第三章 轴对称、等腰、直角 模型31 将军饮马之“两点两线”-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

72个模型公式速通初中几何 模型31将军饮马之“两点两线列 模型解读 P,Q是∠AOB内的两定点，在边OA上找一点M,在边OB上找一点N,使得四 模型构建 边形PMNQ的周长最小 .0 B 图形拆解 B 作点P关于OA对称的点P',作点Q 关于OB对称的点Q',连接PQ',交 OA于点M,交OB于点N 相关结论 四边形PMNQ周长的最小值为P'O'+PO 如图，分别作点P,Q关于 .当点P',M,N,Q'共线时， OA,OB的对称点P',Q', PM+MN+NQ的值最小 连接P'Q',交OA于点M, P,Q为定点， 交OB于点N, .PQ的长度为定值， 证明分析 由对称的性质可得PM= .四边形PQWM周长的最 P'M,ON=Q'N, 小值为P'Q'+PQ ∴.PM+MN+NQ=P'M+MN+ NO'=P'Q', 8 模型应用 1(连云港期中)如图，在边长为8的正方形ABCD中，G是BC边的中点，E,F分别是边 AD和CD上的点，则四边形BEFG周长的最小值为 G 108 模型31将军饮马之“两点两线” 9/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 作点G关于CD的对称 点G',作点B关于AD BG=CG=CG'=-1BC=4, 的对称点B',连接B'G, AB'=AB=8, B'E,FG' .BB'=AB+AB'=16. B,G是角内两定点，E, B' BG=BC+CG=8+4=12, F是角上两动点，可识别 出将军饮马之“两点两 ∴.B'G=JBG2+BB2=J122+162=20, ∴.BG+B'G=4+20=24 线”模型 .由将军饮马之“两点两线”模型 可知，四边形BEFG周长的最小值 为24 G 分层演练 1.如图，点A在y轴上，G,B两点在x轴上， :2.如图，已知∠A0B=60°，∠P0Q=30°， 且G(-3,0),B(-2,0),HC与GB OQ=2,OP-3,动点M,N分别在OA,OB上， 关于y轴对称，∠GAH=60°，P,Q分别是 求PN+MN+OM的最小值， AG,AH上的动点，求BP+PQ+CQ的最小值， B GBO CH X 109 72个模型公式速通初中几何 3.如图，M,N分别是边OA,OB上的定 4.[重点题]如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 点P,Q分别是边OB,OA上的动点，记 90°’∠ABC=30°，AC=2,以BC为边向左作 ∠MPQ=a,∠PQN=p,当MP+PQ+QN最 等边三角形BCE,D为AB的中点，连接 小时，B-a=40°，求∠0的度数. CD,P,Q分别为CE,CD上的动点 (1)求证：△ADC为等边三角形； Q (2)求PD+PQ+QE的最小值. M B 11072个模型公式速通初中几何 (2)将直线AB:y=2x+4向下平移6个单 位长度，则直线所对应的函数解析式为 y=2x-2, 令=0，得y=-2, ∴.E(0,-2)，直线☑所对应的函数解析 式为y=-2 B(0,4),C(4,0), 设直线BC所对应的函数解析式为y=px+q, 0=4p+9, ∴. 4=q, 解得p1, q=4 .直线BC所对应的函数解析式为y=-x+4. 由4， ,「x=2, 得 y=2x-2, y=2, .D(2,2) 模型31 将军饮马 分层演练 模型辨识角内两定点，角上两动点， 求线段和的最小值，可识别出将军饮马之 “两点两线”模型 答案 解：如图，分别作B,C关于 AG和AH对称的点B',C',连接B'C'分别 交AG,AH于点P,Q. B A GMB CH式 .HC与GB关于y轴对称，∴.GO=HO, BO=C0..x轴Ly轴，∴.AG=AH,点B', 58 作点D关于y轴的对称点D',作点D关 于直线y=-2的对称点D",连接DD"交y 轴于点P,交直线2于点Q,如图，此时 PD+PQ+DQ的值最小，最小值为线段DD" 的长度. P(0 则D'(-2,2),D”(2,-6), ∴.DD=√(-2-2)2+(2+6)2=4√5. ∴.PD+PQ+DQ的最小值为4√5. 之“两点两线” C'关于y轴对称， .当点B',C,P,Q在同一条直线上时， BP+PQ+CQ=B'P+PQ+CQ=B'C'最小，此时 B'C'∥x轴， ∠GAH=60°，∴.△AGH为等边三角形， .∴.∠AG0=60° B'C'∥x轴，点B,B'关于AG对称， ∴.∠BPG=∠B'PG=∠PGB=60°， B'P=BP, ∴.△BPG为等边三角形 过点P作PM⊥GO交x轴于点M, G(-3,0),B(-2,0), ∴.BG=1,B0=2, PB=BG-L,BM=号BG= PQ+BP+CQ=2×(号+2)+2×1=7， 则BP+PQ+CQ的最小值为7. 2模型辨识角内两定点，角上两动点 求线段和的最小值，可识别出将军饮马之 “两点两线”模型. 答案解：如图，作点P关于OB的 对称点P',作点Q关于OA的对称点Q', 连接PQ',分别交OA,OB于点M,N, 连接OQ',OP',则线段PQ'的长度就是 PN+MN+OM的最小值. 由轴对称的性质，得00'=0Q=2 OP=OP=3,∠Q'OM=∠Q0M, ∠P'ON=∠PON ∠A0B=60°，∠P0Q=30°， .∴.∠M0Q+∠PON=30°， ∴.∠Q'OM+∠POW=30°， ∴.∠Q'OP'=∠Q'OM+∠MOB+∠P'ON=90°， ∴.P'Q'=√002+0P2=√13， ∴.PN+MN+QM的最小值为√13 3模型辨识角上两定点，角上两动，点， 求线段和的最小值，可识别出将军饮马之 “两点两线”模型 答案解：如图，作点M关于OB 的对称点E,作点N关于OA的对称点 F,连接EF,交OA于点Q,交OB于 点P,则OB垂直平分ME,OA垂直平 分NF,由“两点两线”模型可得EF为 MP+PQ+QN的最小值. 参考答案 由轴对称的性质可知，MP=EP,QF=QN, LE=L EMP=7a, ∠F=∠QNF=B, LFPN=L0PE=0°-3a, ∠0QE=∠FQA=90°-2E ,∠O+∠OQE=∠FPB, 即L0+90°-B=90°-3a, L0=B-a=20 4 模型辨识(2)角内两定点，角上两动点， 求线段和的最小值，可识别出将军饮马之 “两，点两线”模型 答案(1)证明：在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2, ∴.∠BAC=60°，AB=2AC=4. ,D是Rt△ABC斜边AB的中点， AD=2AB=2, ∴.AD=AC, .△ADC是等边三角形， （2)解：如图，连接PA,QB, ·△BCE和△ADC都是等边三角形， .∠BCE=60°，∠ACD=60°， ∠ACE=∠ACB-∠BCE=30P=3∠ACD, 9 72个模型公式速通初中几何 ∴.CE垂直平分AD,.PA=PD. 由两点之间，线段最短可知，当点A,P,Q, 同理可得CD垂直平分BE, B共线时，PA+PQ+QB取得最小值，为线 ..OB-OE, 段AB的长， .PD+PQ+QE-PA+PQ+OB. 故PD+PQ+QE的最小值为4. 模型32 将军饮马之“三动点” 分层演练 .△DEF周长的最小值为2. 模型辨识D,E,F是动点，可识别出 2 模型辨识E,P,F是动，点，可识别出 将军饮马之“三动点”模型. 将军饮马之“三动点”模型 答案2 答案解：如图，连接BC,AO,作 解析 如图，将D视为定点，分别作 点P关于AB的对称点M,作点P关于AC 点D关于直线AB,BC的对称点G,H,连 的对称点N,连接MN,交AB于点E,交 接GH,交AB于点E,交BC于点F,连 AC于点F,此时△PEF的周长为PE+PF+ 接GB,BH. EF-EM+EF+FN-MN, G M GE=ED,DF=FH,BG=BD=BH, ∴.ED+EF+DF=GE+EF+FH≥GH, ∴.当MN的值最小时，△PEF的周长最小 .当G,E,F,H四点共线时，△DEF的 连接PA,MA,A,根据轴对称的性 周长最小，最小值为GH的长 质，可知AP=AM=AN,∠BAM=∠BAP, ,·∠GBA=∠ABD,∠DBC=∠CBH, ∠CAP-∠CAN .∠GBH=2∠ABC: .∠BAC=60°， .∠ABC=30°， .∠MAN=120°， .∠GBH=60°， ∴.MN=√3AM=√3PA, ∴.△GBH是等边三角形， .当PA的值最小时，MN的值最小， ∴.GH=BG 取AB的中点J,连接CJ,过点A作 BG=BD=2, 60