4.2.2 指数函数的图象和性质 分层梯度作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

分层梯度精练 第四章 指数函数与对数函数 4.2指数函数 4.2.2 指数函数的图象和性质 分层梯度精练 适用地区: 福建高一数学上学期 适用教材：人教A版（2019）高中数学必修第一册第四章第四节 适用场景：课中当堂限时检测、课后分层培优巩固、单元考点过关、高一高考衔接训练 预计完成时长：55–60分钟（符合高中课业减负标准） 难度梯度升级：基础进阶（高考基础变式） → 能力拔高（高考中档真题变式） → 素养创新（高考压轴模拟变式），全层级提档，适配高一学情、对接新高考命题趋势 命题依据：全部题型改编自2024、2025、2026年全国卷、新高考I/II卷、江浙粤名校模拟卷、原创试题，贴合新高考“基础性、综合性、应用性、创新性”命题要求。 模块一：基础进阶层（满分40分） 考查目标：突破课本基础简单题型，升级为高考基础变式，精准掌握指数函数定义、图象特征、核心性质，熟练完成识图、比大小、定点求解、参数基础求解，适配课中检测、课后基础巩固。 一、单项选择题（每小题5分，共计25分） 1. 下列函数中，定义域为的是（ ） A． B． C． D． 2. （25-26高三上·天津滨海新区·月考）函数是指数函数，则a的值为（ ） A． B．1 C． D．1或 3. （原创）函数（且）的图象必经过点（ ） A． B． C． D． 4. （原创）已知，，，则三者大小关系为（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 5. （2026·河北保定·模拟）下列函数是增函数的为（  ） A． B． C． D． 二、多项选择题（每题5分） 6. （多选）（25-26高三上·陕西·月考）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共计15分） 7. （原创）函数的定义域是 ． 8. 函数的减区间是 ． 模块二：能力拔高层（满分40分） 考查目标：对接高考中档题型，突破基础局限，熟练解决含参指数函数、复合不等式、图象性质联动问题，适配课中难点检测、课后拔高巩固。 一、单项选择题（每题5分） 9. （2026·山西太原·模拟）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A． B．8 C． D． 二、多项选择题（每题5分） 10.（25-26高三上·陕西汉中·开学）在如图所示的图象中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共计10分） 11. （24-25高三上·重庆渝中·开学）已知指数函数的图象经过点，则 。 12. （2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为 ． 四、解答题（每小题10分，共计20分） 题型备注：重点考查解析式求解、单调性证明、不等式综合应用，为高一核心必考题型。 13. （10分）已知指数函数，分类讨论函数在区间上的值域与最值。 14.（10分）已知函数， （1） 描述函数图象的变换过程并写出定点； （2） 证明函数在上的单调性； （3）求函数在上的值域。 模块三：素养创新层（满分20分） 考查目标：对接新高考创新、压轴基础题型，重点培养分类讨论、直观想象、综合推理素养，突破含参区间值域、图象综合应用难点，适配课后培优、尖子生拔高训练。 15. （10分）（25-26高三上·甘肃兰州·开学考试）已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）求函数的值域． 16. （10分）已知函数，求不等式成立的实数m的取值范围． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $分层梯度精练 第四章 指数函数与对数函数 4.2指数函数 4.2.2 指数函数的图象和性质 分层梯度精练 【含详解的解析过程】 适用地区: 福建高一数学上学期 适用教材：人教A版（2019）高中数学必修第一册第四章第四节 适用场景：课中当堂限时检测、课后分层培优巩固、单元考点过关、高一高考衔接训练 预计完成时长：55–60分钟（符合高中课业减负标准） 难度梯度升级：基础进阶（高考基础变式） → 能力拔高（高考中档真题变式） → 素养创新（高考压轴模拟变式），全层级提档，适配高一学情、对接新高考命题趋势 命题依据：全部题型改编自2024、2025、2026年全国卷、新高考I/II卷、江浙粤名校模拟卷、原创试题，贴合新高考“基础性、综合性、应用性、创新性”命题要求。 模块一：基础进阶层（满分40分） 考查目标：突破课本基础简单题型，升级为高考基础变式，精准掌握指数函数定义、图象特征、核心性质，熟练完成识图、比大小、定点求解、参数基础求解，适配课中检测、课后基础巩固。 一、单项选择题（每小题5分，共计25分） 1. 下列函数中，定义域为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，由，得，故函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为． 故选：B． 考查要点：熟练掌握函数定义域的求法； 2. （25-26高三上·天津滨海新区·月考）函数是指数函数，则a的值为（ ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【解析】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 考查要点：1. 明确指数函数结构特点 2. 底数范围且。 3. （原创）函数（且）的图象必经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，令，解得，此时， 所以函数（且）的图象必经过点． 故选：D 考查要点：1. 掌握复合指数函数定点求解核心方法（令指数为0）； 2. 准确计算函数值、规范书写坐标。 4. （原创）已知，，，则三者大小关系为（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【答案】B 【解析】因为为增函数，又=1 ，，， 故。 考查要点：1. 借助中间值1比较指数式大小； 2. 结合指数函数的单调性判断取值范围。 5. （2026·河北保定·模拟）下列函数是增函数的为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，在上先减后增，不合题意. 对于B，为上的减函数，不合题意. 对于C，在上先减后增，不合题意. 对于D，为上的增函数，符合题意. 考查要点：熟练掌握函数单调性； 二、多项选择题（每题5分） 6. （多选）（25-26高三上·陕西·月考）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】画出函数和的图象， 借助图象分析满足等式时a，b的大小关系，如图所示． 令， 若，则； 若，则； 若，则． 三、填空题（每小题5分，共计15分） 7. （原创）函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 考查要点：1. 找准限制条件（根式非负）； 2.利用指数函数的单调性； 3. 规范书写区间定义域。 8. 函数的减区间是 ． 【答案】 【解析】令，则函数t的增区间是． 而函数在上单调递减，故函数的减区间是． 故答案为： 考查要点：1.复合函数的单调性（同增异减）； 2.二次函数的单调区间。 模块二：能力拔高层（满分40分） 考查目标：对接高考中档题型，突破基础局限，熟练解决含参指数函数、复合不等式、图象性质联动问题，适配课中难点检测、课后拔高巩固。 一、单项选择题（每题5分） 9. （2026·山西太原·模拟）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【解析】令，即，，所以恒过定点， 因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立.则的最小值为. 故选：D 考查要点：1. 掌握平移型复合指数函数定点求解方法； 2.基本不等式的应用。 二、多项选择题（每题5分） 10.（25-26高三上·陕西汉中·开学）在如图所示的图象中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】A：由图可得二次函数的对称轴为且， 结合图可得，即得， 由图知为减函数，则有，符合，故A不合题意； B：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾， 故B符合题意； C：由图可得且，即得，由图知为减函数，则， 符合，故C不合题意； D：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾， 故D符合题意； 故选：BD. 考查要点：1.二次函数图像性质：开口方向和对称轴位置： 2.指数函数的图像性质：指数函数的增减性考虑底数； 3.图像的综合判断---数形结合 三、填空题（每小题5分，共计10分） 11. （24-25高三上·重庆渝中·开学）已知指数函数的图象经过点，则 。 【答案】 【解析】因为指数函数，则. 因的图象经过点，则， ∴. 故答案为：. 考查要点：1. 掌握平移型复合指数函数定点求解方法； 2. 指数幂的运算。 12. （2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】，，即， 即，故不等式的解集为． 故答案为： 考查要点：1. 判断指数函数单调性； 2. 负数指数大小比较逻辑推导。 四、解答题（每小题10分，共计20分） 题型备注：重点考查解析式求解、单调性证明、不等式综合应用，为高一核心必考题型。 13. （10分）已知指数函数，分类讨论函数在区间上的值域与最值。 解析：① 当时，在上单调递增，（1分） ， （4分） ，值域为； （5分） ② 当时，在上单调递减，（7分） ，，值域为。（10分） 考查要点（10分）： 1. 明确底数分类讨论依据； 2. 递增区间最值、值域完整求解； 3. 递减区间最值、值域完整求解。 失分点：遗漏分类讨论、区间端点最值对应错误、值域区间书写颠倒。 14.（10分）已知函数， （1） 描述函数图象的变换过程并写出定点； （2） 证明函数在上的单调性； （3）求函数在上的值域。 解析：（1）图象变换：由基础指数函数向左平移1个单位，再向下平移2个单位； 令得，定点为；（3分） （2）单调性证明：任取， ，（5分） 由得， 所以函数在上单调递增；（7分） （3）由（2）函数在递增， 又，，（9分） 所以函数的值域为。 （10分） 考查要点（10分）： 1. 完整描述图象平移变换、求出定点（3分）； 2. 规范完成取值、作差、判号、下结论的完整证明步骤（4分）； 3. 准确求解区间最值与值域（3分）。 模块三：素养创新层（满分20分） 考查目标：对接新高考创新、压轴基础题型，重点培养分类讨论、直观想象、综合推理素养，突破含参区间值域、图象综合应用难点，适配课后培优、尖子生拔高训练。 15.（10分） （25-26高三上·甘肃兰州·开学考试）已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）求函数的值域． 【答案】（1）的减区间为，增区间为 （6分） （2） （4分） 【解析】（1），（1分） 在上单调递增，在上单调递减，（3分） 又因为在上单调递减， （4分） 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为.（6分） （2） 令， （7分） 则，则， （9分） 即的值域为. （10分） 考查要点：1.复合函数的单调性（同增异减）； 2.复合函数的值域的求法； 3.二次函数的单调区间问题。 16. （10分）已知函数，求不等式成立的实数m的取值范围． 【答案】 【解析】，定义域为关于原点对称，所以为偶函数，（2分） 又当时，为增函数；当时，为减函数，（4分） 所以即， （6分） 两边平方整理可得，解得，（7分） 所以不等式成立的实数m的取值范围为.（8分） 故实数m的取值范围为：. （10分） 考查要点（10分）：1. 判定函数奇偶性的判断（2分）； 2.判断当时函数的单调性（3分）； 3.列出一元二次不等式并求解（3分）； 4. 正确书写解集区间（2分）。 精练整体评价与教学反馈 1. 层级提档效果：本次精练三层题型全部升级，摒弃课本简单基础题，全程对接2024–2026新高考真题、名校模拟题型，实现“基础不简单、中档有难度、拔高有创新”的梯度进阶，适配高一学生高考衔接训练。 2. 双向训练功能：课中可完成基础、拔高题型限时检测，快速排查课堂知识漏洞；课后通过创新压轴题型巩固拔高，突破含参讨论、复合函数、区间值域等高考重难点，实现当堂过关、课后提质。 3. 高考适配优势：所有解答题严格采用高考步骤采分模式，明确每步得分点与失分陷阱，帮助学生规范解题步骤、规避高考常见失分问题，同步提升数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养，适配课堂提质增效与分层教学需求。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $