第二章 全等 模型15“一线三垂直”全等模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

模型15“一线三垂直”全等模型 模型15“一线三垂直”全等模型 ©模型解读 模型构建 ∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°，AC=BC D ①△ADC≌△CEB:②ED=BE+AD 图形拆解 ①△ACD≌△CBE;②ED=BE-AD ·.·∠ADC=∠ACB= I∠ADC=∠CEB, ∠ CEB=90° ∠ACD=∠CBE, ..∠ACD+∠BCE=90°， AC=CB, ∠BCE+∠CBE=90°， .·.△ADC≌△CEB(AAS) （结论①)， E ∴.∠ACD=∠CBE. ∴.AD=CE,DC=BE, 在△ADC和△CEB中， ·.ED=DC+CE=BE+AD (结论②) 证明分析 .·∠ADC=∠ACB= ∠ADC=∠CEB, ∠CEB=90°， ∠ACD=∠CBE, ∴.∠CBE+∠BCE=90°， AC=CB, ∠ACD+∠BCE=90°， ·.△ACD≌△CBE(AAS) ∴.∠ACD=∠CBE. （结论①)， 在△ACD和△CBE中， ∴.CD=BE,AD=CE, .·.BE=CE+ED=AD+ED 即ED=BE-AD(结论②) 47 72个模型公式速通初中几何 8模型拓展 点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或 已知条件 D AC=BP或CP=PD) 3 结论 △APC≌△BDP B D 点P在线段AB的延长线上，∠1=∠2=∠DPC,且 已知条件 AP=BD(或AC=BP或CP=PD) 结论 △APC≌△BDP 模型应用 1(长沙二模)如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标 原点O重合，分别过点A,B作x轴的垂线，垂足分别为D,E, 点A的坐标为（-2,5)，则线段DE的长为（) A.4 B.6 D O(C)E C.6.5 D.7 只/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由“一线三垂直”全等模型的结论，可知 由AO=B0,∠AOB= △AD0≌△OEB. ∠AD0=∠BE0=90°， 点A的坐标为（-2,5)， 可识别出“一线三垂直” ∴.AD=5,OD=2, 全等模型 D O(C ∴.0E=AD=5, ∴.DE=0D+0E=2+5=7 2(温州期中)如图，在△ABC中，AB=AC=9,点E在边AC上， AE的中垂线交BC于点D,若∠ADE=∠B,CD=3BD,则 CE=( A.3 B.2 C.3 D.2 48 模型15“一线三垂直”全等模型 只/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由AB=AC=9,可知∠B=∠C 由“一线三垂直”全等模型的结论，可 由AE的中垂线交BC于点 知△ABD≌△DCE, D,可知AD=DE.综上，由 ∴.CD=AB=9, BD=CE. AD=DE,∠ADE=∠B=∠C, CD=3BD, 可识别出“一线三垂直”全等 ∴.CE=BD=3 模型 p 分层演练 1.如图，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且 2.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC, BC=CD,请按照图中所标注的数据，求阴 D为△ABC内一点，且∠BCD=∠CAD.若 影部分的面积S. CD=4,求△BCD的面积， D 49 72个模型公式速通初中几何 3.如图，在等腰直角三角形ABC中， :5.如图，A0⊥OM,OA=4,B为射线OM上 ∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE, 的一个动点，分别以OB,AB为直角边，B AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E,AD= 为直角顶点，在OM两侧作等腰直角三角 3.2cm,DE=2.3cm,求BE的长. 形OBF和等腰直角三角形ABE,连接EF B 交OM于点P.当点B在射线OM上移动时， 求BP的长. D 0 M 4.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC, AC⊥CD,AC=CD,若AB=3,BC=1,求点 D到直线AB的距离 50参考答案 模型15 “一线三垂直”全等模型 分层演练 .CD=BE=4, 模型辨识由EA=AB,∠EFA=∠AGB= SARCD-号CD·BE=)×4×4=8 ∠EAB=90°；BC=CD,∠BGC=∠CHD 3 模型辨识 由AC=BC, ∠BCD=90°，可识别出两组“一线三垂直” ∠ADC=∠E=∠ACB=90°，可识别出“ 全等模型 线三垂直”全等模型 答案解：由“一线三垂直”全等模 答案解：由“一线三垂直”全等模 型的结论，可知△EFA≌△AGB, 型的结论，可知△ADC≌△CEB, ∴.AF=BG,AG=EF 则AD=CE=3.2cm,CD=BE. 由“一线三垂直”全等模型的结论，可知 △BCC≌△CHD, .DE=2.3cm, 则CC=DH,CBG, .CD=CE-DE=3.2-2.3=0.9(cm), ∴.FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16, 即BE=0.9cm. S=7×(6+4)×16-3×4-6×3=50. 4 模型辨识由AC=CD,，作辅助线，有 ∠B=∠ACD=∠H=90°，可识别出“一 2 模型辨识由AC=BC,作辅助线，有 线三垂直”全等模型 ∠ACB=∠ADC=∠BED=90°，可识别 答案解：如图，过点D作 出“一线三垂直”全等模型。 答案 解：如图，过点B作 DH⊥BC,交BC的延长线于点H.由 “一线三垂直”全等模型的结论，可知 BE⊥CD,交CD的延长线于点E. △ABC≌△CHD, ∴.CH=AB=3, ∴.BH=BC+CH=1+3=4. B ∴.点D到直线AB的距离为4. 1 .∵∠ACB=90°， ∴.∠BCD+∠ACD=90°. .·∠BCD=∠CAD, H ∴.∠CAD+∠ACD=90°， 5 模型辨识由BA=BE,作辅助线，有 .∠ADC=90° :BE⊥CD, ∠BOA=∠BNE=∠ABE=90°，可识别 出“一线三垂直”全等模型 ∴.∠E=90°， 由“一线三垂直”全等模型的结论，可知 答案解：如图，过点E作EN⊥BM, △ACD≌△CBE, 垂足为N. 23 72个模型公式速通初中几何 .·BO=BF, ∴.BF=NE. 在△BPF与△NPE中， I∠FBP=∠ENP, ∠FPB=∠EPN, BF=NE, △ABE,△BFO均为等腰三角形， .△BPF≌△NPE(AAS), ∴.AB=BE,BF=BO. 由“一线三垂直”全等模型的结论，可知 ·BP=NP=BN 又BN=AO △ABO≌△BEN, ∴.BO=NE,BN=AO. BP=5A0=3×42 模型16 “半角”全等模型 分层演练 答案解：如图，将△ACN绕点A 顺时针旋转，得到△ABE. 模型辨识由∠EAF是∠BAD的一半， 可识别出“半角”全等模型 答案 解：如图，延长CB到点G, 使BG=DF,连接AG E B 由旋转得∠NAE=90°，AN=AE, ∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN: .∠BAC=∠D=90°， G E .∠ABD+∠ACD=360°-90°-90°=180°， 由“半角”全等模型结论，可得 .∠ABD+∠ABE=180°， △AEG≌△AEF. E,B,M三点共线 ∴.∠AEG∠AEF .∠NAM=45°，∠BAC=90°， .'∠AEF+∠AEG+∠FEC=180°， .由“半角”全等模型结论，可知 ∠FEC=a, MN-CN+BM ∴.∠AEG=90°- 2. .在Rt△BCD中，∠D=90°， :∠BAE+∠AEG=90°， ∠CBD=30°，BC=4, ∴.∠BAE= 2· .CD=3BC=2, 2 模型辨识由∠MAN是∠BAC的一半， BD=√BC2-CD2=√42-2=25， 可识别出“半角”全等模型。 ∴.△DMN的周长为DM+DN+MN=DM+ 24