专题06 角的比较和运算（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06角的比较和运算 内容概览 目常考题型精准突破 题型1角的比较（高频） 题型2三角板中角度计算问题（重） 题型3儿何图形中角度计算问题（重） 题型4角度的四则运算（重) 题型5实际问题中角度计算问题（高频） 题型6角平分线的有关计算（重） 题型7角等分线的有关计算（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1角的比较 1.已知∠ABC和∠DEF,移动∠DEF将E点与B点重合，射线EF与射线BC重合，射线DE和射线AB 置于重合边的同侧，如果射线AB在∠DEF的外部，那么下列说法正确的是() A.∠ABC>∠DEF B.∠ABC<∠DEF C.∠ABC=∠DEF D.无法判断∠ABC和∠DEF的大小 2.小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB ∠COD(填“>”、“ <”或“=”) B --D 1/14 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.若∠A=3035,∠B=30.5°，则∠A ∠B.(填“>”或“<”或“=”) 4.如图是4×4的正方形网格，点A,B,C,D,O均为格点，则∠AOB ∠COD(填“>”或“ =”或“<”)， 5.如图，射线OC在∠AOB的内部，射线OD在∠AOB的外部.下列结论错误的是() D B A.∠BOC<∠AOBB.∠COD>∠AODC.∠AOB<∠AODD.∠AOB>∠AOC ◆题型2三角板中角度计算问题 6.一把直尺和一块三角板（含30°，60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A, D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E,F两点，且∠CAD=50°，那么∠BAD的大小是 () B A.10° B.20° C.30° D.40° 7.【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起， 如图1，使直角顶点重合于点C E D B 图1 图2 【问题发现】 (①)①填空：如图1，若∠ACB=145°，则∠ACE的度数是，∠DCB的度数，∠ECD的度数 是 2/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出 你发现的结论 【类比探究】 (2)如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由. 8.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A=60°，∠D=30°： ∠E=∠B=45°) (1)∠ACE与∠BCD相等吗？说说你的理由： (2)若点E在AC的上方，设∠ACB=150°，求∠DCE的度数. 9.如图，将两个直角三角形的直角顶点O叠放在一起，若∠BOC=23°，则∠AOD的度数为 10.探究与发现 在数学实验课上，学习小组准备研究如下问题：将一副三角板的一个顶点重合在一点，产生重合角和非 重合的角∠1,21，然后研究这些角之间的关系. 【操作发现】 (1)小组成员小明按图1摆放两块三角板，一块含90°角和另一块含45°角的顶点重合于点0. ①∠AOC的度数为·（用含o的代数式表示）； ②小明发现，∠1-总是保持不变，这个固定的差值是 【问题探究】 (2)小芳受到启发，继续探究：将等腰直角三角板固定不动（∠A○B=90°），再把另一块三角板的60° 角顶点重合于点O,两块三角板有重合角.这时小芳让这块三角板绕着点0旋转，她发现∠1和∠2仍有 一定的固定关系.请你说一下她发现了什么关系呢？并说明理由 【拓展延伸】 (3)学习小组进一步探究：将等腰直角三角板固定不动，用含60°的三角板的任意一角的顶点与等腰直角 三角板的直角顶点O重合.当满足∠ 1+时，求0的度数， 3/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B on 图1 备用图 备用图 ◆题型3几何图形中角度计算问题 11.如图所示，已知∠COD=30°，∠AOC=∠BOD=90°，则∠AOB的度数是() D B A.130° B.140° C.150° D.160° 12.根据图形填空： (1)∠AOC= (2)∠AOC-∠AOB= (3)∠COD=∠AOD- (4)∠B0C= -∠COD: (5)∠AOB+∠COD= 13.已知平面内∠AOB=80°，∠B0C=15°，则∠A0C的度数为 0 14.如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.春分日某地正午太阳光线与水平 面的夹角β为52°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α度数是() 集热板 太阳光线 支 架 水平面 A.28° B.32° C.38 D.52° 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.已知一条射线0A,在同一平面内从点O再作两条射线OB和OC,使∠AOB=80°，∠B0C=30°， 则∠AOC的度数是 ◆题型4角度的四则运算 16.填空： (1)77°42+34°45= (2)108°18-56°23= (3)180°-3454+2133= 17.计算下列各题： (1)2330= °，13.6°= (2)52°45-32°46= (3)18.3°+2634= 0 (4)12°17×4= 0 18.∠0=18°20，∠阝=630，则∠Q+∠β= 19.计算：3625+42°56= 20.28.51°+222215= ◆题型5实际问题中角度计算问题 21.如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90° (1)如果∠2=58，那么∠1等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答， 22.如图，光从真空射入某种介质，入射角为@，折射角为那，且0=60°，阝=26°，则∠AOB的度数为 () 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.136° B.142° C.144° D.146° 23.如图，点A,B,C在同一直线上，∠DBE是直角，若∠CBD=62°，则∠ABE=() E D A B C A.28° B.38° c.118° D.128° 24.时钟显示时间为3点45分，此时时针和分针所成较小夹角是度. 25.Q、P都是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学计算号Q+P的结果依次为50、26、72和90，其中有正 确的结果，那么算得正确的是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ◆题型6角平分线的有关计算 26.如图，三条射线a,b,c将∠AOB分成相等的四个角，其中∠AOB的角平分线是() A.a B.b C.C D.都不是 27.如图，直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,且∠ 1:,求∠BOF 的度数 28.已知∠AOB=86°∠BOC=34°，OD平分∠AOC,求∠B0D的度数. 29.如图所示，已知OC平分∠BOD,且∠BOC=20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数. 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 30.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O,OF平分∠BOC. D B (1)若∠BOD=40°，求∠AOF的度数： (2)若∠AOC∠AOE=1:2,求∠COF的度数. ◆题型7角n等分线的有关计算 31.我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.类似的我 们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1：2的两个角的射线，叫做这个角的三分 线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1：3的两个角的射线，叫做这个角的四分线.显然，一个角 的三分线、四分线都有两条.例如：如图1，若∠BOC=2∠AOB,则OB是∠AOC的一条三分线：若 ∠AOD=2∠COD,则OD是∠AOC的另一条三分线 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，OB是∠AOC的三分线，∠BOC>∠AOB,若∠AOC=60°，则∠AOB=: (2)如图3，∠DOF=120°，OE是∠DOF的四分线，∠DOE>∠EOF,过点O作射线OG,当OG刚好 为∠DOE的三分线时，求∠GOF的度数； (3)如图4，∠AOD=120°，射线OB、OC是∠AOD的两条三分线，将射线OB、OC同时绕点0沿顺 时针方向旋转0°≤a≤180°，在旋转的过程中，若射线0B、OC、OD中恰好有一条射线是其它两条射 线组成夹角的四分线，请直接写出0的值， 32.(1)特例感知：如图①，已知线段MN=10cm,AB=1cm,线段AB在线段MN上运动（点A不超 过点M,点B不超过点N),点C和点D分别是AM,BN的中点. ①若AM=4cm,则CD= cm: 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说 明理由； (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线 OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON ①若∠MON=150°，∠AOB=30°，则∠COD= 度 ②若∠COD=95°，∠AOB=30°，求∠NOM的值： (3)类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON=a,∠AOB=B, ∠MOC=2∠AOC,∠NOD=2∠BOD,则∠COD的度数为 (用含有Q、β的式子表示) MI C AB D入 图① 图② 图③ 33.(多选)定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC,把∠AOB分成1：2的两部分， 射线OC叫做∠AOB的三等分线.若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP 的三等分线，设∠MOQ=X,则∠MON的大小用含x的代数式表示可能是()（请填写所有正确选项 的字母) 9 9」 A.x B.3X, C.9x D.X 34.元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开 项目式学习.同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美. 新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成两个角，其中∠MON是所分角中较小角的n 倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分角线.如图1，若∠MON=3∠NOP,则射线OP为∠MON 的3倍分角线. 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 【特例感知】 (1)若∠MON=120, ①射线OP为∠MON的2倍分角线，则∠MOP= ②射线OP为∠MON的3倍分角线，则∠MOP= 【类比探究】 (2)如图2，点A,O,B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线.若射线OP,OQ分别为 ∠AOC和∠BOC的4倍分角线（∠COP>∠POA,∠QOB>∠COQ),当∠POQ=105°时，求 ∠AOC的度数： (3)如图3，在(2)的条件下，若射线OP从射线OP处绕点O顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线0Q从 射线OQ处绕点O顺时针旋转，速度为b度/秒.在旋转的过程中，当射线OP是∠AOC的n倍分角线时( ∠COP<∠POA),恰好射线OQ也是∠BOC的n倍分角线（∠QOB<∠COQ),请直接写出a与 b的数量关系」 35.(1)已知平面上有O,A,B,C四点，请直接在图1中，画出∠AOB及射线OC; B B· M 图1 图2 (2)在(1)的条件下，若∠AOB=120°，OD平分∠AOC,OE平分∠B0C,求∠D0E的度数： (3)如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，OM,ON分别为∠AOC,∠BOC内部的一条射线，且 ∠MOC=2∠AOM,∠NOC=2∠BON,若∠AOB=n°，请直接写出∠MON的度数.（用含n的 代数式表示)》 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.将一副含30°和45°的直角三角尺按如图所示的方式放置，若AM平分∠BAD,AN平分∠CAD,则 ∠MAN的度数是() E A B A.5° B.15 c.22.5° D.30° 2.如图，已知∠AON=15°，∠BON=40°，OA是∠BOC的平分线，OD⊥OB,则() 北 E东 D S A.射线0C的方向为北偏东65° B.射线0C的方向为北偏东60° C.射线0D的方向为南偏西45° D.射线OD的方向为南偏西50° 3.如图，点O是直线AB上一点，OE⊥OC,OF平分∠AOE,若∠COF=35°，则∠AOC等于 () B A.70° B.20° C.35 D.110° 4.如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A,B,C,D,E,F,6座海轮，其中F到灯塔的距 离为10km,海轮F在灯塔和海轮D的中点处.且∠AOD=4230,∠DOE=∠AOC=78.5°.则下列说 法正确的是() ①若海轮F的速度为30km/h,则海轮F抵达灯塔最少需要20分钟： ②∠E0C=43°： ③∠B0E=59°； 10114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④C在灯塔的北偏东11°30的方向上. 北 西B O灯塔 东 南 A.①④ B.①② C.①③④ D.①②③④ 5.已知：在同-平面内，∠AOB=60°，∠BOC=20°，且OM是∠AOC的角平分线，则∠BOM= () A.20° B.40° C.20°或40° D.20°或60° 6.已知三条不同的射线OA,OB,OC,有下列条件： O∠AOC=∠BOC=∠AOB, ②∠AOB=2∠AOC: ③∠AOC+∠COB=∠AOB: ④∠BOC3∠AOB, 其中，能确定OC平分∠AOB的有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 7.如图，已知直线AB和CD相交于点O,∠COE是直角，OF平分∠AOE,∠COF=34,则∠BOD 的度数为() B A.22° B.34° C.44° D.56 二、填空题 8.在∠AOB的内部引一条射线OC,则图中共有三个角，分别是∠AOB、∠AOC、∠BOC.若其中 有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”·若∠AOC=30°，且射 线0C是∠AOB的“好好线”，则∠AOB的度数有下列情况：①45°，②60°，③90°，④120°，其中正 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 确的是 (填序号). 9.定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍， 则称这条射线为这个角的“二倍角线”.如图，∠AOB=60°，射线OC为∠AOB的“二倍角线”，则 ∠AOC= B I0.如图，在同一平面内，已知直角三角板一边CD在直线AB上，另外两边在直线AB上方，且 ∠DCE=60,∠E=90.过点C作射线CE,使得∠ECF=子∠DCE,再过点C作射线CM、CN,使 得∠FCM=90°，CN平分∠DCM,则∠BCN的度数为_ D B 11.如图，∠AOB=30°，OC是同一平面上的一条射线，若在∠AOB,∠BOC,∠COA中，有一个 角的度数恰好是另一角度数的一半，则∠AOC的最大值是，∠AOC最小值是 B 三、解答题 12.如图1，∠AOB=o,∠COD=B,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的角平分线. D D B(C) A 图1 图2 图3 (1)若∠AOB=50°，∠COD=30°，当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2）， 则∠MON的大小为_： (2)在(1)的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD,当∠BOC=10°时（如图3），求∠MON的大 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小并说明理由： (3)在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON=,(用含，B的式子表示). 13.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,使∠BOC=135°.将直角三角板MON绕点O旋转 一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，求∠AOM的度数. B 14.如图，OE平分∠AOC,OF平分∠B0C. E B C (1)如果∠AOB=80°，∠B0C=30°，那么∠B0E是多少度？ (2)如果∠AOB=0,∠BOC=B,通过计算说明：∠AOB=2∠EOF. 15.综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识.某兴趣小组使用一副直角三 角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，∠AOB=90°，∠COD=60°，射线 OM,ON在平面内绕点O转动， 特例分析：(1)如图1，当边OA和边OD在同一条直线上时，射线OM,ON分别为∠AOB,∠COD 的平分线，则∠BOC=°，∠MON= (2)如图2，边OA和OD不在同一条直线上，射线OM,ON分别为∠AOB,∠COD的平分线： ∠BOC=50°，求∠MON的度数， 拓展探究：(3)若保持三角板AOB不动，将三角板COD绕点O转动，射线OM,ON分别是 ∠AOC,∠BOD的平分线.当∠BOC=a0°<c<180°时，直接写出∠MON的度数. 注意：题中表示的所有角都是小于180°的角 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图3 14/14的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06角的比较和运算 内容概览 目常考题型精准突破 题型1角的比较（高频） 题型2三角板中角度计算问题（重） 题型3几何图形中角度计算问题（重） 题型4角度的四则运算（重) 题型5实际问题中角度计算问题（高频） 题型6角平分线的有关计算（重） 题型7角等分线的有关计算（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1角的比较 1.A 2.> 3.> 4.< 5.c ◆题型2三角板中角度计算问题 6.A 7.(1)①55°，55°，35°：②∠ACE=∠BCD,∠ACB+∠ECD=180° (2)解：当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： .∠ACD=∠BCE=90°， ∴.∠ACD+∠ECD=∠BCE+∠ECD: ∴.∠ACE=∠BCD, 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠ACD=∠BCE=90°， .∠ACD+∠BCE=180°， ,∠ACD+∠ECD+∠BCE+∠ACB=360°， .∠ACB+∠ECD=180° ∴.上述②中你发现的结论依然成立. 8.(1)∠ACE与∠BCD相等， 理由如下： 因为∠ACD=∠ECB=90°， 所以∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠DCB, 所以∠ACE=∠DCB: (2)∠DCE=30° 9.23° 10.(1)①135°-0：②45°；(2)30°；(3)30°或6°或54° ◆题型3几何图形中角度计算问题 11.C 12. ∠AOB ∠BOC∠BOC ∠AOC∠BOD ∠AOD BOC 13.65°或95 14.C 15.110°或50° ◆题型4角度的四则运算 16. 112°27 51°55 123°33 17. 23.5 133619594452 498 18.24°50 19.79°21 20.50°5251 ◆题型5实际问题中角度计算问题 21.(1)32度 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图，在长方形的台球桌面上，∠1+∠3=90°，如果∠1=32，那么∠2等于多少度？ 解：，∠ 1+∠ ∠ 3=, 2 2=, 答∠2等于58度. 22.D 23.A 24.157.5 25.B ◆题型6角平分线的有关计算 26.B 27.45° 28.60°或26 29.∠AOD的度数为80° 30.(1)110° (2)75° ◆题型7角n等分线的有关计算 31.(1)20° (2)60°或90° 80° 03 或50°或70°或280° 3 32. 05,@不交.cD-55m:2090:®60，(3)a+号B, 33.ACD 34.(1) 60° 40°或80° (2)120° (3)a=2b 35. (1)如图1， 3/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 2)D0E0,(3)NM0N-居 综合攻坚知能拔高 1.B 2.D 3.B 4.C 5.c 6.C 7.A 8.①②③ 9.20°或30°或40° 10.97.5°或112.5°或157.5°或172.5° 11. 90°/90度 10°10度 12.(1)40° (2)40°，见解析 (eB支180-g±E 13.∠A0M的度数为135°或45° 14.(1)25° (2) .∠AOB=a,∠BOC=B, .∠AOC=∠AOB+∠BOC=a+β， 射线OF平分∠BOC, :∠00F=支<B0C=B, 415 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OE平分∠AOC, E COE-AOC+B 1 ·∠EOF=∠COE-∠COF=c 3B、 B。 a .∠AOB=2∠EOF. 15.(1)30,105;(2)125°；(3)75°或105° 515 专题06 角的比较和运算 常考题型·精准突破 题型1 角的比较（高频） 题型2 三角板中角度计算问题（重） 题型3 几何图形中角度计算问题（重） 题型4 角度的四则运算（重） 题型5 实际问题中角度计算问题（高频） 题型6 角平分线的有关计算（重） 题型7 角n等分线的有关计算（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 角的比较 1．已知和，移动将点与点重合，射线与射线重合，射线和射线置于重合边的同侧，如果射线在的外部，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．无法判断和的大小 【答案】A 【分析】根据利用叠合法比较角的大小的方法逐项判断即可． 【详解】解：由题意，将的顶点与的顶点重合，边与重合，与在重合边同侧， 射线在的外部， . 2．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，解题的关键是添加适当的辅助线．取格点E，使，作射线，则，然后比较和的大小，根据等量代换，即可作答． 【详解】解：如图，取格点E，使，作射线， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 3．若，，则________．（填“”或“”或“”） 【答案】> 【分析】本题考查了角的大小，与角的换算，解题的关键在于度与分的换算关系． 将两个角的单位统一为度分形式，再依据角的大小比较规则进行比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 则. 又因为，， 所以． 故答案为：>． 4．如图是的正方形网格，点A，B，C，D，O均为格点，则________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，再比较大小即可． 【详解】解：由图，可知为等腰直角三角形， ∴， 由图，可知为直角三角形且，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 5．如图，射线在的内部，射线在的外部．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是角的比较与运算，解题关键是结合图形得出角之间的关系． 根据题意得出各角之间的关系后，对选项进行判断即可． 【详解】解：射线在的内部， ， ，， 选项、选项结论正确，不符合题意， 射线在的内部，射线在的外部， ， ， 选项结论正确，不符合题意， 结合题意无法判断出与之间的关系，选项结论错误． 故选：． ◆题型2 三角板中角度计算问题 6．一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 7．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 8．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，；） (1)与相等吗？说说你的理由； (2)若点E在的上方，设，求的度数． 【答案】(1)与相等， 理由如下： 因为， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据角的和与差计算即可； （2）根据角的和与差计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为， 所以， 所以． 9．如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，首先确定这几个角之间的关系，来求出的度数，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．探究与发现 在数学实验课上，学习小组准备研究如下问题：将一副三角板的一个顶点重合在一点，产生重合角和非重合的角，然后研究这些角之间的关系． 【操作发现】 （1）小组成员小明按图1摆放两块三角板，一块含角和另一块含角的顶点重合于点O． ①的度数为______．（用含的代数式表示）； ②小明发现，总是保持不变，这个固定的差值是______． 【问题探究】 （2）小芳受到启发，继续探究：将等腰直角三角板固定不动（），再把另一块三角板的角顶点重合于点O，两块三角板有重合角．这时小芳让这块三角板绕着点O旋转，她发现和仍有一定的固定关系．请你说一下她发现了什么关系呢？并说明理由． 【拓展延伸】 （3）学习小组进一步探究：将等腰直角三角板固定不动，用含的三角板的任意一角的顶点与等腰直角三角板的直角顶点O重合．当满足时，求的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或或 【分析】（1）①根据求解即可； ②先写出的度数，再求即可； （2）先写出的度数，再求即可； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）①由题意得，， ∴； ②由题意得，， ∴； （2）总是保持不变，这个固定的差值是，理由如下： 如图，， ∴； ∴总是保持不变，这个固定的差值是； （3）当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 当含的三角板的角顶点重合于点O时， 如图，， ∵， ∴， 解得； 综上，的度数为或或． 【点睛】注意分类讨论思想的应用． ◆题型3几何图形中角度计算问题 11．如图所示，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的度数，再进行角度求和运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 12．根据图形填空： （1）________+________； （2）________； （3）________； （4）________； （5）________－________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 13．已知平面内， ， 则的度数为_______________ 【答案】 或 【分析】分在内部和外部两种情况，利用角的和差关系计算即可 【详解】解：分两种情况讨论：当在内部时，； 当在外部时，， ∴的度数为或. 14．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某地正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据光能利用率最高时，集热板与太阳光线垂直，可知，根据的度数求出的度数即可． 【详解】解：如下图所示， 光能利用率最高， 集热板与太阳光线垂直， ， ， ， ． 15．已知一条射线，在同一平面内从点再作两条射线和，使，，则的度数是______． 【答案】或 【分析】根据题意分情况画出图形，结合图形计算即可得出答案． 【详解】解：①如图一，当在内部时： ∵，， ∴； ②如图二，当在外部时：： ∵，， ∴； 综上所述：的度数为或． ◆题型4角度的四则运算 16．填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【分析】度分秒运算规则为，加法满进，减法不够减时借当，有括号先算括号内运算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 17．计算下列各题： （1）________，________°__________′； （2）__________________′； （3）__________________′； （4）__________________′． 【答案】 【详解】解：（1），； （2）； （3）； （4）． 18．，，则___________. 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 19．计算：_____________． 【答案】 【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满进一度． 【详解】解： ． 20．______． 【答案】 【详解】解： . ◆题型5实际问题中角度计算问题 21．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【答案】(1)度 (2)如图，在长方形的台球桌面上，，如果，那么等于多少度？ 解：∵， ∴， ∴， 答等于度． 【分析】根据题目所给的求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答等于度． （2）略 22．如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：． 23．如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握平角为．根据平角为，减去和的度数即可． 【详解】解：． 故选：A． 24．时钟显示时间为3点45分，此时时针和分针所成较小夹角是______度． 【答案】157.5 【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算，利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟转动，时针每分钟转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 【详解】解：在3点45分时，时针所在位置与指向12时的角度为， 分针与指向12时的角度为， 两针角度差为， 由于，故较小夹角为． 故答案为：157.5 25．、都是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学计算的结果依次为、、和，其中有正确的结果，那么算得正确的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了角的有关计算的应用，解决本题的关键是得到所求角的取值范围．由钝角范围确定的取值范围，进而得到的范围，只有在此范围内． 【详解】解：∵ α、β均为钝角， ∴， ∴， ∴ 给定结果中仅满足此范围， ∴ 算得正确的是乙， 故选：B． ◆题型6角平分线的有关计算 26．如图，三条射线a，b，c将分成相等的四个角，其中的角平分线是（     ） A． B． C． D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，三条射线将分为4个相等的小角，设每个小角的度数为，则， 按从到的顺序，四个小角依次为、、、， 即可求出． 【详解】设每个小角的度数为，则， 按从到的顺序，四个小角依次为、、、， ∴，， ∴， 根据角平分线的定义，射线是的角平分线． 27．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 28．已知，平分，求的度数． 【答案】或 【分析】首先判断的位置，存在两种情况：在内部，在外部，因为题目未明确的位置，所以需要分情况讨论．针对每种情况，根据角的和差关系计算出的度数．因为平分，所以利用角平分线的定义求出（或者）的度数．再根据角的和差关系，结合已知角的度数计算出的度数． 【详解】分两种情况： ①如图1，， ∵平分， ∴， ∴ ； ②如图2，． ∵平分， ∴ ∴． 综上，的度数为或． 29．如图所示，已知平分，且，是的平分线，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】根据角平分线的性质，得到，再利用角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵是的平分线， ∴． 30．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. ◆题型7角n等分线的有关计算 31．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 32．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是的中点． ①若，则_________； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则_________度； ②若，，求的值； （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，，则的度数为_________．（用含有、的式子表示） 【答案】（1）①；②不变，；（2）①；②；（3）． 【分析】（1）①根据线段间的数量关系推出，再利用线段中点的定义算出，最后根据计算求解，即可解题； ②根据线段间的数量关系推出，再利用线段中点的定义算出，最后根据计算求解，即可解题； （2）①根据角平分线定义得到，进而推出 ，再结合①中条件求解，即可解题； ②由①同理可知， ，推出，再根据求解，即可解题； （3）根据角之间的数量关系得到，进而推出，再结合，求解，即可解题． 【详解】解：（1）① ，，， ， 点C和点D分别是的中点， ， ； 故答案为：． ②不变， ，， ， 点C和点D分别是的中点， ， ； （2）①射线和射线分别平分和， ， 则 ， ，， ， ， 故答案为：； ②由①同理可知， ， ，， ， 解得， ， ． （3） ，， ， ， ，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的和与差，线段中点的定义，角平分线定义，角的和差，解题的关键在于灵活运用相关知识． 33．（多选）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则的大小用含的代数式表示可能是（    ）（请填写所有正确选项的字母） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查角的三等分线定义，角的和差计算，掌握分类讨论思想是解题关键． 根据三等分线的定义，分四种情况讨论射线、的位置关系，利用角的和差计算的表达式，判断可能的结果． 【详解】解：分四种情况计算， 情况：如图，，， ∵， ∴， ∵， ∴； 情况：如图，，， ∵， ∴， ∵， ∴； 情况：如图，，， ∵， ∴， ∵， ∴； 情况：如图，，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上，的大小可能为、、． 故选：． 34．元旦期间，吴兴区某校七年级同学在观看太湖古镇灯光秀表演后，以“灯光里的数学美”为主题展开项目式学习．同学们类比角平分线的定义，给出角的倍分角线的定义，在探究中感受数学之美． 新定义：如果的内部有一条射线将分成两个角，其中是所分角中较小角的倍，那么我们称射线为的倍分角线．如图1，若，则射线为的3倍分角线． 【特例感知】 (1)若， ①射线为的2倍分角线，则________； ②射线为的3倍分角线，则________； 【类比探究】 (2)如图2，点，，在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若射线，分别为和的4倍分角线（，），当时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒，同时射线从射线处绕点顺时针旋转，速度为度/秒．在旋转的过程中，当射线是的倍分角线时（），恰好射线也是的倍分角线（），请直接写出与的数量关系________． 【答案】(1) 或 (2) (3) 【分析】（1）根据定义，计算即可求解； （2）设，则，根据“4倍分角线”，可求出和， 再根据，列出方程，求解即可； （3）设旋转时间为秒，则，，则根据“倍分角线”，可得，，从而，同理可得，进而得到，整理可得． 【详解】（1）解：①射线为的2倍分角线，， ，即； 故答案为：； ②射线为的3倍分角线，， 当，即； 当，即， ， 故答案为：或； （2）解：设， 点，，在同一条直线上， ，即， 射线，分别为和的4倍分角线（，）， ，， 则， ，， ，即，解得， ； （3）由（2）可知，，，，， 设旋转时间为秒，则，， 射线是的倍分角线时（）， ， ， ， 射线也是的倍分角线（）， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查角的运算，角的倍分角线的定义，动角问题，正确掌握角的运算和角的倍分角线的定义是解题的关键． 35．（1）已知平面上有，，，四点，请直接在图中，画出及射线； （2）在（）的条件下，若，平分，平分，求的度数； （3）如图，是内部的一条射线，，分别为，内部的一条射线，且，，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】 （）如图， （）；（）． 【分析】本题考查了角、射线的画法，角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）画出及射线即可； （）作出，，然后通过角平分线定义，角度和差即可求解； （）由，，，，得，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：（）略； （）如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （）∵，，，， ∴，， ∴， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴. 2．如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 【答案】D 【分析】根据角之间的关系分别求出和的度数，即可求出射线和射线的方位角，根据求出的方位角判断正误即可． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， 射线的方向为北偏东， 故A、B选项错误； ， ， ， ， ， ， 射线的方向为南偏西， 故C选项错误，D选项正确． 3．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 4．如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中到灯塔的距离为，海轮在灯塔和海轮的中点处．且，．则下列说法正确的是（    ） ①若海轮的速度为，则海轮抵达灯塔最少需要20分钟； ②； ③； ④在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义、度分秒的换算以及角的和差计算．根据路程、速度、时间的关系判断①；利用角的和差关系及度分秒换算判断②③；根据方向角的定义判断④即可． 【详解】解：海轮到灯塔的距离为，速度为， 抵达灯塔需要的时间为小时分钟， 故①正确； ， 故②错误； 、 ，，在同一直线上， 故③正确； ，正北方向与夹角为， 在灯塔的北偏东的方向上， 故④正确； 综上所述，说法正确的是①③④． 5．已知：在同一平面内，，，且是的角平分线，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，当在的内部时，先求，再用角平分线求，进而得；当在的外部时，同理进行计算即可． 【详解】解：当在的内部时，如图1所示， ，， ， 是的角平分线， ， ； 当在的外部时，如图2所示， ，， ， 是的角平分线， ， ； 综上所述，的度数为或． 6．已知三条不同的射线，，，有下列条件： ①； ②； ③； ④． 其中，能确定平分的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】结合的位置（内部或外部），逐一分析各条件是否符合角平分线的判定要求即可；本题主要考查了角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，熟练掌握角平分线的定义并分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①∵，即将分成两个相等的角，且在内部， ∴能确定平分； ②如图，当在外部时，也可满足， ∴不能确定平分； ③如图，只要在内部，就有，但与不一定相等， ∴不能确定平分； ④如图，当在外部时，符合，但不是的平分线， ∴不能确定平分； 综上，只有①能确定平分； 故选：C． 7．如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，再根据角的和差可得，，结合平角，即可求得． 【详解】解：∵是直角，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 8．在的内部引一条射线，则图中共有三个角，分别是、、．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“好好线”．若，且射线是的“好好线”，则的度数有下列情况：，其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查新定义的理解与角的和差运算，解题的关键是运用分类讨论思想，对给出的各个角度逐一验证，结合新定义判断即可. 【详解】解：由题意，在内部引射线，则 三个角分别为，“好好线”要求其中一个角是另一个角的两倍，分情况讨论： ①当时，， ， 符合“好好线”定义； ②当时，， ， 符合“好好线”定义； ③当时，， ， 符合“好好线”定义； ④当时，， 检验：，， ，不存在两倍关系， 不符合定义． 故答案为：①②③． 9．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线如图，，射线为的“二倍角线”，则 ______ ． 【答案】或或 【分析】因为射线是的“二倍角线”，所以需分情况讨论三个角中存在的二倍关系： ； ；当； 利用角的和差关系与二倍角的定义，通过分类讨论列方程或直接计算得到的可能值． 【详解】解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ； 综上，或或． 10．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 【答案】或或或 【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可． 【详解】解：，， ， 当射线在内部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ②当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 当射线在外部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ② 当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 11．如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 【答案】 /90度 /10度 【分析】分在的外部和内部两种情况，结合题意分析计算即可． 【详解】解：如图：当在的外部且时，最大： ， ， ； 如图：当在的内部且时，最小： ， 三、解答题 12．如图，，，，分别是，的角平分线． (1)若，，当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图），则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时（如图），求的大小并说明理由； (3)在绕点逆时针旋转过程中， ．（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （2）根据角平分线的定义、角的和差关系进行解答即可； （3）根据题意，分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴． 又∵，，即， ∴． （2）解：如图， ∵，平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． ∴． （3）解：如图，，， ∵，，，分别是，的角平分线， ∴易得； 同理，当是钝角且的两边都不在内部时， ； 故答案是：或． 13．如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将直角三角板绕点旋转一周，当直线与直线互相垂直时，求的度数． 【答案】的度数为或 【分析】分在直线的右侧和在直线的左侧两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当在直线的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴； 当在直线的左侧时，如图， ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 14．如图， 平分，平分． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，通过计算说明：． 【答案】(1) (2) ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴． 【分析】（1）先计算，再计算，最后计算； （2）计算即可以说明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：略． 15．综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 【答案】（1）30，105；（2）；（3）或 【分析】（1）根据平角和角平分线的定义，分别求得，即可解答； （2）根据角平分线的定义，分别求得，即可解答； （3）运用分类讨论的思想方法，根据的度数和题中表示的所有角都是小于的角，分别讨论当在的右侧和左侧的情况，根据角平分线的定义和角度的和差运算，即可解答． 【详解】解：（1）∵边和边在同一条直线上，， ∴， ∵分别为的平分线， ∴，， ∴； （2）∵分别为的平分线，， ∴，， ∵， ∴ （3）∵题中表示的所有角都是小于的角， ∴①如图3所示，当在的右侧，且时， ∵，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴； ②如图4所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ③如图5所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ④如图6所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑤如图7所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑥如图8所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； 综上所述，当时，的度数为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $