小练5 函数的单调性与最值-【衡水金卷·先享题】2027年高考数学拿满基础分自主小练

参考答案及解析 11.ABD【解析】令x=y=1,得f(1)=f(1)十f(1), 解得f(1)=0,A正确；令x=y=一1，得f(1)= -f(-1)-f(-1)=-2f(-1)=0,解得 f(-1)=0,B正确：任取1≤<x,则f)- f()=f(x) f(）十导f() -( ,因为1≤1<x2,所以2>1，又f(x)的 x 正负未知，所以f(凭)的正负未知，即( f)的正负未知，所以C2在[1，十o∞)上的单 调性未知，所以C》的最大值不确定，C错误：令 y=-1,得f(-x)=xf(-1)-f(x)=-f(x), 所以f(x)是奇函数，即f(x)的图象关于原点对 称，D正确.故选ABD. 12.[0,8)【解析】函数f(x)= x-1 的 √2mx2-m.x十1 定义域为R,则2m.x2-m.x十1>0恒成立，当m<0 时显然不成立；当m=0时，1>0恒成立；当m>0 时，△=m-8<0,解得0<m<8.综上所述，实数 m的取值范围是[0,8). 18.(1,] [-5,十o∞) (2)(1,3][-6,十o∞) 【解析】(1)因为f(x)的定义域为(1,2]，所以 g(x)=f(2x-1)中，有1<2x-1≤2，解得1<x≤ 所以g)的定义城为(1，号]，令1=2x-1,可 3 知t∈(1,2]，因为f(t)的值域为[-5，十∞)，所以 f(2x-1)即g(x)的值域为[-5，十∞). (2)因为g(x)=f(2x-1)十1的定义域为(1,2]， 所以1x2,所以12x一13，所以f(x)的定义 域为(1,3].因为g(x)的值域为[-5，十∞)，所以 f(2x一1)的值域为[一6，十o∞)，所以f(x)的值域为 [-6,十o∞). 14.-4【解析】由于f(x)的值域为[0，m](m>0),所 以a<0,由于f(x)的定义域为[0，m](m>0),则方 程a.x2十bx十c=0的两根为0，m,所以c=0,am十b =0→b=一am,则抛物线y=ax2十b.x十c的对称轴 为x=-品=受→f(受）=m√作 acb= 2a Aa /4aX0-(-am)2 =m→二am2 4 =m2→a=-4. 数学 15.解：(1)如图所示， .--y=x) 3 -543-2-2克45末 y-1 2 (5分) (2)函数h(x)的图象如图所示： -5-4-3-2-2345 1 3 (9分) 「-x2十2x十1，x0, 解析式为h(x)=|x-1|,0≤x≤2， (13分) -x2+2x十1，x>2, 由图象可知，函数h(x)的单调递增区间为 (-∞，0)，[1,2]，单调递减区间为[0,1)，(2， 十∞)，函数h(x)的值域为(-∞，1]. (15分) 小练5函数的单调性与最值 1.C 【解析】因为函数f(x)=x十名在区间(1,4)上 存在最小值，所以函数f(x)在区间(1,4)上先减再 增，故a>0,由对勾函数单调性知，f(x)在 (1,√a)上单调递减，在（√a,4)上单调递增，则1< √a<4,所以1<a<16,故必要性成立；若1<a<16, 则1<√a<4,根据对勾函数单调性知，f(x)在 (1,wa)上单调递减，在（√a,4)上单调递增，所以 f(x)在x=√a时取得最小值，故充分性成立，所以 “1<a<16”是“函数f(x)在区间(1,4)上存在最小 值”的充要条件.故选C 2.C【解析】因为函数y=x2-5x十6的对称轴为直线 x=号，由x2-5x十6=0，可得x=2或x=3,作出函 数f(x)=|x2-5x十6|的图象如图所示： 数学 253 由图可知，函数f(x)的单调递增区间为(2，号)和 (3,十∞).故选C 方法技巧 确定函数单调性的三种方法 :(1)定义法.利用定义判断. :(2)导数法，适用于初等函数、复合函数等可以求导的 函数。 (3)图象法.由图象确定函数的单调区间需注意两点： 一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象 不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不 能用“U”连接 3.B【解析】h(t)=-5r+15t+20=-5(t号)十 15,则h()=h(号)=15≈1.故选B 4 4.C【解析】，f(1十x)=f(1-x),∴.f(x)的图象关 于直线x=1对称，∴.f(0)=f(2)<f(-2).故 选C. 5.B【解析】因为g(x)在区间(0，十∞)上单调递减， 所以一g(x)在区间(0，十o∞)上单调递增，所以f(x) 一g(x)在区间(0，十o∞)上一定单调递增.故选B. 6.D【解析】令t=x十1(x>0),所以x=t-1(t>1), 所以f(x)=亡+36(x>0)转化为y= x十1 (t-1)2+3(-1)+6(t>1),即y=1+ 4十1 (>1),又函数=1十4十1在(1,2)上单调递减， 在(2，十∞)上单调递增，所以当t=2时，y取得最小 值为5，即当x=1时，f(x)取得最小值，最小值为5. 故选D. 方法技巧求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求 最值， :(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点，最低 点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二 定三相等”的条件后用基本不等式求出最值， (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最 后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉 的函数，再用相应的方法求最值，： 参考答案及解析 x2十ax十5，x≤1 7.A【解析】由于函数∫(x)= r,t>1 是 定义在R上的减函数，所以函数y=x2十a.x十5在区 间(-∞，1]上为减函数，函数y=一只在区间 (1,十o0)上为减函数，且有-g≤x2十ar十5，即 x 号21 a0, 解得-3≤a≤-2.因此实数a的取 -a≤1十a十5， 值范围是[-3，一2].故选A x十4 8,A【解析】fx)=十8x十25a=1 x十4+9 十4 Q,令1=x十4∈(0，十o),m)=t计号，由对勾函数 的性质得m(t)在(0,3)上单调递减，在(3，十∞)上 单调递增，所以m0≥6，所以f(x)e(aa十日]， 4 易知g(x)=一x千6在(-4，十∞)上单调递增，则 g(x)∈(-2,0)，因为对x1∈(-4，十∞)，3x2, x∈(-4，十o),使得g(x2)<f(x1)<g(x),所 a≥-2， 以a+言<0.解得-2a<一合故选A 以〈 9.AC【解析】由题可知-x2十2x十3≥0，解得一1≤x ≤3，故函数f(x)的定义域为[-1,3]，故B错误： 函数f(x)=√一x'十2x+3由f(u)=√a与u= -x2十2x十3=-(x-1)2十4复合而成，当x∈ [-1,1]时，w=-x2十2x十3单调递增：当x∈ (1,3]时，u=-x2+2x+3单调递减，又f(u)=√a 在[0，十∞)上单调递增，所以f(x)= √一x+2x+3在[-1,1]上单调递增，在(1,3]上 单调递减，故f(x)mx=f(1)=2,又f(-1)= f(3)=0,所以f(x)m=0,故AC正确，D错误.故 选AC. 10.ACD【解析】对于A,因为x2+1>0,可知f(x)的 (-x)2 定义域为R,又因为∫(-x)=广x)+=+ =f(x),所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称， x 1 故A正确：对于B,因为f(x)==1一干： 且y=x2十1在(0，十∞)上单调递增，所以f(x)在 (0,十∞)上单调递增，故B错误；对于C,当a≠0 时o)+(白)-折 di-di o? 参考答案及解析 a十=1，故C正确：对于D,因为x十1≥1，则0< 有长1.即-1长<0，可得0≤1- <1,所以∫(x)的值域是[0,1)，故D正确.故 选ACD. 1,AB【解析】对于A,由f()=yf(x) xf(y),取x=y=1,得f1)=f(1)-f(1)=0,故 A正确：对于B,由f(号)=yf(x)-xf(y),取 x=1,因为f(1)=0,所以f()=-f(),即 f()=-fx),当0<x<1时，是>1，则 f(）>0,故-fx)>0,即f(x)<0,故B正确： 对于C,由f(号)=yf(x)-xf(y),取x=,可 得∫(y)=yf(y)一y∫(y),整理得∫(y) (y+子)，当>0时y+≥2，当且仅当y 1时取等号，但∫(y)的符号不能确定，故不一定有 f(y)≥2f(y),即f(x)≥2f(x)不一定成立，故C 错误：对于D,任取1>x>1,则>1，依题意 f(2)）>0,且f()=x∫()-f(x),则 f(x)-xf(x)>0,即f)>》,即 g(x)=C四在1，十o)上单调递增，所以对于 f(x)=xg(x),任取x1>x2>1,因为g(x1)>g(x2) >0,所以x1g(x1)>x2g(x2),即f(x)>f(x2),即 函数f(x)在(1，十o)上单调递增，故D错误.故选 AB. 12.3(a∈(2,8)内的任意一个数均可)【解析】函数 f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)，由对勾函 ·10 数学 数的性质可得函数f()在(-©，-√受)和 (√受+∞)上单调递增，在(-√受，0)和 (0√号）上单调递减，因为fx)在[1,2]上不单 调，所以1<√ &<2,解得2<a<8,所以实数a的 一个可能的值为3. 13.1【解析】由题图可知不等式-2<f(x十t)<4, 即为f(3)<f(x十t)<f(0),由图知函数f(x)单 调递减，所以x十t∈(0,3)，即不等式的解集为 (-t,3-t),又因为不等式-2<f(x十t)<4的解 集为(-1,2)，所以-t=-1且3-t=2,可得t=1. 14.(-∞，一2)U(2,十∞)【解析】令x=1,y=0,则 f(1)=f1)f(0),又f(1)>0,故f(0)=1,对于任 意的>x2,f(x)=f(x)f(一2)，又1一x> 0,.0<f(m-x)<1,.f()=f(x)f(x-) <∫()，故函数f(x)单调递减，.不等式 f(x2-4)<1等价于f(x2-4)<f(0),即x2-4 >0,解得x<-2或x>2. 15.解：(1)由数据知，点(60,600)，(62,580)，…在一条 直线上， 1600=60k十b, 设函数为y=kx十b则 3分) 580=62k+b, 解得k=-10,b=1200, 故解析式为y=-10x+1200. (5分) (2)由已知条件可得之=x(-10.x十1200)- 40(-10x+1200)=-10x2+1600x-48000(x> 40). (10分) (3)由(2)可得，之=-10x2十1600x-48000= -10(x-80)2十16000， x>40, .当x=80时，能获得最大利润，最大利润为 16000元. (15分) 。拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练5函数的单调性与最值 (建议用时：30分钟满分：88分) 考情分析主要考查：函数单调性的判断，由函数的单调性求参数的取值范围，利用函数的单调性比较大小、解不等式、 求最值，由函数的最值求参数的取值范围. 题型：选择题+填空题+解答题， 难度：易、中、难题均有。 考频（★★★★★） 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 5.(2025贵州模拟)已知函数f(x)在区间(0， 1.(教材改编题)已知函数f(x)=2+,则 十∞)上单调递增，g(x)在区间(0，十∞)上单 调递减，则下列函数在区间(0，十∞)上一定单 “1<a<16”是“函数f(x)在区间(1,4)上 调递增的是 存在最小值”的 A.f(x)十g(x) B.f(x)-g(x) A.充分不必要条件 C.f(x)·g(x) D.f(x)+[g(x)] B.必要不充分条件 C.充要条件 6.(教材改编题)已知函数f()=+3十6 x+1 D.既不充分也不必要条件 (x>0),则f(x)的最小值是 2.(教材改编题)已知函数f(x)=|x2一5x十 A.2 B.3 C.4 D.5 6,则函数f(x)的单调递增区间是 7.(教材改编题)若函数f(x) A.（-∞，2 x2+ax+5,x≤1， 是R上的减函数，则实 (停+四) x>1 数a的取值范围是 C.(2,)和3，+∞) A.[-3,-2] B.[-3,0] C.(-o∞，-2] D.(-o∞，0) D.(-2)和(33列 8.(2025南通联考)已知函数f(x)= 3.(教材改编题)我国的烟花名目繁多，其中 x十4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 x2+8.x+25 +a,g(x)= x十6，若对H 4 一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果 ∈(-4，+∞)，3x2,x3∈（-4，+∞)，使 烟花距地面的高度h(单位：m)与时间t(单 得g(x2)<f(x1)<g(x3),则实数a的取 位：s)之间的关系为h(t)=-5+15t+ 值范围是 20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距 A[-2-】 地面高度约为 A.33m B(-2,】 B.31m C.28m c(g+∞） D.26m 4.(2026云南月考)已知函数f(x)=x2十bx [-g+ 十c,且f(1十x)=f(1一x),则下列不等式 9.（多选，教材改编题)下列关于函数f(x) 中成立的是 √一x2+2x+3的结论正确的是 A.f(-2)<f(0)<f(2) A.单调递增区间是[一1,1] B.f(0)<f(-2)=f(2) B.单调递减区间是[1，十∞) C.f(0)=f(2)<f(-2) C.最大值为2 D.f(2)<f(0)<f(-2) D.没有最小值 10.（多选，2025海南联考)已知函数f(x)=15.(15分，教材改编题)某体育用品商场经营 +,下列结论正确的是 一批进价为40元/件的运动服，在市场试 销中发现，该运动服的销售单价x(单位： A.f(x)的图象关于y轴对称 元)与销售量y(单位：件)之间有如下表所 B.f(x)在(0，十∞)上单调递减 示的关系 C.当a≠0时，f(a)+f(日)=1 60 62 64 66 68 D.f(x)的值域是[0,1) 600 580 560 540 520 11.(多选，2025甘肃检测)定义在(0，十∞)上 根据表中数据，解答下列问题， 的函数f(x)满足下列条件：①f(华) (1)建立一个恰当的函数模型，使它能较 好地反映y与x之间的函数关系，并写出 yf(x)-xf(y);②当x>1时，f(x)> 这个函数模型的解析式； 0,则 (2)试求销售利润（单位：元）与x之间的 A.f(1)=0 函数关系式（销售利润=总销售收入一总 B.当0<x<1时，f(x)<0 进价成本)； C.f(x2)≥2f(x) (3)在(2)的条件下，当x为多少时，能获 D.f(x)在(1，十o∞)上单调递减 得最大利润？并求出此最大利润. 12.(5分，2025湛江调研)设函数f(x)=2x +a+b,其中a>0,b∈R.若f(x)在[1， 2]上不单调，则实数a的一个可能的 值为 13.(5分，教材改编题)已知函数f(x)在R上 单调且其部分图象如图所示，若不等式 一2<f(x十t)<4的解集为（一1,2），则实 数t的值为 -2 14.(5分，2026长沙月考)已知定义在R上的 函数f(x),对任意实数x,y满足： f(x十y)=f(x)f(y),若x∈(0，+∞)时，0< f(x)<1恒成立，则满足不等式f(x2一4)< 1的实数x的取值范围是 10