小值；或变式（最大值、两动一定、两定两动）。 2.万能建模公式（分4类中考必考变式） 3.变式1：两定一动（动点在直线上） 万能步骤：作点（或）关于直线的对称点→连接，交直线于点→为最优解。 核心公式：最小值=（两点距离公式计算）。 4.变式2：两定两动（两个动点在两条直线上） 万能步骤：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点→连接，交于、交于→为最优路径。 核心公式：最小值=。 5.变式3：最大值（动点在直线上） 万能步骤：连接，延长交直线于点→为最优解。 核心公式：最大值=（两点距离公式计算）。 6.变式4：将军饮马+几何图形（三角形、四边形内） 万能步骤：结合图形对称轴，作对称点→转化为“两点之间线段最短”→套用两点距离公式。 拓展公式：若动点在角平分线上，对称点可落在角的另一边上，简化计算。 模型2：胡不归模型（中考难点，拉分点） 1.模型识别 特征：动点在一条射线上运动，求（，、为定点）的最小值（核心标志：含“系数的线段和”，且为锐角三角函数值）。 2.万能建模公式 3.万能步骤： 构造角，使（结合的值，常用30°、45°、60°，如对应）； 过定点作射线，使（为动点所在射线）； 过点作，垂足为，交射线于点→为最优解。 4.核心公式：最小值=（垂线段长度，用垂线段最短公式计算）。 5.拓展公式： 若，先提取，转化为，再按k=\dfrac{1}{k}&lt;1套用上述公式； 若射线改为直线，需考虑垂足的位置，验证动点的取值范围。 模型3：阿氏圆模型（中考压轴难点，高频拉分） 1.模型识别 特征：动点在定圆上运动，求（为定值，，、为定点）的最小值（核心标志：动点在圆上，含“系数的线段和”）。 2.万能建模公式 3.万能步骤： 构造相似三角形：在（或）上取一点，使（为圆的半径），则； 转化线段：由相似得，则； 连接，交于点→为最优解。 4.核心公式： 构造点的坐标公式：（简化版，直接套用）； 最小值=（两点距离公式计算）。 5.拓展公式： 阿氏圆半径公式：（已知、两点距离和，可快速求圆的半径）； 若求最大值，转化为，连接并延长交圆于，最大值为。 模型4：隐圆模型（中考高频，易漏解） 1.模型识别 特征：动点满足“定边定角” “定弦定径” “对角互补” “到定点距离为定值”，但未明确给出圆，需先识别的轨迹为圆（核心标志：有固定角度、固定线段，动点运动轨迹为圆弧）。 2.万能建模公式（分4类中考必考隐圆类型） 3.类型1：定边定角（最高频） 特征：定边，动点满足（定值）。 万能步骤：找的垂直平分线，确定圆心（）→求半径→转化为“圆上点到定点距离最值”。 核心公式：直径，最值=。 4.类型2：对角互补 特征：四边形中，（或）。 核心公式：四点共圆（隐圆），圆心为对角线中点，半径为对角线的一半。 5.类型3：到定点距离为定值 特征：动点满足（为定点，为定值）。 核心公式：的轨迹为，最值=（为定点）。 6.类型4：定弦定径 特征：定弦，动点满足为直径（为圆心）。 核心公式：（圆周角定理），的轨迹为以为直径的圆，半径。 模型5：费马点模型（中考压轴难点，部分地区考） 1.模型识别 特征：在平面内，求一点，使（、、为定点，三角形无内角大于120°）的最小值（核心标志：三条线段和的最值，三个定点构成三角形）。 2.万能建模公式 3.万能步骤： 将绕点逆时针旋转60°，得到（旋转中心选任意顶点，优先选夹角较小的顶点）； 由旋转性质得，，为等边三角形，； 则，连接，交于点→为费马点。 4.核心公式：最小值=（两点距离公式计算，为旋转后的对应点）。 5.拓展公式： 若三角形有一个内角≥120°，则该内角的顶点即为费马点，最小值为另外两条线段之和（）； 旋转方向可顺时针或逆时针，不影响结果，优先选择使与在旋转中心同侧的方向。 技法归纳 方法一 将军饮马最值求解及技巧 作定点对称点，化折线为直线，依据两点之间线段最短求解线段最值。 例题1 （2024·安徽·一模）如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化即可求解． 【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知， 点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆）， 点E的对称点为，连接,则， ∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，在中，，， ， 又， ，即的最小值为8， 故选：A． 【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将进行转化时解题的关键． 例题2 （2025·四川广安·模拟预测）如图，正方形的边长为12，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为________． 【答案】15 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出图形得到的最小值即为线段的长．连结，，，根据轴对称的性质，得到，的最小值即的最小值，即为线段的长，再根据勾股定理，即可求得的长，即得答案． 【详解】解：连结，，， 正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点， 直线即为的垂直平分线， ， ， 当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长， 正方形的边长为12，且， ，，， ， 的最小值为15． 故答案为：15． 例题3 （24-25九年级上·山东聊城·月考）几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： （1）如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为 ．    变式练习： （2）如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．    深化拓展： （3）如图4，在锐角△ABC中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．    【答案】（1）10；（2）；（3）4 【分析】（1）如图2（详解），由正方形的性质可知点和点关于对称，连接,由题目中的几何模型可知是的最小值，由题可知,,根据勾股定理可求出即可； （2）如图3（详解），先作出点关于对称点,连接,,由几何模型可知是的最小值，因为点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，所以可得，根据勾股定理求出即可； （3）由题意和对称性可知,要求最小值，就是求出的最小值即可，根据垂线段最短过点作,是两线段之和最小值；因为，，根据解直接三角形即可得到答案. 【详解】（1）连接 在正方形中， ,， 又 ∴, 在中 ， 故的最小值为10.    （2）作出点关于对称点，连接,, ∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点， ∴， 在中 ， 即的最小值．      （3）连接,过点作. ∵的平分线交BC于点D， ∴， 即要求最小值，就是求出的最小值，根据垂直段最短，是的最小值，即也是的最小值. 在中 ，， ∴， 即的最小值4.    【点睛】本题主要考查了将军饮马模型，勾股定理，解直接三角形，垂直段最短等知识点，解决此题的关键是合理的理由题目中的几何模型（将军饮马模型）. 方法二 胡不归问题及解题技巧 构造特殊直角三角形，转化带系数线段，利用垂线段最短求最值。 例题1 （2023·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造． 例题2 （2025内蒙古鄂尔多斯）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____． 【答案】4 【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果． 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝， ∴PA+2PB＝2＝＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4， ∴（PA+2PB）最大＝2BF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线． 例题3 （25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新拋物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标． 【答案】(1) (2)点F的坐标为；的最小值为 (3)点K的横坐标是或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴分别交x轴、于点、，对称轴交x轴于点，设，易求直线的解析式，从而得的坐标，利用“”得，进而可得，则，根据二次函数的性质值，即可求出点F的坐标；根据题意可知是“胡不归模型”，则构造，，且，当点、、在同一条直线上时，的值最小，利用勾股定理，计算，的值，即可求出最小值； （3）利用待定系数法求新抛物线和直线的解析式，得，根据题意可得，直线与直线的交点在射线上或在射线上两种情况，利用等腰三角形的性质和两点间的距离公式，求出交点、的坐标，从而求出直线的解析式，进而列方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点C， 当时，，则， ， ，， ，， ，， 抛物线与x轴交于A、B两点， ，解得， ； （2）如图，过点作轴分别交x轴、于点、，对称轴交x轴于点， ， 顶点，则，， 在中，， 设，则，，， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ，则，， 轴，轴， 轴， ， 又， ， ，轴， ， ， ，即， 则， ， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当取得最大值时，点F的坐标为， 如图，作，过点作，使得， 在中，， ， ，即当点、、在同一条直线上时，的值最小， ， ，轴， ，则， 在中，，即， 则，即， 解得， ， ， ，， ， ， 则的最小值为； （3）点K的横坐标是或； 由平移可知，平移后解析式的二次项系数不变， 新抛物线的顶点， 新抛物线的解析式为：，即， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 当时，， ， ， 由图可得，直线与直线的交点在射线上或在射线上， 情况一：如图，当交点在射线上时，连接， 直线与直线所夹锐角为的两倍， 则， ， ，即是等腰三角形， ， 设， ，， ，， ， ， 左右平方，得， 解得，则， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 点的横坐标是4， 点K的横坐标是； 情况二：如图，当交点在射线上时，连接， 直线与直线所夹锐角为的两倍， 则， ， ，即是等腰三角形， ， 设， ，， ，， ，左右平方，得， 解得（舍去）或， 当，， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 点的横坐标是4， 点K的横坐标是， 综上：点K的横坐标是或． 【点睛】本题是二次函数综合，熟练掌握待定系数法，二次函数的图象与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，解一元二次方程等知识是解题的关键，难点“胡不归模型”和两点间的距离公式． 方法三 阿氏圆问题及解题技巧 借助圆内比例构造相似三角形，等量替换线段，解决带系数线段和差最值。 例题1 （2025九年级·全国·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）      A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9， ∴PC2＝CM•CA， ∴， ∵∠PCM＝∠ACP，    ∴△PCM∽△ACP， ∴， ∴PMPA， ∴AP+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM， 在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7， ∴BM5， ∴AP+BP≥5， ∴AP+BP的最小值为5． 故选：B． 例题2 （23-24九年级上·江苏宿迁·月考）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 例题3 问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； (2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． （3）如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 方法四 隐圆问题及解题技巧 挖掘定长、定角等隐藏条件确定隐形圆，结合圆的基本性质分析最值。 例题1 （2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 例题2 （25-26九年级上·四川成都·期中）如图，中，，，点在射线上，且，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”，根据比例关系构造出相似三角形，找到点的运动轨迹是解题关键．在上方，以为边，构造与相似的三角形，利用相似三角形的性质可以得出，所构造相似三角形中的点A的对应点为定点，从而确定点P的运动轨迹为圆弧，根据点圆最值的确定方法，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，在上方，以为边，构造． ∴，，． ∴，． ∴点在以为直径的上运动，点为中点． ∴． 连接，与的交点即为取得最小值时，点的位置． ∴． ∴此时，即的最小值为3． 故答案为： 3． 例题3 （2026·陕西西安·三模）问题探究 (1)如图①，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为___________． (2)如图②，在中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段的最小值． 问题解决 (3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地，用于班级种植，是两个工具房，分别在，边上，且，沿铺设一条运送通道，再从点铺设一条垂直于的小路，在点处修一个肥料存放点，点处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点处获取肥料，需要沿铺设一条小路，要求尽可能的短，已知，．请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3)存在最小值，为 【分析】（1）根据三角形中位线定理，可得，，从而可得，进而可求，计算即可求出； （2）根据，，易得，则可得动点的运动轨迹是圆弧，以的中点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接，交圆弧于一点，即为点，此时线段的值最小，再根据勾股定理，计算即可求解； （3）延长、相交于点，连接，点是的中点，作，以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于点，此时的值最小，利用相似三角形的判定和性质，易求，再根据勾股定理，得，则，利用垂径定理，得，最后根据勾股定理，求得，，计算即可． 【详解】（1）解：是的中位线，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ，即， ， ， ， 则动点是在以的中点为圆心，的长为直径的圆上，且在内部的圆弧上， 如图②，以的中点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接，交圆弧于一点，即为点，此时线段的值最小，    ， ， 在，，， ， 则线段的最小值为； （3）存在最小值， 如图③，延长、相交于点，连接，点是的中点，作， 矩形， ，， ， ， ， ，即， ，即， 动点的运动轨迹是以点为圆心，为直径的圆弧上， 以点为圆心，为直径作圆弧，连接，交圆弧于一点，即为点，此时的值最小， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， 则存在最小值，最小值为． 【点睛】审清题意，本题的难点是动点的运动轨迹． 方法五 费马点问题及解题技巧 通过图形旋转构造等边三角形，转化多条线段，求取多条线段之和最小值。 例题1 （2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将绕点顺时针旋转得到，得到是解题的关键． 例题2 （24-25九年级下·全国·二轮复习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【分析】如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，当点共线时，取得最小，最小为的值，如图所示，过点作延长线于点，在中，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，点是的中点， ∴，且， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点， ∵点是的中点， ∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握等边三角形，旋转的性质，费马点求最短线段的方法是解题的关键． 例题3 （24-25八年级下·河南·月考）阅读下面材料，并解决问题： (1)思维指引 如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； (2)知识迁移 如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度； (3)方法推广 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由全等三角形和旋转的性质可得为等边三角形，即得， ，进而由勾股定理的逆定理可得，进而可得，即可求解； （）把绕点逆时针旋转得到，可证，得到，再根据等腰直角三角形和旋转的性质可得，进而利用勾股定理求出的长即可求解； （）在内部任取一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质可得，可知当四点共线时，取最小值，最小值为，过点作的垂线交延长线于点，分别求出和的长，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， 由旋转得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， 故答案为：； （2）解：如图②，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转得，，，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图③，在内部任取一点，连接， 将绕点顺时针旋转得到， 由旋转得，，，， ， ∴， ∴， ∴当四点共线时，取最小值，最小值为， 如图，过点作的垂线交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型01】将军饮马最值（共5题） 1．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江金华·自主招生）如图，立方体的棱长为2，P是上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质． 延长到点T，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，则点E，D和直线在同一个平面内，根据垂直平分线的性质得到点E和T关于直线对称，则，可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：延长到点T，使，连接，，． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴点E，D和直线在同一个平面内． ∵，， ∴点E和T关于直线对称， ∴， ∴. 故选：D． 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，且，点M、N分别在线段、上，连接，，点P为的中点，连接、，则的最小值为__________． 【答案】12 【分析】本题涉及到矩形的性质及判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及利用轴对称求最短路径的知识点． 连接，，作点关于直线的对称点，交的延长线于，连接，，先根据矩形性质和已知条件得出四边形是平行四边形，进而得到四边形是矩形，将转化为；再利用点P是中点及长度固定，确定点P的运动轨迹；最后根据两点之间线段最短，用勾股定理求出的最小值． 【详解】解：连接，，作点关于直线的对称点，交的延长线于，连接，， ， 矩形中，，， ， ， 四边形 是平行四边形， 是矩形， ， ， ， ， ， ， 中，， ，点P为的中点，， ， 点在以点为圆心，为半径的弧上， ， 四点共线时，最小， 此时，最小， 即最小， ， 故答案为：12． 4．（2025·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图①，在中，，则点A到的最大距离为_______； 问题探究 （2）如图②，在矩形中，，E是上一动点，连接，求，的最小值； 问题解决 （3）如图③，矩形的四边是某市产业新区的外环路，分别是四条贯穿路．已知，I、J分别是线段上一点，连接．现计划在三角形区域处修建一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值：若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1）5；（2）；（3）的周长存在最小值，最小值为 【分析】（1）由，可得点A在以为直径的圆上运动，设圆心为，过点A作于点，当点H与点重合时，有最大值，即可解答； （2）作点D关于的对称点，连接，得到，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，利用勾股定理即可解答； （3）作H关于的对称点，作H关于的对称点，连接，，，，，则，，则的周长，当、、、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为的最小值．根据矩形的判定和三角形的内角和定理求得，作的外接圆，设圆心为，如下图，则点H在劣弧上运动，连接、，过O作于Q，利用圆周角定理求得，进而利用等腰三角形的性质和锐角三角函数求得，，设交于K，交于，连接，可证明E、T、H、K四点共圆，为直径，设圆心为，半径，连接，，可求得，连接，则，即，当E、H、O共线时取等号，过O作交延长线于S，求得，则，，利用三角形中位线可得，进而可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点A在以为直径的圆上运动，设圆心为，过点A作于点， 当点H与点重合时，有最大值， 此时，， ∴点A到的最大距离为； （2）解：作点D关于的对称点，连接， 则， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，即的最小值为； （3）的周长存在最小值． 作H关于的对称点，作H关于的对称点，连接，，，，，则，， 则的周长，当、、、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为的最小值． ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆，设圆心为，如下图，则点H在劣弧上运动，连接、，过O作于Q，则， ∵， ∴，， ∴，， 设交于K，交于，连接，则，，， ∴E、T、H、K四点共圆，为直径，设圆心为，半径，连接，， ∵,， ∴，则， ∴，则， ∴由垂径定理得， 连接，则，即，当E、H、O共线时取等号， 过O作交延长线于S，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即的最小值为， 故的周长存在最小值，最小值为． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质求最短路径问题、勾股定理、三角形的中位线性质、锐角三角函数等知识，综合性强、难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，找到取最值时点所在的位置是解答的关键． 5．（24-25九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线．上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段．上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，． ①求线段长度的最大值 ②当线段长度取最大值时，求的最小值； ③将该抛物线沿射线方向平移，使得新地物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②；③或． 【分析】（1）由题意利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）①求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，即可求得最大值； ②证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； ③求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得 ：， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴ ②由①得：，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； ③解：由①得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 【题型02】胡不归问题（共7题） 1．（22-23九年级上·四川乐山）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 2．（2025·江苏无锡）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 3．（2024·陕西西安）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值． 【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E ∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2 ∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o ∴DE =CD,即2DE = CD ∵A与A'关于BC对称 ∴AD= A'D ∴AD+ DE = A'D+ DE ∴当A'，D, E在同一直线上时 AD + DE的最小值等于A' E的长, 在Rt△AA' E中：A' E= sin60o×AA'=×2= 3 ∴AD十DE的最小值为3 ∴2AD十CD的最小值为6 故选B 【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键． 4．（2024·河南安阳·自主招生）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．    【答案】 【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．    ∵， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∵，，， ∴（等腰三角形两腰上的高相等） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 5．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线与x轴交于点D，点E为点C关于x轴的对称点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作平行于y轴，交于点Q，过点Q作，交抛物线对称轴于点F．点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及取得最小值时点N的坐标； (3)将抛物线沿射线平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段上的动点，线段关于的对称线段为，线段所在直线交新抛物线于点K．若直线与直线所成夹角等于，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）先由抛物线对称轴为直线求得b的值，再根据抛物线与x轴交于点，求出c的值，从而得到抛物线的表达式； （2）求直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点L，过点Q作于点K，过点N作于点R，在中，运用勾股定理求出的长度，再证，则，即， ，设，，， ，求出当时，取得最大值，证，，从而得出 ，当且P，M，N，R四点共线时，有最小值，作且P，M，N，R四点共线，作轴于点S，证，从而求出，，最后求出N点坐标； （3）先求出平移后的抛物线解析式，证明，分两种情况进行讨论，求出对应K点横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线与x轴交于， ∴将代入中，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴令，得，即， ∵，， ∴直线的解析式为， 如图1，设直线与抛物线对称轴交于点L，过点Q作于点K，过点N作于点R， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵直线与抛物线对称轴交于点L， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵抛物线的对称轴是直线，直线的解析式为， ∴设，，， ∴，， ∴， ∵，开口向下， 又∵， ∴时，取最大值，此时． ∵点E为点C关于x轴的对称点，， ∴， ∵抛物线与x轴交于，B两点，抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴，， 在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当且P，M，N，R四点共线时， ， 此时的最小值为的长． 如图2，作且P，M，N，R四点共线，作轴于点S， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ，， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ （3）解：设抛物线沿射线向右移动了m个单位长度，则抛物线向上平移了个单位长度， 设平移后的抛物线为， 设平移后的抛物线与x轴的交点横坐标分别为，， 令，整理得， ∵平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3， ∴， 解得， ∴平移后的抛物线， 设， ∵点E为点C关于x轴的对称点， ∴， ①如图3，当点在直线上，且时，设此时直线交x轴于点J，交直线于点M，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下： 在x轴上截取，连接， ∵，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵线段关于的对称线段为， ∴， ∵， ∴， ∵在中， ， 在中， ， ∴， ∵，， ∴， 即此时直线与直线所成夹角为，且， ∴点K的横坐标为； ②如图4，当点在y轴上，且时，设此时直线交直线于点U，则直线与直线所成夹角为，此时，点K的横坐标为，理由如下： ∵线段关于的对称线段为， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， 此时，， 直线解析式为：， ∴联立， 解得或， ∴； 综上或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式，函数平移，线段最值问题，角度存在性问题等，题目难度大． 6．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点，连接、． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交直线于点，、为轴上的动点（点在点的下方）且，连接、．当最大时，此时点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，难度较大，属中考压轴题． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，直线的解析式，过点作平行于轴交抛物线于点，设，，，可得，再利用，求出，进而利用二次函数的最值求出当时，最小，最小值为4，此时，对于可利用三角形两边之差小于第三边求解，先利将点向下平移1个单位长度得，可得，即可得出，由此求出最大值为． （3）先求出平移后抛物线解析式为，再根据已知可得，然后根据点F在左侧时可得，由此求出直线的解析式为，进而联立解析式求出交点坐标，再根据对称求出另一种情况求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线（） 得， 解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：∵，，抛物线与轴交点为， ∴直线的解析式为，直线的解析式， ， 设，， 延长交于点，则 ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴，即 当时，最大，最大值为4，此时， 将点向下平移1个单位长度得， 连接、，， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴当点在线段与抛物线交点上时，最大值，最大值为， 则的最大值， 综上所述，，的最大值． （3）解：， ①抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向右平移1个单位，向下平移3个单位得到新抛物线， ∵ ∴平移后抛物线的表达式为： ∵，， ∴， ， ∴， 当在左侧时，如图： ∵轴， ∴， ∴ ， ∵直线的解析式为，， 直线的解析式为 与抛物线联立得 方程组， 解得：（不合题意，舍去），， ∴． 如图2，当在右侧时，如图， 取点关于（即）的对称点， 则直线解析式为：， 直线与抛物线联立得 方程组， 解得：，（在第四象限，不合题意，舍去，）， ∴． 7．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．    (1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式； (2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点的坐标求出直线的解析式，再由点的横坐标代入直线的解析式求出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线解析式求，从而得到抛物线的函数表达式； （2）过点作轴于点，过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，过点作于点，由点和点的坐标求线段、和的长度，得到，结合速度可知时间为，然后利用“角所对的直角边是斜边的一半”得，从而得到，进而求得此时点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，或， ∴，， 将点代入，得： ∴， 则直线的解析式为：， 当时，， ∴， 将点代入，得：， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）由题意得：点的运动时间为， 过点作轴于点，    ∵，， ∴，，， ∴， 过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，此时， ∴与直线的交点即为所求点， ∵， ∴当时，， ∴点的坐标为时，点在整个运动过程中用时最少． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“角所对的直角边是斜边的一半”将进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点坐标． 【题型03】阿氏圆问题（共4题） 1．（2024·浙江·专题练习）如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ________________． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形．过点M作于H，作于F，推出，进而有，由四边形是矩形得出，因此当与相切时，取得最大和最小，进而确定的最大值和最小值即可解答． 【详解】解：过点M作于H，作于F ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当与相切时，取得最大和最小， 如图，    连接，，， 可得：四边形是正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴． 如图，    由上知：，， ， ， ， ∴． 故答案为：． 2．（2025·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ___________． 【答案】 【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解． 【详解】解：如图，取点，连接，． ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，（当B、P、T三点共线时取等号） 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 3．（2025·广东珠海）如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 【答案】(1) (2)菱形，见解析 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形性质和判定，圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． （1）先根据圆周角定理得，再由勾股定理即可解答； （2）先根据垂径定理得：，再证明，得，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论； （3）如图3，连接，先根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上，且，由旋转可得：点在以为圆心，2为半径的圆上，则当为相切时，的值最大，即可解答． 【详解】（1）∵为直径， ∴在中． ∵在中， （2）∵为直径 ，． 四边形是平行四边形 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是菱形 （3）如图，，， ∴点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点C旋转， ∴点是在以为圆心，以为半径的圆上运动， ， ∵当最小时，最大，此时与圆C相切于点D， ， ， 连接 ， ， ， 此时，即AE的最大值为． 4．如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．    (1)求a的值和直线的函数表达式； (2)设的周长为，的周长为，若，求m的值； (3)如图2，在（2）条件下将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出抛物线与轴交点，列出方程即可求出，根据待定系数法可以确定直线解析式． （2）由，推出，列出方程即可解决问题． （3）在轴上取一点使得，构造相似三角形，可以证明就是的最小值． 【详解】（1）令，则， ， 或， 抛物线与轴交于点， ， ． ，， 设直线解析式为，则， 解得， 直线解析式为． （2）如图1中， ，， ， ， ， ， ， ， ， 抛物线解析式为， ， ， 解得或4， 经检验是分式方程的增根， ． （3）如图2中，在轴上 取一点使得，连接，在上取一点使得． ，， ， ， ， ， ， ， ，此时最小（两点间线段最短，、、共线时）， 最小值． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段就是的最小值，属于中考压轴题． 【题型04】隐圆问题（共6题） 1．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（   ） ①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，利用勾股定理求解即可判断②；过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，利用三角形的面积公式求得，进而求得可判断③；取的中点，连接、，利用三角形的中位线求得，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，即， 解得； 当时，则，即， 解得， 综上，当与相似时，或，故①错误； ②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为，故②正确； ③过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度， 由得， ∴， ∴点到距离的最小值为，故③正确； ④取的中点，连接、， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为， 过O作于H，则，又， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴的最大值是，故④正确， 综上，结论正确的是②③④， 故选：B． 2．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识，延长到，使，连接，根据三角形的三边关系确定的取值范围，再根据是的中位线得出，得出的取值范围即可，根据三角形三边关系得出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：延长到，使，连接，如图： ∴点为为的中点， 在中，， ， ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， 为等腰直角三角形， ， ，即， ， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ， ， ∴线段的最大值是， 故答案为：． 3．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、垂径定理、锐角三角函数、隐形圆求最值问题等知识，利用圆的相关知识得到的面积最大是解答的关键．作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，由，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，，则的面积最大；设、相交于，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得，再由垂径定理和等腰三角形的性质证得点A、O、P、、C共线，进而求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，如图，则， ∴，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，， ∵， ∴最大时，的面积最大； 如图1，设、相交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点A、O、P、、C共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2026九年级下·重庆·专题练习）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点F，过点D作于点G，证明四边形是矩形，先由，，，求得，从而得到，最后在中，由求得； （2）过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H，先证，再证，从而得到； （3）先由瓜豆原理得到点M的轨迹为线段，当垂直于该线段时，取得最小值，此时点M为线段的中点，点D为线段的中点，再根据定角定弦，得到点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上，当C，O，Q三点共线且点Q在C，O之间时，取得最小值，连接，过点M作于点R，通过，求得的长度，再根据，求得的长度，最后根据三角形面积公式求出． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于点F，过点D作于点G， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2，过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，过点A作的垂线，垂足为点M， ∴，， 如图3，取的中点，连接，当点D与重合时，设此时的对应点为 连接，由瓜豆原理，点M的运动轨迹即为直线的一部分． ∵在中，，， ∴， 即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，取得最小值， 此时点M与点重合，点D与点重合，即点M为线段的中点，点D为线段的中点． 如图4，当点M为线段的中点，点D为线段的中点时， ∵， ∴点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上， 连接，交于点Q，且点Q位于点C与点O之间，此时取得最小值， 连接，过点M作于点R， ∵，O为线段的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∵M为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在矩形中，． (1)如图1，过点D作，垂足为E，求证：； (2)如图2，在（1）条件下，点F为上一点，连接并延长至点G，交于点O，连接、，当时，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，平面内一点M，满足，，，连接并延长至点H，使，连接，当线段取最小值时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据垂直的定义得到，则，通过证明，得到，再利用比例的性质即可证明； （2）先证明，得到，结合（1）中的结论得到，再证明，得到，结合垂直的定义得到，则有，即可得出结论； （3）根据题意可知点在以为圆心，半径为1的圆上运动，作交延长线于点，与交于点，连接，先证明，得到，再证明，得到，得出，则点在过点且与垂直的直线上运动，当时，线段取最小值，此时四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理即可求出线段的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，点F为上一点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵， ∴， ∴点在以为圆心，半径为1的圆上运动， 作交延长线于点，与交于点，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴是定点， ∴点在过点且与垂直的直线上运动， ∴当时，线段取最小值， ∵矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、圆周角定理、勾股定理、动点轨迹问题，添加适当的辅助线构造相似三角形，探究出点的运动轨迹是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 6．（2025·北京·三模）在中，，点D为平面内一点． (1)如图1，若点D在线段上，且，求的值； (2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)若点D满足，当时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点K，根据角平分线的性质可得，再证得是等腰直角三角形，可得，即可求解； （2）延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接，再证得是等腰直角三角形，可得，，再证明，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，可证明，可得，即可解答； （3）以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则，再证得点D在圆O上，可得当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点K， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴点D在圆O上， ∴当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难点在第三问，作出合理的辅助线，找到隐圆是解答本题的关键． 【题型05】费马点问题（共5题） 1．（2025·广东广州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________． 【答案】 【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论． 【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN， ∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°， ∴△BQN是等边三角形， ∴BQ=QN， ∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN， ∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小， 此时，如图2，连接MC ∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM， ∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM， ∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形， ∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM， ∵BM=CM，AB=AC， ∴AM垂直平分BC， ∵AD⊥BC，∠BQD=60°， ∴BD=QD， ∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2， ∴x=， ∴x=3+， ∴PD=3+． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题． 2．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图1，正方形的边长为4，以B为圆心的与，分别交于点E，F，连接，． (1)求的长； (2)连接，把绕点B顺时针旋转，在旋转的过程中． ①求的取值范围； ②如图2，取的中点G，连接并延长交直线于点H，点P为正方形内一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由题可知是等腰直角三角形，即可求解． （2）①当分别为的切线时，最大或最小，由，可知，即可求解； ②延长到，使得，连接，证明，由角度转换得到，再取的中点O，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，当点五点共线时，取最小值，且最小值为，分别求出的长度，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ． （2）解：①如图，连接， 当分别为的切线时，最大或最小， 为正方形的对角线， ，， 当点E移动到位置时，最小， ， ， ， ， 当点E移动到位置时，最大， ， ， ， ， ． ②如图，延长到，使得，连接， 则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 点分别为线段的中点， ， ， ， ， 取的中点O，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接， 则，，， ， ， ， 则当点五点共线时，取最小值，且最小值为， ，， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题是一个综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识点和“费马点”模型是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示，可得是等边三角形，，，在中，，，，可得，则是直角三角形，所以，在中，，，则，，在中，由勾股定理得：，即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示，可证和均为等边三角形，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，根据“两点之间线段最短”得：，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示： 由旋转的性质得：，，， 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， 是直角三角形，即， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 的度数是，边的长为； （2）解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示： 由旋转的性质得：，，，， 和均为等边三角形， ，， ， 在中，，，于点， ，， 在中，由勾股定理得：， 是等边三角形，， ， ， ， 点，，在同一条直线上， ， 在中，由勾股定理得：， ， 根据“两点之间线段最短”得：， ， 即， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质，“费马点”模型的计算是关键． 4．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H． (1)如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离； (2)如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)4 【分析】（1）过点作，交延长线于点，先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得； （2）猜想，证明：在取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后根据线段的和差、等量代换即可得证； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，先证出，从而可得，则当点共线时，的值最小，即的值最小，然后利用等边三角形的性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴点到直线的距离． （2）解：猜想，证明如下： 如图，在取一点，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图，由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小， 设交于点，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴垂直平分，也垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵等边的高等于6，于点， ∴， ∴， 又∵是等边三角形，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以当的值最小时，线段的长为4． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，综合性强，较难的是题（3），正确找出当的值最小时，点的位置是解题关键． 5．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·月考） 中，． (1)如图1，若，平分交于点，且．证明：； (2)如图2，若，取中点，将绕点逆时针旋转至，连接并延长至，使，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，为平面内一点，将沿直线翻折至，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点分别作，的垂线，垂足为，，易得，由，可得，由，求得，可证得； （2）延长，使得，连接，，易证为等边三角形，进而可证，可得，，可知，易证得，可得，由可得结论； （3）由题意可知是等边三角形，如图，作，且，作，且，可得，，可知，可得，由可知点，都在线段上时，有最小值，过点作，过点作交延长线于，可得，，可证，得，设由等边三角形的性质，可得，进而可得，，结合可得：，可得，由翻折可知，，可求得的值． 【详解】（1）证明：过点分别作，的垂线，垂足为，， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴，则， 又∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 延长，使得，连接，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵绕点逆时针旋转至， ∴，，则， ∴， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， 又∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴是等边三角形， 如图，作，且，作，且， 则，， ∴，， 则， ∴，则 ∴， ∴，即：， ∴ 即：点，都在线段上时，有最小值，如下图， 过点作，过点作交延长线于， 则， ，， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，设 ∴，，则， ∵， ∴，则，， 则由可得：， 整理得：，得， 由翻折可知，， ∴． 【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键． 一、单选题 1．（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2026·江西萍乡·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点轨迹和最短路径问题，解题的关键是画出对应图形，找出G的轨迹在一个圆上，再由“将军饮马”模型求出最小值． 【详解】解：当E在上，F在上时，由这两点运动速度相同，故，由正方形性质知，， 由 ， ， ， ， 故由圆周角性质得G在以为直径，中点O为圆心的圆上，以为对称轴将点B翻转上去得到点，如图所示 则 ，故 三点共线时最短，若 三点不共线，则 中 ， 故当 三点共线时最短，此时 四点共线，由于圆的半径为1， ， 故由勾股定理得 ， 最小为 ， 此时实际上E在上，F在上，如图所示 此时，但不变 3．（2026·安徽池州·一模）如图，在中，，点是上一定点，点从点出发，沿边运动到点．连接，，设点运动的路程为，．其中关于的函数图象如图所示，则图中函数图象最低点的纵坐标的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图2的函数图像可求、、、，作，，连接，交于点，，可由求，根据勾股定理求出，即可判断点与点重合，从而可求． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∵中，， ∴． ∵当，即点运动到点，， ∴． 如图，作，，连接，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时最小． ∵， ∴， ∴． ∴点与点重合， ∴． 4．（2024·江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 【答案】A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3）， ∴c＝﹣3， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（0，-3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，1）， ∴OD＝1，BD＝4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴DP+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 5．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数的图像与x轴交于点， ∴b＝2， ∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0）， 令x＝0，y=3， ∴B（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，-1）， ∴OD＝1，BD＝4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴DP+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键． 6．（2025·湖北武汉）如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．证明，判断出点C在以为圆心，为半径的圆上运动可得结论． 【详解】解：如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点在的垂直平分线上时，的面积最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴面积的最大值． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是判断出点C的运动轨迹． 7．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 二、填空题 8．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，等边三角形中，，D为的中点，连接，点E是线段上的动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则的最小值为_______． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、利用轴对称求最短距离等知识，得到点F的运动路线是解答的关键．如图，连接，证明得到，结合等边三角形的性质得到，则点F在垂直于的直线上运动，作点A关于直线的对称点，连接、，则，当、F、D共线时取等号，此时的最小值为的长；连接交直线于K，则，，证明得到，在中，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由旋转性质得，， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴，，， ∴， ∴点F在垂直于的直线上运动， 作点A关于直线的对称点， 连接，则，， ∴，当、F、D共线时取等号，此时的最小值为的长， 连接交直线于K，则，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的最小值为3， 故答案为：3． 9．（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时___________． 【答案】 【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接， 点是点关于直线的对称点， 直线垂直平分， ，，， ， 当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值． ，， ． ，且，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 当取最小值时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点最值的将军饮马模型，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握动点最值类模型的解题思路是解题关键． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查“等腰三角形的性质”“三角形内心的定义”“定弦定角构造隐圆”，通过角度代换，发现点P的运动轨迹是圆是解题关键． 根据点P是的内心，即三条角平分线交点，通过角度计算可以推出的度数，利用等腰三角形的性质，得到的度数，即可通过定弦定角确定点P的运动轨迹，根据点圆最值的求解方法即可得到答案． 【详解】解：， ． ． 点P是的内心，即，分别平分和， ，． ． ，，， ≌． ． 如图，作出的外接圆，设圆心为Q，圆的半径为r，则的最小值即为． ， 设所对的圆心角优角为，则， ． ， ． ， ． ∵四边形是正方形， ． 过点Q作，则， ． ∴是等腰直角三角形． ． ． ． ． 的最小值为． 故答案为：． 11．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________． 【答案】 / / 【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题． 延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解． 【详解】解：延长至T，使得，连接， ∵的中点为E， ∴是的中位线， ∴，即只需求的最大值和最小值； ∵始终保证， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最小值为，的最大值为， 故答案为：，． 三、解答题 12．（24-25九年级下·陕西西安·期中）【问题探究】 （1）如图 1，在 中， 为 的中点，连接 ，则 与 的位置关系是_____．     （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域( )，用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即 的面积)．      【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）运输轨道的最小值为千米，的面积为平方千米． 【分析】（1）根据全等三角形的判定得出，进一步根据，即可推出，即证； （2）由题意连接，，先得出，同理可得，，进一步利用即可进行证明； （3）首先确定出的运动轨迹，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值，继而在中，由勾股定理得出，过作,交于点，利用相似性质得出，即可进一步求的面积． 【详解】解：（1）由题意知，在与中， ，（中点定义），， ， ， 又（平角定义）， ，即． 故答案为：． （2），理由如下： 如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ． （3）取中点，连接，过作，交于， 由正方形可得 , ， , ， ， , 是等腰直角三角形， 从而确定出的运动轨迹即如下图： , ，即最小值等于最小值, 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值， 正方形边长为3千米，是中点， 在中，由勾股定理得千米, ， 千米，千米， 千米， 在中，由勾股定理得千米， 即运输轨道的最小值为千米， 过作,交于点，如图， , , , 千米， 此时的面积为平方千米． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理和相似三角形的综合应用．整体难度相对大，需要学生有分析主从联动点（瓜豆原理）的运动轨迹的能力，同时还能够合理运用将军饮马的模型进行问题的综合解决． 13．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 14．（24-25九年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在y轴的左侧），与y轴交于点C．已知抛物线的对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为线段上一动点（不与端点重合），过点D作轴交抛物线于点P，过点P作交x轴于点E，F为线段上的一个动点，连接，当取得最大值时，求点D的坐标及的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿射线方向平移，在平移过程中斜边的对应边与原抛物线恰好只有一个交点时，记这个交点为点G．连接，过点B作交y轴于点H，设N是直线上一点，若点G关于直线的对称点恰好落在直线上，请直接写出所有符合条件的N点的横坐标，并写出必要的求解过程． 【答案】(1) (2)点D的坐标为，的最小值为 (3)或 【分析】（1）利用二次函数的对称轴，得到，再代入点A的坐标到抛物线，解出的值即可求解； （2）利用二次函数的性质求出点，的坐标，得出直线的解析式为，延长交轴于点，通过证明得到，设，得出的表达式，求出此时取得最大值时点的坐标，作直线，过点作轴交直线于点，利用三角函数的知识推出，作于点，则，再利用垂线段的性质和锐角三角函数的定义求出的最小值即可； （3）由平移的性质得，则设直线的解析式为，结合与原抛物线恰好只有一个交点，联立函数利用根的判别式求出的值，得出点的坐标，利用待定系数法求出直线和的解析式，连接交于点，连接、，利用对称的性质和平行线的性质推出四边形是菱形，得出，设，利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线， ， ， 代入得，， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：令，则， ， ， ， 令，则， 解得：，， ， 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得：， 直线的解析式为， 如图，延长交轴于点， 轴， ， ， ， ， ，即， ， ， 设，则，， ，， ， 当时，有最大值，即取得最大值，此时点D的坐标为， 作直线，过点作轴交直线于点， 令，则，解得， ， ， 在中，， ， 作于点，则， ， ， 当三点共线时，有最小值，此时， 过点作轴交直线于点，则， 令，则， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 综上所述，点D的坐标为，的最小值为． （3）解：由（2）得，直线的解析式为， 由平移的性质得，， 设直线的解析式为， 联立， 消去整理得：， 与原抛物线恰好只有一个交点， ， 解得：， 代入得，， 解得：， ， 又， ， 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得：， 直线的解析式为， ，， 同理可得，直线的解析式为， 连接交于点，连接、， 点G关于直线的对称点为， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 设， ， 解得：，， 符合条件的N点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、平移和对称的性质、一元二次方程的应用，学会结合图形添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，同时涉及较大运算量，适合有能力解决压轴题的学生． 15．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图1，抛物线与x轴交于A、和B两点，与y轴交于点C，点M在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点N． (1)点A坐标为 、点B坐标为 ； (2)当时，判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (4)如图2，P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值为 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)3 【分析】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形判定与性质，利用三角函数解直角三角形，胡不归求线段最短问题，综合性强，难度较大﹒ （1）把代入二次函数得，解得，即可得到点A坐标为、点B坐标为； （2）求出点C坐标为﹒作轴，垂足为H﹒设点M坐标为，则，，在中，根据，得到，解得，舍去，即可得到点M坐标为，结合点C坐标为，即可得到； （3）设交于点G，作，交直线于点K﹒求出直线解析式为，进而求出点K坐标为，得到﹒设点M坐标为，得到点G坐标为，﹒根据设与有公共高，得到﹒证明，得到，即可得到﹒从而得到当时，有最大值，最大值为； （4）求出，得到﹒作，垂足为E﹒根据在中，，得到，从而得到当点D、P、E在同一直线上时，，此时值最小，最小值为﹒证明，得到，即可得到最小值为3﹒ 【详解】（1）解：把代入得 ， 解得， ∴点A坐标为、点B坐标为﹒ 故答案为：，； （2）解：把代入得， ∴点C坐标为﹒ 如图，作轴，垂足为H﹒ 设点M坐标为， 则，， ∵在中，， ∴， 解得， 经检验，都是分式方程的解，其中不合题意，舍去， ∴点M坐标为， ∵点C坐标为， ∴； （3）解：如图2，设交于点G，作，交直线于点K﹒ 设直线解析式为， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵点A坐标为， ∴当时，， ∴点K坐标为， ∴， 设点M坐标为， ∴点G坐标为， ∴﹒ ∵设与有公共高， ∴﹒ ∵，轴， ， ∴， ∴， ∴ ∴﹒ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）解：∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， ∴， ∴﹒ 如图，作，垂足为E﹒ ∴在中，， ∴， ∴当点D、P、E在同一直线上时，，此时值最小，最小值为﹒ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值为3﹒ 故答案为：3 16．（25-26九年级上·重庆·月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，是轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的最小值： (3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线，为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、三角函数、线段和最值（胡不归模型）、轴对称最短路径（将军饮马）、抛物线平移变换及角度相等的存在性问题；解题的关键是：①利用三角函数及交点坐标求解析式；②将线段和的最值问题转化为垂线段或轴对称问题；③通过构造等腰三角形处理角度相等条件． （1）由)和可得，结合，利用交点式求抛物线解析式； （2）先证明为等腰直角三角形，得，从而，转化为求最大值；利用直线与抛物线解析式设点坐标，表示长度，通过二次函数性质求最值；在取得最值的条件下，利用轴对称（将军饮马模型）求的最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式；由，可构造平行线和等腰三角形，分点在轴上方或下方两种情况讨论，通过几何关系建立方程求解点横坐标． 【详解】（1）由，令得， ，，故， 又在轴负半轴，则 抛物线过， 设，代入： ，解得， 故抛物线解析式为 （2）由，得直线 设， ∵ ∴ 则 ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵轴，即 ∴ 又∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ 设，为二次函数，开口向下 当时，取最大值，此时， 此时在轴上，，点在上方 要求最小值，为定值，即求最小值 设，则 将点向下平移1单位得，则 故，， 作关于轴的对称点，则 故的最小值为． （3）原抛物线向左平移2个单位，再向上平移2个单位得： 设， 由得， 解得， 则 由（1）得 ①当在轴上方， ∵ ∴ ∵直线与轴交点为点，直线与轴交点为点 ∴可以将直线看作直线向左平移个单位 即向左平移个单位， 则 联立 解得，（舍） ②过中点，作垂线于，与延长线交于 由得，中点即 设点， ， ， 由勾股定理得： ，故点， 设， 解得，即 联立： ，整理得 或（舍） 则点的横坐标为． 综上所述，的横坐标为或． 17．（2025·海南三亚）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①9；②．③ 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可； ②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案； ③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴四边形的面积； 即四边形的面积 ②设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ③以点A为顶点作，过点G作于点M， ∴， ∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置， 如图： 由可知，当时，， ∴有最大值时，点E的坐标为， 则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 18．（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． （1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 19．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 20．（22-23九年级上·重庆九龙坡·期末）已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，． (1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值； (2)如图2，， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：； (3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）延长到T，使得连接，过点D做于N，证明，得出，，证明为等边三角形，设，得出，求出x的值即可得出答案； （2）延长到使得，连接、，证明，得出，证明为的中位线，得出，即可证明结论； （3）连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接，证明，得出，即，得出，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：延长到T，使得连接，过点D做于N，如图所示： ∵为等边三角形，， ∴，， 四边形中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形ABDC的面积为， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使得，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵A为中点，M为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点F为等边三角形的边中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的长度为定值， ∴在旋转时，点F在以C为圆心，为半径的圆上运动， ∴如图，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q， ， ， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数，求正切值，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取最小值时，点F的位置． 21．（2026·安徽六安·一模）在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 【答案】(1)①；②的长为； (2)． 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，结合矩形的性质推导出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质推导出，再运用相似的性质即可求解； ②连接，，根据折叠求出，，根据矩形性质求出，，，再根据勾股定理求出的值，最后设，根据，列出方程求解即可； （2）由（定值），将的运动转化为“圆上的动点”问题，根据当点在一条直线上时，最小求解，根据当点与点重合时，最大求解． 【详解】（1）①如图，过点作，交于点，交于点． ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ②如图，连接，． ∵点关于直线对称， ∴，． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∴． ∴． 设，则． 由，得． 解得． ∴的长为． （2）当点在上移动时，点在以点为圆心，的长为半径的圆弧上． 如图，当点在一条直线上时，最小． ∴． 如图，当点与点重合时，最大． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴的长度范围是． 22．（2025·四川成都·一模）如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转； (1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由； (2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系； (3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 (3)的最小值为，点的运动轨迹的长度为 【分析】（1）延长交的延长线于点，延长交于点，证明，进而可证明，即可得结论； （2）将绕点顺时针旋转至，连接，证明，得，，，将绕点逆时针旋转至，连接，同理可得，，，，进而可得三点共线，，用勾股定理即可得结论； （3）作于，得 ，在正方形绕点旋转过程中，，当时，最大，此时最大，得，，由（1）可知，， 得点在以为直径的上，解直角三角形，利用勾股定理定理即可求出相关结论． 【详解】（1）解：，理由如下，延长交的延长线于点，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：，理由如下， 四边形是正方形， ，， 如图，将绕点顺时针旋转至，连接， ， ， ， ， ，，，， 如图，将绕点逆时针旋转至，连接， 同理可证， ，，，， ， ， 三点共线， ， ，， ， ， 在中，， 即， ； （3）解：正方形绕点旋转一周，， 在以为圆心，2为半径圆上，如图所示： 作于，中，， 在正方形绕点旋转过程中，， 当时，最大， 此时最大，， ， ， 由（1）可知，， ， 连接，取中点，连接， 在以为直径的上， ，， ， ， ， 此时、重合，最小，如图所示： 作，交的延长线于， ，， ， 由（1）知，， ，， ， ， ， 当点在左侧时，如图所示： 同理可得，， 点从左侧运动到右侧，点在上转过的角度为， 点从右侧运动到左侧，点在上转过的角度为， 正方形的边长为4， ， 点的运动轨迹为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的性质及判定，求动点的运动轨迹等动态几何问题，综合性强，难度较大，能正确作出辅助线并结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 23．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)2或 (3)135；；45； 【分析】（1）由旋转可得，，进而得到，从而证明，根据全等三角形的对应边线段得证结论； （2）分点P在的上方或下方两种情况求解即可； （3）连接，由得到，从而点D在以点A为圆心，半径为的圆上．当点D在的延长线上时，有最大值，最大值为，根据，可求得．当点D在线段上时，有最小值，最小值为，根据，可求得． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在的上方，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点A，D，P在同一直线上， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，； ②如图，若点P在的下方，连接 由①得，， ∵， ∴， ∴点B，P，D在同一直线上， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为2或． （3）解：连接， ∵， ∴， ∴点D在以点A为圆心，半径为的圆上． 如图，当点D在的延长线上时，有最大值， 最大值为， 此时， ∵， ∴． 如图，当点D在线段上时，有最小值， 最小值为， 此时． 故答案为：135；；45； 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的定义，两点之间线段最短．利用全等三角形的性质是解题的关键． 24．（2024·陕西西安·三模）（1）如图1，已知线段，平面内有一动点，且，则的最小值为______． （2）如图2，中，，点为的中点，点为内一动点，，连接，过点作，且，连接，求的长． （3）某工厂计划加工如图3所示的零件，要求分米，，在上有一点，连接，请你帮工人师傅计算是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）3  （2）  （3）存在， 【分析】（1）C在以A为圆心，为半径的圆上运动，根据点圆最值求解即可； （2）连接，由等腰直角三角形的性质和三角函数可得 ，进而可证，再由相似的性质求解即可； （3）如图3，在下方作，使得，，证明得到，故作的外接圆，圆心为点O，则当点P在线段上时，最小，利用圆周角定理和等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到，，利用三角形的内角和定理和角度的运算得到，利用勾股定理求得，进而求得由求解即可． 【详解】解：（1）以A为圆心，为半径，交于，则，    当C与重合时，的值最小，， 故答案为：3； （2）连接，   ，点为的中点， 在 中，， ， 在中，， ， ， ， ， ； （3）存在． 如图3，在下方作，使得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴作的外接圆，圆心为点O，则当点P在线段上时，最小， 如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，隐圆问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，圆周角定理等，根据题意作圆，找到取最小值时点P的位置是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04几何最值模型热点 (将军饮马、胡不归、阿氏圆、隐圆、费马点)有关的5类核心题型 目录 第一部分命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分方法敖建模构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一将军饮马最值求解及技巧 方法二胡不归问题及解题技巧 方法三阿氏圆问题及解题技巧 方法四隐圆问题及解题技巧 方法五费马点问题及解题技巧 第三部分 题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】将军饮马最值解 【题型02】胡不归问题 【题型03】阿氏圆问题 【题型04】隐圆问题 【题型05】费马点问题 第四部分答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 1/36 0学科网·上好课 ww ，zxxk.com 上好每一堂课 01 命题解码 1.考向聚焦(精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值) 核心考向1：将军饮马(基础压轴，必考点)一—核心是“对称转化”，考查线段和(差) 最值，载体多为三角形、矩形、菱形，常结合角平分线、坐标轴，侧重“两点之间线段最短”， 难度中档，是基础得分点。 核心考向2：胡不归(中档偏难，高频)——聚焦“线段加权和最值”(如 \left.{|a⋅PA+PB}) ， 核心是构造三角函数转化加权系数，载体多为三角形、直线型情境，侧重“化折为直”，是 中考区分度题型之一 核心考向3：阿氏圆(压轴重点，难点)——考查“线段定比和(差)最值”(如 PA+k {PB，0<k<1})， 核心是利用“阿氏圆性质”构造相似三角形转化线段，载体多为圆与三角形结 合，是高频压轴难点。 核心考向4：隐圆(压轴热点，灵活)——核心是“识别隐圆模型”(定角对定边、直角三 角形斜边为直径等)，考查圆上点到线段/点的最值，侧重“隐圆构造与圆的性质应用”，常 结合几何变换，是近年命题新趋势。 核心考向5：费马点 压轴冷门，偶考)一—考查“三角形内一点到三顶点距离和最小” 核心是“旋转 $$6 0 ^ { \circ }$$ 构造全等”转化线段，载体多为锐角三角形，侧重构造思想，难度较高， 多作为压轴选做题或附加问。 共性考向：均以“转化思想”为核心，将最值问题转化为“线段最短、点到圆的距离最值” 贴合中考“几何直观、逻辑推理”核心素养，设问分层，兼顾基础与区分度。 2.思维瓶颈(精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板 瓶颈1：模型识别困难，无法快速判断题目对应最值模型(如混淆胡不归与阿氏圆的加权形式、 漏判隐圆条件)，找不到转化突破口，是首要失分点。 瓶颈2：转化方法不当，将军饮马不会找对称点、胡不归不会构造三角函数、阿氏圆不会找定 比点、费马点不会旋转构造，无法实现“化折为直”“化繁为简”。 瓶颈3：隐圆构造薄弱，不会根据“定角定边、四点共圆”等条件识别隐圆，或构造隐圆后不 会利用圆的性质(如直径所对圆周角为直角)求解最值。 瓶颈4：计算与细节失误，转化后不会利用勾股定理、相似三角形计算最值，或忽略动点运动 范围、模型适用条件(如阿氏圆的定比限制)，导致错解、漏解。 共性瓶颈：缺乏“模型迁移能力”，无法将基础模型应用到复杂情境(如结合几何变换、坐 标系)，思维固化，不会灵活构造辅助线。 2/36 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 02 方法建模◆ ☑结论道记 一、核心基础公式（解题地基，必背） (一)通用基础公式（所有模型均需用到） 1.两点距离公式：AB=x2x+y2y (求线段长度、最值的核心工具)。 Axo+By+ 2.垂线段最短公式：点PXoy)到直线！：Ax+By+C=0的最短距离d=A+B(适配所有“点 到直线”最值)。 3.圆上点到定点距离最值：设圆心为O,半径为r,定点为A,则PAax=OA十r, PAmini=OA-寸（适配阿氏圆、隐圆模型）。 对 邻边 4.三角函数基础：对边斜边sinc= 斜边， 邻边斜边cosa= 斜边 (适配胡不归模型，转化线段关系)。 5.旋转基础公式：点P(xy)绕原点逆时针旋转60°→P(xcos60。-ysin60 e xsin60。+ycos60。 (适配费马点模型)。 (二)各模型专属基础公式 1.将军饮马基础：对称点性质一一点A与对称点A关于直线！对称，则PA=PA,且直线！是AA的垂 直平分线（核心转化依据）。 2.胡不归基础：线段转化公式一一k·PA(0<k<1)可转化为“垂线段长度”，即k·PA=PB (PB⊥某条射线，sina=k)。 3.阿氏圆基础：比例性质一一若⊙0上任意一点P满足器=k(k为定值，k≠1)，则P的轨迹为 阿氏照，平轻=器（简化版，中考可直接套用。 4.隐圆基础：圆周角定理一一定边AB,定角∠APB=《,则P的轨迹为⊙O(AB为弦，圆心0为 AB垂直平分线上一点)，直径2r=部（中考高频，快速求半径）。 5.费马点基础：旋转性质-一将△PAB绕定点旋转60°，得到△PAB,则PA=PA,△PAA为 等边三角形，PA=AA(核心转化三条线段和)。 3/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二、万能建模公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） 模型1：将军饮马模型（中考基础高频，必考) 1.模型识别 特征：动点P在一条直线！上运动，求PA十PB(、A、B为定点)的最小值；或变式（PA-PB最大值、两 动一定、两定两动)。 2.万能建模公式（分4类中考必考变式） 3.变式1：两定一动（动点在直线上） 万能步骤：作点A(或B)关于直线的对称点A→连接AB,交直线于点P→P为最优解。 核心公式：PA十PB最小值=AB(两点距离公式计算)。 4.变式2：两定两动（两个动点在两条直线上） 万能步骤：作点A关于直线山1的对称点A,作点B关于直线l2的对称点B→连接AB,交l1于P、交l2于 Q→PQ为最优路径。 核心公式：PA+PQ十QB最小值=AB。 5.变式3：PA-PB最大值（动点在直线上） 万能步骤：连接AB,延长AB交直线1于点P一P为最优解。 核心公式：PA-PB最大值=AB(两点距离公式计算)。 6.变式4：将军饮马+几何图形（三角形、四边形内） 万能步骤：结合图形对称轴，作对称点→转化为“两点之间线段最短”一套用两点距离公式。 拓展公式：若动点在角平分线上，对称点可落在角的另一边上，简化计算。 模型2：胡不归模型（中考难点，拉分点） 1.模型识别 特征：动点P在一条射线1上运动，求PA+k·PB(0<k<1,、A、B为定点)的最小值（核心标志：含 “系数k的线段和”，且k为锐角三角函数值)。 2.万能建模公式 3.万能步骤： 构造角a,使sina=k(结合k的值，常用30°、45°、60°，如k=对应=30。)； 过定点B作射线BM,使∠MBL=(I为动点所在射线)； 4/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过点A作AH⊥BM,垂足为H,交射线于点P→P为最优解。 4.核心公式：PA+k·PB最小值=AH(垂线段长度，用垂线段最短公式计算)。 5.拓展公式： 若k>1,先提取k,转化为k(PA+是·PB),再按k=dfrac{1)(k&1t:1套用上述公式： 若射线改为直线，需考虑垂足H的位置，验证动点P的取值范围。 模型3：阿氏圆模型（中考压轴难点，高频拉分） 1.模型识别 特征：动点P在定圆⊙O上运动，求PA+k·PB(k为定值，k≠1，、A、B为定点)的最小值（核心标 志：动点在圆上，含“系数k的线段和”)。 2.万能建模公式 3.万能步骤： 构造相似三角形：在0B(或0A)上取一点C,使器=器=k(0P为圆的半径r),则 △OCP∽△OPB: 转化线段：由相似得k·PB=PC,则PA+k·PB=PA十PC; 连接AC,交⊙O于点P→P为最优解。 4.核心公式： 构造点C的坐标公式：C(k'xgtxdk k'yyok (简化版，直接套用)； PA+k·PB最小值=AC(两点距离公式计算)。 5.拓展公式： 阿氏圆半径公式：r=怨 1-k (已知、A、B两点距离和k,可快速求圆的半径)； 若求PA-k·PB最大值，转化为PA-PC,连接AC并延长交圆于P,最大值为AC。 模型4：隐圆模型（中考高频，易漏解） 1.模型识别 特征：动点P满足“定边定角”“定弦定径”“对角互补”“到定点距离为定值”，但未明确给出圆，需 先识别P的轨迹为圆（核心标志：有固定角度、固定线段，动点运动轨迹为圆弧）。 2.万能建模公式（分4类中考必考隐圆类型） 5/36 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.类型1：定边定角（最高频） 特征：定边AB,动点P满足∠APB=《(定值)。 万能步骤：找AB的垂直平分线，确定圆心O(∠AOB=2《)→求半径r一转化为“圆上点到定点距 离最值”。 核心公式：直径2r=品，PA最值=0A士r。 4.类型2：对角互补 特征：四边形ABCD中，∠A+∠C=180。(或∠B+∠D=180)。 核心公式：A、B、C、D四点共圆（隐圆），圆心为对角线中点，半径为对角线的一半。 5.类型3：到定点距离为定值 特征：动点P满足OP=r(O为定点，r为定值)。 核心公式：P的轨迹为⊙O,PA最值=OA士r（A为定点)。 6.类型4：定弦定径 特征：定弦AB,动点P满足OP为直径(O为圆心)。 核心公式：∠APB=90。(圆周角定理)，P的轨迹为以AB为直径的圆，半径r=受。 模型5：费马点模型（中考压轴难点，部分地区考） 1.模型识别 特征：在平面内，求一点P,使PA+PB+PC(、、A、B、C为定点，三角形无内角大于120°)的最小值 (核心标志：三条线段和的最值，三个定点构成三角形)。 2.万能建模公式 3.万能步骤： 将△PAB绕点A逆时针旋转60°，得到△PAB(旋转中心选任意顶点，优先选夹角较小的顶点)： 由旋转性质得PA=PA,PB=PB,△PAA为等边三角形，PA=AA: 则PA十PB十PC=AA+PB+PC,连接BC,交AA于点P一P为费马点。 4.核心公式：PA+PB十PC最小值=BC（两点距离公式计算，B为旋转后的对应点)。 5.拓展公式： 若三角形有一个内角≥120°，则该内角的顶点即为费马点，最小值为另外两条线段之和 (PA+PB): 6/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 旋转方向可顺时针或逆时针，不影响结果，优先选择使B与C在旋转中心同侧的方向。 ☑技法归纳 方法一将军饮马最值求解及技巧 作定点对称点，化折线为直线，依据两点之间线段最短求解线段最值。 例题1(2024·安微·一模)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,点E是矩形ABCD内部一动点， 且∠BEC=90°，点P是AB边上一动点，连接PD、PE,则PD+PE的最小值为() P B E C A.8 B.45 C.10 D.45-2 例题2(2025·四川广安·模拟预测)如图，正方形ABCD的边长为12，点M在DC上，且DM=3,点 N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为 A D M B 例题3(24-25九年级上·山东聊城·月考)几何模型： 条件：如图1，A、B是直线1同侧的两个定点. 7/36 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A. B' 图1 问题：在直线1上确定一点P,使PA+PB的值最小， 方法：作点B关于直线1的对称点B,连接AB交1于点P,则PA+PB=AB的值最小. 直接应用： (1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2,N是AC上一动点，则DN+MN的最小 值为一 A D B C 图2 变式练习： (2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，求 PA+PB的最小值. M 图3 深化拓展： (3)如图4，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是 AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值. 8/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M A 图4 方法二胡不归问题及解题技巧 构造特殊直角三角形，转化带系数线段，利用垂线段最短求最值。 例题1(2023·安徽黄山·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=5:-5 x-5的图 2 象与x轴交于点A,C两点，与y轴交于点B,对称轴与x轴交于点D,若P为y轴上的一个动点，连接 PD,则三PB+PD的最小值为() A B 4.3 B.3 C.5 D. 4 2 例题2(2025内蒙古鄂尔多斯)如图，在△ABC中，AB=AC=4,∠CAB=30°，AD⊥BC,垂足为D, P为线段AD上的一动点，连接PB、PC.则PA+2PB的最小值为· A D 9/36 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例题3(25-26九年级下·山东济南·开学考试)如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A、B 两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C,OB=}0C,0A=0C, C D B B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接AD,点F是AD上方抛物线上一动点，过点F作FE⊥AD于点E, 过点F作FH⊥y轴于点H,点N是轴上一动点，连接FN,当EF+5FH取得最大值时，求出点F的 5 坐标及FN+CBN的最小值， 10 (3)如图2，将抛物线沿射线CA方向平移得到新抛物线y,新抛物线y的顶点P(4,1),CA延长线交抛物线 y于点Q,点K为抛物线y上一动点，当直线PK与直线CA所夹锐角为∠AOP的两倍时，请直接写出所有 符合条件的点K的横坐标. 方法三阿氏圆问题及解题技巧 借助圆内比例构造相似三角形，等量替换线段，解决带系数线段和差最值。 例题1(2025九年级·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=7,AC=9,以C 为圆心、3为半径作OC,P为OC上一动点，连接4R、BP,则学P+BP的最小值为《) 10/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P A.7 B.5V2 C.4+V10 D.213 例题2(23-24九年级上·江苏宿迁·月考)如图，已知正方形ABCD的边长为2，点O是BC边的中点， G为正方形内一动点，且G0=1.点P是CD边上另一动点，连接PG、PA,则PA+PG的最小值为 G B 例题3问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=4,CA=6,⊙C的半径为2，P为圆上一动 点，连接P,BP,求P+BP的最小值. D B B D 图1 图1备用图 图2 (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接CP,在CB上取一点D,使 cD=1,连接Pm,则号-8沿-义因为4PCD=∠BCP,所以△Pc0AB0,所型巴C0- BPCP所 以PD=PB,所以4P+8P=4P+PD.诗你完成余下的思考，并求出AP+BP的最小值： 11/36 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求；AP+BP的最小值： (3)拓展延伸：如图2，己知在扇形C0D中，∠C0D=90°，0C=6,0A=3,OB=5,P是CD上一点， 求2PA+PB的最小值. 方法四隐圆问题及解题技巧 挖掘定长、定角等隐藏条件确定隐形圆，结合圆的基本性质分析最值。 例题1(2026·江苏苏州·模拟预测)矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E为矩形ABCD内一点，使 得∠AEB=90°.将△ABE绕点A顺时针旋转90°，得到△AFG,则CG的最小值为() D E B A.2V29-2B.2V27-4 C.4W10-4 D.2√26-2 例题2(25-26九年级上·四川成都·期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6,点P在射线BC 上·且AC=三，则AP的最小值为 例题3(2026·陕西西安·三模)问题探究 M B 图① 图② 图③ 12/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)如图①，DE是ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF,连接EF并延长，与CB的延长线相交于 点M.若BC=4,则线段CM的长为 (2)如图②，在Rt△ABC中，AC⊥BC,AC=4,BC=6,P是ABC内部的一个动点，且满足 ∠PCA=∠PBC,求线段AP的最小值. 问题解决 (3)如图③，某学校规划一块矩形劳动实践基地ABCD,用于班级种植，EF是两个工具房，分别在AB, CD边上，且CF=2BE,沿EF铺设一条运送通道，再从点A铺设一条垂直于EF的小路AM,在点M处修 一个肥料存放点，点C处是基地水房，为方便参加劳动实践的同学取水后能最快到达点M处获取肥料，需 要沿CM铺设一条小路，要求CM尽可能的短，己知AB=50m,BC=40m,请问CM是否存在最小值？若 存在，求出CM的最小值；若不存在，请说明理由，（工具房、肥料存放点、水房的大小均忽略不计） 方法五费马点问题及解题技巧 通过图形旋转构造等边三角形，转化多条线段，求取多条线段之和最小值。 例题1(2025·湖北武汉·模拟预测)如图，点E是边长为2的正方形ABCD内一点，连接BE,AE,点 P在线段DC上运动，连接EP,则AE+EP+BE的最小值是 B 例题2(24-25九年级下·全国·二轮复习)在边长为4的正ABC中有一点P,连接PA、PB、PC,求 的最小值. 13/36 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例题3(24-25八年级下·河南·月考)阅读下面材料，并解决问题： B 图① 图② 图③ (1)思维指引 如图①等边ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为8,15,17，求∠APB的度数.为了解决 本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP,连接PP',这样就可以利用旋转 变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= (2)知识迁移 如图②，ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,E、F为BC上的点且LEAF=45°，BE=3,CF=2,求EF 的长度： (3)方法推广 如图③，在ABC中，∠ABC=30°，AB=4,BC=6,点P为ABC内一点，连接PA、PB、PC,直接写 出PA+√2PB+PC的最小值. 03 题型专攻 ◆ 【题型01】将军饮马最值（共5题） 14/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2025·山东济宁·模拟预测)如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E、F分别为AD、DC边上 的点，且EF=2,点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值是() D B A.3 B.4 C.5 D.6 E 四边形ABCD是矩形， 2.(25-26九年级上·浙江金华·自主招生)如图，立方体的棱长为2，P是CF上一动点，则PE+PD的 最小值是() B H A.2+V6 B.15 C.23 D.26 3.(2025·陕西·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,点E、F分别在边AB、CD上， 且BE=CF,点M、N分别在线段AD、DF上，连接MN,MN=2,点P为MN的中点，连接BF、EP, 则BF+EP的最小值为 M B 4.(2025·陕西·模拟预测)问题提出 (1)如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10,则点A到BC的最大距离为 15/36 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ 问题探究 (2)如图②，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E是BC上一动点，连接AE、DE,求，AE+DE的最小 值； 问题解决 (3)如图③，矩形ABCD的四边是某市产业新区的外环路，CE、BF、CH、CG分别是四条贯穿路，已知 BE=4km,CE=8km,CG⊥BF,∠HCG=30°，I、J分别是线段BE、CE上一点，连接HI、lJ、JH.现计划 在三角形区域HJ处修建一个科技园.为节省外墙材料费用，需要△HW的周长尽可能小，请问△HJ的周 长是否存在最小值？若存在，请求出△HJ周长的最小值：若不存在，请说明理由.（结果保留根号） 5.(24-25九年级下·湖南株洲·开学考试)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0)经 过点-l,6),与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，连接AC,BC,tan ZCBA=4. D IM N A B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线CA上方抛物线.上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E,交AC于点D.点M是线段 DE,上一动点，MN⊥y轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，连接AM，,NF. ①求线段PD长度的最大值 ②当线段PD长度取最大值时，求AM+MN+NF的最小值； ③将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新地物线经过(2)中线段PD长度取得最大值时的点D,且与直线 AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK=∠ACB时，接写出所有符合条件的点Q 的坐标 16/36 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【题型02】胡不归问题（共7题） 1.(22-23九年级上·四川乐山)如图，在ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4,若D是BC边上的动 点，则2AD+DC的最小值是() B D A.6 B.8 C.10 D.12 2.(2025·江苏无锡)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E,F分别是BC,AD上的点.现将四 边形ABEF沿EF折叠，点A、B的对应点分别为M、N,且点N恰好落在CD上.连接BM,过B作 BG⊥EF,垂足为G,则2BG+BM的最小值为() A.√73 B.5 C.52 D.7 3.(2024·陕西西安)如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2,若D是BC边上的动点，则 2AD+DC的最小值() B D A.2V3+6 B.6 C.3+3 D.4 4.(2024·河南安阳·自主招生)如图，ABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线 段BE上的一个动点，则CD+5BD的最小值是 5 17/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 5.(25-26九年级上·重庆·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=3x2+bx+c与x轴交于 4 4-4,0),B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴直线x=-3与x轴交于点D,点E为点C关于x轴的 2 对称点，连接BE. V OB 备用图 (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线AC下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作PQ平行于y轴，交AC于点Q,过 点Q作QF⊥AC,交抛物线对称轴于点F.点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接 PM,MN.当PQ+QF取得最大值时，求点P的坐标及PM+MN+而EN取得最小值时点N的坐标， 10 (3)将抛物线沿射线CB平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段BE上的动点，线 段DB关于DG的对称线段为DB',线段DB所在直线交新抛物线于点K.若直线B'G与直线AC所成夹角等 于∠BC0,请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程.， 6.(2026·重庆·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点 A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,连接AC、BC. 18/36 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)如图1，若点P为线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交BC于点D,过点P作PE⊥AC交 直线AC于点E,M、N为y轴上的动点（点M在点N的下方）且MN=1,连接PM、BN,当 3PD-√OPE最大时，此时点P的坐标及PM-BN的最大值； (3)在(2)的条件下，将该抛物线沿射线AC方向平移√0个单位长度得到新抛物线y,点F在新抛物线 y上，连接PF,若LFPD+LABC=∠ACB,请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的 坐标的其中一种情况的过程， 7。(2023·福硅泉州·模拟预测)如图，已知抛物线)-食意x+2儿x-4(k为常数，且k>0)与辅从左 至右依次交于A,B两点，与)轴交于点C,经过点B的直线y:-5: x+b与抛物线的另一交点为D. 3 A B x 备用图 (1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式： (2)在(1)条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以 每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止.当点F的坐标是多 少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 19/36 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型03】阿氏圆问题（共4题） 1.(2024·浙江·专题练习)如图所示，∠ACB=60°，半径为2的圆O内切于∠ACB.P为圆O上一动 点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N,则PM+2PN的取值范围为 -B 2.(2025·浙江·专题练习)如图所示的平面直角坐标系中，4(0,4)，B(4,0),P是第一象限内一动点， OP=2,选接4P、BP,则BP+号AP的最小值是 4大A 3 D B -4-3-2-101234x -1 -2 -3 -4 3.(2025·广东珠海)如图，以AB直径⊙O,己知AC=BC,点D为⊙O上一动点. B 0 图1 图2 图3 (1)如图1所示，AD=6cm,BD=8cm时，求AC的长. (2)如图2所示，移动点D使它和边BC上的点E满足OE⊥BD且DE∥AB,四边形OBED是什么四边形， 请说明理由； (3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6Cm,线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的 垂线，交射线AD于点E,若CD=2,求AE的最大值. 20/36 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.如图1，抛物线y=ar2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m, O)0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M. B ◇M B OM E A 0 A 图1 图2 (1)求a的值和直线AB的函数表达式： ②)设aPMN的周长为G,△AEN的周长为C,若。=，求m的值 (3)如图2，在(2)条件下将线段OE绕点0逆时针旋转得到OE',旋转角为a(0°<a<90),连接E'A、 E'B,求EA+2E'B的最小值， 3 【题型04】隐圆问题（共6题） 1.(2025·安徽合肥·一模)如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是边AB上一点，且AE=2, 点F是边BC上任一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为B,连接AC、CB,则以下结论正确的是 () A D ①当△8EF与ABC相似时，BF-号：②Cg的最小管是厅-1：®点8到4C距离的最小值是：③取 CB的中点P,连接BP,则BP的最大值是7+1 2 A.①③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 2.(2025·贵州·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=3,∠ACB=90°，将边长为1的正方形 BDEF绕点B旋转一周，连结AE,点M为AE的中点，连结FM,则线段FM的最大值为 21/36 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 3.(2025·陕西·模拟预测)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠A=60°，点E,F分别在边AB和AD上， 且EF=4.当△AEF的面积最大时，△CEF的面积为 B E A F D 4.(2026九年级下·重庆·专题练习)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D为线段BC上一点， 连接AD,将射线DA绕点D顺时针旋转O交直线AC于点E,连接DE. 图1 图2 图3 (1)如图1，若AD=DE,AE=2√2，求线段BD的长 (2)如图2，若a=45°，过点B作BF‖AE,交射线ED于点F,用等式表示线段DF、DE、DA之间的数量 关系，并证明 (3)如图3，若a=45°，AB=4,过点A作DE的垂线AM,垂足为点M,当CM取得最小值时，直线BC上 方有一点Q,使得∠BQD=∠MCD,当CO取得最小值时，直接写出S.cow的值. 5.(25-26九年级上·广东广州·期末)如图，在矩形ABCD中，∠ABC=90°. 22/36 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H G M D E B 图1 图2 图3 (1)如图1，过点D作DE1AC,垂足为E,求证：CD2=CE·CA; (2)如图2，在(1)条件下，点F为DE上一点，连接CF并延长至点G,CG交AD于点O,连接AG、 DG,当∠CDG=∠CFD时，判断aAGC的形状，并说明理由； (3)如图3，平面内一点M,满足LCMD=∠MCD,CD=1,BC=√6，连接CM并延长至点H,使 ∠CBM=∠CHB,连接DH,当线段BH取最小值时，求线段DH的长， 6.(2025·北京·三模)在ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,点D为平面内一点. D B B 图1 图2 (1)如图1，若点D在线段BC上，且∠BAD=∠CAD,求tan∠BAD的值； (2)如图2，若点D为ABC内部一点，且∠BDC=I35°，连接AD,点E为AD的中点，连接BE,用等式 表示线段BD,BE,CD的数量关系，并证明； (3)若点D满足∠BDC=135°，当AB=√2时，请直接写出AD的最小值. 【题型05】费马点问题（共5题） 1.(2025·广东广州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点P是AB边上一动点，作PD⊥BC 于点D,线段AD上存在一点Q,当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= 23/36 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A P Q D 2.(25-26九年级上·广东广州·期末)如图1，正方形ABCD的边长为4，以B为圆心的0B与BC, BA分别交于点E,F,连接EF,EF=4. D H B 图1 图2 (1)求BE的长； (2)连接DE,DF,，把△BEF绕点B顺时针旋转360°，在旋转的过程中， ①求∠CDE的取值范围； ②如图2，取DE的中点G,连接CG并延长交直线DF于点H,点P为正方形内一动点，求 PH+√2PA+PB的最小值 3.(24-25八年级下·广东广州·期中)已知等腰△CAB,CA=CB,点P为三角形内一点，连PA,PB, PC. B B 图1 图2 (1)如图1，若ABC为等边三角形，且PA=2,PB=√5，PC=√万，求∠BPA的度数以及AB边长； (2)如图2，若CA=CB=13,AB=10,求PA+PB+PC的最小值 4.(24-25八年级上·重庆渝北·期中)在等边ABC中，点D是边BC上一点，连接AD,将线段AD绕 点A顺时针旋转120°得到线段AE,则∠DAE=120°，AE=AD,连接BE交AD于点F,交AC于点H. 24/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E A E F D D B 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D为BC中点时，且AD=3,求点E到直线AB的距离； (2)如图2，猜想线段AB,BD,AH之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在ABC内部有一个动点P,连接PA,PB,PC,若等边ABC的高等于6，当PA+PB+PC 的值最小时，直接写出此时线段PC的长。 5.(22-23九年级下·重庆沙坪坝·月考) ABC中，∠B=60°. P D B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若AC>BC,CD平分∠ACB交AB于点D,且AD=V5BD.证明：∠A=30°； (2)如图2，若AC<BC,取AC中点E,将CE绕点C逆时针旋转60°至CF,连接BF并延长至G,使 BF=FG,猜想线段AB、BC、CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若AC=BC,P为平面内一点，将△ABP沿直线AB翻折至△ABQ,当3AQ+2BQ+V3CQ取得 BP 最小值时，直接写出 的值。 04 答题实战 ◆ 一、单选题 25/36 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2025·四川遂宁·一模)如图，点E在等边ABC的边BC上，BE=4,射线CD⊥BC,垂 足为点C,点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5.则 EP+FP这个最小值是() D A.9 B.10 C.55 D.35 2.(2026·江西萍乡·一模)如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿折线 A→D→C的方向运动，同时动点F以相同的速度沿折线D→C→B的方向运动，当其中一点停 止运动时，另一点也随即停止运动，连接AF,BE交于点G.点H是边CD上的另一动点，连接 BH和HG,则BH+HG的最小值为() C H A.√17 B.25 C.2V5-1 D.17-1 3.(2026·安徽池州·一模)如图1，在Rt△ABC中，LB=90°，点D是AC上一定点，点P从 点A出发，沿边AB→BC运动到点C.连接PA,PD,设点P运动的路程为x,PA+PD=y.其 中y关于x的函数图象如图2所示，则图2中函数图象最低点的纵坐标m的值为()· 32 图1 图2 A. 24 B. 18 5 5 C.4 D. 26/36 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2024·江苏苏州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴交 于A、C两点，与y轴交于点B(0,-3),若P是x轴上一动点，点D(0,1)在y轴上，连 接PD,则√2PD+PC的最小值是() A A.4 B.2+2√2 C.22 D. 5.（(2024·辽宁鞍山·二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+3的图像与x 轴交于A、C两点，与x轴交于点C3,0),若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0，-1)，连接PD, 则√2PD+PC的最小值是() B A.4 B.2+2√2 C.2√2 n.含a 6.(2025·湖北武汉)如图，⊙0的半径为4，弦AB的长为45，点P为优弧AB上一动点， AC⊥AP交直线PB于点C,则ABC的面积的最大值是() B A.12V3+12B.65+12 C.123+24 D.6V3+24 27/36 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.(2023·湖北鄂州·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，0为原点，OA=0B=3V5, 点C为平面内一动点，BC=,连接4C,点M是线段4C上的一点，且满足CM:M4=1:2.当 线段OM取最大值时，点M的坐标是() M AΓ衣 36 A.55 B. c(g劉 二、填空题 8.(2025·辽宁铁岭·模拟预测)如图，等边三角形ABC中，AB=2√3，D为AC的中点，连 接BD,点E是线段BD上的动点，连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF,连接 DF,则AF+DF的最小值为 B E 9. (2025·湖南岳阳·一模)如图，己知点C是直线1外一定点，AB是直线1上的动线段， AB=5,连接AC、BC,S。4Bc=15.求当AC+BC取最小值时sin∠CBA的值.小聪在解题过程中 发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将AB看作静线段，则点C在平行于直线1的直线上 运动”，请你参考小聪的思路求当AC+BC取最小值时sin∠CBA= 28/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.(25-26九年级上·江苏苏州·期中)如图，正方形ABCD,以AB为腰向正方形内部作等 腰△ABE,且AB=AE,过点E作EF⊥AB于点F,点P是△AEF的内心，连接AP,BP,EP, CP.若AB=2√5，则CP的最小值为· D F 11.(2025·河南周口·二模)如图，正方形ABCD的边长为2，在平面内有一点P,始终保 证AP=√2，连接CP,设CP的中点为E,连接BE,则线段BE的最小值为 ,最大值 为 三、解答题 12.(24-25九年级下·陕西西安·期中)【问题探究】 (1)如图1，在ABC中，AB=AC,D为BC的中点，连接AD,则AD与BC的 位置关系是 (2)如图2，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，E是线段BC D 图1 上一动点（不与B、C重合），连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转120°得到线 段AF,连接EF,点M和点N分别是边BC、EF的中点.试探究BE和MN的数 量关系，并说明理由 29/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M 图2 【问题解决】 (3)如图3，正方形ABCD是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，对角线BD为该基地内 的一条小路，管理人员计划在小路BD上确定一点E(不与点BD重合)，连接AE,以 线段AE为斜边，在AE右侧建等腰直角△AEF区域（∠EFA=90°），用来种植新品有机 蔬菜，并在F处设立蔬菜仓库.G点和D点为基地的两个蔬菜打包装运点，G在BD 上且BG=2DG·现要沿GF、DF修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道GF+DF的最小值. 并求出当GF+DF最小时，有机蔬菜种植区域的面积（即△AEF的面积）. 图3 13.(25-26九年级上·山东济宁·月考)如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点AB(B在A 的右侧)，与y轴交于点C. 备用图 备用图 (1)分别求出A,B,C的坐标； (②)在对称轴上是否存在一点Q,使△ACQ的周长最小.若存在求点Q的坐标；若不存在，说明 理由； 30/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在抛物线的对称轴上存在点P,使得△ACP是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点P的 坐标. 14.(24-25九年级下·重庆·期中)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x 轴交于A,B两点（点A在y轴的左侧），与y轴交于点C.已知抛物线的对称轴为直线x=1, 0A=2. 0 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为线段BC上一动点（不与端点重合），过点D作PD∥y轴交抛物线于点P, 过点P作PE∥4C交x轴于点E,F为线段OC上的一个动点，连接DF,当PD+PE取得最 13 大值时，求点D的坐标及DF+OF的最小值： (3)如图3，在(2)的条件下，将RtaBOC沿射线0D方向平移，在平移过程中斜边BC的对应 边B'C'与原抛物线恰好只有一个交点时，记这个交点为点G.连接AG,过点B作BH∥AG交y 轴于点H,设N是直线BH上一点，若点G关于直线AN的对称点G恰好落在直线BH上，请直 接写出所有符合条件的N点的横坐标，并写出必要的求解过程 15。(2526九年级上·江苏徐州·月考)如图1，抛物线=号#+导4与x轴交于小、和B 两点，与y轴交于点C,点M在第一象限内的抛物线上，连接AM,与线段BC交于点N. B 图1 图2 (1)点A坐标为_、点B坐标为； (②)当tan∠MAB=4时，判断CM与AB的位置关系，并说明理由； 31/36 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (③)连接4C,设：CMN的面积为S,△C4W的面积为S,求的敏大值. (4)如图2，P是x轴上一动点，点D(0,-1)在y轴上，连接PD,则PD+4Ps的最小值为· 16.(25-26九年级上·重庆·月考)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+4(a≠0)交x轴于A、B4,0)两点，与y轴交于点C,连接AC,若tanL0AC=2. M 0 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M,过P作PN⊥BC于 点N,E、F是y轴上两个动点，点E在点F的上方，且EF=1.当PM+上PV取得最大值时， 求PE+EF+BF的最小值： (3)将该抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位长度得到的新抛物线y,Q为新抛 物线y上的一个动点，当∠QAC=∠BCA时，请求出所有符合条件点Q的横坐标. 17.(2025·海南三亚)如图1，已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点 C(0,3). B O DGB武 图1 图2 (1)求该抛物线所对应的函数关系式； 32/36 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知点M是抛物线的顶点，点E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作 ED⊥x轴于点D,交抛物线于点F. ①求四边形ABMC的面积； ②求aCEF的边CE上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G,使得G+)AG的值最小？若存在，请求出 这个最小值；若不存在，请说明理由. 18.(2024·四川成都·模拟预测)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟 做以下探究. 【尝试初探】 (1)如图①，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=5,∠BAD=120°，求AC的 长： 【深入探究】 (2)如图②，在四边形ABCD中，若LABC=∠ADC=90°，∠BCD=45°，AC=8√2，求BD的长； 【拓展延伸】 (3)如图③，在四边形ABCD中，若LABC+∠ADC=180°，∠ADC=60°，AD=AB=2V5,延长 DA,CB相交于点E,DE⊥CE,P是线段AC上一动点，连接PD,求2DP+CP的最小值， D E 图① 图② 图③ 19.(2024·安徽·模拟预测)如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交 x轴于A-1,0),B两点，AB=4,C为抛物线顶点. 33/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)求b,c的值； (2)点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PQ1x轴，垂足为点Q,交AC于点M,是否 存在QM=3PM？若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CN+。AN的最小值. 20.(22-23九年级上·重庆九龙坡·期末)已知aCDE与ABC有公共顶点C,△CDE为等边 三角形，在ABC中，∠BAC=120°. (E)B B D 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD,已知四边形ABDC的面积为2√5，求AB+AC的值； (2)如图2，AB=AC,A、E、D三点共线，连接AE、BE,取BE中点M,连接AM,求证： AD =2AM (③)如图3，AB=AC=4,CE=2,将CDE以C为旋转中心旋转，取DE中点F,当BF+54F的 值最小时，求tan ZABF的值. 21.(2026·安徽六安·一模)在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点F在BC上，点E在AD上， 连接EF,将矩形沿EF折叠，点A,B的对应点分别为点H,G. 34/36 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 图1 图2 (1)如图1，当点G落在CD边上时，连接BG. ①求F的值： BG ②若BF=5,求AE的长； (2)如图2，若保持BF=5,点E在AD上移动（可与点A,D重合），试确定DG的长度范围. 22.(2025·四川成都·一模)如图，四边形ABCD和EFGB均为正方形，将EFGB绕点B旋转； D D G G C B B 3 E H E 图① 图② 图③ (I)如图①，连接CE、AG,判断直线AG、CE的位置关系并说明理由； (2)如图②，连接BD、BF,若∠DFC=I35°，探索并证明线段BF、CF、DF的数量关系： (3)如图③，若正方形ABCD、EFGB边长分别为4、2，EFGB绕点B旋转一周，直线AG与CE相 交于点H,直接写线段DH的最小值及点H运动轨迹的长度. 23.(2025·河北·模拟预测)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=V5,以点B为圆心， 以√2为半径作圆. 35/36 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 图1 图2 (1)设点P为OB上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD,连接DA, DB,PB,如图2，求证：AD=BP; (2)在(1)的条件下，若∠CPB=135°，求BD的长； (3)在(1)的条件下，当∠PBC=°时，BD有最大值，且最大值为；当∠PBC= 。时，BD有最小值，且最小值为 24.(2024·陕西西安·三模)(1)如图1，已知线段AB=5,平面内有一动点C,且CA=2, 则BC的最小值为. (2)如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为BC的中点，点E为ABC内一动点， DE=2,连接CE,过点E作EF⊥CE,且EF=CE,连接AF,求AF的长 (3)某工厂计划加工如图3所示的ABC零件，要求BC=6分米，∠A=30°，在AB上有一点 P,BP}4C,连接CP,请你帮工人师傅计算CP是否存在最小值，若存在，请求出CP的最小 值；若不存在，请说明理由. D 图1 图2 图3 36/36