小练3 一元二次方程、不等式-【衡水金卷·先享题】2027年高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练3一元二次方程、不等式 (建议用时：30分钟满分：86分) 考情分析主要考查：一元二次方程的实根分布、解一元二次不等式、一元二次不等式有解或恒成立问题，常以小题形式 出现，其中解含参的一元二次不等式也在大题中以其中的关键步骤形式出现. 题型：选择题、填空题为主 难度：以容易、中档题为主 考频（★★★） 选择题（单选每题5分，多选每题6分） 6.(2026湖北期末)若关于x的不等式x2十 1.(教材改编题)已知集合A={x|x2一2x一8 x+3a<2至少有一个正数解，则实数a <0},B={x∈Zx-1≥1}，则A∩B= 的取值范围是 A.{0,2,3} B.{1,2,3} A号》 C.{2,3} D.{-1,0,2,3} 2.(2026河北月考)若存在实数x使得kx2 c(-别 D.(号 32 2x十1<0成立，则实数k的取值范围是 7.(2025枣庄模拟)已知a,b,c∈R且a≠0， A.(-0∞，1) 则“不等式a.x2十bx十c>0的解集为 B.(-∞，0] {x|x≠1}”是“a十b+c=0”的 C.(0,1) A.充分不必要条件 D.[0,1) B.必要不充分条件 3.(2025江苏月考)已知关于x的方程x2 C.充要条件 2x十m一1=0的两实根同号，则实数m的 D.既不充分也不必要条件 取值范围为 8.(2025江西赣州质检)设0<b<a十1，若关 A.(1,2] 于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的 B.(-0∞，2] 整数解恰有3个，则实数a的取值范围是 C.[2,十∞) A.(-1,0) B.(0,1) D.(1,十∞) C.(1,3) D.(3,5) 4.（教材改编题)若关于x的方程x2十x 9.（多选，2025华大质检)设集合A={x|x2 12m=0的两个不相等的实数根x1,x2满足 x-6<0},B={xx2+bx+c≤0}，若A∩ x1一x2<7,则实数m的取值范围是 B=(-2,2],则 A.(-49,1) A.b≥0 B.b<0 B.(-48,0) C.c≤-4 D.2b+c=-4 C.(-49,-48)U(0,1) 10.(多选，2025山西太原质检)已知a>b,若 D.(-∞，-48)U(0,+∞) ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立，且 5.(教材改编题)已知关于x的不等式ax2+ 一元二次方程a.x2+2x十b=0有实数 bx十c>0的解集为{x1<x<2}),则关于x 根，则 的不等式bx2+a.x十c>0的解集为 A.a>0 A.0 B.a<0 B.R C.a-b-2 C.<号或>1 a2+b6 D.4-b-/2 D.女-<<1 a2+b≤4 11.（多选，教材改编题)已知关于x的不等式15.(13分，2025江西上饶质检)数字经济是 ax2十x-2<0,则 以数据资源为关键要素，以现代信息网络 A.当a=0时，该不等式的解集 为主要载体，通过信息通信技术的融合应 为{xx>2} 用推动全要素数字化转型的新经济形态， B.当a>0时，该不等式的解集为 在技术层面，包括大数据、云计算、物联 1年8a<<-1+1+8a 网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技 2a 2a 术；在应用层面，包括“新零售”、“新制 C.当-日<a<0时，该不等式的解集为 造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现 有一人工智能企业生产制造人形机器人， {K1年西或1+ 0 每月的成本t(单位：万元)由两部分构成： 2a ①固定成本：1000万元；②材料成本： D.当a<- 专时，该不等式的解集为R （10x+后)万元，x为每月生产人形机器 12.(5分，教材改编题)不等式，一1 x2-4x+5>1 人的个数， 的解集为 （1)该企业每月的产量为多少时，平均每 13.(5分，2026河北月考)已知Vx∈[-1,4]， 个人形机器人的成本最低，最低为多少 3a∈R,满足不等式x2-2x+3≥>a2-2am 万元？ 十3m,则实数m的取值范围是 (2)若每个人形机器人的售价为 14.(5分，教材改编题)已知矩形ABCD(AB 23+)万元，假设生产出来的每个人形 >BC)的周长为12+6√2，如图，将矩形 机器人都能够售出，则该企业应如何制订 ABCD沿对角线AC对折后，点B记作点 生产计划，才能确保每月的利润不低于 B',AB交DC于点P,设AD=x,DP=y, 400万元（附：利润=售价×销量一成本）？ 则△ADP面积的最大值为参考答案及解析 (x-2)(y-1)=8,由x(y-1)=2y十6，x>0, 2>0得y-1>0,放x-2>0,令6=y-1>0, a=x-2>0, 则 a>0,b>0,ab=8,所以{ =a+2则2x+y=2a+b y=b+1, 十5≥2√2ab+5=13,当且仅当a=2,b=4,即x= 4,y=5时取等号，即2x十y的最小值为13，故C正 确：对于D.由选项C得2十y=日 4 16 石2≥8石-是子当且仅当8-4 4 b=2,即x=6,y=3时取等号，即1 4 2(y+1)的 最小值为号，故D正确.故选BCD, 12.②③→⑤（或③④→⑤或②④→⑤，写出一个即可） 【解析】由②③→回，因为>0a<0,所以<古 由③④→⑤，因为a<0,a>b,所以ba<0,则1 方6<0，所以日<六由@0→⑤，因为6> b ab 0,a>h,所以a>b>0,所以1-1=二4<0，所以 a b ab }<古故答案为②③→⑤或@①>⑤或®@ →⑤. 13.20200【解析】设矩形的长为xm,则0x22, 菜园的面积为x·0,≤名×(x十40-)= 2 200,当且仅当x=40-x,即x=20时等号成立，所 以当这个矩形的长为20m时，菜园的面积最大，最 大面积为200m2. 14.[4,十o∞)【解析】由于x,y,a>0,故x十y+a x ry √哥=+≥2V=4,当 ≥x+2√y 且仅当y=且x=红，即x=2瓜y=号时，等号 x Iy 成立，故4√a≥8，即a≥4，则a的取值范围 是[4，十∞). 15.解：(1)依题意，当购进产品数量为10万件时，利润 是(80-30)×10-300=200万元. (2分) (2)当0<x≤15时，W(x)=(80-30)x-300= 数学 50x-300; (4分) 当15<x≤30时，不妨设降价t元，则15十0.5t=x, 得到t=2x-30, 所以W(x)=[80-(2x-30)]x-30x-300 =-2x2十80.x-300: (6分) 当x>30时，W(x)=-x 6+100, 2500 50x-300,0x15, 所以W(x) 2x2+80x-300,15<x≤30， -0+100,x>30. 2500 x (8分) (3)由(2)知，当0<x≤15时，W(x)=50x-300,函 数单调递增， 当x=15时，利润最大，此时利润是450万元；(10分) 当15<x≤30时，W(x)=-2x2+80x-300 =-2(x-20)2+500, 当x=20时，利润最大，此时利润是500万元；(12分) 当x>30时，W(x)=-x 20+10 =- (x+10)+25007 x+10J +1010 2500 ≤-2√(x+10)·10 +1010=910, 当且仅当x十10-9即=40时，利润最大，此 时利润是910万元. 因为910>500>450， 所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时 利润是910万元. (15分) 小练3一元二次方程、不等式 1,D【解析】由题得，集合A={x(x十2)(x-4)< 0}={x|-2<x<4},B={x∈Zx≥2，或x≤0}， 所以A∩B={-1,0,2,3}.故选D. 2.A【解析】当k=0时，此时当>时，即满足k 2x十1<0，故k=0符合题意；当k<0时，此时y= kx2-2x十1为开口向下的二次函数，一定存在实数x 使得kx2-2x十1<0成立，故k<0符合题意；当k>0 时，此时y=kx2一2x十1为开口向上的二次函数，要 使存在实数x使得kx2-2x十1<0成立，则△=4- 4k>0,解得0k1.综上可得k<1.故选A. 数学 方法技巧一元二次不等式恒成立或有解问题求解策略 1.一元二次不等式在R上恒成立或有解： (1)不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集 为R,对于一元二次不等式ax2十bx+c>0,它的解 集为R的条件为△=6-4ac<0, 1a0, (2)一元二次不等式ax2十bx十c≥0，它的解集为R 的条件为/0>0， △=b2-4ac≤0. (3)-元二次不等式ax2十bx十c>0的解集为☑的 条件为a<0, △=b2-4ac≤0. (4)一元二次不等式a.x2十bx十c>0(a≠0)在R上 有解的条件为≥0或00： △=b2-4ac>0. 2.一元二次不等式在某区间上恒成立或有解： (1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围 化归为求函数的最值问题.当函数(x)存在最值 时，a>f(x)在某区间上恒成立台a>f(x)mx;a< f(x)在某区间上恒成立台a<f(x)mim; a>f(x)在某区间上有解台a>f(x)ia,a<f(x)在 某区间上有解台a<f(x)mm· (2)当a>0时，-元二次不等式ax2十bx十c<0在 (am十bm十c0, 区间[m,n]上恒成立的条件是 an2+bn十c<0. (3)当a<0时，一元二次不等式a.x2+bx十c>0在 (am+b十c>0, 区间[m,n]上恒成立的条件是 (an2+bn十c>0 3.A【解析】由题得△=(-2)2-4(m-1)≥0，解得 m≤2.设方程x2一2x十m一1=0的两实根分别为 x1,x2,则x1十x2=2,x1x2=m一1>0，所以m>1.综 上，实数m的取值范围是(1,2].故选A. 4.C【解析】因为关于x的方程x2十mx-12m=0的 两个不相等实数根x1,x2满足|x一x2|<7,所以由 根与系数的关系得十m结合题意得 x1x2=-12m, 1△=m2十48m>0, 即 |x1-x2|=√/(x1十x红)'-4x1x2<7, 1m2+48m>0, 解得-49<m<-48或0<m (-m)2+48m<49, <1.故选C 5.C【解析】不等式ax2十bx十c>0的解集为 参考答案及解析 a0, 1+2= b a<0, {x|1<x<2},则 a’即{-3a=b,由 1×2= 2a=c, a, bx2+a.x十c>0,得-3ax2十ax+2a= a(-3x2十x十2)>0，即3.x2-x-2>0,解得x< -号或>1.散选C 6.D【解析】因为关于x的不等式x2十|x十3a|<2 至少有一个正数解，所以|x十3a<2-x2至少有一 个正数解，在同一个直角坐标系中作出y=2一x (x>0,y>0)和y=x的图象，如图， 3… 将y=x的图象向左移动至右支过点(0,2)时，可得 3a=2,即a=号，所以a<号将y=x的图象向右 移动至左支与函数y=2一x(x>0,y>0)的图象相 切时，方程组y-。（x3a)·只有一组实数解，消去 y=2-x2 y得2-x2=-(x十3a),即x2-x-3a-2=0,△= 1-4(-30-2)=0,解得a=-子，所以。>-是数 形结合可得，实数。的取值范围是(-子，号).故 选D. 7.A【解析】由不等式ax2十bx十c>0的解集为 a>0, {xx≠1}，得 b二1， 2a 解得a=c>0,b= △=b2-4ac=0, 一2a,则a十b十c=0,充分性成立：当a十b十c=0时， 不能推出a=c>0,b=一2a,必要性不成立，所以“不 等式ax2十bx十c>0的解集为{x|x≠1}”是“a十b十 c=0”的充分不必要条件.故选A. 8.C【解析】关于x的不等式(x-b)2>(ax)2→[(a十 1)x-b][(a-1)x十b]<0,而0<b<1十a,由原不等 式的解集中的整数恰有3个，得a>1,解不等式(x 6)>(a,得。白<<名<1，因此原不等式解 集中的3个整数是-2，-1,0则一3<-户<-2， 参考答案及解析 即2<6 1≤3，于是2a-2<b≤3a-3,又b<1+a, 因此2a一2<1十a,解得a<3,即实数a的取值范围 是(1,3).故选C 9.ACD【解析】由题可得集合A=(-2,3),且A∩B =(-2,2],所以方程x2十bx十c=0的两根x1,x2 满足x1一2，x2=2.由韦达定理可知，一b=x1十x2 =2十x12十（一2)=0，即b0,选项A正确，选项 B错误；c=x1x2=2x1≤2X(-2)=一4，选项C正 确；从而2十2b十c=0,即2b十c=一4，选项D正确. 故选ACD. 10.AD【解析】因为a.x2十2.x十b≥0对一切实数x恒 1a>0, 成立，所以 。又因为一元二次方程ax2十 4-4ab≤0 2x十b=0有实数根，所以4一4ab≥0，所以4一4ab= 0,故a>b>0,即a-b>0,且ab=1,所以a-白 a2+b2 1 1 1 a2十b (a-b)2+2ab a-b a-b (a-b)+2ab a-b 1 1 (a-b)+22/2 当且仅当a-b=2时 a-b 等号成立.故选AD 11.BD【解析】对于A,当a=0时，不等式为x-2<0, 解得x<2,所以不等式的解集为{x|x<2},故A错 误；对于B,当a>0时，4=1十8a>0,方程a.x2十x一2= 0的两个不等实根分别为1=二1二西， 2a 一1十于8a,且<x,所以不等式的解集为 2a {1-面<<1+返，故B正 2a 2a 确：对于C,当-合<a<0时，4=1十8a>0,方程 ax2十x一2=0的两个不等实根分别为x1= -1-W1+8 ,x=二1++8 2a 2a ,且x1>x2,所 以不等式的解集为〈x x<1+于8a或 x>-1-√+8a 2a ,故C错误；对于D,当a<-8 时，△=1十8a<0,所以不等式的解集为R,故D正 确.故选BD, 12.(2,3)【解析】由题设1一x二4x十5-2-4x+币 x一1 x2-5.x十6 <0,而x2-4x+5=(x-2)2+1>0,所以x2-5x+ 6=(x-2)(x-3)<0,则2<x<3,即解集为(2,3). 13.(-oo,1]U[2,十o∞)【解析】Hx∈[-1,4]，3a 数学 ∈R,满足不等式x2-2x十3≥a2-2am十3m,故只 需(x2-2x十3)mim≥(a2-2am十3m)mim,其中y= x2-2x十3=(x-1)2+2≥2，当且仅当x=1时，等 号成立，关于a的函数y=a2一2ma十3m= (a-m)2十3m-m≥3m-m2,当且仅当a=m时， 等号成立，所以2≥3m一m2,解得m≥2或m≤1. 14.号【解析】由题意得△ADP≌△CBP,因为AD=x, DP=y,所以PC=PA=√十y,因为矩形ABCD 的周长为12十62，所以AD+DP+PC=x十y+ √+y=6十3√2，整理得xy=(27+18√2) (6+32)√x+y≤(27+18√2)-(6+6√2)· √xy,当且仅当x=y时等号成立，所以（√）2十 (6+6W2)√xy-(27+182)≤0，又√xy>0,所以 0KV≤3，则0<r9.所以Sam=学<号， 所以△ADP面积的最大值为号，此时x=y=3. 15.解：(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元， 根据题意有y= 100+10x+0-100+0+10 x ≥2√0·+10=0， (4分) 当仅当100-音：即=10时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形 机器人的成本最低，最低为30万元. (6分) (2)设月利润为W万元， 则有w=x(23+若）-1000-10.x 10i0+13x -1000, 由题知50十13.x-1000≥400， (10分) 整理得x2+130x-14000≥0，解得x≥70.(12分) 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能 确保每月的利润不低于400万元. (13分) 小练4函数的概念及其表示 1D【阳折】由怎室得②0银得≥号且子 x-2≠0， 2,即函数f(x)的定文域为≥号且≠2小故 选D. 2B【解折】依题意，() =4x+2-3x=2· 2+1-3,显然2+=2十1≠2，所以f(x)=2x 3(x≠2).故选B.