第三章 轴对称、等腰、直角 模型35 维维亚尼模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

72个模型公式速通初中几何 模型35维维亚尼模型 模型解读 △ABC为等边三角形，P为三角形内一点，PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥AC,垂足 模型构建 分别为E,F,G G 图形拆解 BM为△ABC的高 相关结论 PE+PF+PG=BM 如图，连接AP,BP,CP, （PE+PF+PG). 则S△ABC=S△ABP+S△BCP+ SAAc=号AC·BM, G 证明分析 E 号AB·PE+)BC· SA= .∴.PE+PF+PG=BM PF42AC·PG-)AC: 模型拓展 AB=AC,点P在底边BC上，PD⊥AB,PH⊥AC, 已知条件 CE⊥AB,垂足分别为D,H,E 辅助线 连接AP E D H B 结论 PD+PH=CE 122 、模型35维维亚尼模型 模型应用 1如图，点P在等边三角形ABC的内部，PD⊥BC,PE⊥AC, PF⊥AB,垂足分别为D,E,F,若PD+PE+PF=4,则△ABC的边 长为 只/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 .PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB, 1 连接PA,PB,PC,设点 .S△ABC= 2 PD·BC+1PE·AC+ A到BC的距离为h 由等边三角形和三 PF·AB=BC·h 2 垂线，可识别出维 由维维亚尼模型，可知h=PD+ 维亚尼模型 PE+PF-4, BC=25h=8 3 即△ABC的边长为8/3 2 在△ABC中，∠A=30°，AB=AC,△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且点P到 直线AC的距离为PF,当PF=3时，AB边上的高CH=, 点P到AB边的距离 PE= 只/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 ①P为底边BC上一点 在Rt△ACH中，∠A=30°，.AC=2CH. 由等腰三角形底边 1AB·CH,AB=AC, 上的点到两腰的距 .1·2CH.CH=49, 2 离，可识别出维维 .CH=7. 亚尼模型 点P的位置有两种情况： ①P为底边BC上一点，PE+PF=CH, PE=CH-PF=7-3=4 123 72个模型公式速通初中几何 模型识别 模型抽离 模型应用 ②P为BC延长线上的点 ②P为BC延长线上一点， PE=PF+CH, .PE=3+7=10 具分层演练 1.如图，点P在等边三角形ABC的内部， 2.如图，在边长为3的正方形ABCD中，E为 PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,垂足 对角线BD上的一点，且BE=BC,F为CE 分别为D,E,F若PD+PE+PF=43, 上一点，FM⊥BC于点M,FN⊥BD于点N, S△ABC=163,求△ABC的边长 求FM+FN的值. D E N E D M C 124 模型35维维亚尼模型 3.如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC, (2)如图3，在矩形ABCD中，点M,N P是底边BC上任意一点（不与点B, 分别在边AD,BC上，将矩形ABCD C重合)，过点P作PM⊥AB, 沿直线MN折叠，使点D恰好与点B PN⊥AC,垂足分别为M,N,由等 重合，点C落在点C'处.P为线段 面积法可知S△ABC=S△APB+S△APC,即 MN上一动点（不与点M,N重合）， AB CD-B P AG PN. 过点P分别作直线BM,BC的垂线， 垂足分别为E,F,以PE,PF为邻 而可得CD=PM+PN,即等腰三角形底边上 边作平行四边形PEGF,若DM=13, 任意一点到两腰的距离之和，等于腰上的高。 CN=5,求平行四边形PEGF的周长. 图1 图3 (1)如图2，在矩形ABCD中，AB=3, AD=4,P是AD上不与A和D重合的 一个动点，过点P分别作AC,BD的 垂线，垂足分别为E,F.求PE+PF 的值· (3)如图4，当P是等边三角形ABC外一 点时，过点P分别作直线AB,AC, BC的垂线，垂足分别为点H1,H2, H3.若PH1-PH2+PH=3,直接写出 △ABC的面积 图2 H 图4 125参考答案 ∴.∠OCB=∠OBC,∠OBE=∠OEB. (2)解：，OC=OE,CE⊥BD, 又∠COD=∠OCB+∠OBC,∠DOE ∴.BD是CE的垂直平分线， ∴.BE=BC=4. ∠OBE+∠OEB, 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得 ∴.∠COD=2∠OBC,∠DOE=2∠OBE. AB=VAC2+BC=4√2， .AC=BC,∠ACB=90°， .AE=AB-BE=4√2-4、 .∠ABC=45°， .△ABC是等腰直角三角形， ∴.∠COE=∠COD+∠DOE=2(∠OBC+ .∠A=45° ∠OBE)=2∠ABC=2×45°=90° DE⊥AB 又.OC=0E, .AD=√2AE=√2×(4√2-4)=8-4V2. .△0CE为等腰直角三角形， 模型35 维维亚尼模型 分层演练 四边形ABCD是正方形，BD为对角线， 模型辨识△ABC是等边三角形，且 .∠EBH=45 .·BE=BC=3, PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,可识别 ∴.在等腰直角三角形BEH中，根据勾股 出维维亚尼模型 答案解：由维维亚尼模型，得 定理，得h平 .·S△BFE+S△BCF=S△BBC, PD+PE+PF的长等于等边三角形的高 2BE·FN+号BC·FM=号BC·EH :'PD+PE+PF=4V3,SA ARCT=16√5， BE=BC, SAAN=AB (PD+PE+PF)=16, FN+FM-EH-32 ∴.AB=8 3 模型辨识(2)△BMN为等腰三角 2 模型辨识△BEC为等腰三角形，过底 形，点P在底边MN上，PE⊥BM, 边上的，点向两腰作垂线，可识别出维维亚 PF⊥BN,可识别出维维亚尼模型 尼模型 答案解：(1)：在矩形ABCD中， 答案 解：如图，过点E作 AB=3,AD=4, EH⊥BC,垂足为H,连接BF . BD=JAB'+AD =5,AO=AC= BD=OD. 设点A到BD的距离为h, 则号BD×h=5AB×AD, =34=号 65 72个模型公式速通初中几何 ·等腰三角形底边上任意一点到两腰的距 即等腰三角形BMN腰上的高为12， 离之和，等于腰上的高， 则PE+PF=12, PE+PF=号 ∴.平行四边形PEGF的周长为24. (2)四边形ABCD是矩形， (3)SAABG=33. 提示：如图，连接PA,PB,PC ∴.AD∥BC,∠A=∠C=90°， ∴.∠DMN=∠MNB. .△ABC是等边三角形， .将矩形ABCD沿直线MW折叠，使点D ∴.AB=AC=BC,∠ABC=60°. 恰好与点B重合， .S△ABC=S△ABP+S△BCP-S△ACP, .BM=MD=13,CD=CB,∠DMN=∠BMN, :9AB-3 xABxPH+号×BCxPH, ∠C=∠C=∠A=90°，NC=NC=5, ∴.∠MNB=∠BMN, )×AC×PH, ∴.BM=BN, AB-PH-PHa+PHs. 2 ∴.△BMN是等腰三角形 PH-PH2+PH3=3, 在Rt△ABM和Rt△CBN中， .'.AB=23, (AB-CB, BM=BN, =3. ∴.Rt△ABM≌Rt△CBN(HL), H ∴.AM=CW=5 A 在Rt△ABM中，AB=√BM-AM7 √132-52=12， 模型36 “胡不归”模型 分层演练 交AD的延长线于点H. 模型辨识求√3PD+2PB的最小值，即 求25PmPB 的最小值，可识别出“胡 不归”模型。 答案 6V3 .四边形ABCD是平行四边形， 解析 如图，过点P作PH⊥AD, .AB∥CD 66