专题04 函数的基本性质（期中真题汇编，山东专用）高一数学上学期

专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）已知函数是上的奇函数，则函数的图象恒过定点（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·山东菏泽·期中）函数的奇偶性为（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 3．（25-26学年高一上·山东菏泽第一中学·期中）函数在上的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知是偶函数，且其定义域为，则的值是 （       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（     ） A.  B. 若，则的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 7．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）设为上的奇函数，且当时，，则（       ） A. 12 B.  C. 13 D.  9．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）的函数图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·山东日照·期中）函数的单调递减区间是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）函数的部分图像大致为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）已知，，，则的最大值为（     ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 14．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）函数的大致图像为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·山东淄博第十八中学·期中）（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）函数的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）已知，对任意的，恒成立，则实数的最小值是（       ）． A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·山东实验中学·期中）函数为奇函数，且当时，，则当时，解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）（多选）已知函数定义域为， 则（       ） A. 若，，则在上单调递增 B. 函数，若， 则 C. 为奇函数，则 D. 若，则是偶函数 20．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）（多选）表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 函数的值域为 22．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数在是增函数，关于轴对称，成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知是定义在上的偶函数，，且对，都有，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）（多选）函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（       ） A. 函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数 B. 函数的图像的对称中心为 C. 函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数 D. 函数的图像关于直线对称 25．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）（多选）已知函数，则（     ） A. 在上单调递减 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 26．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知函数在上的最小值为2，则在上的（     ） A. 最小值为2 B. 最大值为 C. 最小值为6 D. 最大值为 27．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知函数，若，则（       ） A. 4 B.  C. 14 D.  30．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）函数，对恒有，若时，的值域为，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）若函数在的最大值为1，则（     ） A. 有最大值9 B. 有最小值9 C. 有最大值 D. 有最小值 33．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）（多选）已知函数，则正确的是（       ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 不等式解集为 D. 当时，的最大值为 34．（25-26学年高一上·山东济南·期中）（多选）奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（       ） A. 当时， B. 函数在上单调递减 C. 函数在上单调递增 D.  35．（25-26学年高一上·山东济南·期中）若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年高一上·山东济南·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的一个函数为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=，函数g(x)=[f(x)]，以下结论正确的是（       ） A. f(x)在R上是增函数 B. g(x)是偶函数 C. f(x)是奇函数 D. g(x)的值域是{-1，0} 37．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）（多选）已知函数则下列结论中正确的是（     ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上的最小值是4 D. 在上单调递减 39．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）已知，若，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）（多选）已知定义在的函数满足，且，当时，，则（    ） A.  B. 在上单调递增 C. 是偶函数 D. 不等式的解集是 42．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  44．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）（多选）已知函数，则（     ） A. 的定义域为 B. 无奇偶性 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 45．（25-26学年高一上·山东菏泽·期中）已知函数，若对任意恒成立，则整数的最小值是（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 46．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）已知函数的定义域为，则“在区间上单调递减”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 47．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（     ） A. 当时， B. 当时，无最小值 C. 若是上的减函数，则实数的取值范围为 D. 若且方程恰有3个不等实根，则 48．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）（多选）设狄利克雷函数,符号函数,则（     ） A.  B.  C.  D.  49．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）（多选）下列说法错误的是（     ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若集合，，则 C. 若是奇函数，且当时，，则时， D. 函数在上是单调递减函数 50．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）（多选）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（     ） A.  B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 51．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）（多选）下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的有（     ） A.  B.  C.  D.  52．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  53．（25-26学年高一上·山东淄博第十八中学·期中）已知是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 54．（25-26学年高一上·山东淄博第十八中学·期中）已知函数满足对任意的实数，都有，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  55．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）已知函数是偶函数，对且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  56．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，.关于的方程在区间内所有实数根的和为（     ） A.  B.  C. 0 D. 4 57．（25-26学年高一上·山东菏泽第一中学·期中）（多选）定义在上的偶函数，满足，则（     ） A.  B.  C.  D.  58．（25-26学年高一上·山东实验中学·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，且，当时，，若，则以下正确的是（       ） A.  B. ， C.  D.  59．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若定义在上函数恒有，则是奇函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 函数的最小值为 60．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）（多选）已知定义在上的函数，满足，且，，，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C. 为奇函数 D. 的图象关于点对称 61．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  62．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知函数满足，对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  63．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）（多选）已知函数的定义域是R，若对任意的，都有成立，且当时，，则下列说法中正确的是（       ）． A.  B. 函数是非奇非偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 的解集为 64．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 对任意整数，有 C. 设函数，则的值域为 D. 的解集为 65．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）（多选）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  66．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  67．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（     ）. A.  B.  C.  D.  68．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）（多选）已知函数的定义域为，满足，当时，恒有，则（     ） A.  B. 为偶函数 C.  D. 在上单调递减 69．（25-26学年高一上·山东日照·期中）已知函数为偶函数，且，则（       ） A.  B.  C. 2025 D. 0 70．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）（多选）已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是（    ） A.  B. 函数在上单调递减 C.  D. 满足不等式的的取值范围为 71．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在区间上单调递增 C. 存在常数，使恒成立 D. 时，的最小值为 72．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）（多选）定义在上的函数，对，都有，且当时，恒成立，则（     ） A. 是偶函数 B. 在上单调递增 C.  D. 任意实数都满足 73．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）设函数，若，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  74．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，．下列结论正确的是（       ） A.  B.  C. 是奇函数 D.  75．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）已知表示二者中最大的一个），若，使得成立，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  76．（25-26学年高一上·山东菏泽·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则　　　　　　　　　　　；　　　　　　　　　　　． 77．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）若函数的最小值为，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 78．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知函数是定义域为的偶函数，且时，． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集． 79．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）函数的图像关于点中心对称，则　　　　　. 80．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）已知函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若对任意的，都有，求的取值范围. 81．（25-26学年高一上·山东济南·期中）老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质． 甲：对于，都有； 乙：函数在上是减函数； 丙：函数在上是增函数； 丁：不是函数的最小值． 如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数：　　　　　　． 82．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 83．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 84．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）若为定义在上的偶函数，函数，则　　　　　　　　　　. 85．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）定义在上的奇函数满足，且当时，，则的值为　　　　　　. 86．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）设函数在区间的最大值为M，最小值为m，则　　　　　　　　． 87．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且． （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式． 88．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）已知． （1）求的值域； （2）设，若，，使得，求实数的取值范围． 89．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围是　　　　　　. 90．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数的图象关于点中心对称． （1）求实数a的值： （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）解关于x的不等式． 91．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是　　　　　　　　　　． 92．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值. （2）试判断的单调性（不需要证明），并求的值域． （3）解关于的不等式． 93．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 94．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）设是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，函数的解析式是　　　　　　． 95．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； （3）已知函数当时，的值域为，求实数的取值范围.（只需写出答案） 96．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）已知函数是定义在上的函数，且． （1）求出的值并写出函数的解析式； （2）用定义法证明在上是减函数； （3）若不等式成立，求实数的取值范围． 97．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知函数，且. （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若当时，，求的取值范围. 98．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的5小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：（为常数）：若使用口服方式给药，由于药物包衣溶解，药物在小白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：．现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰． （1）若，求5小时内，小白鼠用药后何时血液中的药物浓度最高，并求出最大值； （2）若使小白鼠在用药后5小时内血液中的药物浓度都不低于3，求实数的取值范围． 99．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）已知函数，对于任意的，都有，当时，． （1）求的值； （2）判断的奇偶性和单调性； （3）设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 100．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）已知函数，则最小值为　　　　　　　　　　. 101．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）已知定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，当时，，则　　　　　　　　　　. 102．（25-26学年高一上·山东菏泽·期中）已知函数． （1）当实数时，写出的单调区间，并用定义证明在上的单调性； （2）对任意实数，写出的单调区间（无需证明）； （3）当实数时，求函数在上的最大值和最小值． 103．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）已知奇函数的定义域为，且时，，则　　　　　.（写出具体数值） 104．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 105．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）已知函数. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）当时， （i）根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 106．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）已知是定义在上的偶函数，且时，. （1）求的解析式； （2）判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论. 107．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）已知函数，. （1）若为奇函数，求的值； （2）若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 108．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 109．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明. （3）求的值域. 110．（25-26学年高一上·山东淄博第十八中学·期中）定义域在R的单调函数满足恒等式，且. （1）求，； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 111．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）若是定义在上的奇函数，则　　　　　　. 112．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为　　　　　　　　　　；若，则实数t的取值范围是　　　　　　　　　　． 113．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）已知函数（为常数）是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并说明理由； （3）证明：对，恒成立. 114．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中），若在定义域内单调递增，则实数a的取值范围是　　　　　　. 115．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）已知函数. （1）求的定义域，并求，的值； （2）观察（1）中的函数值，请猜想具有的两个性质，并选择其中一个加以证明； （3）解不等式：. 116．（25-26学年高一上·山东实验中学·期中）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是　　　　　　. 117．（25-26学年高一上·山东实验中学·期中）已知函数的定义域为，当时，． （1）求的值； （2）证明：函数在上为单调减函数； （3）解不等式． 118．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是　　　　　　　　. 119．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，. （1）求函数的解析式； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）令，若对任意的都有，求实数的取值范围. 120．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）已知函数，若对，，使得，求实数的取值范围. 121．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）写出当时的解析式； （2）当时，求不等式的解集； （3）若不等式对任意都成立，求的取值范围. 122．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知函数在区间上的最大值为5，最小值为2，记. （1）求实数、的值： （2）若不等式成立，求实数的取值范围； （3）定义在上的一个函数，用分法将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数.试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由. （参考公式：） 123．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． （1）求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； （2）求函数图象的对称中心，并给出证明； （3）在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 124．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）已知定义在上的函数满足，当时，． （1）求，并证明是奇函数 （2）存在，使得成立，求的取值范围． （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围． 125．（25-26学年高一上·山东济南·期中）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，不必说明理由； （2）已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 126．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）已知函数，且． （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性（不需证明）： （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3），使得，求的取值范围． 127．（25-26学年高一上·山东日照·期中）设函数是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义法证明你的结论； （3）若，不等式对任意实数均成立，求实数的取值范围. 128．（25-26学年高一上·山东日照·期中）已知是定义域为的函数，将函数值按如下顺序排列：，其中.记前个函数值的最大值为，第个之后函数值的最小值为，令. （1）若，当时，，求和的值； （2）设为正整数，证明：的充分必要条件为； （3）证明：若，则序列，中不存在大于2的数，且有无穷多项为1. 129．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数. （1）已知，判断和是否为倒函数； （2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式. （3）若定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，若，函数，求在上的值域. 130．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）定义：若对定义域内任意，都有（且为常数），则称函数为“距”减函数． （1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由； （2）若是“距”减函数，求实数的取值范围； （3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值． 131．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且对任意，，都有． （1）设函数，证明：为奇函数； （2）十九世纪著名数学家柯西研究并证明了如下结论：若函数的图象是连续不断的，且对任意，都有，则，其中为常数．假设． （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）设，若不等式的解集为，求，的值． 132．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）函数的定义域为，对于，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：为减函数； （3）若，求不等式的解集． 133．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b； （3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 134．（25-26学年高一上·山东菏泽第一中学·期中）已知为幂函数. （1）求的值和的解析式； （2）用定义法证明：在上是减函数； （3）①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围. 参考公式：. 135．（25-26学年高一上·山东菏泽第一中学·期中）已知函数 （1）对于函数 ，如果存在实数a，b使得 ，那么称为的生成函数，据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使成为函数的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由. （2）若 其中 求 的取值范围. （3）若x，m均为正整数，求函数 的最小值（用m表示） 及的最大值. 136．（25-26学年高一上·山东实验中学·期中）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“差一函数”. （1）下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的“差一函数”，并说明理由. （2）已知函数. ①当时，函数是在上的“差一函数”，求实数的值； ②当时，函数是在（为整数）上的“差一函数”，且存在，使得，求实数的值. 137．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）函数． （1）已知：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．求函数图象的对称中心． （2）证明：． （3）定义：对区间内任意两点和，有，则函数在区间上为下凸函数，不等式反向则为上凸函数． （i）判断在区间上是下凸函数还是上凸函数（无需证明）： （ii）将（i）结论作为已知条件，证明在区间上是上凸函数． 138．（25-26学年高一上·山东日照·期中）已知对任意两个实数，定义.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，.若对任意的，都有，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）已知函数是上的奇函数，则函数的图象恒过定点（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合奇函数的性质，利用函数图象平移即可求得函数图象恒过的定点. 【详解】 因为函数是上的奇函数，所以，即恒过定点， 又因为的图象是由的图象向右平移个单位， 再向下平移个单位得到的，所以函数图象恒过， 故选：D 2．（25-26学年高一上·山东菏泽·期中）函数的奇偶性为（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 【答案】B 【分析】 根据奇偶性的定义分析判定即可 【详解】 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以是偶函数，不是奇函数. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·山东菏泽第一中学·期中）函数在上的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数的奇偶性和特殊点坐标判断即可. 【详解】 令，的定义域为， ， 则是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项； 又，则排除选项A. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知是偶函数，且其定义域为，则的值是 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用偶函数的定义和性质，即可求得的值. 【详解】 ，因为函数是偶函数，所以满足， 得， 偶函数的定义域关于原点对称，所以，得， 所以. 故选：B 5．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用基本初等函数的单调性和奇偶性，结合选项依次判断即可． 【详解】 对于A，函数为奇函数，故选项A错误； 对于B，函数为偶函数，且在上, 单调递减，故选项B错误； 对于C，函数为偶函数，且在上单调递减，故选项C错误； 对于D，函数为偶函数，且在上, 单调递增且恒为正，故在单调递增，故选项D正确． 故选：D 6．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（     ） A.  B. 若，则的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 【答案】C 【分析】 根据题意，由分段函数的性质，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】 因为，则，故A正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为，故C错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故D正确； 故选：C 7．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据常见函数的性质逐一判断即可. 【详解】 对A：函数定义域为，不是偶函数，故不符合题意； 对B：函数的图象不关于轴对称，所以不是偶函数，故不符合题意； 对C：函数的对称轴为，所以不是偶函数，故不符合题意； 对D：，所以为偶函数；当时，，在上单调递增，符合题意. 故选：D 8．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）设为上的奇函数，且当时，，则（       ） A. 12 B.  C. 13 D.  【答案】C 【分析】 根据为上的奇函数，求出. 【详解】 因为为上的奇函数，所以，， 所以. 故选：C 9．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 借助排除法，判断出函数奇偶性后利用对勾函数性质得到函数单调性即可得. 【详解】 由，又定义域为， 故为奇函数，故可排除B； 当时，， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 故可排除C、D. 故选：A 10．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）的函数图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用时，，排除AD；利用，函数单调递减，排除B得解. 【详解】 由 ，当时，，排除AD； 当时，函数单调递减，当时，函数单调递减，排除B. 故选：C. 11．（25-26学年高一上·山东日照·期中）函数的单调递减区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】 要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 12．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）函数的部分图像大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案. 【详解】 因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AB； 根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除C. 故选：D 13．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）已知，，，则的最大值为（     ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【分析】 根据二次函数的性质即可求解. 【详解】 由可得，故， 故当时，取到最大值4， 故选：C 14．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）函数的大致图像为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在上的函数值的特征，即可判断； 【详解】 解：首先可求得的定义域为：，且关于原点对称， 又，∴是奇函数，故排除C，D选项， 又当时，，所以，则排除B选项， 故选：A. 【点睛】 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 15．（25-26学年高一上·山东淄博第十八中学·期中）（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 首先根据奇偶函数的定义判断奇偶性；然后再根据函数单调性的定义来判断函数在区间上的单调性即可. 【详解】 对于A选项，函数，其定义域为R，， 所以是偶函数； 函数对称轴为，所以在区间上单调递增，故A正确； 对于B选项，函数，其定义域为，，， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为， 所以是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数， 当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 16．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）函数的大致图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数解析式，判断其单调性以及单调区间，结合特殊点，可得答案. 【详解】 由函数 ， 当时，根据函数与函数在上单调递增， 则函数在的单调递增，故排除BC； 当时，，故排除A，则D正确. 故选：D. 17．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）已知，对任意的，恒成立，则实数的最小值是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的奇偶性，把不等式的恒成立转化为“对任意的，恒成立”，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】 由题意，函数 ，可得为奇函数，且在上单调递增， 由恒成立，即恒成立， 又由， 所以，即， 把不等式的恒成立转化为“对任意的，恒成立”． 当时显然不成立， 当时，则满足 ，解得． 故选C． 18．（25-26学年高一上·山东实验中学·期中）函数为奇函数，且当时，，则当时，解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式即可. 【详解】 函数为奇函数，且当时，， 则当时，，. 故选：A 19．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）（多选）已知函数定义域为， 则（       ） A. 若，，则在上单调递增 B. 函数，若， 则 C. 为奇函数，则 D. 若，则是偶函数 【答案】BCD 【分析】 举出反例，即可判断A，由幂函数的单调性求解不等式即可判断B，由奇函数的定义代入计算，即可判断C，令，代入计算，结合偶函数的定义即可判断D. 【详解】 对于选项A，设，满足, 但是在上不是单调递增，故A错误； 对于选项B，因为是上的减函数，且， 由可得，即，解得，故B正确； 对于选项C，因为为奇函数， 所以满足， 可得，即，故C正确； 对于选项D，令可得，则， 令，则， 即，所以，则是偶函数，故D正确； 故选：BCD 20．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 令，可得函数为偶函数，当时，由，得，解不等式组即可得时所求，再根据函数是偶函数即可得出答案. 【详解】 解：令， 因为函数，是奇函数， 所以是偶函数， 当时，， 则 ，解得， 因为是偶函数， 则当时，，的解为， 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 21．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）（多选）表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 函数的值域为 【答案】BD 【分析】 结合“取整函数”定义，判断AD，取特例判断BC. 【详解】 对于A，因为，所以恒成立，故A错误； 对于B，令，则，故B正确； 选项C，如，则，故C错误； 对于D，根据定义可知，，所以函数的值域为，故D正确． 故选：BD 22．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数在是增函数，关于轴对称，成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 令，由题意得到的性质，从而将问题转化为，从而利用的奇偶性与单调性即可得解. 【详解】 令， 因为在是增函数，关于轴对称， 所以在是增函数，且在上是偶函数， 又， 所以由，得， 即，则， 所以，两边平方得，解得或. 故选：D. 23．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知是定义在上的偶函数，，且对，都有，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意可得在上单调递增，，由奇偶性可得在上单调递减，，然后利用单调性得不等式即可. 【详解】 因为对，都有， 所以在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，所以在上单调递减， 又，所以， 则不等式可转换为， 所以或，解得或， 则不等式的解集为. 故选：B. 24．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）（多选）函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（       ） A. 函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数 B. 函数的图像的对称中心为 C. 函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数 D. 函数的图像关于直线对称 【答案】ABD 【分析】 根据函数奇偶性的定义，以及函数对称性的概念对选项进行逐一判断，即可得到结果. 【详解】 对于A，函数的图像关于点成中心对称的图形， 则有 函数为奇函数，则有， 即有 所以函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是 为为奇函数，A正确； 对于B,，则 因为为奇函数，结合A选项可知函数关于点对称，B正确； 对于C，函数的图像关于成轴对称的充要条件是， 即函数是偶函数，因此C不正确； 对于D，， 则， 则， 所以关于对称，D正确 故选:ABD. 25．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）（多选）已知函数，则（     ） A. 在上单调递减 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】BD 【分析】 依据函数解析式可得在和上是分别单调递减的，不能用并集，即A错误，再根据奇函数图象性质以及平移规则可判断BD正确，C错误. 【详解】 根据题意可知， 易知将奇函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得， 画出函数的图象如下图所示： 可得在和上是分别单调递减的，不能用并集表示，即A错误； 由图可知，的值域为，即B正确； 的图象不是轴对称图形，可知C错误； 依据奇函数平移规则可得的图象关于点对称，即D正确. 故选：BD 26．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知函数在上的最小值为2，则在上的（     ） A. 最小值为2 B. 最大值为 C. 最小值为6 D. 最大值为 【答案】D 【分析】 整理函数解析式后令，验证得到函数为奇函数，由对称性得到在的最大值，然后得到在上的最大值. 【详解】 ， 令， ∵，即为奇函数， 当时，，∴， ∴当时，， ∴. 故选：D. 27．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可. 【详解】 由题意，是函数的对称轴，在上是增函数， 所以在上是减函数， 又，所以， 所以当时，，满足， 当时，，，也满足， 所以不等式的解集为. 故选：D. 28．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据在上递增列不等式，由此求得的取值范围． 【详解】 由于在上单调递增，所以 ， 由得即， 当时，，，显然成立； 当时，单调递增，且，故， 综上，， 所以a的取值范围是 故选：C 29．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知函数，若，则（       ） A. 4 B.  C. 14 D.  【答案】A 【分析】 由题可得为奇函数，然后由奇函数性质可得a，然后可得答案. 【详解】 设，则， 又的定义域为，从而是奇函数，即， 故，即. 因为，所以，解得， 则，故. 故选：A 30．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意作出函数的图象的示意图，不等式等价于 或 ，结合图象求解即可. 【详解】 因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且， 作出函数的图象的示意图如图所示，    由图象知当或时，；当时，， 不等式等价于 或 ， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 31．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）函数，对恒有，若时，的值域为，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据二次函数性质，求出参数值，进而根据二次函数值域，求出参数范围即可. 【详解】 由可知函数关于直线对称， 可得，解得，则； 可知， 当时，的值域为，则. 故选：A. 32．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）若函数在的最大值为1，则（     ） A. 有最大值9 B. 有最小值9 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】B 【分析】 由题可得，利用“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】 ∵在上单调递增， ∴， ∴， （当且仅当即时等号成立）所以有最小值为9. 故选：B. 33．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）（多选）已知函数，则正确的是（       ） A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 不等式解集为 D. 当时，的最大值为 【答案】ACD 【分析】 根据函数解析式有意义，列式求出的定义域，从而判断出A的正误；由函数奇偶性的定义，判断出的奇偶性，从而判断出B的正误；将问题转化为一元二次不等式恒成立问题求解，从而判断出C的正误；当时，利用基本不等式求出的最大值，从而判断出D的正误． 【详解】 A．函数的自变量满足，解得，故的定义域为，正确； B．，，所以为奇函数，不正确； C．，即，得，由于对所有成立，解集为，正确； D．当时，，当且仅当时，即时，取等号，所以当时，的最大值为，正确． 故选：ACD． 34．（25-26学年高一上·山东济南·期中）（多选）奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（       ） A. 当时， B. 函数在上单调递减 C. 函数在上单调递增 D.  【答案】ABC 【分析】 结合的图像，根据奇函数的对称性，分析函数的性质，由此可判断每个选项的正误. 【详解】 根据图像可知，当时，，故A正确； 在，上单调递减，在上单调递增， 所以根据奇函数性质可，函数在上单调递减，在上单调递增，故BC正确； 由于在上递增，所以，故D错误. 故选：ABC. 35．（25-26学年高一上·山东济南·期中）若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，要使函数是R上的增函数，其每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可. 【详解】 由题意得 ，解得. 故选：A. 36．（25-26学年高一上·山东济南·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的一个函数为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=，函数g(x)=[f(x)]，以下结论正确的是（       ） A. f(x)在R上是增函数 B. g(x)是偶函数 C. f(x)是奇函数 D. g(x)的值域是{-1，0} 【答案】ACD 【分析】 A选项，分离常数后，结合指数函数的单调性得到结论；B选项，举出反例；C选项，利用函数奇偶性的定义进行判断；D选项，利用指数函数的性质以及高斯函数的定义求出值域. 【详解】 A选项：因为， 又在R上单调递增且恒大于0，故在R上单调递增，A正确； B选项：因为，且， 所以，， 所以，故不是偶函数，B错误； C选项：定义域为R，且， 故是奇函数，C正确； D选项：因为，则， 所以， 当时，则， 当时，则， 所以， 故的值域是，D正确. 故选：ACD 37．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意可得在上单调递增，再由函数为奇函数，可得在上单调递增，且，由此可求出和的解集，从而可求得结果． 【详解】 因为对于任意两个实数且时，不等式恒成立，所以在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以当或时，；当或时，， 所以当或时，， 所以不等式的解集为． 故选：B． 38．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）（多选）已知函数则下列结论中正确的是（     ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上的最小值是4 D. 在上单调递减 【答案】CD 【分析】 对AB，利用函数奇偶性定义判断；对C，利用基本不等式求解；对D，当时，化简利用解析式判断单调性. 【详解】 对于A，由，则，，所以没有奇偶性，故A错误； 对于B，令，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C，当时，， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，当时，， 因为，在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确. 故选：CD. 39．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 将解不等式转化为与的图像比较，进而观察两个函数图象的特征，从而求出不等式的解集． 【详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以的图像关于原点对称，由此画出函数在上的图象， 在同一坐标系内画出的图象， 因为，，所以， 又，， 所以的图象与的图象交于和两点，如图， 所以结合图像可知，的解集为. 故选：C. 40．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）已知，若，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求证其奇偶性以及其在上的单调性即可比较大小. 【详解】 因，则为偶函数， 因时，，在上单调递增， 又，故. 故选：D 41．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）（多选）已知定义在的函数满足，且，当时，，则（    ） A.  B. 在上单调递增 C. 是偶函数 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】 令可求出判断A；由单调性定义判断B；根据定义域可判断函数的奇偶性，即可判断C；由条件可得等价于，利用函数的单调性求解可判断D． 【详解】 令，得，即，则A正确； 设，，则，，故在上单调递增，B正确， 由题意可知的定义域是，则为非奇非偶函数，故C错误； 令，得，因为．所以． 因为，所以， 所以， 所以等价于， 因为在上单调递增，所以 ，解得， 所以不等式的解集是，故D正确． 故选：ABD． 42．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围. 【详解】 依题意，在区间上单调递减， 所以 ，即 ，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 43．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意计算可得函数在上的单调性，再利用为偶函数可得性质，再将及化为形式后，利用单调性及对称性计算即可得. 【详解】 由，则， 即有，令， 则当且时，有， 故在上单调递增， 由是定义在上的偶函数， 则， 故也是定义在上的偶函数， 则，即， 又， 则可化为， 化简得，故， 即有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：B. 44．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）（多选）已知函数，则（     ） A. 的定义域为 B. 无奇偶性 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】 求函数定义域，判断A的真假；根据函数定义域的特点，判断B的真假；利用复合函数单调性的判断方法判断C的真假；根据函数对称性的判断方法判断D的真假. 【详解】 对A：要使函数有意义，则 ，所以函数定义域为，不是，故A错误； 对B：因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故B正确； 对C：当时，， 因为，所以，设，因为在单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； 对D：因为 ， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD 45．（25-26学年高一上·山东菏泽·期中）已知函数，若对任意恒成立，则整数的最小值是（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【分析】 由题意得，根据函数在上单调递减，确定，即得解. 【详解】 因为恒成立，所以 又在上是单调减函数， ， 所以 故选：D. 46．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）已知函数的定义域为，则“在区间上单调递减”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据充分条件与必要条件的概念，结合函数单调性的定义判断. 【详解】 若在区间上单调递减，且，则，充分性成立； 若，则在区间上不一定单调递减，如函数， ，满足，但在上单调递减，在上单调递增，故必要性不成立， 故“在区间上单调递减”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 47．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（     ） A. 当时， B. 当时，无最小值 C. 若是上的减函数，则实数的取值范围为 D. 若且方程恰有3个不等实根，则 【答案】ACD 【分析】 代入得到函数解析式，先求再求即可判断A选项；当时根据函数的单调性求出函数的端点的值，并验证这个点是否是最小值判断B选项；根据分段函数单调性的定义列出不等式组，然后解得的范围，判断C选项；当得出函数解析式，然后作出函数大致图象，即可知道方程恰有3个不等实根时的取值范围，判断D选项. 【详解】 当时， ，， 则，A选项正确； 当时， ，由二次函数可知，函数在上单调递减， ∴当时，当时，，即函数存在最小值0，B选项错误； 要想函数是上的减函数，则 ，即 ， ∴，C选项正确； 当时， ，函数大致图像如下 若方程恰有3个不等实根，则，D选项正确. 故选：ACD. 48．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）（多选）设狄利克雷函数,符号函数,则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据两类分段函数各自的性质进行分类讨论逐一判断. 【详解】 对于A：若.因此；若,同理可证时也成立，故A正确； 对于B：若为无理数，则,故B错误； 对于C：易知必为有理数，因此恒成立，而当为无理数时，,此时,故C错误； 对于D：证明D即证.易知与必同时为有理数或同时为无理数，因此,故即证. 当时，;当时，;当时，,故恒成立. 故得证，即D正确. 故选：AD. 49．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）（多选）下列说法错误的是（     ） A. 函数与函数表示同一个函数 B. 若集合，，则 C. 若是奇函数，且当时，，则时， D. 函数在上是单调递减函数 【答案】ABD 【分析】 利用相同函数的定义判断A；求出交集判断B；利用奇函数定义求出解析式判断C；由函数单调性判断D. 【详解】 对于A，函数定义域为， 定义域为，它们不是同一函数，A错误； 对于B，解方程组 ，得，则，B错误； 对于C，是奇函数，且当时，，则当时，， ，C正确； 对于D，函数的定义域为，在上不单调，D错误. 故选：ABD 50．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）（多选）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（     ） A.  B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 【答案】ABD 【分析】 根据给定条件，确定函数的性质，再逐项分析判断. 【详解】 由条件① ③ 得是偶函数，，由函数在上的图象连续不断 及条件② 得在上单调递减，在单调递增， 则当时，；当时，， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，即， 解得或，B正确； 对于C，由，得 或 ，解得或，C错误； 对于D，，因此取，对，使得，D正确. 故选：ABD 51．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）（多选）下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可． 【详解】 选项A：由函数的定义域为， 且， 所以函数为偶函数，故A选项不正确， 选项B：由函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数， 由函数和在上单调递增， 所以在上单调递增， 故B选项正确， 选项C：由函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数， 由函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 故选项C正确， 选项D：由函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数， 当时，， 由， 所以， 所以函数在上不是增函数， 故选：BC. 52．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由分段函数的单调性结合一次、二次函数的单调性和函数的连续性可得. 【详解】 二次函数的对称轴为， 当在上是单调递减函数时，此时二次函数在为增函数，不符合题意，所以在上是单调递增函数， 所以 ， 又当时， 综上实数a的取值范围是. 故选：C. 53．（25-26学年高一上·山东淄博第十八中学·期中）已知是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 利用函数的单调性与奇偶性的关系，得出取值的符号情况，然后分情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】 因为是定义在上的偶函数，在上单调递增，且， 所以在上单调递减，且， 所以，当或时，；当或时，， 那么要求的解集， 当时，不等式成立； 当时，，解得； 当时，，解得或. 综上，得或， 所以不等式的解集为或. 故选：C. 54．（25-26学年高一上·山东淄博第十八中学·期中）已知函数满足对任意的实数，都有，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 依题意可知在R上是减函数，因此每一段函数都必须为减函数，同时在断开位置处也要满足减函数的定义，由此列出不等式求解即可. 【详解】 函数 是减函数， 则有 ， 解得，则的取值范围为. 故选：B. 55．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）已知函数是偶函数，对且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由是偶函数，得到的图像关于对称，由且时，，得到在单调递增，由，结合单调性即可判断. 【详解】 因为函数是偶函数， 所以，即的图像关于对称， 又且时，， 可得在单调递增， 所以， 所以， 故选：C 56．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，.关于的方程在区间内所有实数根的和为（     ） A.  B.  C. 0 D. 4 【答案】A 【分析】 根据给定条件，分析函数的性质并作出在内的图象，结合图象求解. 【详解】 函数是上的奇函数，当时，， 当时，，则， 于是当时，，由，得是函数图象的对称轴， 由奇函数性质可得也是函数图象的对称轴，作出函数在上的图象，如图， 观察图象知，也是函数图象的对称轴，直线与函数在上的图象有4个交点， 因此方程在内有4个根，所有实数根的和为. 故选：A 57．（25-26学年高一上·山东菏泽第一中学·期中）（多选）定义在上的偶函数，满足，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 令代入表达式中即可判断选项A，令代入表达式中分析即可得出选项B，利用函数周期性和函数为偶函数分析即可判断选项C，根据已知条件得出函数值的规律即可得出选项D. 【详解】 对A,因为是定义在上的偶函数，所以， 由，令，则， 即，故A选项正确， 对B,令，，所以 故B选项不正确， 对C,由， 所以函数的周期为2， 又函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以， 故C选项正确， 对D,由，所以， 所以，所以，故D选项正确， 故选：ACD. 58．（25-26学年高一上·山东实验中学·期中）（多选）设函数的定义域为，满足，且，当时，，若，则以下正确的是（       ） A.  B. ， C.  D.  【答案】ACD 【分析】 由两个等式可得函数周期，根据周期结合求出a，然后利用赋值法可得b，再利用周期即可求出. 【详解】 因为， 所以，即， 又 所以，所以，C正确； 因为， 所以，B不正确； 在中，令，得，，A正确； 因为，所以，又，所以，解得， ，D正确. 故选：ACD 59．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若定义在上函数恒有，则是奇函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 函数的最小值为 【答案】ACD 【分析】 对于A，首先求出，令，可得，结合奇函数的定义即可判断；利用抽象函数定义域的求解方法判断选项B即可；分离常数，即可根据不等式的性质判断选项C;对于D，将函数转化为，利用换元法令，结合函数单调性即可求出最小值. 【详解】 对于A，由于定义在上函数恒有，令，则，解得：， 令，，即，所以是奇函数，则A正确； 对于B，因为函数的定义域为，所以,故，故的定义域为，进而，解得，即函数的定义域为，B错误； 对于C, ,当时，，故，因此，则C正确； 对于D，由，可得：，令，所以， 由于函数在时单调递增，则，即函数的最小值为，故D正确； 故选：ACD 60．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）（多选）已知定义在上的函数，满足，且，，，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C. 为奇函数 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】 取可知A正确；取，结合A中式子可知B错误；令可求得为偶函数，分别令、可证得D正确；取，，结合D的结论可证得C正确. 【详解】 对于A，取，则，A正确； 对于B，若恒成立，则，恒成立，显然不合题意， 不恒等于， 令，则，， 将代入A中式子可得：，即， ，B错误； 对于D，令，则，即， 为定义在上的偶函数，； 令，则， 令，则，即， ，的图象关于点对称，D正确； 对于C，取，，则， 由D知：，， 为奇函数，C正确. 故选：ACD. 61．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据已知在R上为奇函数，令，结合已知和单调性的定义及奇函数的对称性得在R上单调递减，并将不等式化为求解集. 【详解】 由题设，即在R上为奇函数，令， 在上，， 所以，故在上单调递减，且， 又，即在R上为奇函数， 综上，在R上单调递减， 由，则， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：D 62．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知函数满足，对于任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据分段函数单调性的性质，列出不等式，求出参数范围即可； 【详解】 由题意得，对于任意实数，都有成立， 不妨设，则，所以在上单调递减， 所以 ，解得． 故选：C. 63．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）（多选）已知函数的定义域是R，若对任意的，都有成立，且当时，，则下列说法中正确的是（       ）． A.  B. 函数是非奇非偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 的解集为 【答案】ACD 【分析】 对于A选项：将代入题干等式计算即可得出；对于B选项：将代入题干等式根据奇偶性的定义可判断正误；对于C选项：根据定义法证明单调性即可；对于D选项，利用函数单调性与奇偶性综合解不等式. 【详解】 由题知：对任意的， 都有（*）， 将带入（*）式得：， 故，故A选项正确； 将带入（*）式得， 而函数的定义域是R，易知为奇函数，故B选项错误； ，不妨令：， 令，，则， 将上述带入（*）式得：， 即：， 而，所以， 由题知：且当时，， 所以，故， 根据函数的单调性定义可知：函数在上单调递增，故C选项正确； 由不等式， 由B选项知为奇函数， 所以上述不等式可写为：， 由C选项知：函数在R上单调递增， 易知：，解得：或， 故的解集为，故D选项正确. 故选：ACD. 64．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，又称为“取整函数”.设，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 对任意整数，有 C. 设函数，则的值域为 D. 的解集为 【答案】BCD 【分析】 结合所给新定义逐项判断即可得. 【详解】 对A：，故A错误； 对B：设，则，对任意整数，， 则，故B正确； 对C：由，且，则，即， 故的值域为，故C正确； 对D：由，则，则有， 即， 又，故，则，即，故， 即的解集为，故D正确. 故选：BCD. 65．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）（多选）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 在同一直角坐标系内作出和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】 如图所示， 对于A，在同一坐标系内作出函数 和的大致图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，故A正确； 对于B，因为，，， 且函数关于对称， 由图象得，且，， 所以，可得，则， 所以，其中，令， 当且仅当时，取得最小值，所以，故B正确； 对于C，因为是的两个根，所以，即，所以， 由，是的两个根，所以， 所以，故C错误； 对于D，由，，且， ， 令，，易知在上单调递减， ，故D正确. 故选：ABD. 66．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集. 【详解】 令，由题意知在上为减函数， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 又在上为减函数，， 所以在上为减函数， ① 当时，，即， 所以，所以，解得； ② 当时，，即， 所以，所以，解得.所以或. 故选：D. 67．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论的正负，结合的单调性，分类求解，即可得答案. 【详解】 由题意可设，因为是定义在上的奇函数， 则，所以是定义在上的偶函数. 对任意，满足，即， ，即函数在上单调递减， 又是偶函数，故在上单调递增，且， 当时，，即，即， ； 当时，，即，即， ， 综上，不等式的解集为. 故选：C. 68．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）（多选）已知函数的定义域为，满足，当时，恒有，则（     ） A.  B. 为偶函数 C.  D. 在上单调递减 【答案】BCD 【分析】 A选项，通过赋值得到；B选项，通过赋值得到，即可判断奇偶性；C选项，赋值得到，然后再次赋值即可得到；D选项，令，，然后根据BC选项得到，最后根据定义判断单调性即可. 【详解】 令，，则，整理得， 因为，，所以，，故A错； 令，，则，整理得， 所以为偶函数，故B正确； 令，，则， 然后用替换可得，故C正确； 令，，， 所以，， ， 因为，，且为偶函数， 所以，，即， 因为，所以， 所以，即，所以在上单调递减， 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】 方法点睛：抽象函数性质研究： （1）函数值：通过赋特殊值求函数值； （2）奇偶性：通过赋值产生，，从而得到奇偶性； （3）单调性：通过赋值得到，然后判断正负得到单调性；或通过特殊值的思路，取复合要求的具体函数，然后判断单调性. 69．（25-26学年高一上·山东日照·期中）已知函数为偶函数，且，则（       ） A.  B.  C. 2025 D. 0 【答案】A 【分析】 根据函数的奇偶性列式求得再根据求出，即得函数解析式，根据函数解析式的特征，化简计算得，将所求式分组求和即得. 【详解】 因为为偶函数，所以，即， 化简得，因不恒为0，则故． 又由，可得，即，则， 又因为， 所以 ． 故选：A. 70．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）（多选）已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是（    ） A.  B. 函数在上单调递减 C.  D. 满足不等式的的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 根据给定条件，利用赋值法可判断A和C；结合函数单调性的定义可判断B；利用单调性解不等式可判断D. 【详解】 函数的定义域为且， 对于A，取，则，故A正确； 对于B，且，有， 因为时，，所以，于是， 即，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，取，，则， 即， 则有， 因此，故C正确； 对于D，由选项C知，， 则，， 所以不等式等价于 ， 因为函数在上单调递增， 所以 ，解得，故D正确. 故选：ACD. 71．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在区间上单调递增 C. 存在常数，使恒成立 D. 时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】 对A，由即可判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用运算得解；对D，将原式变形为，令，利用基本不等式求解. 【详解】 对于A，由，所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由，令，易知在上单调递减， 又在上单调递增， 所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C，由，即，化简整理得， 上式恒成立，则，所以存在常数使得恒成立，故C正确； 对于D，当时，， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 72．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）（多选）定义在上的函数，对，都有，且当时，恒成立，则（     ） A. 是偶函数 B. 在上单调递增 C.  D. 任意实数都满足 【答案】BCD 【分析】 利用赋值法计算可得C正确；根据奇偶性定义以及函数单调性定义可判断为奇函数，且在上单调递增，可判断A错误B正确；易知，再由奇函数性质以及单调性计算可得D正确. 【详解】 对于C，令，则，所以，故C正确； 对于A，令得，所以， 即，又不恒为0，所以只能为奇函数，故A错误； 对于B，令，且，故， 因为时，，所以， 即，所以，所以在上单调递增，故B正确； 对于D，由在上成立，得， 由为增函数，所以， 又为奇函数，所以，所以，故D正确， 故选：BCD． 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于根据函数性质得出奇偶性以及单调性，再根据不等式性质判断得出结论. 73．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）设函数，若，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定条件，确定函数的值域，设，分段解不等式得，进而分段解不等式即可. 【详解】 函数 ，当时，；当时，，因此， 令，则不等式化为， 当时，，则，，无解； 当时，，则，，若，则，解得； 若，则成立，即， 所以实数的取值范围是. 故选：D 74．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）（多选）已知定义在上的函数满足，当时，．下列结论正确的是（       ） A.  B.  C. 是奇函数 D.  【答案】BCD 【分析】 对于A，B，赋值法即可得出答案；对于C，令和得到两个等式，结合条件，化简得出，即可判断；对于D，由C得，结合B的结论即可得出答案. 【详解】 对于A：令，得，故A错误； 对于B：令，得，又， 所以，故B正确； 对于C：当时，令，得①， ，所以， 两式相加得， 令，得② ① -② 可得，所以， 故，且，所以是奇函数，故C正确； 对于D：由C得，， ， 故D正确； 故选：BCD. 75．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）已知表示二者中最大的一个），若，使得成立，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据函数的单调性求出的值域，数形结合，由题意确定在上的值域为值域的子集，从而列出不等式组，即可求得答案. 【详解】 由于在R上单调递减，在单调递增， 当时，，故 ， 则在上单调递减，在单调递增， 故在上的最小值为，即； 由， 令，则，则或， 作出函数的图象如图： 由于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 故 ，解得，即， 故选：A 76．（25-26学年高一上·山东菏泽·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则　　　　　　　　　　　；　　　　　　　　　　　． 【答案】① 3    ② 0 【分析】 根据奇函数的概念及性质求解即可. 【详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，， 故答案为：3；0. 77．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）若函数的最小值为，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】 当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 78．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知函数是定义域为的偶函数，且时，． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据函数的奇偶性求出当时的解析式，进而求解； （2）根据指数函数的单调性判断在的单调性，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可. (1) 小问详解： 由题意知，当时，， 所以，又， 所以， 得的解析式为 . (2) 小问详解： 当时，， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 由，得， 则，解得， 即不等式的解集为. 79．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）函数的图像关于点中心对称，则　　　　　. 【答案】 【分析】 根据对称中心求得，从而求得. 【详解】 函数的图像关于点中心对称， 所以 ，解得， 所以. 故答案为： 80．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）已知函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若对任意的，都有，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， ，，，， 在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用配凑法直接求解即可； （2）任取，由可得结论； （3）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果. (1) 小问详解： ，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知：在上单调递增，， ，解得：，的取值范围为. 81．（25-26学年高一上·山东济南·期中）老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质． 甲：对于，都有； 乙：函数在上是减函数； 丙：函数在上是增函数； 丁：不是函数的最小值． 如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数：　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 分析出若甲的说法正确，则丙的说法错误，乙丁的说法正确，可选择合适的函数；根据乙丙丁的说法正确，甲的说法正确可选择合适的函数. 【详解】 若甲的说法正确，则函数的图象关于直线对称， 则函数在上不单调，即丙的说法错误， 乙丁的说法正确，可取； 若乙丙丁的说法正确，甲的说法错误，可取 . 故答案为：（答案不唯一）. 82．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 【答案】（1）     （2） 设， ， ，，，， 在上是减函数.     （3） 【分析】 （1）根据可直接求得结果； （2）设，由可证得结论； （3）当时，，结合奇函数定义可求得在上的解析式，结合可得结果. (1) 小问详解： 为奇函数， . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，， ，； 又为定义在上的奇函数，， . 83．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 是奇函数，证明如下， 的定义域为，关于原点对称， ， 是奇函数；     （2）．      【分析】 （1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可； （2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，最后应用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 是增函数， 是上的减函数， 原不等式可化为， 即对一切成立， ① 当时，恒成立，符合题意； ② 当时，则有 ，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 84．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）若为定义在上的偶函数，函数，则　　　　　　　　　　. 【答案】4 【分析】 利用奇偶函数性质得，从而得到答案. 【详解】 由题意可得，所以 ， 故，所以. 故答案为：4. 85．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）定义在上的奇函数满足，且当时，，则的值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用奇偶性和对称性可证明周期性，即可求函数值. 【详解】 由是奇函数，可得，即 又因为，所以， 则有，故是周期为2的函数， 所以有，， 则， 故答案为： 86．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）设函数在区间的最大值为M，最小值为m，则　　　　　　　　． 【答案】4050 【分析】 构造函数，利用奇函数的性质求解. 【详解】 ， 令， 则当时，，， 又，即为奇函数， 则，由题意得，故， 故答案为：4050． 87．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且． （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式． 【答案】（1），，     （2） 由（1）得，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数.     （3）      【分析】 （1）根据题意，结合和，列出方程，即可求得的值； （2）由（1）得，根据函数单调性的概念与判定方法，即可证得是上的单调递增； （3）根据题意，把不等式转化为，结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，则， 此时满足题意，所以， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足 ，解得， 所以不等式的解集为. 88．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）已知． （1）求的值域； （2）设，若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）由的值域观察得到值域； （2）将恒成立与能成立问题转化为，讨论求解. (1) 小问详解： ， ，，，，， 故的值域为． (2) 小问详解： 由题意可知：， 由指数函数性质得在定义域内单调递增， 可知在定义域内单调递增，且，可得， 又因为，所以，可得． ① 当时，，与题意矛盾，所以． ② 当时，，则，解得． ③ 当时，，则，解得． 综上，或． 89．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 分，和三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案. 【详解】 解：当时，， 当时，，， ，， 则此时函数的值域不是， 故不符合题意； 当时，，， ，， 则此时函数的值域不是， 故不符合题意； 当时，，， ，， 因为函数 的值域为， 所以 ，解得， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为：. 90．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数的图象关于点中心对称． （1）求实数a的值： （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1）     （2） 函数是增函数，证明如下： 因为，所以， 设是任意两个实数，且， ， 因为，所以，因此， 所以函数是增函数；     （3）      【分析】 （1）根据函数的平移性质，结合函数的对称性进行求解即可； （2）根据函数的单调性定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可； （3）根据函数的对称性和单调性进行求解即可. (1) 小问详解： 因为函数，的图像关于点中心对称， 所以该函数向下平移一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称， 即函数的图像关于点中心对称， 因此函数是奇函数， 于是有，即， 因为， 所以是奇函数，因此符合题意； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数，的图像关于点中心对称， 所以，即， 所以由， 因为函数是增函数， 所以，或， 解得，或， 因此原不等式的解集为. 91．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 不等式变形为，然后由单调性可知恒成立，利用二次函数性质求解即可. 【详解】 ， 因为在上单调递增，在上单调递增，且连续， 所以在上单调递增， 所以不等式， 所以对任意，恒成立，即 因为开口向下， 所以 ，解得. 故答案为： 92．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值. （2）试判断的单调性（不需要证明），并求的值域． （3）解关于的不等式． 【答案】（1）     （2）函数在上为增函数，的值域为     （3）      【分析】 （1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值； （2）分离函数，根据复合函数单调性判断单调性并求解值域即可得结论； （3）由奇函数在上为增函数，可将原不等式转化为，利用指数函数与一元二次函数解不等式可得所求解集． (1) 小问详解： 由定义域为的函数是奇函数， 可得，即有， 即， 所以； (2) 小问详解： 由于， 因为函数在上为增函数，所以在上为减函数， 所以函数在上为增函数， 由于，所以，于是可得， 故的值域为； (3) 小问详解： 由（2）得，函数为奇函数且在上为增函数， 故原不等式等价为， 即，令，则不等式化为，解得 又，所以，故，解得， 所以不等式的解集为：. 93．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题干若存在实数，使得成立，转化为分段函数有值域重合或在时为常函数，对分类讨论即可. 【详解】 若存在实数，使得成立， 只需使分段函数的两个函数有值域重合部分或者在时为常函数即可， 易知f(x)=在上单调递增，其值域为， 故需满足函数在上的值域与有重合部分即可， 或者在时为常函数. 当，此时为常函数，满足题意； 当，此时f(x)=mx+ 2在上单调递增，最大值为， 若要使其值域与有重合，只需让，即； 当，此时f(x)=mx+ 2在上单调递减，值域为[m+2,+∞ )， 其值域一定与有重合，故； 综上，， 故答案为：. 94．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）设是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，函数的解析式是　　　　　　． 【答案】 【详解】由题意知时，利用已知的解析式求出，再由奇函数，得出时的解析式. 【详解】 解：设，则，又因为函数是奇函数， 所以 ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式，即把自变量的范围转化到已知的范围内求对应的解析式，属于基础题型. 95．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； （3）已知函数当时，的值域为，求实数的取值范围.（只需写出答案） 【答案】（1） 函数为奇函数. 证明：定义域，因为，都有， 且， 所以函数为奇函数.     （2） 函数在区间上单调递增. 任取，，则 因为,，，所以， 即，所以函数在区间上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用奇函数定义证明； （2）根据单调性定义证明； （3）作出的图象，观察图象得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 的范围，理由如下： 先证明函数在区间上单调递减. 任取，， 则， 因为，，，所以， 即，所以函数在区间上单调递减. 根据的单调性与奇偶性可以作出的图象如下：    计算可知：， 由图可知， 当时，的值域为，的取值范围为. 96．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）已知函数是定义在上的函数，且． （1）求出的值并写出函数的解析式； （2）用定义法证明在上是减函数； （3）若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），，，     （2） 对，且， . 其中，，.                                    因此，，即对且，有. 所以函数在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）由，列出方程求解即可； （2）由减函数的定义即可求证； （3）由函数单调性去“”即可求解. (1) 小问详解： 因函数 是定义在上的函数， 由于，故，即. 又因为，所以，即.    故函数的解析式为，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因，有意义，所以，，解得； 因为，函数在上单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 97．（25-26学年高一上·山东济南·期中）已知函数，且. （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若当时，，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）是奇函数，证明：的定义域为 ，所以是奇函数.     （3）      【分析】 （1）通过代入求 （2）先计算定义域，定义域关于原点对称且判断是奇函数 （3）将不等式化简，凑出符合基本不等式的形式求最值，结合恒成立要求得范围 (1) 小问详解： 解得： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，即 整理得：， 两边同乘以，得 当时，， 所以上式等价于 因为 当且仅当，即时等号成立 所以的取值范围是. 98．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的5小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：（为常数）：若使用口服方式给药，由于药物包衣溶解，药物在小白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：．现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰． （1）若，求5小时内，小白鼠用药后何时血液中的药物浓度最高，并求出最大值； （2）若使小白鼠在用药后5小时内血液中的药物浓度都不低于3，求实数的取值范围． 【答案】（1）小时，最大值为     （2）      【分析】 （1）设药物浓度为，根据条件得 ，再利用二次函数及“双勾”函数的性质，求出分段函数的最大值，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成在上恒成立且在上恒成立，再利用二次函数的性质，即可求解. (1) 小问详解： 设药物浓度为，由题知， 又（为常数）， ， 所以 ,又，则 ， 当时，，令，则， 当，即时，取到最大值，最大值为， 当时，，又易知在区间上单调递减， 所以当时，， 所以小白鼠用药后半小时血液中的药物浓度最高，最大值为. (2) 小问详解： 由（1）知 ， 当时，由恒成立，得到在上恒成立， 令，则， 易知的对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递增，所以， 当时，由恒成立，得到在上恒成立， 令，则在上恒成立， 易知的对称轴为，且开口向下， 所以在上单调递增，所以， 又， 所以实数的取值范围为. 99．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）已知函数，对于任意的，都有，当时，． （1）求的值； （2）判断的奇偶性和单调性； （3）设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围． 【答案】（1）     （2）为奇函数；函数是上的减函数     （3）或．      【分析】 （1）在已知等式中令，可得； （2）令，可得奇偶性，再用单调性的定义证明单调性； （3）由奇函数性质及已知变形的形式，然后在中由的单调性化简得，即，作出函数的图象，它与直线的交点个数得结论． (1) 小问详解： 令，代入得，所以． (2) 小问详解： 令， 代入，可得， 所以，可得函数为奇函数； 任取，且 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数． (3) 小问详解： ，即 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即 令 作出的图象如图，结合图象，可得：当或时，函数有2个零点， 即实数m的取值范围为或． 100．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）已知函数，则最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定的函数，令，再利用单调性求出最小值. 【详解】 函数的定义域为，， 令，函数在上单调递增， 则，所以最小值为. 故答案为： 101．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）已知定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，当时，，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据函数的奇偶性可判断函数的周期为4，即可利用周期性求解. 【详解】 由是偶函数，得，则. 由是奇函数，得，则， 因此，函数是以4为周期的周期函数， 又当时，，所以. 故答案为： 102．（25-26学年高一上·山东菏泽·期中）已知函数． （1）当实数时，写出的单调区间，并用定义证明在上的单调性； （2）对任意实数，写出的单调区间（无需证明）； （3）当实数时，求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1） 单调递减区间是，单调递增区间是， 证明如下：设，则 因为， 所以， 又，所以，即， 故在上单调递减     （2） 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是， 当时，的单调递增区间是， 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是．     （3） 时，最大值为， 当时，最大值为．      【分析】 （1）判断单调性，再应用单调性定义证明单调性； （2）应用解析式判断函数单调性； （3）应用单调性得出最值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是， 当时，的单调递增区间是， 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是． (3) 小问详解： 在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为． 因为， 当，即时，最大值为， 当，即时，最大值为． 103．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）已知奇函数的定义域为，且时，，则　　　　　.（写出具体数值） 【答案】 【分析】 根据奇函数的性质求得参数的值，再由奇函数定义求值． 【详解】 由题意，可得，即，得， 所以时，， 所以. 故答案为：. 104．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 ，所以函数在上严格递增，从而得到不等式组，求出的取值范围为. 【详解】 因为对于任意，当时，都有， 即， 所以函数在上严格递增， 即 在上严格递增， 所以 ，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 105．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）已知函数. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）当时， （i）根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为. 因为，都有， 且， 所以为偶函数.     （2）（i）当时，， ，且， 有 . 由，得，，所以，， 因为，所以， 又由，得，于是， 即. 所以，在区间上单调递增. （ii）      【分析】 （1）根据函数奇偶性定义判断证明； （2）（i）根据函数单调性定义证明；（ii）根据偶函数性质等价于恒成立，利用单调性求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）略 （ii）由（1）知是定义域为的偶函数， 所以恒成立，等价于恒成立， 又由（i）知在区间上单调递增， 所以 即 由，得，解得， 所以，实数的取值范围为. 106．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）已知是定义在上的偶函数，且时，. （1）求的解析式； （2）判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论. 【答案】（1）     （2） 在区间上单调递减.证明如下： 由（1）知，当时，. 任取，且， 则， ， 因为，且，所以，， 所以，即， 所以在区间上单调递减.      【分析】 （1）当时，，根据偶函数定义，求解； （2）利用单调性定义证明. (1) 小问详解： 当时，，所以， 因为是偶函数，所以， 所以，当时，， 所以 . (2) 小问详解： 略 107．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）已知函数，. （1）若为奇函数，求的值； （2）若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）应用奇函数定义化简计算求参； （2）把不等式成立转化为最值关系，再分类讨论结合基本不等式计算求解. (1) 小问详解： 因为恒成立， 所以，函数的定义域为. 若为奇函数，则， 即， 所以，即， 因为上式对任意的恒成立，所以. (2) 小问详解： 因为对任意的，总存在， 使得，所以. 因为，， 所以求，只需考虑的情形， 此时， 当且仅当时，等号成立. 所以. 求，只需考虑的情形， 此时， 当且仅当时，等号成立. 所以. 于是， 解得. 108．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）在上是递减函数，证明： 由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数.     （3）.      【分析】 （1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. (1) 小问详解： 由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 109．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明. （3）求的值域. 【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以， 又在上单调递增，故， 又， 故， 所以， 故在上单调递增；     （3）      【分析】 （1）根据得到方程，求出，检验满足在上为奇函数； （2）定义法证明函数单调性，其步骤为：取点，作差，变形定号，下结论； （3）变形得到，故，解不等式求出答案. (1) 小问详解： 是定义在上的奇函数，故， 故，解得， 所以， 由于，故满足在上为奇函数， 故； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， 故，即，解得， 故的值域为. 110．（25-26学年高一上·山东淄博第十八中学·期中）定义域在R的单调函数满足恒等式，且. （1）求，； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），     （2）函数是奇函数，证明如下： 令∴∴，即 ∴函数是奇函数.     （3）      【分析】 （1）取代入函数满足的等式，整理可得，再令，根据，可算出； （2）令，可得，即，可得函数为奇函数； （3）根据函数是单调函数且，得是定义域在上的增函数，再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出的取值范围. (1) 小问详解： 令可得，令∴∴∴； (2) 小问详解： 函数是奇函数，证明略； (3) 小问详解： 是奇函数，且在时恒成立， ∴在时恒成立， 又∵是定义域在R的单调函数，且∴是R上的增函数，∴即在时恒成立，∴在时恒成立.令， ∵∴.由抛物线图象可得∴，则实数的取值范围为. 111．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）若是定义在上的奇函数，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 由求得，并验证，再结合，求并验证，即可求解. 【详解】 由函数为奇函数，可得， 解得：或， 当时，，即定义域为， 当时，，舍去， 又， 解得，经检验，符合题意， 所以， 故答案为： 112．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为　　　　　　　　　　；若，则实数t的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】① 2    ② 【分析】 （1）根据题意可得即可求出c的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式得，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式. 【详解】 因为函数的图象关于点成中心对称图形， 所以， 即， 即，所以， 所以在定义域上单调递减， 令， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以的图象关于对称， 且单调递减， 因为，即， 即，也即， 所以则解得或， 故实数t的取值范围是. 113．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）已知函数（为常数）是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并说明理由； （3）证明：对，恒成立. 【答案】（1）；     （2） 是上的减函数.理由如下： 任取且. . ， ，，， 即， 是上的减函数.     （3） 因为，， 所以，又， 所以， 得证.      【分析】 （1）由求得，并验证即可； （2）由函数单调性的定义即可求解； （3）由恒成立即可求证. (1) 小问详解： 因为是定义域为的奇函数， 所以，解得， 经验值符合题意， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 114．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中），若在定义域内单调递增，则实数a的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】根据在定义域内单调递增即可得出 ，解出a的范围即可. 【详解】解：由于函数在和上递减，在的上递增， ∵在定义域内单调递增； ∴ ,解得； ∴实数a的取值范围为：. 【点睛】考查增函数的定义，二次函数和的单调性，复合函数的单调性，分段函数每一段的单调性需服从整体的单调性． 115．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）已知函数. （1）求的定义域，并求，的值； （2）观察（1）中的函数值，请猜想具有的两个性质，并选择其中一个加以证明； （3）解不等式：. 【答案】（1）     （2）猜想性质1：为奇函数； 证明：函数定义域为， 则，故为奇函数； 猜想性质2：函数在定义域上单调递减， 证明：取， 则 ， 因为，故， 则，故， 即， 故在定义域上单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据函数的解析式，代入求值，即得答案； （2）结合（1）的结果，猜测函数的奇偶性和单调性，结合定义，即可证明； （3）利用函数的奇偶性以及单调性，将原不等式转化为关于t的不等式，结合指数函数性质以及解一元二次不等式，即得答案. (1) 小问详解： 由，得，即函数定义域为， 则， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知为奇函数，故即， 又在定义域上单调递减.， 故，解，即， 解，即， 解 得， 故的解集为. 116．（25-26学年高一上·山东实验中学·期中）已知函数 在上是单调函数，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分段函数的在单调递增建立不等式组解出即可. 【详解】 当时，函数为增函数，故函数 在上是单调递增函数， 所以 ，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 117．（25-26学年高一上·山东实验中学·期中）已知函数的定义域为，当时，． （1）求的值； （2）证明：函数在上为单调减函数； （3）解不等式． 【答案】（1）-1     （2）证明：当时，有，且当时， ，且，则，. 由，得， 有， 即，所以函数在上为单调减函数；     （3）      【分析】 （1）令，代入题意中的等式即可求解； （2）由题意可得，令，利用定义法即可证明函数的单调性； （3）将原不等式转化为，由（1）得，结合（2）建立不等式组，解之即可求解. (1) 小问详解： 由题意知，令， 则，得； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 由，得， 由，得， 即，由（1）知， 所以， 由（2）知函数在上为单调减函数， 所以 ，解得， 即原不等式的解集为. 118．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是　　　　　　　　. 【答案】或或. 【分析】 根据条件可知一正一负，然后结合图象以及函数的奇偶性分别求解出对应解集，由此可知结果. 【详解】 因为，所以 或 ， 因为是偶函数，是奇函数， 所以时，，时，，时，，时，； 所以时，，时，，时，，时，， 所以当 时，解得：或， 当 时，解得：. 所以不等式的解集为或或. 故答案为：或或 119．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，. （1）求函数的解析式； （2）判断并证明函数在上的单调性； （3）令，若对任意的都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）函数在上的单调递减，在上单调递增      证明如下：取且                且 即                                                                          ，即 函数在上的单调递减                               同理可证得函数在上单调递增 .    （3） 【详解】 试题分析：(1) 由题意易得： ，从而解得a，b的值，得到函数的表达式；（2）利用函数的单调性定义判断函数在上的单调性；（3）对任意的都有恒成立，即. 试题解析： （1） ，即         又函数是定义在上的奇函数 ，，即        解得：                                (2) 函数在上的单调递减，在上单调递增      证明略      (3) 令                                            由（2）可知函数在上单调递减，在上单调递增                                                      函数的对称轴方程为 函数在上单调递增 当时，；当时， 即，             又对任意的都有恒成立                            即 解得. 点睛：恒成立的问题常规处理方法，往往转化为函数的最值问题，如果含有参数的话，可以先变量分离，然后再求不含参的函数的最值即可，有时也可以构造两个函数通过数形结合的方法来处理恒成立问题. 120．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）已知函数，若对，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2） 函数在上单调递增，证明如下： ，且， 则， 因为，所以，，则， 所以，即， 所以，函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数定义域对称求得的值，并检验得解； （2）利用函数单调性定义判断证明； （3）根据题意问题转化为，求出最值得解. (1) 小问详解： 因为是奇函数，则其定义域关于原点对称，即， 则，经验证，，故满足题意. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意得：， 由（2）知，在上单调递增，所以， 由，得对称轴方程为， ① 当时，即时，在上单调递减， 所以，解得，又，故无解； ② 当时，即时，， 解得，又，所以； ③ 当时，即时，在上单调递增， 所以，解得，又，所以. 综上，实数的取值范围为. 121．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）写出当时的解析式； （2）当时，求不等式的解集； （3）若不等式对任意都成立，求的取值范围. 【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 （1）设，则，，根据奇函数的性质求出即可； （2）将代入不等式整理可得，根据指数函数的单调性求解即可； （3）分离参数化简不等式可得对任意都成立，利用函数单调性求的最大值即可. (1) 小问详解： 设，则，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. (2) 小问详解： 由（1）得时，所以，即， 所以，， 所以，， 因为，所以，则， 又因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 因为当时，，又， 所以， 所以， 整理得， 设，因为，所以，即， 所以，， 因为对任意都成立， 所以对任意都成立，所以即可， 又因为在上单调递增， 所以当时取得最大值，且最大值， 所以，即的取值范围为. 122．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知函数在区间上的最大值为5，最小值为2，记. （1）求实数、的值： （2）若不等式成立，求实数的取值范围； （3）定义在上的一个函数，用分法将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数.试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由. （参考公式：） 【答案】（1），     （2）     （3）是上的有界变差函数，的最小值为      【分析】 （1）利用二次函数性质得，，根据题意列方程组求解即可； （2）利用的奇偶性和单调性可得，解不等式即可； （3）由函数解析式得在上单调递增，结合有界变差函数的定义判断即可. (1) 小问详解： 因为，由二次函数性质知，开口向上，对称轴为，所以在上单调递增， ， ，解得，； (2) 小问详解： 由（1）知，， 则 ， 因为，所以为偶函数， 函数的图象如图， 不等式等价于， 即或，解得， 所以实数的取值范围是； (3) 小问详解： 是上的有界变差函数,理由如下， 由（2）知函数在上单调递增， 所以，， 则对任意划分， 有 所以， 整理得：， 所以存在常数，使得恒成立， 所以是上的有界变差函数，的最小值为. 【点睛】 关键点点睛：本题考查了根据最值求参数，根据函数的单调性解不等式，函数的新定义，意在考查学生的计算能力，数形结合能力，知识迁移能力，其中正确理解新定义，运用新定义是解题的关键. 123．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）若函数为偶函数，则它的充要条件是其图象关于轴对称；我们可将这个结论推广为若函数为偶函数，则它的充要条件是的图象关于直线成轴对称图形；若函数为奇函数，则它的充要条件是其图象关于点成中心对称；我们可将这个结论推广为若函数为奇函数，则它的充要条件是的图象关于点成中心对称． （1）求函数图象的对称轴（直接写出结论，不需证明）； （2）求函数图象的对称中心，并给出证明； （3）在（2）中，我们可通过奇函数图象的平移来得到对称中心．如果我们将函数一般化，猜想函数图象的对称中心又是怎样的呢？请说明理由． 【答案】（1）直线     （2） 函数图象的对称中心为点，证明如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数， 故有，即，故. 又，代入化简得， 即对任意的恒成立， ，解得 . 故函数图象的对称中心为点.     （3） 关于成中心对称.原因如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，故有，即， 即. 又，代入上式化简得 对任意的恒成立， 故，， 即. 综上所述，图象的对称中心为.      【分析】 （1）根据二次函数的性质即可知道函数图象的对称轴； （2）（3）根据题目所给推广知识设出函数图像的对称中心，代入求解即可求得对称中心. (1) 小问详解： 函数图象的对称轴为直线. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 124．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）已知定义在上的函数满足，当时，． （1）求，并证明是奇函数 （2）存在，使得成立，求的取值范围． （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围． 【答案】（1），证明： 令，得， 所以，解得， 令，得， 所以，所以， 即，所以， 所以，所以是奇函数；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用赋值法可求得，，可得结论. （2）由题意，进而利用单调性的定义可证在上单调递增，进而可得，参变分离，进而结合求解即可. （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再分类讨论求得使成立的实数的取值范围即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 令，则由， 可得， ，且， 所以， 又因为，，所以，所以， 所以在上单调递增， 由，得， 所以，所以， 所以， 令， 因为，所以，所以，所以， 所以，所的取值范围． (3) 小问详解： 若对任意的，存在，使得， 则， 又时，在上单调递增，所以，所以， 又的对称轴为， 当时，在上单调递增，， 解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，， 解得，所以； 综上可知，实数的取值范围是. 125．（25-26学年高一上·山东济南·期中）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，不必说明理由； （2）已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 【答案】（1）①     （2）①②或      【分析】 （1）结合定义逐项计算最大值与最小值的差即可得； （2）① 分与讨论函数在时的最大最小值即可得；② 结合定义，分、与讨论即可得. (1) 小问详解： ① 因为，所以，所以， 得，故是在上的“美好函数”； ② 因为，所以，所以， 得，故不是在上的“美好函数”； ③ 因为，所以，所以， 得，故不是在上的“美好函数”； (2) 小问详解： ① 由题得， 当时，可知， 所以，当时，， 此时， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有； 当时，， 此时， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 故； ②时，函数，可知此时， 函数的图象的对称轴为直线且开口向上； 当时，此时函数在上单调递减， 此时，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得； 当时，此时函数在上单调递减，在单调递增， 所以当时，， 因为函数是在上的“美好函数”，所以有； 令，解得或， 所以此时（舍去），或（舍去）， 当时，此时函数在上单调递增， 此时，，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得； 综上所述：或. 126．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）已知函数，且． （1）求实数的值，并判断函数的奇偶性（不需证明）： （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3），使得，求的取值范围． 【答案】（1），偶函数     （2） 函数在上单调递减，证明如下： 设， 则 ， ，，，， 所以，即，也就是， 所以函数在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据所给的条件，列式可求的值，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性； （2）利用函数单调性定义判断证明； （3）先根据给出的条件，把原不等式转化为，再结合函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. (1) 小问详解： 由，即， ，得对恒成立， ，则，， 又，所以为偶函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为在上单调递增，所以， 存在，使得，只需即可， 因为，， 所以，， 所以不等式可化为，即， 又因为为偶函数，且在上单调递减，定义域为， 上式等价于，所以，即， ，解得， 又， 所以所求不等式的解集为. 127．（25-26学年高一上·山东日照·期中）设函数是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义法证明你的结论； （3）若，不等式对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2） 由（1）的 ，且， ， ，所以函数单调递减 若，所以函数单调递增.     （3）      【分析】 （1）由求得的值，并验证； （2）利用函数单调性的定义证得在上的单调性； （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，得，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得的取值范围. (1) 小问详解： （1）由于是定义在上的奇函数， 所以， 此时， 满足是奇函数，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，所以函数单调递减且为定义域为的奇函数. 依题意，不等式恒成立， 即恒成立， 由于单调递减，所以， ， 令， 则对于函数，在单调递增，最小值为2， 所以的最大值为-2，所以 128．（25-26学年高一上·山东日照·期中）已知是定义域为的函数，将函数值按如下顺序排列：，其中.记前个函数值的最大值为，第个之后函数值的最小值为，令. （1）若，当时，，求和的值； （2）设为正整数，证明：的充分必要条件为； （3）证明：若，则序列，中不存在大于2的数，且有无穷多项为1. 【答案】（1），     （2） 充分性：因为，且，则， 因此. 必要性：因为，则， 又因为，所以，于是， 因此，， 所以的充分必要条件为.     （3） 方法一：因为，则， 即对任意， 假设该序列中存在大于2的项， 设为满足的最小正整数，则，并且对任意， 又因为，则有，且， 于是， 因此，与矛盾， 从而对于任意，都有，则序列的各项只能为1或2. 方法二：设m为满足的最小正整数，则，并且对任意，， 又因为，则有， 因为，所以，且， 所以，又因为，所以，与矛盾. 从而对于任意，都有，则序列的各项只能为1或2. 因为对任意，，于是， 假定是序列中最后一个1，则，而，于是，矛盾， 所以序列有无穷多项为1.      【分析】 （1）根据题目所给函数性质，以及递推公式，逐一求出结果； （2）根据充分必要条件的性质，以及题干所给递推公式，证明命题即可； （3）本题有两种方法可解，方法一：根据反证法，假设存在大于2的项，根据序列的单调性和递推公式，说明矛盾之处，证明结果.方法二：根据反证法，先证明序列的各项都只能是1或2，在假设有有限个1，说明矛盾证明有无穷多项为1，从而证明命题. (1) 小问详解： 依题意，， 则，则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 129．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数. （1）已知，判断和是否为倒函数； （2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式. （3）若定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，若，函数，求在上的值域. 【答案】（1）是倒函数，不是倒函数     （2）     （3）      【分析】 （1）判断函数是否为倒函数，先检验定义域对称性，再验证函数乘积恒为； （2）已知是上的倒函数，且已知时的表达式，利用倒函数的性质，将未知区间转化为已知区间求解； （3）已知是单调递增的倒函数，且，利用，结合单调性确定在区间上的取值范围，通过换元将复杂表达式转化为二次函数，利用单调性确定变量范围，进而求值域. (1) 小问详解： 对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立， 又，故是倒函数， 对于，定义域为，当时， 不符合倒函数的定义，故不是倒函数； (2) 小问详解： 令，则，由倒函数的定义，可得， 即，故 ； (3) 小问详解： 由题可得是倒函数，且在上单调递增，， ，， 设，，则 ，， 设， 令，，则， 代入得， 即， 对称轴，在区间上单调递增， 时，，时，， 故，即在上的值域为. 130．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）定义：若对定义域内任意，都有（且为常数），则称函数为“距”减函数． （1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由； （2）若是“距”减函数，求实数的取值范围； （3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数的取值范围及的最大值． 【答案】（1）是，理由如下： 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以是“1距”减函数.     （2）     （3）； 当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为.      【分析】 （1）分析函数的单调性，即可，再根据“1距”减函数的概念做出判断. （2）根据“距”减函数的概念可得对恒成立，再根据可求的取值范围. （3）根据“2距”减函数，结合指数函数的单调性，可求参数的取值范围；再结合二次函数的对称轴和区间的位置关系进行讨论，求函数的最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意对恒成立， 即对恒成立. 由， 因为，所以对恒成立. 所以， 结合，得. 即的取值范围为. (3) 小问详解： 由对恒成立. 因为当，，所以. 故实数的取值范围为. 设，，. 当即时，在上单调递增， 所以，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 综上，当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 131．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且对任意，，都有． （1）设函数，证明：为奇函数； （2）十九世纪著名数学家柯西研究并证明了如下结论：若函数的图象是连续不断的，且对任意，都有，则，其中为常数．假设． （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）设，若不等式的解集为，求，的值． 【答案】（1） 函数的定义域为，关于原点对称，， 令，得，即， 令，得， ， ， ， 为奇函数．     （2）（ⅰ）； （ⅱ），      【分析】 （1）已知定义域为，关于原点对称，利用已知条件等式，结合赋值法得出函数，满足奇函数定义，命题得证； （2）利用（1）结论，结合已知条件等式，求出解析式；根据关系及不等式解集，结合解析式，分情况讨论得出的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）由（1）知，， ， ，，， ，． （ⅱ）不等式的解集为， 当时，有 ，即 ， ，故， 解得，，不合题意，舍去； 当且时，有 ，即 ，解得，； 当且时，有 ，即 ，解得，， 而，不合题意，舍去； 当时，有 ，即 ，解得或，或， ，，但，不合题意，舍去． 综上，，的值为，． 132．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）函数的定义域为，对于，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：为减函数； （3）若，求不等式的解集． 【答案】（1）     （2） 设，且， 则，， 因为， 所以， 所以为减函数.     （3）      【分析】 （1）利用赋值法，令求解即可； （2）由，得，然后化简即可证明； （3）由和化简不等式得，结合定义域利用单调性解不等式即可. (1) 小问详解： 令，则，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为， 所以， 由，则， 又因为在上单调递减， 所以 ，解得， 所以不等式的解集为. 133．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b； （3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在与上均为增函数， 若存在完美区间， 则有 ，即为的两根． 即的根，故，即存在“完美区间”.     （2），.     （3） 存在，      【分析】 （1）根据完美区间的定义，结合的单调性与区间端点值证明即可； （2）设定义域为，值域为，再列方程组求解即可； （3）作出的图像，讨论与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为 当时，易得在区间上单调递减， 则 ，两式相减可得，得， 则，即，因为，解得，. (3) 小问详解： ，图象如图所示，令，解得或， （ⅰ）当时，，由，两式相除，， ， ，可得，与a，b范围矛盾，即实数不存在 （ⅱ）当时，，由可得，，即， ，由，即，解得， 又，，， 由，可得， 综上，符合条件的k的取值范围为. 【点睛】 关键点点睛：本题第三问的关键是对进行分类讨论，最后分离出结合二次函数的性质即可求出最值. 134．（25-26学年高一上·山东菏泽第一中学·期中）已知为幂函数. （1）求的值和的解析式； （2）用定义法证明：在上是减函数； （3）①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围. 参考公式：. 【答案】（1）或，.     （2） 由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数.     （3）①；②      【分析】 （1）根据幂函数的定义由求出的值，即得函数解析式； （2）根据函数的单调性定义证明即可； （3）① 利用函数的单调性及，得到 ，求解即得参数的取值范围；② 根据题意将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最大值问题，利用基本不等式求解即得. (1) 小问详解： 因为幂函数，则， 解得或，则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ① 由（2）知，在上是减函数，且， 因为所以，则 ， 由解得或；由解得， 故可得， 即实数的取值范围是. ② 因为恒成立，即恒成立，也即恒成立， 令，当且仅当，即时等号成立， 则，所以， 则实数的取值范围是. 135．（25-26学年高一上·山东菏泽第一中学·期中）已知函数 （1）对于函数 ，如果存在实数a，b使得 ，那么称为的生成函数，据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使成为函数的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由. （2）若 其中 求 的取值范围. （3）若x，m均为正整数，求函数 的最小值（用m表示） 及的最大值. 【答案】（1）不存在实数m使成为函数的生成函数，理由如下： 假若存在实数m使成为函数的生成函数，由题意得， ，当时恒成立 ∴ ，恒成立，此方程无解， 不存在实数m使成为函数的生成函数.     （2）     （3） ，.      【分析】 （1）依据题意列出等式，化简整理，依据函数恒等式的意义，判断是否存在对应系数即可得到答案. （2）利用确定的情况，在结合的表达式，依据单调性等即可求出取值范围. （3）先求出的表达式，结合二次函数的性质分析当x，m均为正整数时函数 的最小值和最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设 ，则， 有两个解为，即， 得，且判别式，解得， ，在上单调递增， ， 即. (3) 小问详解： 有题意得函数 ， x，m均为正整数，， 是开口向上的二次函数，其对称轴为， m均为正整数，要找到离对称轴最近的正整数来确定最小值， ① 当时，对称轴为，，； ② 当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是，，； ③ 当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是或，，； ④ 当时，，，， 综上所述， 通过前面计算可知当时， ； 当时， ；当时，， 当时，， 综上所述，. 136．（25-26学年高一上·山东实验中学·期中）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“差一函数”. （1）下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的“差一函数”，并说明理由. （2）已知函数. ①当时，函数是在上的“差一函数”，求实数的值； ②当时，函数是在（为整数）上的“差一函数”，且存在，使得，求实数的值. 【答案】（1）① 是，理由如下： 对于① ，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，符合题意； 对于② ，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，不符合题意； 对于③ ，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，不符合题意， 所以① 是在上的差一函数.     （2）①或；②.      【分析】 （1）根据“差一函数”的定义逐个分析判断即可. （2）① 求出二次函数的对称轴，再按，，和分类求函数在给定范围上的最值，并利用列方程即可求出的值，②由二次函数的性质知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ①当时，二次函数的对称轴为直线， 且在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，， 当时，，当时，函数在上单调递增， 则，解得，舍去； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）或； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）或； 当时，函数在上单调递减， 则，解得，舍去， 综上所述，或. ②由已知得，二次函数对称轴为直线， 由，即，得，则， 函数在上单调递增， 此函数在处取得最大值，在处取得最小值， 因此， 由为整数，且，得，则，即的值为5， 又，因此， 解得，故实数的值为. 137．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）函数． （1）已知：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．求函数图象的对称中心． （2）证明：． （3）定义：对区间内任意两点和，有，则函数在区间上为下凸函数，不等式反向则为上凸函数． （i）判断在区间上是下凸函数还是上凸函数（无需证明）： （ii）将（i）结论作为已知条件，证明在区间上是上凸函数． 【答案】（1）     （2） 对任意， ， 因为，所以，， 所以，即， 所以.     （3）（i）下凸函数 （ii）设，令，， 因为，所以，同理，即， 由（i）知在区间上是下凸函数. 所以对任意，有， 又， 所以， 由（1）关于中心对称，则， 则， ， 且 ， 所以， . 根据上凸函数的定义，可得在区间上是上凸函数.      【分析】 （1）设函数的对称中心为，根据函数对称中心的充要条件列式求解； （2）利用作差法求解判断； （3）（i）利用作差比较法，结合不等式性质可证明在区间上，不等式成立；（ii）设，令，，结合（i）在区间上是下凸函数和（1）对称性，借助转化运算得解. (1) 小问详解： 设函数的对称中心为，则为奇函数. ， 由，得 ， 即， ，解得， 当时， 则， 由，可知是奇函数. 所以由题意充要条件可知函数的图象关于点成中心对称图形， 即函数的对称中心为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： （i）在区间上是下凸函数. 即证明：和，. 证明：，和， 令，则， ， 同理， ， 则，令， 则，所以 由，则，又， 故， 因此由定义可知，在区间上是下凸函数. 故函数在区间上是下凸函数. （ii）略 138．（25-26学年高一上·山东日照·期中）已知对任意两个实数，定义.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，.若对任意的，都有，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据已知定义，结合奇函数的性质，求出函数的解析式并画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】 因为函数是定义域为的奇函数，所以有， 当时，由，得， 所以 ， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时， ， 因此函数的图象如下图所示：    因为对任意，都有， 所以将函数的图象向右平移个单位后，图象不在的上方， 因此有且，解得，且， 因此实数的取值范围是. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．D 2．B 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D 8．C 9．A 10．C 11．D 12．D 13．C 14．A 15．AD 16．D 17．C 18．A 19．BCD 20．B 21．BD 22．D 23．B 24．ABD 25．BD 26．D 27．D 28．C 29．A 30．A 31．A 32．B 33．ACD 34．ABC 35．A 36．ACD 37．B 38．CD 39．C 40．D 41．ABD 42．C 43．B 44．BCD 45．D 46．A 47．ACD 48．AD 49．ABD 50．ABD 51．BC 52．C 53．C 54．B 55．C 56．A 57．ACD 58．ACD 59．ACD 60．ACD 61．D 62．C 63．ACD 64．BCD 65．ABD 66．D 67．C 68．BCD 69．A 70．ACD 71．ACD 72．BCD 73．D 74．BCD 75．A 76．【答案】① 3    ② 0 【分析】 根据奇函数的概念及性质求解即可. 【详解】 因为是定义在上的奇函数， 所以，， 故答案为：3；0. 77．【答案】 【分析】 根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】 当时，，因为的图象关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当时，，当且仅当时等号成立； 若最小值为可得，即，解得； 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 78．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据函数的奇偶性求出当时的解析式，进而求解； （2）根据指数函数的单调性判断在的单调性，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可. (1) 小问详解： 由题意知，当时，， 所以，又， 所以， 得的解析式为 . (2) 小问详解： 当时，， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 由，得， 则，解得， 即不等式的解集为. 79．【答案】 【分析】 根据对称中心求得，从而求得. 【详解】 函数的图像关于点中心对称， 所以 ，解得， 所以. 故答案为： 80．【答案】（1）     （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， ，，，， 在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用配凑法直接求解即可； （2）任取，由可得结论； （3）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果. (1) 小问详解： ，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知：在上单调递增，， ，解得：，的取值范围为. 81．【答案】（答案不唯一） 【分析】 分析出若甲的说法正确，则丙的说法错误，乙丁的说法正确，可选择合适的函数；根据乙丙丁的说法正确，甲的说法正确可选择合适的函数. 【详解】 若甲的说法正确，则函数的图象关于直线对称， 则函数在上不单调，即丙的说法错误， 乙丁的说法正确，可取； 若乙丙丁的说法正确，甲的说法错误，可取 . 故答案为：（答案不唯一）. 82．【答案】（1）     （2） 设， ， ，，，， 在上是减函数.     （3） 【分析】 （1）根据可直接求得结果； （2）设，由可证得结论； （3）当时，，结合奇函数定义可求得在上的解析式，结合可得结果. (1) 小问详解： 为奇函数， . (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时，， ，； 又为定义在上的奇函数，， . 83．【答案】（1） 是奇函数，证明如下， 的定义域为，关于原点对称， ， 是奇函数；     （2）．      【分析】 （1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可； （2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，最后应用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 是增函数， 是上的减函数， 原不等式可化为， 即对一切成立， ① 当时，恒成立，符合题意； ② 当时，则有 ，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 84．【答案】4 【分析】 利用奇偶函数性质得，从而得到答案. 【详解】 由题意可得，所以 ， 故，所以. 故答案为：4. 85．【答案】 【分析】 利用奇偶性和对称性可证明周期性，即可求函数值. 【详解】 由是奇函数，可得，即 又因为，所以， 则有，故是周期为2的函数， 所以有，， 则， 故答案为： 86．【答案】4050 【分析】 构造函数，利用奇函数的性质求解. 【详解】 ， 令， 则当时，，， 又，即为奇函数， 则，由题意得，故， 故答案为：4050． 87．【答案】（1），，     （2） 由（1）得，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数.     （3）      【分析】 （1）根据题意，结合和，列出方程，即可求得的值； （2）由（1）得，根据函数单调性的概念与判定方法，即可证得是上的单调递增； （3）根据题意，把不等式转化为，结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，则， 此时满足题意，所以， (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足 ，解得， 所以不等式的解集为. 88．【答案】（1）；     （2）或      【分析】 （1）由的值域观察得到值域； （2）将恒成立与能成立问题转化为，讨论求解. (1) 小问详解： ， ，，，，， 故的值域为． (2) 小问详解： 由题意可知：， 由指数函数性质得在定义域内单调递增， 可知在定义域内单调递增，且，可得， 又因为，所以，可得． ① 当时，，与题意矛盾，所以． ② 当时，，则，解得． ③ 当时，，则，解得． 综上，或． 89．【答案】 【分析】 分，和三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案. 【详解】 解：当时，， 当时，，， ，， 则此时函数的值域不是， 故不符合题意； 当时，，， ，， 则此时函数的值域不是， 故不符合题意； 当时，，， ，， 因为函数 的值域为， 所以 ，解得， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为：. 90．【答案】（1）     （2） 函数是增函数，证明如下： 因为，所以， 设是任意两个实数，且， ， 因为，所以，因此， 所以函数是增函数；     （3）      【分析】 （1）根据函数的平移性质，结合函数的对称性进行求解即可； （2）根据函数的单调性定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可； （3）根据函数的对称性和单调性进行求解即可. (1) 小问详解： 因为函数，的图像关于点中心对称， 所以该函数向下平移一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称， 即函数的图像关于点中心对称， 因此函数是奇函数， 于是有，即， 因为， 所以是奇函数，因此符合题意； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数，的图像关于点中心对称， 所以，即， 所以由， 因为函数是增函数， 所以，或， 解得，或， 因此原不等式的解集为. 91．【答案】 【分析】 不等式变形为，然后由单调性可知恒成立，利用二次函数性质求解即可. 【详解】 ， 因为在上单调递增，在上单调递增，且连续， 所以在上单调递增， 所以不等式， 所以对任意，恒成立，即 因为开口向下， 所以 ，解得. 故答案为： 92．【答案】（1）     （2）函数在上为增函数，的值域为     （3）      【分析】 （1）由奇函数的定义和恒等式的性质，可得所求值； （2）分离函数，根据复合函数单调性判断单调性并求解值域即可得结论； （3）由奇函数在上为增函数，可将原不等式转化为，利用指数函数与一元二次函数解不等式可得所求解集． (1) 小问详解： 由定义域为的函数是奇函数， 可得，即有， 即， 所以； (2) 小问详解： 由于， 因为函数在上为增函数，所以在上为减函数， 所以函数在上为增函数， 由于，所以，于是可得， 故的值域为； (3) 小问详解： 由（2）得，函数为奇函数且在上为增函数， 故原不等式等价为， 即，令，则不等式化为，解得 又，所以，故，解得， 所以不等式的解集为：. 93．【答案】 【分析】 根据题干若存在实数，使得成立，转化为分段函数有值域重合或在时为常函数，对分类讨论即可. 【详解】 若存在实数，使得成立， 只需使分段函数的两个函数有值域重合部分或者在时为常函数即可， 易知f(x)=在上单调递增，其值域为， 故需满足函数在上的值域与有重合部分即可， 或者在时为常函数. 当，此时为常函数，满足题意； 当，此时f(x)=mx+ 2在上单调递增，最大值为， 若要使其值域与有重合，只需让，即； 当，此时f(x)=mx+ 2在上单调递减，值域为[m+2,+∞ )， 其值域一定与有重合，故； 综上，， 故答案为：. 94．【答案】 【详解】由题意知时，利用已知的解析式求出，再由奇函数，得出时的解析式. 【详解】 解：设，则，又因为函数是奇函数， 所以 ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式，即把自变量的范围转化到已知的范围内求对应的解析式，属于基础题型. 95．【答案】（1） 函数为奇函数. 证明：定义域，因为，都有， 且， 所以函数为奇函数.     （2） 函数在区间上单调递增. 任取，，则 因为,，，所以， 即，所以函数在区间上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用奇函数定义证明； （2）根据单调性定义证明； （3）作出的图象，观察图象得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 的范围，理由如下： 先证明函数在区间上单调递减. 任取，， 则， 因为，，，所以， 即，所以函数在区间上单调递减. 根据的单调性与奇偶性可以作出的图象如下：    计算可知：， 由图可知， 当时，的值域为，的取值范围为. 96．【答案】（1），，，     （2） 对，且， . 其中，，.                                    因此，，即对且，有. 所以函数在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）由，列出方程求解即可； （2）由减函数的定义即可求证； （3）由函数单调性去“”即可求解. (1) 小问详解： 因函数 是定义在上的函数， 由于，故，即. 又因为，所以，即.    故函数的解析式为，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因，有意义，所以，，解得； 因为，函数在上单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 97．【答案】（1）     （2）是奇函数，证明：的定义域为 ，所以是奇函数.     （3）      【分析】 （1）通过代入求 （2）先计算定义域，定义域关于原点对称且判断是奇函数 （3）将不等式化简，凑出符合基本不等式的形式求最值，结合恒成立要求得范围 (1) 小问详解： 解得： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，即 整理得：， 两边同乘以，得 当时，， 所以上式等价于 因为 当且仅当，即时等号成立 所以的取值范围是. 98．【答案】（1）小时，最大值为     （2）      【分析】 （1）设药物浓度为，根据条件得 ，再利用二次函数及“双勾”函数的性质，求出分段函数的最大值，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成在上恒成立且在上恒成立，再利用二次函数的性质，即可求解. (1) 小问详解： 设药物浓度为，由题知， 又（为常数）， ， 所以 ,又，则 ， 当时，，令，则， 当，即时，取到最大值，最大值为， 当时，，又易知在区间上单调递减， 所以当时，， 所以小白鼠用药后半小时血液中的药物浓度最高，最大值为. (2) 小问详解： 由（1）知 ， 当时，由恒成立，得到在上恒成立， 令，则， 易知的对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递增，所以， 当时，由恒成立，得到在上恒成立， 令，则在上恒成立， 易知的对称轴为，且开口向下， 所以在上单调递增，所以， 又， 所以实数的取值范围为. 99．【答案】（1）     （2）为奇函数；函数是上的减函数     （3）或．      【分析】 （1）在已知等式中令，可得； （2）令，可得奇偶性，再用单调性的定义证明单调性； （3）由奇函数性质及已知变形的形式，然后在中由的单调性化简得，即，作出函数的图象，它与直线的交点个数得结论． (1) 小问详解： 令，代入得，所以． (2) 小问详解： 令， 代入，可得， 所以，可得函数为奇函数； 任取，且 又因为时，，且，所以， 所以，即，所以函数是上的减函数． (3) 小问详解： ，即 所以 ， 令，即， 因为函数是上的减函数，所以，即 令 作出的图象如图，结合图象，可得：当或时，函数有2个零点， 即实数m的取值范围为或． 100．【答案】 【分析】 根据给定的函数，令，再利用单调性求出最小值. 【详解】 函数的定义域为，， 令，函数在上单调递增， 则，所以最小值为. 故答案为： 101．【答案】 【分析】 根据函数的奇偶性可判断函数的周期为4，即可利用周期性求解. 【详解】 由是偶函数，得，则. 由是奇函数，得，则， 因此，函数是以4为周期的周期函数， 又当时，，所以. 故答案为： 102．【答案】（1） 单调递减区间是，单调递增区间是， 证明如下：设，则 因为， 所以， 又，所以，即， 故在上单调递减     （2） 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是， 当时，的单调递增区间是， 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是．     （3） 时，最大值为， 当时，最大值为．      【分析】 （1）判断单调性，再应用单调性定义证明单调性； （2）应用解析式判断函数单调性； （3）应用单调性得出最值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是， 当时，的单调递增区间是， 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是． (3) 小问详解： 在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为． 因为， 当，即时，最大值为， 当，即时，最大值为． 103．【答案】 【分析】 根据奇函数的性质求得参数的值，再由奇函数定义求值． 【详解】 由题意，可得，即，得， 所以时，， 所以. 故答案为：. 104．【答案】 【分析】 ，所以函数在上严格递增，从而得到不等式组，求出的取值范围为. 【详解】 因为对于任意，当时，都有， 即， 所以函数在上严格递增， 即 在上严格递增， 所以 ，解得， 即的取值范围为. 故答案为：. 105．【答案】（1） 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为. 因为，都有， 且， 所以为偶函数.     （2）（i）当时，， ，且， 有 .. 由，得，，所以，， 因为，所以， 又由，得，于是， 即. 所以，在区间上单调递增. （ii）      【分析】 （1）根据函数奇偶性定义判断证明； （2）（i）根据函数单调性定义证明；（ii）根据偶函数性质等价于恒成立，利用单调性求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）略 （ii）由（1）知是定义域为的偶函数， 所以恒成立，等价于恒成立， 又由（i）知在区间上单调递增， 所以 即 由，得，解得， 所以，实数的取值范围为. 106．【答案】（1）     （2） 在区间上单调递减.证明如下： 由（1）知，当时，. 任取，且， 则， ， 因为，且，所以，， 所以，即， 所以在区间上单调递减.      【分析】 （1）当时，，根据偶函数定义，求解； （2）利用单调性定义证明. (1) 小问详解： 当时，，所以， 因为是偶函数，所以， 所以，当时，， 所以 . (2) 小问详解： 略 107．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）应用奇函数定义化简计算求参； （2）把不等式成立转化为最值关系，再分类讨论结合基本不等式计算求解. (1) 小问详解： 因为恒成立， 所以，函数的定义域为. 若为奇函数，则， 即， 所以，即， 因为上式对任意的恒成立，所以. (2) 小问详解： 因为对任意的，总存在， 使得，所以. 因为，， 所以求，只需考虑的情形， 此时， 当且仅当时，等号成立. 所以. 求，只需考虑的情形， 此时， 当且仅当时，等号成立. 所以. 于是， 解得. 108．【答案】（1）；     （2）在上是递减函数，证明： 由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数.     （3）.      【分析】 （1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. (1) 小问详解： 由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 109．【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以， 又在上单调递增，故， 又， 故， 所以， 故在上单调递增；     （3）      【分析】 （1）根据得到方程，求出，检验满足在上为奇函数； （2）定义法证明函数单调性，其步骤为：取点，作差，变形定号，下结论； （3）变形得到，故，解不等式求出答案. (1) 小问详解： 是定义在上的奇函数，故， 故，解得， 所以， 由于，故满足在上为奇函数， 故； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ， 故，即，解得， 故的值域为. 110．【答案】（1），     （2）函数是奇函数，证明如下： 令∴∴，即 ∴函数是奇函数.     （3）      【分析】 （1）取代入函数满足的等式，整理可得，再令，根据，可算出； （2）令，可得，即，可得函数为奇函数； （3）根据函数是单调函数且，得是定义域在上的增函数，再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出的取值范围. (1) 小问详解： 令可得，令∴∴∴； (2) 小问详解： 函数是奇函数，证明略； (3) 小问详解： 是奇函数，且在时恒成立， ∴在时恒成立， 又∵是定义域在R的单调函数，且∴是R上的增函数，∴即在时恒成立，∴在时恒成立.令， ∵∴.由抛物线图象可得∴，则实数的取值范围为. 111．【答案】 【分析】 由求得，并验证，再结合，求并验证，即可求解. 【详解】 由函数为奇函数，可得， 解得：或， 当时，，即定义域为， 当时，，舍去， 又， 解得，经检验，符合题意， 所以， 故答案为： 112．【答案】① 2    ② 【分析】 （1）根据题意可得即可求出c的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式得，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式. 【详解】 因为函数的图象关于点成中心对称图形， 所以， 即， 即，所以， 所以在定义域上单调递减， 令， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以的图象关于对称， 且单调递减， 因为，即， 即，也即， 所以则解得或， 故实数t的取值范围是. 113．【答案】（1）；     （2） 是上的减函数.理由如下： 任取且. . ， ，，， 即， 是上的减函数.     （3） 因为，， 所以，又， 所以， 得证.      【分析】 （1）由求得，并验证即可； （2）由函数单调性的定义即可求解； （3）由恒成立即可求证. (1) 小问详解： 因为是定义域为的奇函数， 所以，解得， 经验值符合题意， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 114．【答案】 【分析】根据在定义域内单调递增即可得出 ，解出a的范围即可. 【详解】解：由于函数在和上递减，在的上递增， ∵在定义域内单调递增； ∴ ,解得； ∴实数a的取值范围为：. 【点睛】考查增函数的定义，二次函数和的单调性，复合函数的单调性，分段函数每一段的单调性需服从整体的单调性． 115．【答案】（1）     （2）猜想性质1：为奇函数； 证明：函数定义域为， 则，故为奇函数； 猜想性质2：函数在定义域上单调递减， 证明：取， 则 ， 因为，故， 则，故， 即， 故在定义域上单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据函数的解析式，代入求值，即得答案； （2）结合（1）的结果，猜测函数的奇偶性和单调性，结合定义，即可证明； （3）利用函数的奇偶性以及单调性，将原不等式转化为关于t的不等式，结合指数函数性质以及解一元二次不等式，即得答案. (1) 小问详解： 由，得，即函数定义域为， 则， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知为奇函数，故即， 又在定义域上单调递减.， 故，解，即， 解，即， 解 得， 故的解集为. 116．【答案】 【分析】 根据分段函数的在单调递增建立不等式组解出即可. 【详解】 当时，函数为增函数，故函数 在上是单调递增函数， 所以 ，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 117．【答案】（1）-1     （2）证明：当时，有，且当时， ，且，则，. 由，得， 有， 即，所以函数在上为单调减函数；     （3）      【分析】 （1）令，代入题意中的等式即可求解； （2）由题意可得，令，利用定义法即可证明函数的单调性； （3）将原不等式转化为，由（1）得，结合（2）建立不等式组，解之即可求解. (1) 小问详解： 由题意知，令， 则，得； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 由，得， 由，得， 即，由（1）知， 所以， 由（2）知函数在上为单调减函数， 所以 ，解得， 即原不等式的解集为. 118．【答案】或或. 【分析】 根据条件可知一正一负，然后结合图象以及函数的奇偶性分别求解出对应解集，由此可知结果. 【详解】 因为，所以 或 ， 因为是偶函数，是奇函数， 所以时，，时，，时，，时，； 所以时，，时，，时，，时，， 所以当 时，解得：或， 当 时，解得：. 所以不等式的解集为或或. 故答案为：或或 119．【答案】（1）； （2）函数在上的单调递减，在上单调递增      证明如下：取且                且 即                                                                          ，即 函数在上的单调递减                               同理可证得函数在上单调递增 .    （3） 【详解】 试题分析：(1) 由题意易得： ，从而解得a，b的值，得到函数的表达式；（2）利用函数的单调性定义判断函数在上的单调性；（3）对任意的都有恒成立，即. 试题解析： （1） ，即         又函数是定义在上的奇函数 ，，即        解得：                                (2) 函数在上的单调递减，在上单调递增      证明略      (3) 令                                            由（2）可知函数在上单调递减，在上单调递增                                                      函数的对称轴方程为 函数在上单调递增 当时，；当时， 即，             又对任意的都有恒成立                            即 解得. 点睛：恒成立的问题常规处理方法，往往转化为函数的最值问题，如果含有参数的话，可以先变量分离，然后再求不含参的函数的最值即可，有时也可以构造两个函数通过数形结合的方法来处理恒成立问题. 120．【答案】（1）     （2） 函数在上单调递增，证明如下： ，且， 则， 因为，所以，，则， 所以，即， 所以，函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据奇函数定义域对称求得的值，并检验得解； （2）利用函数单调性定义判断证明； （3）根据题意问题转化为，求出最值得解. (1) 小问详解： 因为是奇函数，则其定义域关于原点对称，即， 则，经验证，，故满足题意. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意得：， 由（2）知，在上单调递增，所以， 由，得对称轴方程为， ① 当时，即时，在上单调递减， 所以，解得，又，故无解； ② 当时，即时，， 解得，又，所以； ③ 当时，即时，在上单调递增， 所以，解得，又，所以. 综上，实数的取值范围为. 121．【答案】（1）；     （2）     （3）      【分析】 （1）设，则，，根据奇函数的性质求出即可； （2）将代入不等式整理可得，根据指数函数的单调性求解即可； （3）分离参数化简不等式可得对任意都成立，利用函数单调性求的最大值即可. (1) 小问详解： 设，则，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. (2) 小问详解： 由（1）得时，所以，即， 所以，， 所以，， 因为，所以，则， 又因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 因为当时，，又， 所以， 所以， 整理得， 设，因为，所以，即， 所以，， 因为对任意都成立， 所以对任意都成立，所以即可， 又因为在上单调递增， 所以当时取得最大值，且最大值， 所以，即的取值范围为. 122．【答案】（1），     （2）     （3）是上的有界变差函数，的最小值为      【分析】 （1）利用二次函数性质得，，根据题意列方程组求解即可； （2）利用的奇偶性和单调性可得，解不等式即可； （3）由函数解析式得在上单调递增，结合有界变差函数的定义判断即可. (1) 小问详解： 因为，由二次函数性质知，开口向上，对称轴为，所以在上单调递增， ， ，解得，； (2) 小问详解： 由（1）知，， 则 ， 因为，所以为偶函数， 函数的图象如图， 不等式等价于， 即或，解得， 所以实数的取值范围是； (3) 小问详解： 是上的有界变差函数,理由如下， 由（2）知函数在上单调递增， 所以，， 则对任意划分， 有 所以， 整理得：， 所以存在常数，使得恒成立， 所以是上的有界变差函数，的最小值为. 【点睛】 关键点点睛：本题考查了根据最值求参数，根据函数的单调性解不等式，函数的新定义，意在考查学生的计算能力，数形结合能力，知识迁移能力，其中正确理解新定义，运用新定义是解题的关键. 123．【答案】（1）直线     （2） 函数图象的对称中心为点，证明如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数， 故有，即，故. 又，代入化简得， 即对任意的恒成立， ，解得 . 故函数图象的对称中心为点.     （3） 关于成中心对称.原因如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，故有，即， 即. 又，代入上式化简得 对任意的恒成立， 故，， 即. 综上所述，图象的对称中心为.      【分析】 （1）根据二次函数的性质即可知道函数图象的对称轴； （2）（3）根据题目所给推广知识设出函数图像的对称中心，代入求解即可求得对称中心. (1) 小问详解： 函数图象的对称轴为直线. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 124．【答案】（1），证明： 令，得， 所以，解得， 令，得， 所以，所以， 即，所以， 所以，所以是奇函数；     （2）     （3）      【分析】 （1）利用赋值法可求得，，可得结论. （2）由题意，进而利用单调性的定义可证在上单调递增，进而可得，参变分离，进而结合求解即可. （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再分类讨论求得使成立的实数的取值范围即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 令，则由， 可得， ，且， 所以， 又因为，，所以，所以， 所以在上单调递增， 由，得， 所以，所以， 所以， 令， 因为，所以，所以，所以， 所以，所的取值范围． (3) 小问详解： 若对任意的，存在，使得， 则， 又时，在上单调递增，所以，所以， 又的对称轴为， 当时，在上单调递增，， 解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，， 解得，所以； 综上可知，实数的取值范围是. 125．【答案】（1）①     （2）①②或      【分析】 （1）结合定义逐项计算最大值与最小值的差即可得； （2）① 分与讨论函数在时的最大最小值即可得；② 结合定义，分、与讨论即可得. (1) 小问详解： ① 因为，所以，所以， 得，故是在上的“美好函数”； ② 因为，所以，所以， 得，故不是在上的“美好函数”； ③ 因为，所以，所以， 得，故不是在上的“美好函数”； (2) 小问详解： ① 由题得， 当时，可知， 所以，当时，， 此时， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有； 当时，， 此时， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 故； ②时，函数，可知此时， 函数的图象的对称轴为直线且开口向上； 当时，此时函数在上单调递减， 此时，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得； 当时，此时函数在上单调递减，在单调递增， 所以当时，， 因为函数是在上的“美好函数”，所以有； 令，解得或， 所以此时（舍去），或（舍去）， 当时，此时函数在上单调递增， 此时，，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得； 综上所述：或. 126．【答案】（1），偶函数     （2） 函数在上单调递减，证明如下： 设， 则 ， ，，，， 所以，即，也就是， 所以函数在上单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据所给的条件，列式可求的值，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性； （2）利用函数单调性定义判断证明； （3）先根据给出的条件，把原不等式转化为，再结合函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解，要注意函数的定义域. (1) 小问详解： 由，即， ，得对恒成立， ，则，， 又，所以为偶函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为在上单调递增，所以， 存在，使得，只需即可， 因为，， 所以，， 所以不等式可化为，即， 又因为为偶函数，且在上单调递减，定义域为， 上式等价于，所以，即， ，解得， 又， 所以所求不等式的解集为. 127．【答案】（1）     （2） 由（1）的 ，且， ， ，所以函数单调递减 若，所以函数单调递增.     （3）      【分析】 （1）由求得的值，并验证； （2）利用函数单调性的定义证得在上的单调性； （3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，得，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得的取值范围. (1) 小问详解： （1）由于是定义在上的奇函数， 所以， 此时， 满足是奇函数，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，所以函数单调递减且为定义域为的奇函数. 依题意，不等式恒成立， 即恒成立， 由于单调递减，所以， ， 令， 则对于函数，在单调递增，最小值为2， 所以的最大值为-2，所以 128．【答案】（1），     （2） 充分性：因为，且，则， 因此. 必要性：因为，则， 又因为，所以，于是， 因此，， 所以的充分必要条件为.     （3） 方法一：因为，则， 即对任意， 假设该序列中存在大于2的项， 设为满足的最小正整数，则，并且对任意， 又因为，则有，且， 于是， 因此，与矛盾， 从而对于任意，都有，则序列的各项只能为1或2. 方法二：设m为满足的最小正整数，则，并且对任意，， 又因为，则有， 因为，所以，且， 所以，又因为，所以，与矛盾. 从而对于任意，都有，则序列的各项只能为1或2. 因为对任意，，于是， 假定是序列中最后一个1，则，而，于是，矛盾， 所以序列有无穷多项为1.      【分析】 （1）根据题目所给函数性质，以及递推公式，逐一求出结果； （2）根据充分必要条件的性质，以及题干所给递推公式，证明命题即可； （3）本题有两种方法可解，方法一：根据反证法，假设存在大于2的项，根据序列的单调性和递推公式，说明矛盾之处，证明结果.方法二：根据反证法，先证明序列的各项都只能是1或2，在假设有有限个1，说明矛盾证明有无穷多项为1，从而证明命题. (1) 小问详解： 依题意，， 则，则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 129．【答案】（1）是倒函数，不是倒函数     （2）     （3）      【分析】 （1）判断函数是否为倒函数，先检验定义域对称性，再验证函数乘积恒为； （2）已知是上的倒函数，且已知时的表达式，利用倒函数的性质，将未知区间转化为已知区间求解； （3）已知是单调递增的倒函数，且，利用，结合单调性确定在区间上的取值范围，通过换元将复杂表达式转化为二次函数，利用单调性确定变量范围，进而求值域. (1) 小问详解： 对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立， 又，故是倒函数， 对于，定义域为，当时， 不符合倒函数的定义，故不是倒函数； (2) 小问详解： 令，则，由倒函数的定义，可得， 即，故 ； (3) 小问详解： 由题可得是倒函数，且在上单调递增，， ，， 设，，则 ，， 设， 令，，则， 代入得， 即， 对称轴，在区间上单调递增， 时，，时，， 故，即在上的值域为. 130．【答案】（1）是，理由如下： 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以是“1距”减函数.     （2）     （3）； 当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为.      【分析】 （1）分析函数的单调性，即可，再根据“1距”减函数的概念做出判断. （2）根据“距”减函数的概念可得对恒成立，再根据可求的取值范围. （3）根据“2距”减函数，结合指数函数的单调性，可求参数的取值范围；再结合二次函数的对称轴和区间的位置关系进行讨论，求函数的最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意对恒成立， 即对恒成立. 由， 因为，所以对恒成立. 所以， 结合，得. 即的取值范围为. (3) 小问详解： 由对恒成立. 因为当，，所以. 故实数的取值范围为. 设，，. 当即时，在上单调递增， 所以，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 综上，当时，函数的最大值为， 当时，函数的最大值为. 131．【答案】（1） 函数的定义域为，关于原点对称，， 令，得，即， 令，得， ， ， ， 为奇函数．     （2）（ⅰ）； （ⅱ），      【分析】 （1）已知定义域为，关于原点对称，利用已知条件等式，结合赋值法得出函数，满足奇函数定义，命题得证； （2）利用（1）结论，结合已知条件等式，求出解析式；根据关系及不等式解集，结合解析式，分情况讨论得出的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）由（1）知，， ， ，，， ，． （ⅱ）不等式的解集为， 当时，有 ，即 ， ，故， 解得，，不合题意，舍去； 当且时，有 ，即 ，解得，； 当且时，有 ，即 ，解得，， 而，不合题意，舍去； 当时，有 ，即 ，解得或，或， ，，但，不合题意，舍去． 综上，，的值为，． 132．【答案】（1）     （2） 设，且， 则，， 因为， 所以， 所以为减函数.     （3）      【分析】 （1）利用赋值法，令求解即可； （2）由，得，然后化简即可证明； （3）由和化简不等式得，结合定义域利用单调性解不等式即可. (1) 小问详解： 令，则，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为， 所以， 由，则， 又因为在上单调递减， 所以 ，解得， 所以不等式的解集为. 133．【答案】（1） 在与上均为增函数， 若存在完美区间， 则有 ，即为的两根． 即的根，故，即存在“完美区间”.     （2），.     （3） 存在，      【分析】 （1）根据完美区间的定义，结合的单调性与区间端点值证明即可； （2）设定义域为，值域为，再列方程组求解即可； （3）作出的图像，讨论与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为 当时，易得在区间上单调递减， 则 ，两式相减可得，得， 则，即，因为，解得，. (3) 小问详解： ，图象如图所示，令，解得或， （ⅰ）当时，，由，两式相除，， ， ，可得，与a，b范围矛盾，即实数不存在 （ⅱ）当时，，由可得，，即， ，由，即，解得， 又，，， 由，可得， 综上，符合条件的k的取值范围为. 【点睛】 关键点点睛：本题第三问的关键是对进行分类讨论，最后分离出结合二次函数的性质即可求出最值. 134．【答案】（1）或，.     （2） 由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数.     （3）①；②      【分析】 （1）根据幂函数的定义由求出的值，即得函数解析式； （2）根据函数的单调性定义证明即可； （3）① 利用函数的单调性及，得到 ，求解即得参数的取值范围；② 根据题意将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最大值问题，利用基本不等式求解即得. (1) 小问详解： 因为幂函数，则， 解得或，则. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ① 由（2）知，在上是减函数，且， 因为所以，则 ， 由解得或；由解得， 故可得， 即实数的取值范围是. ② 因为恒成立，即恒成立，也即恒成立， 令，当且仅当，即时等号成立， 则，所以， 则实数的取值范围是. 135．【答案】（1）不存在实数m使成为函数的生成函数，理由如下： 假若存在实数m使成为函数的生成函数，由题意得， ，当时恒成立 ∴ ，恒成立，此方程无解， 不存在实数m使成为函数的生成函数.     （2）     （3） ，.      【分析】 （1）依据题意列出等式，化简整理，依据函数恒等式的意义，判断是否存在对应系数即可得到答案. （2）利用确定的情况，在结合的表达式，依据单调性等即可求出取值范围. （3）先求出的表达式，结合二次函数的性质分析当x，m均为正整数时函数 的最小值和最大值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设 ，则， 有两个解为，即， 得，且判别式，解得， ，在上单调递增， ， 即. (3) 小问详解： 有题意得函数 ， x，m均为正整数，， 是开口向上的二次函数，其对称轴为， m均为正整数，要找到离对称轴最近的正整数来确定最小值， ① 当时，对称轴为，，； ② 当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是，，； ③ 当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是或，，； ④ 当时，，，， 综上所述， 通过前面计算可知当时， ； 当时， ；当时，， 当时，， 综上所述，. 136．【答案】（1）① 是，理由如下： 对于① ，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，符合题意； 对于② ，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，不符合题意； 对于③ ，在上单调递增，当时，，当时，， 因此，不符合题意， 所以① 是在上的差一函数.     （2）①或；②.      【分析】 （1）根据“差一函数”的定义逐个分析判断即可. （2）① 求出二次函数的对称轴，再按，，和分类求函数在给定范围上的最值，并利用列方程即可求出的值，②由二次函数的性质知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ①当时，二次函数的对称轴为直线， 且在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，， 当时，，当时，函数在上单调递增， 则，解得，舍去； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）或； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）或； 当时，函数在上单调递减， 则，解得，舍去， 综上所述，或. ②由已知得，二次函数对称轴为直线， 由，即，得，则， 函数在上单调递增， 此函数在处取得最大值，在处取得最小值， 因此， 由为整数，且，得，则，即的值为5， 又，因此， 解得，故实数的值为. 137．【答案】（1）     （2） 对任意， ， 因为，所以，， 所以，即， 所以.     （3）（i）下凸函数 （ii）设，令，， 因为，所以，同理，即， 由（i）知在区间上是下凸函数. 所以对任意，有， 又， 所以， 由（1）关于中心对称，则， 则， ， 且 ， 所以， . 根据上凸函数的定义，可得在区间上是上凸函数.      【分析】 （1）设函数的对称中心为，根据函数对称中心的充要条件列式求解； （2）利用作差法求解判断； （3）（i）利用作差比较法，结合不等式性质可证明在区间上，不等式成立；（ii）设，令，，结合（i）在区间上是下凸函数和（1）对称性，借助转化运算得解. (1) 小问详解： 设函数的对称中心为，则为奇函数. ， 由，得 ， 即， ，解得， 当时， 则， 由，可知是奇函数. 所以由题意充要条件可知函数的图象关于点成中心对称图形， 即函数的对称中心为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： （i）在区间上是下凸函数. 即证明：和，. 证明：，和， 令，则， ， 同理， ， 则，令， 则，所以 由，则，又， 故， 因此由定义可知，在区间上是下凸函数. 故函数在区间上是下凸函数. （ii）略 138．【答案】 【分析】 根据已知定义，结合奇函数的性质，求出函数的解析式并画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】 因为函数是定义域为的奇函数，所以有， 当时，由，得， 所以 ， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时， ， 因此函数的图象如下图所示：    因为对任意，都有， 所以将函数的图象向右平移个单位后，图象不在的上方， 因此有且，解得，且， 因此实数的取值范围是. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $