专题09 解析几何（期中真题汇编，上海专用）高三数学上学期

专题09 解析几何 5大高频考点概览 考点01直线方程与两直线的位置关系 考点02直线与圆 考点03椭圆 考点04双曲线 考点05抛物线 地 城 考点01 直线方程与两直线的位置关系 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海嘉定·期中）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海嘉定·期中）直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（   ） A． B．3 C．-3 D． 二、填空题　 4．（25-26高三上·上海·期中）求直线与直线的夹角为________. 5．（25-26高三上·上海·期中）若直线：与直线：互相垂直，则______． 6．（25-26高三上·上海·期中）直线与直线平行，则实数__________． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知方程组无解，则实数的值等于______. 8．（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________. 9．（25-26高三上·上海·期中）若直线是曲线在处的切线，则直线的倾斜角为________.（结果可用反三角形式表示） 地 城 考点02 直线与圆 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·上海·期中）已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（    ） A．①②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②都为假命题 3．（25-26高三上·上海·期中）已知动点为圆上两动点，且，点为线段的三等分点，若，存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题　 4．（25-26高三上·上海·期中）经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是_____. 6．（25-26高三上·上海·期中）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为_____. 7．（25-26高三上·上海嘉定·期中）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 8．（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为______. 9．（25-26高三上·上海·期中），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 10．（25-26高三上·上海·期中）对于曲线C所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线C上的任意两个不同的点A，B恒成立，则称角为曲线C相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是 _________. 11．（25-26高三上·上海·期中）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为_____． 12．（25-26高三上·上海·期中）已知点和圆C：，一束光线从点A发出，射到直线l：后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是__________； 三、解答题　 13．（25-26高三上·上海·期中）已知直线：与圆：． (1)求证：直线过定点，并求出此定点坐标； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 14．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在直角坐标平面中，抛物线是由抛物线按平移得到的，过点且与轴相交于另一点.曲线是以为直径的圆.将在轴上方的部分、在轴下方的部分以及点、构成的曲线记为曲线. (1)直接写出抛物线和圆的方程； (2)设直线与曲线有不同于点的两个公共点、，且，求的值； (3)若过曲线上的动点（）的直线与曲线恰有两个公共点、，且直线与轴的交点在点的右侧，求的最大值，并求取得最大值时点、的坐标. 地 城 考点03 椭圆 一、填空题　 1．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 2．（25-26高三上·上海·期中）椭圆的焦点为为椭圆上一点,若,则_________. 3．（25-26高三上·上海·期中）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 　　 . 4．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为________． 5．（25-26高三上·上海·期中）短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为__________. 6．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交于，两点，若，，则的值为______. 7．（25-26高三上·上海·期中）若点、为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于、的点作的垂线，垂足为点，若，则该椭圆的离心率为__________. 8．（25-26高三上·上海·期中）椭圆的焦距是_________. 9．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________． 二、解答题　 10．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形． (1)写出椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足：．求证：与面积之比为定值． 11．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 12．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且．直线l：交椭圆于，两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； (3)若，证明：当时，为锐角三角形． 13．（25-26高三上·上海·期中）已知是椭圆的左、右焦点，点M、N是椭圆上的两个不同的点，直线的斜率为，直线的斜率为. (1)求面积的最大值； (2)若，且直线MN与轴的交点为，求直线MN的方程： (3)是否存在某些位置上的点，使得且？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由. 14．（25-26高三上·上海青浦·期中）已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 15．（25-26高三上·上海·期中）如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值； (3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大． 地 城 考点04 双曲线 一、单选题 1．（25-26高三上·上海长宁·期中）已知双曲线的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·期中）设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题　 4．（25-26高三上·上海·期中）双曲线的实轴长为___________． 5．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足，点在双曲线上，则_______． 6．（25-26高三上·上海·期中）函数的图象是等轴双曲线，其离心率为，已知对勾函数的图象也是双曲线，其离心率为．则______． 7．（25-26高三上·上海徐汇·期中）双曲线的虚轴长为______． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点,，P是与的一个交点，与的离心率分别为，，若，，则双曲线的离心率_____. 9．（25-26高三上·上海·期中）若双曲线（）的一条渐近线方程为，则______． 10．（25-26高三上·上海·期中）若将方程化简为的形式，则_____ 11．（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为_______________. 12．（25-26高三上·上海·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为___________． 13．（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________. 14．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______. 15．（25-26高三上·上海·期中）已知动点是双曲线上的点，是双曲线的左、右顶点，设的面积为，则取值的集合为________． 三、解答题　 16．（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线经过点，离心率2，直线l交双曲线于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值； (3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（25-26高三上·上海·期中）如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 18．（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线的右焦点为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； (3)过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 19．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知双曲线 (1)，求双曲线的渐近线方程. (2)设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； (3)已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 地 城 考点05 抛物线 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）已知三棱柱平面是内一点，点在直线上运动，若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点的轨迹是（    ） A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分 2．（25-26高三上·上海·期中）设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（    ） A．当时，的值为4 B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为 C．的最小值为3 D．的最大值为 二、填空题　 3．（25-26高三上·上海·期中）抛物线的焦点坐标为________． 4．（25-26高三上·上海·期中）抛物线过点，则点P到抛物线准线的距离为___________． 5．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则________． 6．（25-26高三上·上海·期中）抛物线的准线方程为______． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________． 8．（25-26高三上·上海·期中）已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为___________. 9．（25-26高三上·上海虹口·期中）双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 10．（25-26高三上·上海青浦·期中）抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是______． 11．（25-26高三上·上海·期中）抛物线的准线与圆相交于A、B两点，则______． 三、解答题　 12．（25-26高三上·上海·期中）如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点. (1)求与的方程； (2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标； (3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得. 13．（25-26高三上·上海·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为F，直线交于A，B两点. (1)若点F到直线的距离为，求的准线方程； (2)设直线交x轴于点E，若，三角形的面积为，求直线的倾斜角的大小； (3)设p为常数直线过焦点F，直线，分别交的准线于点C，D，证明.以为直径的圆经过两个定点. 14．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆于C、D两点． （1）求椭圆的方程； （2）直线l经过点，设点，且的面积为，求k的值； （3）若直线l过点，设直线，的斜率分别为，，且，，成等差数列，求直线l的方程. 试卷第1页，共3页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 解析几何 5大高频考点概览 考点01直线方程与两直线的位置关系 考点02直线与圆 考点03椭圆 考点04双曲线 考点05抛物线 地 城 考点01 直线方程与两直线的位置关系 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率公式，可得斜率k的表达式，根据二次函数的性质，分析计算，即可得答案. 【详解】直线l的斜率. 因为， 所以，即直线l的斜率的取值范围是. 故选：C 2．（25-26高三上·上海嘉定·期中）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角. 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 3．（25-26高三上·上海嘉定·期中）直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（   ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】C 【分析】计算出的斜率，利用倾斜角的定义，建立起的倾斜角与的倾斜角的关系，可得答案. 【详解】直线的斜率，逆时针旋转后，则直线的倾斜角为， 直线的斜率. 故选：C. 二、填空题　 4．（25-26高三上·上海·期中）求直线与直线的夹角为________. 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为， 故答案为：． 5．（25-26高三上·上海·期中）若直线：与直线：互相垂直，则______． 【答案】0 【分析】根据直线互相垂直求出的值. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：0 6．（25-26高三上·上海·期中）直线与直线平行，则实数__________． 【答案】 【分析】利用两直线平行的性质来求参数即可. 【详解】由直线与直线平行，可得， 当时，直线与直线不重合，满足平行， 故答案为： 7．（25-26高三上·上海·期中）已知方程组无解，则实数的值等于______. 【答案】 【分析】方程组无解，转化为直线与直线平行，即可解决. 【详解】由题知，方程组无解， 所以直线与直线平行， 所以，解得， 当时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意， 当时，两直线平行，方程组有无解，满足题意， 故答案为： 8．（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】设点，根据列式求解得动点P的轨迹，再代入点到直线的距离公式列不等式即可求解. 【详解】设点，则， 即，所以动点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 要在圆上至少存在两点到直线的距离等于， 则需圆心到直线的距离， 解得. 故答案为： 9．（25-26高三上·上海·期中）若直线是曲线在处的切线，则直线的倾斜角为________.（结果可用反三角形式表示） 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求出. 【详解】因为，所以， 当时，即直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，则， 则直线的倾斜角为. 故答案为： 地 城 考点02 直线与圆 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出直线与圆相交的充要条件，然后根据充分、必要条件的判断即可求解. 【详解】因为直线与圆， 由点到直线的距离公式可得:，解得：且， 因为成立，则且一定成立， 但且成立，则不一定成立， 所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（25-26高三上·上海·期中）已知动圆的方程为，其中为常数，，有下列两个命题： ①存在，使圆与圆相切； ②对任意，直线上都存在点，圆上都存在两点、，使.则（    ） A．①②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②都为假命题 【答案】C 【分析】对于①，求得两圆的圆心距与两圆的半径，可得两圆总相交，可判断①；对于②，当与圆相切时，可得，可判断②. 【详解】由，可得圆心，半径为， 由，可得，半径， 由，所以， 所以两圆相交，故不存在，使圆与圆相切， 故①为假命题； 因为，所以直线过点， 当与圆相切时，可得，所以， 所以对任意，直线上都存在点， 圆上都存在两点、，使.故②正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：判断圆与圆的位置关系，常常求得两圆圆心之间的距离，并与半径和差之间的关系判断. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知动点为圆上两动点，且，点为线段的三等分点，若，存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据可知为等边三角形，取再根据余弦定理求解出，可以确定点的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，再根据,点坐标确定,所在直线方程，再根据，可以确定在以为直径的圆上，最后根据圆与圆有公共点求解的取值范围. 【详解】由可知，为等边三角形，因为点为线段的三等分点， 不妨取，由余弦定理得，， 所以点在以原点为圆心，半径为的圆上. 由动点可知，均为直线上的动点， 因为，所以，则， 要使，所以点在以为直径的圆上，则圆与圆有公共点； 又原点到直线的距离为， 当圆的圆心为直线上离原点最近的点，且两圆外切时， 圆的半径取得最小值， 所以，的中点为直线上的动点，，故对任意的取值，总存在，故圆与圆有公共点，故无最大值， 故的取值范围为. 故选：C. 二、填空题　 4．（25-26高三上·上海·期中）经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________. 【答案】2 【分析】先计算直线方程，再根据直线与圆相交的弦长计算公式可算出弦长. 【详解】如图所示， 过原点且倾斜角为的直线斜率为， 故直线方程：，即， 又圆心坐标，半径为， 圆心到直线距离， 所以根据圆的弦长计算公式可得， 弦长为. 故答案为：2. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知圆与圆无公共点，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】求出圆心距，根据两圆的位置关系列出不等式求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆无交点，所以两圆外离或内含， 若外离：； 若内含：，或（舍）， 综上：. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海·期中）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海嘉定·期中）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海·期中）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为______. 【答案】/0.28. 【分析】运用三角函数的定义、诱导公式及二倍角公式计算即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为：. 9．（25-26高三上·上海·期中），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 10．（25-26高三上·上海·期中）对于曲线C所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线C上的任意两个不同的点A，B恒成立，则称角为曲线C相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是 _________. 【答案】 【分析】画出函数的图象，过点作出两条直线与曲线无限接近，当时，曲线与直线无限接近，求出，当时，曲线可化为，圆心到直线的距离为1，求得，再由两直线的夹角公式，即可求解． 【详解】由题意，画出函数的图象，过点作出两条直线与曲线无限接近， 设它们的方程方程为，， 当时，曲线与直线无限接近，即为双曲线的渐近线，可得； 当时，曲线可化为，圆心到直线的距离为， 解得， 由两直线的夹角公式，可得， 所以曲线相对于点的“确界角”为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了新定义“确界角”及其应用，以及直线与圆的位置关系和直线与双曲线的位置关系的应用，其中解答中正确理解题意，作出函数的图象，合理运算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题． 11．（25-26高三上·上海·期中）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为_____． 【答案】 【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线的方程，求出圆的方程，进而求出弦长. 【详解】由抛物线的焦点为，得抛物线的方程为， 直线方程为，由，消去得，设， 则，线段中点， ，则以AB为直径的圆为， 令，得，所以该圆被y轴截得的弦长为. 故答案为： 12．（25-26高三上·上海·期中）已知点和圆C：，一束光线从点A发出，射到直线l：后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是__________； 【答案】 【分析】根据光的反射定律，求出点关于直线对称点，再利用圆的性质求解. 【详解】圆C：的圆心，半径， 设点关于直线l：的对称点为， 由，解得，即点， ， 当且仅当为线段的中点时取等号， 所以折线ABP的最短长度是. 故答案为： 三、解答题　 13．（25-26高三上·上海·期中）已知直线：与圆：． (1)求证：直线过定点，并求出此定点坐标； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明：由直线：， 得， 联立，解得， 所以直线恒过定点； (2)或 (3)为定值， 【分析】（1）直接由直线系方程求解直线恒过定点的坐标； （2）设直线方程，利用几何法直接求出直线与圆相切时直线方程； （3）设直线方程，联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用斜率公式及根与系数关系即可证明为定值. 【详解】（1）证明略；，定点为； （2）由圆：，得圆心，半径， 又由（1）得直线恒过定点， 当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离 由直线与圆相切可得，即， 解得，直线方程为，即， 综上所述：直线的方程为或； （3）由（2）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，， 联立方程，即， ，即， ，， 又，， ， 所以为定值，. 14．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在直角坐标平面中，抛物线是由抛物线按平移得到的，过点且与轴相交于另一点.曲线是以为直径的圆.将在轴上方的部分、在轴下方的部分以及点、构成的曲线记为曲线. (1)直接写出抛物线和圆的方程； (2)设直线与曲线有不同于点的两个公共点、，且，求的值； (3)若过曲线上的动点（）的直线与曲线恰有两个公共点、，且直线与轴的交点在点的右侧，求的最大值，并求取得最大值时点、的坐标. 【答案】(1)：，：. (2) (3)最大值为1， ，. 【分析】（1）由平移结合过点求解抛物线方程，由A、B坐标求解圆方程； （2）求出坐标，判断的范围，再由得求解； （3）结合图像，有两种情况，第一种是两个点都在轴下方的半圆上，此时直线斜率为正，；第二种情况是在圆上，在抛物线上，则利用可以得到取到最大值. 【详解】（1）抛物线按平移得到， 将代入得到，解得， 所以：； 则，所以圆心，半径为， 所以：. （2）由题可知直线过点A，分别与抛物线和圆各有一个交点，分别记为， 联立直线与（），解得， 所以由，得或； 联立直线与（），解得， 所以由，得； 综上，点，所以， 得，而，所以. （3）情况1：在半圆上，在第一象限的抛物线上， 则直线为和处的切线. 在处，切线斜率，所以直线方程设为，即， 直线与圆相切，所以原点到直线l的距离为，解得， 此时直线方程为，与轴的交点在右侧，符合题意； 且由于，所以， 由得，所以，由计算得到； 情况2：都在轴下方的半圆上， 此时； 综上，最大值为1，此时，. 地 城 考点03 椭圆 一、填空题　 1．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 【答案】 【分析】连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义得到，，在中，由余弦定理可得，即可求得. 【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，， 由对称性可知：，，则四边形为平行四边形， 则，即，且， 因为，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，所以椭圆的离心率为.    故答案为：. 2．（25-26高三上·上海·期中）椭圆的焦点为为椭圆上一点,若,则_________. 【答案】 【解析】根据椭圆定义可得:, ,在三角形中由余弦定理,即可求得答案. 【详解】椭圆 可得:,,. 根据椭圆定义可得:, , 可得 解得:. 在三角形中由余弦定理:, 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了由余弦定理解三角形,解题关键是掌握椭圆基础知识和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 3．（25-26高三上·上海·期中）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 　　 . 【答案】 【分析】先根据题意分别表示出和,只要令小于或等于椭圆的长轴即可. 【详解】依题意，. 故答案为 . 本题主要考查了椭圆的应用.考查了学生运用基础知识解决实际问题的能力 4．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为________． 【答案】/ 【分析】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，设，表示出，，再由三角形的中位线定理得，然后在中利用勾股定理列方程求得，再在中列方程化简可求出离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，则，， 因为，所以为的中点， 因为为的中点，所以‖，， 所以， 设，则，， 因为，所以， 所以， 在中，由，得， 化简整理得，解得或， 当时，，不合题意，舍去， 所以， 所以， 在中，由，得， 则，得， 即的离心率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的定义的应用，解题的关键是取的中点为，由已知条件结合圆的知识得为的中点，再应用三角形中位线定理和勾股定理求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 5．（25-26高三上·上海·期中）短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为__________. 【答案】/ 【分析】根据题意，求出长半轴长，再由周长为求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则， 又离心率为，则，解得， 所以周长为. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交于，两点，若，，则的值为______. 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理来计算，即可求解. 【详解】 因为，所以， 设，则， 根据椭圆定义可知： 由可得：， 所以有，则， 即，而，则， 所以为椭圆的短轴端点，且是等腰直角三角形， 即，又因为，所以， 因为，所以的值为， 故答案为： 7．（25-26高三上·上海·期中）若点、为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于、的点作的垂线，垂足为点，若，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】/ 【分析】不妨假设椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，设点，其中，且有，利用已知条件得出的值，再利用可求得该椭圆离心率的值. 【详解】不妨假设椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，设， 设点，其中，则，，， 由题意可得，所以， 所以， 因此该椭圆的离心率为. 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海·期中）椭圆的焦距是_________. 【答案】2 【详解】分析：由椭圆方程可求，然后由可求，进而可求焦距 详解：∵椭圆 ∴. 即答案为2． 点睛：本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，属基础题 9．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【详解】分析：设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案． 详解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m， 若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形， 则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m， 由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a， 即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a， 则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a， 在直角三角形AF1F2中， |F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2， 即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2， ∴c2=（9﹣6）a2， 则e2==9﹣6=， ∴e=． 故答案为：． 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 二、解答题　 10．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形． (1)写出椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足：．求证：与面积之比为定值． 【答案】(1) (2) (3) 证明：设直线的斜率分别为，则直线的方程为． 由，直线的方程为． 将代入，得， 因为是椭圆上异于点的点，所以．则， 所以． 由，所以直线的方程为． 由，解得． 所以， 即与面积之比为定值． 【分析】（1）根据题设条件列出关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）依题求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点，即可求得以为直径的圆的方程； （3）设直线的斜率分别为，写出直线的方程并与椭圆方程联立，求出点的坐标，即可推得，由，写出直线的方程，与直线的方程联立，求出点的坐标，结合图形，利用三角形面积公式代入化简求解即得证. 【详解】（1）因是边长为4的等边三角形，则得，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）因，直线的斜率为，则直线的方程为 联立，解得和，即， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为：. （3）略 11．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点． (1)求椭圆C的离心率； (2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值； (3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点， 【分析】（1）根据方程确定的值，再求离心率的值. （2）利用两点间的距离公式，结合椭圆的范围和二次函数在给定区间上值域的求法求最大值. （3）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，根据列式，化简可得的关系，再确定直线是否过定点. 【详解】（1）由题，，． 所以离心率． （2）由题可知，设， 则，． 由于， 所以当时，PT取到最大值为． （3）如图：    设，，． 因为直线l与椭圆C交于异于P的两点和，所以. 所以，故，则， ， 即． 故，所以或（因为，故舍去）． 当，，过定点. 因此直线过定点． 12．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且．直线l：交椭圆于，两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； (3)若，证明：当时，为锐角三角形． 【答案】(1) (2) (3) 直线的方向向量为，所以由锐角三角形知， ①，②，③， 由、， 由①得： ，则④； 由②③得，， 即， 进而化简得： ， 即，解得⑤， 由，， 故当时，同时满足④⑤， 所以此时为锐角三角形. 【分析】（1）借助向量数量积计算可得，再利用离心率即可得解； （2）利用韦达定理结合斜率公式计算即可得； （3）借助锐角三角形定义结合向量数量积计算可得为锐角三角形时的范围，再判断所给范围是否符合要求即可得. 【详解】（1）由题意知，，则， 所以，即， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）直线，， 由，得， 则， 所以， 因为椭圆的左，右顶点分别为， 所以， 所以； （3）略 13．（25-26高三上·上海·期中）已知是椭圆的左、右焦点，点M、N是椭圆上的两个不同的点，直线的斜率为，直线的斜率为. (1)求面积的最大值； (2)若，且直线MN与轴的交点为，求直线MN的方程： (3)是否存在某些位置上的点，使得且？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）当为椭圆短轴顶点时的面积最大，可求面积的最大值. （2）设直线方程为，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，得到和，表示出，可求的值. （3）先根据条件，确定点满足的条件，再列式求点坐标. 【详解】（1）中，，当为短轴顶点时，点到边的距离最大， 所以面积的最大值为：. （2）因为直线MN与轴的交点为，故可设直线方程为：. 由， 整理得：. 设，，则，. 又，由题意， 所以， 所以 ， . 所以直线的方程为：. （3）设的中点为，因为，所以， 因为，所以，所以，故在轴上. 根据椭圆的对称性，可知与点纵坐标相同. 如图：    设点，则，且. 由. 所以, 所以点坐标可以为：或或或. 14．（25-26高三上·上海青浦·期中）已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用离心率公式计算即可； （2）先求出，得到直线的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可； （3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点重合），算出和直线的斜率.接着设出点的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可. 【详解】（1）由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 （2）由题，，，所以，直线的方程为， 设的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. （3）由题，设的方程为， 由题意，且， 任取上一点（不与点重合），则，. 设，则， 直线的方程为，故， 代入得， 因为，解得， 由对称性，不妨设，代回直线方程可解得， 而点位于上，所以 ，为上任一点，所以为定值，化简得. 设，为上任一点，即有解. 整理得，， 解得，所以 . 故的长轴长. 15．（25-26高三上·上海·期中）如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．    (1)求椭圆的方程； (2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值； (3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大． 【答案】(1)； (2)证明：显然直线不垂直于坐标轴，设的方程为，设， 由消去x得：，， 则，而C是AB的中点，即有，于是， 满足，因此，定值为1； (3). 【分析】（1）根据给定条件，求出a，b得椭圆的方程作答. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立结合中点问题推理计算作答. （3）利用（2）中信息求出直线的方程，与抛物线方程联立，求出面积的函数关系，借助均值不等式求解作答. 【详解】（1）令椭圆的半焦距为c，依题意，，，解得，则， 所以椭圆的方程为. （2）点C的横坐标是定值，该定值为1.理由略. （3）由直线过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，得直线和直线l的斜率互为相反数， 则由（1）得直线的方程为，即， 由消去x得：，， 设，则， ，点到直线：的距离， 由C是AB的中点得的面积， 令，则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，的面积取得最大值，此时. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 地 城 考点04 双曲线 一、单选题 1．（25-26高三上·上海长宁·期中）已知双曲线的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形得出的关系，进而求得得渐近线方程． 【详解】由已知及双曲线的对称性可得，所以.所以，所以，所以C的渐近线方程为. 故选：A. 2．（25-26高三上·上海·期中）设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定直线与圆的位置关系，表示出直线的斜率，数形结合，根据直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系，得到的关系，求出离心率的取值范围，即可进行判断. 【详解】如图： 因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：. 因为点到直线：的距离为：， 所以直线与圆相切. 又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点， 所以直线的斜率为：. 又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：. 又. 即. 故选：D 3．（25-26高三上·上海·期中）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得抛物线方程，在抛物线上求得坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线平行可得答案. 【详解】根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为5， 则点到抛物线的准线的距离也为5，即，解得， 所以抛物线的方程为，则，所以，即M的坐标为， 又双曲线的左顶点，一条渐近线为， 而，由双曲线的一条渐近线与直线平行，则有，解得. 故选：A 二、填空题　 4．（25-26高三上·上海·期中）双曲线的实轴长为___________． 【答案】6 【分析】结合双曲线实轴长的概念，即可求解． 【详解】对于双曲线，，解得， 故实轴长为. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足，点在双曲线上，则_______． 【答案】4 【分析】根据向量法，当时，与渐近线平行，且在轴的投影为2，渐近线倾斜角为，则，即可求出. 【详解】作出示意图如图所示： 当时，与渐近线平行，在轴的投影为2， 不妨取渐近线，令其倾斜角为，则， 所以，所以. 故答案为：4. 6．（25-26高三上·上海·期中）函数的图象是等轴双曲线，其离心率为，已知对勾函数的图象也是双曲线，其离心率为．则______． 【答案】 【分析】首先得到双曲线的两条渐近线方程分别为，，根据双曲线的对称性可得渐近线与实轴的夹角为，即，利用二倍角公式求出，最后由离心率公式计算可得. 【详解】由对勾函数的性质可在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，当时，且函数为奇函数，函数图象关于原点对称， 双曲线的方程为， 双曲线的两条渐近线方程分别为，， 渐近线与实轴的夹角为，， ，解得或（舍去）， ， ． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到双曲线的两条渐近线方程，从而得到渐近线与实轴的夹角. 7．（25-26高三上·上海徐汇·期中）双曲线的虚轴长为______． 【答案】 【分析】先把双曲线方程化为标准式，然后根据双曲线方程直接求出虚轴长. 【详解】双曲线即，所以，所以， 所以双曲线的虚轴长为. 故答案为： 8．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点,，P是与的一个交点，与的离心率分别为，，若，，则双曲线的离心率_____. 【答案】 【分析】先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找，，之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用，表示出，，并且．在△中根据余弦定理，通过求解方程，得到结果． 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义： ，解得，， 设，．则： 在△中由余弦定理得，， 化简得：，该式可变成：． ．又，解得，所以． 故答案为： 9．（25-26高三上·上海·期中）若双曲线（）的一条渐近线方程为，则______． 【答案】3 【分析】由焦点落在轴上的双曲线方程渐近线为，即可得，即可求得的值. 【详解】由双曲线（）可知双曲线焦点在轴上，则，得. 故答案为：3. 10．（25-26高三上·上海·期中）若将方程化简为的形式，则_____ 【答案】 【分析】将方程两边取平方后整理成，再进行两边取平方，化简即得双曲线的轨迹方程，写出，计算即得答案. 【详解】由两边取平方， 可得， 整理得：， 两边再取平方，可得， 即，也即. 故，则. 故答案为：. 11．（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为_______________. 【答案】 【分析】设，根据题意得到相关线段关于的表达式，再利用勾股定理建立关于方程，进而求得，从而得解. 【详解】设，由知在双曲线的右支上，可得，， 所以，，又由，知， 所以在中，由勾股定理可得， 解得或（舍去），又，则， 所以，， 所以的面积为. 故答案为：. 12．（25-26高三上·上海·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的三条边，再利用是锐角三角形，结合余弦定理求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】   关于原点对称，双曲线焦点关于原点对称， 四边形是平行四边形，则， ，， 设点在左支，根据双曲线定义得：， 联立可得， 的三条边：，， 是锐角三角形， 的三个内角均为锐角，即 ：，则； ： ，不等式恒成立； ：，则， 双曲线的离心率的取值范围为：． 故答案为： 13．（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________. 【答案】 【分析】根据所求双曲线与有相同的渐近线，所以设所求双曲线为，代入已知点，求出，即可得答案. 【详解】由题意设双曲线的标准方程为， 代入点，得，得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 14．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知双曲线（）的左､右焦点分别为､.经过且倾斜角为的直线与交于第一象限的点，延长至，使.若的面积是，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，得出点坐标，再结合双曲线的定义可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则，， 则，， 设，则，解得， 由题意可得直线的斜率，则方程为， 将代入上式，则，解得，即， 由题意可得， 则，. 故答案为： 15．（25-26高三上·上海·期中）已知动点是双曲线上的点，是双曲线的左、右顶点，设的面积为，则取值的集合为________． 【答案】 【分析】根据两角和的正切公式，以及直线斜率和倾斜角正切值的关系，设出点坐标，求出角的正切值和三角形面积的表达式，求出结果. 【详解】由题意可知，不妨设点在轴的上方，则设， 则，， 可知， 则， 因为，所以，代入得， 所以，即取值的集合为. 故答案为：. 三、解答题　 16．（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线经过点，离心率2，直线l交双曲线于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值； (3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 设A点坐标为，则由对称性知B点坐标为． 设，则，由，得，所以． (3) 存在．当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 设， 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立． 综上，存在，使． 【分析】（1）由题意，代入已知点的坐标以及离心率的计算，结合，建立方程组，可得答案； （2）根据双曲线的对称性，设出点的坐标，利用斜率的计算公式，结合双曲线的方程，等量代换，可得答案； （3）由题意，分直线斜率存在与不存在两种情况，设直线方程，联立方程，写韦达定理，根据向量数量积的坐标公式，整理方程，可得答案. 【详解】（1）由题意得，解得，则双曲线． （2）略 （3）略 【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常用思路：联立直线与圆锥曲线方程，写出韦达定理，根据题目中其他条件，整理方程，解得参数的值或者参数之间的等量关系，解决问题，设直线方程时，要注意斜率是否存在. 17．（25-26高三上·上海·期中）如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)过定点，定点坐标为． 【分析】（1）根据给定条件，求出，，即可求得左顶点坐标以及离心率； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解； （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【详解】（1）由题可得：， 所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为： （2）由消去整理得，， 则，且， 设，则， 由为的中点，可得， 解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．且， 则 ， 因以为直径的圆恒过点P，则有， 即，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 18．（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线的右焦点为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； (3)过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为． （2）①当时，横坐标代入双曲线方程可得， 则；    ②当时，设，∴， 则， 解得，则.    （3）①当斜率不存在时， ，∴； ②当斜率存在时，设为，则直线的方程为， 设，∴，    联立方程，可得， 由题可知①， 同理②， ①②式可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 则为定点． 19．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知双曲线 (1)，求双曲线的渐近线方程. (2)设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； (3)已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程的公式求解； （2）先根据双曲线方程得到顶点坐标，设点，表示出向量和，利用数量积公式得到与的关系，把点代入双曲线方程即可求解； （3）设直线斜率为，直线斜率为，把直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示出点，同理以代可表示出点，代入斜率公式化简即可得斜率. 【详解】（1）当时，双曲线的方程为， 则双曲线的渐近线方程为； （2）由题意，设， 则，， 则，， 又点在双曲线上，则，化简得， 又所以； （3）将点代入双曲线方程得，解得：， 故双曲线方程为； 设直线斜率为，则直线斜率为 直线方程为，联立双曲线与直线: ， 其中 即且， 由韦达定理，则， 同理以代，则， 则，， 故. 地 城 考点05 抛物线 一、单选题　 1．（25-26高三上·上海·期中）已知三棱柱平面是内一点，点在直线上运动，若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点的轨迹是（    ） A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分 【答案】C 【分析】过点作平面，垂足为点，则由最小角定理得直线和所成角的最小值为直线与平面所成的角，直线与平面所成的角为，根据题意利用正弦函数可得点在平面内的轨迹为抛物线的一部分，可得结论. 【详解】过点作平面，垂足为点，则由最小角定理得直线和所成角的最小值为直线与平面所成的角. 直线与平面所成的角为， 因为为定值，所以如果最大，则最小，当时， 取得最小值为点到直线的距离， 又因为，则由直线和所成角的最小值与直线与平面所成角的最大值相等，可得点到点的距离等于点到直线的距离， 所以点在平面内的轨迹为抛物线的一部分，则点在平面内的轨迹为抛物线的一部分. 故选C. 【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹的相关问题，涉及最小角定理、线面角、抛物线的定义，属于中档题. 2．（25-26高三上·上海·期中）设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（    ） A．当时，的值为4 B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为 C．的最小值为3 D．的最大值为 【答案】B 【分析】由焦半径求出的值判断A，利用导数的几何意义可得切线方程判断B，利用抛物线定义结合图象可判断CD. 【详解】当时，，故，故A正确； 当时，，由可得，所以， 所以抛物线C在点P处的切线方程为，整理得：，故B错误； 如图，过点P作PB⊥准线于点B，则由抛物线定义可知：， 则，当A、P、B三点共线时，和最小，最小值为1+2=3，故C正确； 由题意得：，连接AF并延长，交抛物线于点P， 此点即为取最大值的点，此时， 其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：， 故的最大值为，故D正确. 故选：B. 二、填空题　 3．（25-26高三上·上海·期中）抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海·期中）抛物线过点，则点P到抛物线准线的距离为___________． 【答案】5 【分析】根据点为抛物线上一点可求出的值，即可知抛物线的准线方程，从而求出所求． 【详解】解：点为抛物线上一点， ，解得， 抛物线方程为 准线方程为， 点到抛物线的准线的距离为． 故答案为：5． 5．（25-26高三上·上海黄浦·期中）已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则________． 【答案】4 【分析】由抛物线方程可得顶点坐标与焦点坐标，建立方程，可得答案. 【详解】由抛物线，则其顶点为，焦点，由题意可得，解得. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海·期中）抛物线的准线方程为______． 【答案】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程． 【详解】由抛物线，可得， 抛物线的准线方程为， 故答案为：． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海·期中）已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为___________. 【答案】3 【分析】由题可得抛物线方程与圆的圆心半径，由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，然后由图可得四点共线时取最小值. 【详解】圆的圆心为，半径． 如图，由抛物线的定义可得，解得， 可知抛物线的方程为，焦点坐标为，准线为直线， 则点到直线的距离．可得， 当四点共线时，取得最小值， 所以． 故答案为：3. 9．（25-26高三上·上海虹口·期中）双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 【答案】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【详解】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 10．（25-26高三上·上海青浦·期中）抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是______． 【答案】1 【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值. 【详解】设，如图所示，根据抛物线的定义， 可知，， 在梯形中，有， 在中，， 又， ，故的最大值是1． 故答案为：1. 11．（25-26高三上·上海·期中）抛物线的准线与圆相交于A、B两点，则______． 【答案】2 【分析】首先求抛物线的准线方程，再根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解. 【详解】的准线方程为，圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故答案为：2 三、解答题　 12．（25-26高三上·上海·期中）如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点. (1)求与的方程； (2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标； (3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得. 【答案】(1)与 (2) (3) 设直线的斜率分别为，点P，A，B的坐标分别为， 则， 的方程为， 代入可得， 故， 所以， 同理可得，又，故， 故， 即，所以存在，使得. 【分析】（1）设的方程分别为与，将点的坐标代入的方程可求出，利用椭圆的定义可求出的值，从而可得，进而可得的方程； （2）分点在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点的坐标； （3）利用两点的斜率公式及点在上即可证明，设的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示，化简为常数，即可得出答案. 【详解】（1）设的方程分别为与， 由，得，故的坐标分别为， 所以故， 故与的方程分别为与. （2）当点在第四象限时，直线的倾斜角都为钝角，不适合题意； 当在第一象限时，由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， 可知，故， 设点坐标为，可知且， 解得，故点的坐标为， （3）略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 13．（25-26高三上·上海·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为F，直线交于A，B两点. (1)若点F到直线的距离为，求的准线方程； (2)设直线交x轴于点E，若，三角形的面积为，求直线的倾斜角的大小； (3)设p为常数直线过焦点F，直线，分别交的准线于点C，D，证明.以为直径的圆经过两个定点. 【答案】(1) (2)45°或135° (3)证明： 抛物线（p为常数），焦点，准线. 设直线的方程为（过焦点F），与抛物线联立： 直线的方程为，与准线交于. 因为，所以. 同理. 以为直径的圆的圆心为，半径为. 化简得圆心，半径. 圆的方程为：. 整理得. 令，则或. 故圆经过定点和. 【分析】（1）由点到线的距离公式求解，即可求解； （2）设，，.直线的方程为，联立抛物线方程， 由韦达定理得到，，再结合，向量的坐标运算，及即可求解； （3）设直线的方程为（过焦点F），与抛物线联立，结合韦达定理求得..   进而写出以为直径的圆的方程，进而可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点F的坐标为. 点F到直线的距离公式为： 因为，所以. 抛物线的准线方程为. （2） 设直线的方程为与抛物线联立： 设，，. 由韦达定理：， 由，得. 又E在直线上，且E为与x轴交点，故： 代入韦达定理： 三角形的面积 已知当时，倾斜角；当时，倾斜角. 综上，倾斜角为45°或135°. （3）略 14．（25-26高三上·上海·期中）已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆于C、D两点． （1）求椭圆的方程； （2）直线l经过点，设点，且的面积为，求k的值； （3）若直线l过点，设直线，的斜率分别为，，且，，成等差数列，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由题知得到，解方程组即可. （2）设直线：，由得：.利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到，解方程即可. （3）设直线：，带入椭圆方程得到.根据韦达定理和等差中项的性质得到，解方程即可求出直线方程. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题设得，∴. ∴椭圆的方程是. （2）设直线：，设，， 由得：. ，. 与抛物线有两个交点，，， 则. 到的距离， 又，所以. ，故. （3）设直线：，设，， 由消去得：. 因为在椭圆内部，所以与椭圆恒有两个交点, 所以. 由，，成等差数列得. . 所以解得：. 所以直线的方程为. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于难题. 试卷第1页，共3页 4 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $