小练4 函数的概念及其表示-【衡水金卷·先享题】2027年高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练4函数的概念及其表示 (建议用时：30分钟满分：93分) 考情分析主要考查：求函数的定义域、值域，求函数的解析式以及由函数的定义域或值域求参数的取值范围等 题型：选择题+填空题+解答题， 难度：中等. 考频（★★★） 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 5.(2026山东月考)函数y=2x+√1-3x的 1.(教材改编题)函数f(x)=√3x2十x一—2 值域是 的定义域为 A】 A>号且x≠2 [+) <号且心2 c.+) c≤2 D.( n.女≥号且x≠2 6.(2026广东质检)若函数f(x)的定义域为 262025湖北联考)已知f2)=兰.则 (0,+o∞)，且满足2f(u)-f()=2x+1, 则f(x)的最小值为 f(x)= A.2x-3(x≠0)》 B.2x-3(x≠2) A.1+4② 3 B.1+2② 3 C.2x+3(x≠0) D.2x+3(x≠2) 3.(教材改编题)函数f(x)=x十工的大致 C.1+ 3 29 7.(教材改编题)如图，△OAB是边长为2的 图象是 正三角形，记△OAB位于直线x=t (0<t≤2)左侧的图形的面积为f(t),则函数 y=f(t)的图象大致为 4.(教材改编题)已知函数f(2x一1)的定义域 为（一1,2），则f(1一x)的定义域为 A() B(1,） C.(-2,4) D.(-2,1) 8(226浙江检测》若函数)=产+ 13.(10分，2025长沙段考)(1)已知函数f(x) 的定义域为(1,2]，值域为[一5，十∞)，设 的图象与直线y=a有两个交点，则a的最 g(x)=f(2x一1)，则g(x)的定义域为 小值为 ,值域为 A.2 B.3 C.4 D.5 (2)已知函数g(x)=f(2x-1)+1的定义域 9.(多选，教材改编题)下列函数f(x)与g(x) 为(1,2]，值域为[-5，+∞)，则函数f(x)的 表示同一个函数的是 定义域为 ,值域为 A.f(z)=z-1,g(x)= -1 14.(5分，2025河北联考)已知函数f(x)= √a.x2十bx+c(a≠0)的定义域与值域都为 B.f(x)=x2,g(x)=(x)4 [0,m](m>0),则实数a的值为 C.f(x)=x2,g(x)= 15.(15分，教材改编题)已知函数f(x)= D.f(x)=x,g(x)=Vz x-1,g(x)=-x2+2x+1,x∈R 10.（多选，教材改编题)如图所示，一座小岛 (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x), 距离海岸线上最近的点P的距离是2km, g(x)的图象； 从点P沿海岸正东12km处有一个城镇. 假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3km/h,步行的速度为5km/h,t(单位：h) 表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km) 12月 表示此人将船停在海岸处距点P的距离. 设u=Wx2十4十x,v=Wx2十4一x,则 城镇 2-x (2)记h(x)= f(x),f()≤g(x)'请分 -12km g(x),f(x)>g(x), 2km 别用图象法和解析法表示函数h(x),并写 出h(x)的单调区间和值域（不需要证明）. 小岛 4 A.U=- B.15t-u-4v=32 C.当x=1.5时，此人从小岛到城镇花费 的时间最少 D.当x=4时，此人从小岛到城镇花费的 时间不超过3h 11.（多选，2025湖南模拟)已知函数f(x)的 定义域为R,且f(xy)=xf(y)+yf(x),则 A.f(1)=0 B.f(-1)=0 C.f在[1，+∞)上的最大值为0 D.f(x)的图象关于原点对称 12.(5分，2026黑龙江月考)若函数f(x) x-1 的定义域为R,则实数m √2m.x2-m.x+1 取值范围是参考答案及解析 即2<6 1≤3，于是2a-2<b≤3a-3,又b<1+a, 因此2a一2<1十a,解得a<3,即实数a的取值范围 是(1,3).故选C 9.ACD【解析】由题可得集合A=(-2,3),且A∩B =(-2,2],所以方程x2十bx十c=0的两根x1,x2 满足x1一2，x2=2.由韦达定理可知，一b=x1十x2 =2十x12十（一2)=0，即b0,选项A正确，选项 B错误；c=x1x2=2x1≤2X(-2)=一4，选项C正 确；从而2十2b十c=0,即2b十c=一4，选项D正确. 故选ACD. 10.AD【解析】因为a.x2十2.x十b≥0对一切实数x恒 1a>0, 成立，所以 。又因为一元二次方程ax2十 4-4ab≤0 2x十b=0有实数根，所以4一4ab≥0，所以4一4ab= 0,故a>b>0,即a-b>0,且ab=1,所以a-白 a2+b2 1 1 1 a2十b (a-b)2+2ab a-b a-b (a-b)+2ab a-b 1 1 (a-b)+22/2 当且仅当a-b=2时 a-b 等号成立.故选AD 11.BD【解析】对于A,当a=0时，不等式为x-2<0, 解得x<2,所以不等式的解集为{x|x<2},故A错 误；对于B,当a>0时，4=1十8a>0,方程a.x2十x一2= 0的两个不等实根分别为1=二1二西， 2a 一1十于8a,且<x,所以不等式的解集为 2a {1-面<<1+返，故B正 2a 2a 确：对于C,当-合<a<0时，4=1十8a>0,方程 ax2十x一2=0的两个不等实根分别为x1= -1-W1+8 ,x=二1++8 2a 2a ,且x1>x2,所 以不等式的解集为〈x x<1+于8a或 x>-1-√+8a 2a ,故C错误；对于D,当a<-8 时，△=1十8a<0,所以不等式的解集为R,故D正 确.故选BD, 12.(2,3)【解析】由题设1一x二4x十5-2-4x+币 x一1 x2-5.x十6 <0,而x2-4x+5=(x-2)2+1>0,所以x2-5x+ 6=(x-2)(x-3)<0,则2<x<3,即解集为(2,3). 13.(-oo,1]U[2,十o∞)【解析】Hx∈[-1,4]，3a 数学 ∈R,满足不等式x2-2x十3≥a2-2am十3m,故只 需(x2-2x十3)mim≥(a2-2am十3m)mim,其中y= x2-2x十3=(x-1)2+2≥2，当且仅当x=1时，等 号成立，关于a的函数y=a2一2ma十3m= (a-m)2十3m-m≥3m-m2,当且仅当a=m时， 等号成立，所以2≥3m一m2,解得m≥2或m≤1. 14.号【解析】由题意得△ADP≌△CBP,因为AD=x, DP=y,所以PC=PA=√十y,因为矩形ABCD 的周长为12十62，所以AD+DP+PC=x十y+ √+y=6十3√2，整理得xy=(27+18√2) (6+32)√x+y≤(27+18√2)-(6+6√2)· √xy,当且仅当x=y时等号成立，所以（√）2十 (6+6W2)√xy-(27+182)≤0，又√xy>0,所以 0KV≤3，则0<r9.所以Sam=学<号， 所以△ADP面积的最大值为号，此时x=y=3. 15.解：(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元， 根据题意有y= 100+10x+0-100+0+10 x ≥2√0·+10=0， (4分) 当仅当100-音：即=10时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形 机器人的成本最低，最低为30万元. (6分) (2)设月利润为W万元， 则有w=x(23+若）-1000-10.x 10i0+13x -1000, 由题知50十13.x-1000≥400， (10分) 整理得x2+130x-14000≥0，解得x≥70.(12分) 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能 确保每月的利润不低于400万元. (13分) 小练4函数的概念及其表示 1D【阳折】由怎室得②0银得≥号且子 x-2≠0， 2,即函数f(x)的定文域为≥号且≠2小故 选D. 2B【解折】依题意，() =4x+2-3x=2· 2+1-3,显然2+=2十1≠2，所以f(x)=2x 3(x≠2).故选B. 数学 3.C【解析】f(r)=x十以=十1x>0∵结合图 x-1,x0, 形可知C适合题意.故选C 4.C【解析】f(2x-1)的定义域为(-1,2)，即-1< x<2,所以-3<2x-1<3,所以f(x)的定义域为 (-3,3),则对于f(1一x),有-3<1-x<3,解得 一2x4,所以f(1一x)的定义域为（一2,4）.故 选C 方法技巧常见的三种抽象函数、复合函数定义域的 求法 (1)已知f(x)的定义域为A,求f(o(x)的定义域，其 实质是已知(x)的取值范围为A,求x的取值 范围 (2)已知f(g(x)的定义域为B,求f(x)的定义域，其 实质是已知f(g(x)中的x的取值范围为B,求 g()的取值范围（值域），此取值范围就是f(x)的 定义域。 (3)已知f(g(x)的定义域，求f(h(x)的定义域，先 求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(h(x) 的定义域 5.D【解析】设=一，≥0，则x=1兰，所以 y2+-号+计号=-号（是）十 3 票，所以当1=子时y取得最大值为贺即函数的值 域为(-©，贺]故选D 6.A【解析】由2f(x)- f(）=2x+1,得2f() -)=是+1，联立消去(），得K)=号(2x+ ）+1,而x>0,则f)=号(2x+）+1>号。 2√2x·+1-4号+1，当且仅当2x=即x 3 号时取等号，所以当一号时，x)取得最小值1十 故选A. 7.A【解析】依题意，当0<t≤1时，可得阴影部分的 直角三角形的两条直角边分别为t,√t,所以f(t)= 之·：号：当1<长2时，阴影部分可以看作 大三角形减去一个小三角形，所以f(t)=√3 B(2-)=-5t+2Bt-,所以f(t)= 2 2 参考答案及解析 2 -(0<t≤1)， 从而可知A的图象 -9+251-51<r2 满足题意.故选A. 8B【解析】由fx)=+1十与一1，令=父+1 ≥1，则)=g)=计兰-1由于y=计兰在[1 2)上单调递减且值域为(4,5]，在(2，十∞)上单调递 增且值域为(4，十∞)，所以g(t)在[1,2)上的值域为 (3,4],在(2，十∞)上的值域为(3，+∞)，则a∈(3， 4幻时，t有2个不同的对应值，此时x有3或4个不同 值，a∈{3U(4,十o∞)时，t有1个对应值，此时x有 2个不同值，故a的最小值为3.故选B. 9.CD【解析】对于A,f(x)=x-1的定义域是R, g(x)=-1的定义域是{xx≠0}，故f(x)=x x 1,g()=二-1不是同一个函数，故A错误：对于B, f(x)=x的定义域是R,g(x)=(√F)的定义域是 {xx≥0}，故f(x)=x,g(x)=(√F)1不是同一个 函数，故B错误；对于C,f(x)=x2的定义域是R, g(x)=/F的定义域是R,且g(x)==x2= f(x),故f(x)=x2,g(x)=/是同一个函数，故C 正确；对于D,f(x)=x的定义域是R,g(x)= 的定义域是R,且g(x)=x=f(x),故f(x)=x, g(x)=是同一个函数，故D正确.故选CD. 10.AC【解析】对于A,由题意uw=（√x2十4十x)· (√十4-x)=4,U=生，A正确：对于B,:u= √+4十x,v=√F+4-x,√+4=“， 2 =“∴=+与=哈+号 2 3 5 6 0,整理得151=u十4知十36，即151一4-40=36， B错误：对于C,由A项和B项，得151=u十15+36 ≥2V,亚+36=4，当且仅当4=总.即u=4时 取等号，由VF干十=4，解得x=号=15，C正 确对于D,当=4时425十号则一3=2写 3 =105-21=500-4T>0,t>3,D错 一 15 15 误.故选AC. 参考答案及解析 11.ABD【解析】令x=y=1,得f(1)=f(1)十f(1), 解得f(1)=0,A正确；令x=y=一1，得f(1)= -f(-1)-f(-1)=-2f(-1)=0,解得 f(-1)=0,B正确：任取1≤<x,则f)- f()=f(x) f(）十导f() -( ,因为1≤1<x2,所以2>1，又f(x)的 x 正负未知，所以f(凭)的正负未知，即( f)的正负未知，所以C2在[1，十o∞)上的单 调性未知，所以C》的最大值不确定，C错误：令 y=-1,得f(-x)=xf(-1)-f(x)=-f(x), 所以f(x)是奇函数，即f(x)的图象关于原点对 称，D正确.故选ABD. 12.[0,8)【解析】函数f(x)= x-1 的 √2mx2-m.x十1 定义域为R,则2m.x2-m.x十1>0恒成立，当m<0 时显然不成立；当m=0时，1>0恒成立；当m>0 时，△=m-8<0,解得0<m<8.综上所述，实数 m的取值范围是[0,8). 18.(1,] [-5,十o∞) (2)(1,3][-6,十o∞) 【解析】(1)因为f(x)的定义域为(1,2]，所以 g(x)=f(2x-1)中，有1<2x-1≤2，解得1<x≤ 所以g)的定义城为(1，号]，令1=2x-1,可 3 知t∈(1,2]，因为f(t)的值域为[-5，十∞)，所以 f(2x-1)即g(x)的值域为[-5，十∞). (2)因为g(x)=f(2x-1)十1的定义域为(1,2]， 所以1x2,所以12x一13，所以f(x)的定义 域为(1,3].因为g(x)的值域为[-5，十∞)，所以 f(2x一1)的值域为[一6，十o∞)，所以f(x)的值域为 [-6,十o∞). 14.-4【解析】由于f(x)的值域为[0，m](m>0),所 以a<0,由于f(x)的定义域为[0，m](m>0),则方 程a.x2十bx十c=0的两根为0，m,所以c=0,am十b =0→b=一am,则抛物线y=ax2十b.x十c的对称轴 为x=-品=受→f(受）=m√作 acb= 2a Aa /4aX0-(-am)2 =m→二am2 4 =m2→a=-4. 数学 15.解：(1)如图所示， .--y=x) 3 -543-2-2克45末 y-1 2 (5分) (2)函数h(x)的图象如图所示： -5-4-3-2-2345 1 3 (9分) 「-x2十2x十1，x0, 解析式为h(x)=|x-1|,0≤x≤2， (13分) -x2+2x十1，x>2, 由图象可知，函数h(x)的单调递增区间为 (-∞，0)，[1,2]，单调递减区间为[0,1)，(2， 十∞)，函数h(x)的值域为(-∞，1]. (15分) 小练5函数的单调性与最值 1.C 【解析】因为函数f(x)=x十名在区间(1,4)上 存在最小值，所以函数f(x)在区间(1,4)上先减再 增，故a>0,由对勾函数单调性知，f(x)在 (1,√a)上单调递减，在（√a,4)上单调递增，则1< √a<4,所以1<a<16,故必要性成立；若1<a<16, 则1<√a<4,根据对勾函数单调性知，f(x)在 (1,wa)上单调递减，在（√a,4)上单调递增，所以 f(x)在x=√a时取得最小值，故充分性成立，所以 “1<a<16”是“函数f(x)在区间(1,4)上存在最小 值”的充要条件.故选C 2.C【解析】因为函数y=x2-5x十6的对称轴为直线 x=号，由x2-5x十6=0，可得x=2或x=3,作出函 数f(x)=|x2-5x十6|的图象如图所示：