第四章 相似 模型41 射影定理模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

72个模型公式速通初中几何 模型41射影定理模型 模型解读 模型构建 在直角三角形ABC中，∠C=90° 图形拆解 B B D 作CD⊥AB交AB于点D 相关结论 AC2=AD·AB,BC=BD·AB,CD3=AD·BD 如图，作CD⊥AB交AB BC=BA 于点D. BD BC .BC2=BD·AB. .∠ACB=90°， .·∠ACB=90°， CD⊥AB, ·.∠ACD+∠BCD=90°. .∠ACB=∠ADC=∠BDC= .·CD⊥AB, 90 ∴.∠A+∠ACD=90° 证明分析 ∠A=∠A, .∠A=∠BCD. .·△ABC∽△ACD. ACAB .∠ADC=∠CDB=90°， AD AC .△ACD∽△CBD. AC2=AD·AB. CD=AD .∠ACB=∠BDC=90°， BD CD .CD=AD·BD ∠B=∠B, ∴.△ABC∽△CBD. ⑧模型拓展 已知条件 ∠ACB=90°，CD⊥AB 结论 AB·CD=AC·BC 138 模型41)射影定理模型 模型应用 1 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于点E,且AB⊥CD,若CD= AE=8,则OE的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 A/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由AB是⊙O的直径， 连接BC 易得∠ACB=90°. 可得直角三角形 又CE⊥AB,根据射影定理模型 又AB⊥CD,可识别射 0 得，CE2=AE·BE, E 影定理模型 故BE=2 2 (咸阳期中)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥AD交BD于点E.若 BE=3,DE=5,则菱形ABCD的面积为（ A.8 B.16 C.85 D.165 A/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 菱形的对角线互相垂 易得EO=1,OD=4,根据射影 直，AD⊥AE,构成直 定理模型得，OA=E0·OD, 角三角形EAD,由此可 故OA=2 识别出射影定理模型 139 72个模型公式速通初中几何 具分层演练 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，4.如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD, CD⊥AB于点D,CD=6,BD=2,则 垂足为E,连接AC,AD,BC,过点C作 AD= CF⊥AD于点F,交线段OB于点G(不与 点O,B重合)，连接OF (1)若BE=1,求GE的长； (2)求证：BC2=B0·BG; (3)若FO=FG,求证：∠CAD=45° 2.如图，在矩形ABCD中，BD=23,对角 线AC与BD相交于点O,过点D作AC的垂 F 线，交AC于点E,AE=3CE,则DE的值 G 为 C 长E B 3.如图，在正方形ABCD中，E,F分别为 BC,CD上的点，且AE⊥BF,垂足为G (1)求证：AE=BF; (2)若BE=3,AG=2,求正方形的边长。 G 140参考答案 .△AEF∽△CDF ∴.∠DAF=∠EBF (2)解：.△AEF∽△CDF, 在△ADF和△BDC中， 器= 「∠ADF=∠BDC, AD=BD 又∠EFD=∠AFC, ∠DAF=∠DBC, ∴.△EFD∽△AFC, .△ADF≌△BDC(ASA), 3=(架户易 ∴.AF=BC. SAAFC (2)解：F是BD的中点，DF=1, ∴.S△AFC ∴.DF=BF=1, 即△AFC的面积为学 ∴.AD=BD=2. 在Rt△ADF中，AF=√AD+DF=5, 3 模型辨识易得∠ADF=∠BEF,可识 .AF=BC=5. 别出“反8字”相似模型 .'∠ADF=∠BEF=90°， 答案(1)证明：AB是⊙0的直径， ∠AFD=∠BFE, ∴.∠ADB=∠AEB=90°=∠BDC. .△ADF∽△BEF, .:∠BAC=45°， ∴.AD=BD. 提际- 1, .'∠DAF+∠AFD=∠EBF+∠BFE=90°， ·BE=4"=25 5 5 ∠AFD=∠BFE, CE=BC-BE=52535 5 5 模型41 射影定理模型 分层演练 答案 模型辨识在Rt△ABC中，CDL 解析 .四边形ABCD是矩形， AB,可识别出射影定理模型， .∠ADC=90°，AC=BD=2V3. 答案3 AE=3CE, 解析 在Rt△ABC中，∠ACB= AE=子AC=35, 90°，CD⊥AB, 由射影定理模型，可得CD=BD·AD,即 C-AG 由射影定理模型，可得 6=2AD, ∴.AD=3. D6.6E-5×9-是 故答案为3 故答案为2 2 模型辨识由矩形ABCD及DE⊥AC, 3 模型辨识由正方形ABCD及AE⊥ 可识别出射影定理模型 BF,可识别出射影定理模型 73 72个模型公式速通初中几何 答案 (1)证明：四边形ABCD ∠BCE=∠GCE, 是正方形， CE=CE, ∴.AB=BC,∠ABC=∠C=90°， ∠BEC=∠GEC, ∴.∠BAE+∠AEB=90°. .△BCE≌△GCE(ASA), ·AE⊥BF,垂足为G, ∴.GE=BE=1. ∴.∠CBF+∠AEB=90°， (2)证明：·AB是⊙O的直径，AB⊥CD, .∠BAE=∠CBF ∴.∠ACB=∠CEB=90°. 在△ABE和△BCF中， 又：∠ABC=∠CBE, ∠BAE=∠CBF, .△ACB△CEB, AB=BC, ∠ABE=∠C=90°， 能-0。 ∴.△ABE≌△BCF(ASA), .BC2=BA·BE. ∴.AE=BF 由（1)知GE=BE, (2)解：由射影定理模型，可得 BE=BG. BE2=EG·AE. .AB=2B0, 设EG=x,则AE=AG+EG=2+x, .（√3)2=x（2+x), BC-=BA·BE=2B0·3BG=B0·BG (3)证明：如图，延长FO交AC于点H, 解得x=1,2=-3（舍去)， 连接OC. ∴.AE=3, ∴.AB=√AE2-BE=V32-(3)2=√6，即正 方形的边长为√6， 模型辨识由圆周角定理的推论及 AB⊥CD,可识别出射影定理模型 答案（1)解：.直径AB与弦CD .·FO=FG, 垂直， ∴.∠FOG=∠FG0, .∠AED=∠BEC=∠GEC=90°， ∴.∠FOG=∠FG0O=∠CGB=∠B, ∴.∠DAE+∠D=90° ·CF⊥AD, ∴.BC∥FH. ∴.∠FCD+∠D=90°， AB是⊙O的直径， ∴.∠DAE=∠FCD. ∴.∠ACB=90°， .·∠DAE=∠BCD, ..∠ACB=∠AHO=90°. .∠BCD=∠FCD. 0A=OC, 在△BCE和△GCE中， .AH=CH, ..AF=CF. 74 参考答案 :CF⊥AD, ∴.∠CAD=45° .△AFC是等腰直角三角形， 模型42 “飞鱼”模型 分层演练 模型辨识延长DE与CB的延长线交 ·AP=号AF=是x2V3=4国 于点T,可构造出“飞鱼”模型。 答案 413 放答案为4 5 解析 如图，延长DE与CB的延长 2 模型辨识△ACD和△BCE共顶，点且 过顶点的两条边共线，可识别出“飞鱼” 线交于点T 模型 答案解：如图，过点E作EG⊥AD 于点G,连接CF B .:四边形ABCD是矩形，BC=8,AB=6, .∴.∠ABC=90°. .F为BC的中点， ·AD平分∠CAB,BE平分∠ABC, .BF=4 .∠CAD=∠BAD,∠CBE=∠ABE. 在Rt△BAF中，由勾股定理，得AF= :∠ACB=90°， √AB+BF=√52=2√13. ∴.2（∠BAD+∠ABE)=90°， .AD∥BC, ∴.∠BAD+∠ABE=45°， ∴.∠T=∠ADE. ∴.∠EFG=∠BAD+∠ABE=45. E为AB的中点， 在Rt△EFG中，EF=√2， ∴.AE=BE=3 ∴.FG=EG=1. 在△TBE和△DAE中， .AF=4, ∠T=∠ADE, ·.AG=AF-FG=3. ∠BET=∠AED, BE=AE, 根据勾股定理，得AE=√AG+EG=√1O ∴.△TBE≌△DAE(AAS), .·AD平分∠CAB,BE平分∠ABC, .TB=AD=8,E TF=TB+BF-8+4=12. ∴.CF是∠ACB的平分线， .AD∥BC, .∠ACF=45°=∠AFE. 又.·∠FAE=∠CAF, 75