专题05 指数函数与对数函数（期中真题汇编，山东专用）高一数学上学期

专题05 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．D 2．A 3．B 4．【答案】100 【分析】 利用指数运算法则计算得解. 【详解】 . 故答案为：100 5．【答案】 【分析】 根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】 . 故答案为： 6．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据幂指数运算法则计算得解. （2）利用指数运算法则化简求解. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 由，得，， 所以 7．【答案】1 【分析】 根据根式与分数指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】 . 故答案为：1. 考点02 指数函数 1．D 2．D 3．A 4．A 5．A 6．C 7．C 8．D 9．ABD 10．D 11．ABD 12．D 13．CD 14．CD 15．C 16．【答案】 【分析】 根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】 当，即时，， 所以定点坐标为 故答案为： 17．【答案】 【分析】 根据指数函数的性质计算可得. 【详解】 因为函数（且）恒过点， 所以函数（且）恒过点，即. 故答案为： 18．【答案】 【分析】 利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间. 【详解】 因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 故答案为：. 19．【答案】 【分析】 结合的值域，可分析得到必为减函数，再根据分段函数整体的图象，数形结合，即得解 【详解】 由题意，的值域为： 要使得： 的值域为 必为减函数，因此 可作出函数图象如图，由图象可知 解之得.    故答案为： 20．【答案】 【分析】 根据基本初等函数的性质，以及定义域的概念，列出不等式，求出结果即可. 【详解】 由题意得，即，可得，解得； 故答案为：. 21．【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）把代入，利用指数函数的值域，结合二次函数求出值域. （2）按分类，结合指数函数的值域及二次函数求出取得最小值的. （3）由（2）的结论，等价变形不等式，分享参数并构造函数，求出最小值即可得解. (1) 小问详解： 当时，，而， 所以的值域为. (2) 小问详解： 令，函数， 当，即时，在上递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上递减，在上递增， 所以，而，解得， 所以的最小值为时，. (3) 小问详解： 由（2）知，， 不等式， 设，依题意，有实数解， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)利用在处有意义的奇函数的性质即可求解；(2)结合已知条件，利用换元法和一元二次函数性质，并对参数分类讨论即可求解. (1) 小问详解： 因为是定义域为得奇函数，所以，即，解得. (2) 小问详解： 当时， 令， 因为在是增函数，所以. 令，， ① 若，在上单调递增， 故，不合题意； ② 若，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得， 因为，所以； ③ 若，在上单调递减， 故解得，舍去. 综上所述，. 23．【答案】2 【分析】 根据指数函数的性质可得定点得坐标，利用点在函数上可得，结合基本不等式求解的最值即可. 【详解】 当时，函数，则定点，所以， 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2. 故答案为：2. 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由不等式的解集为，由韦达定理建立方程求解即可； （2）不等式对恒成立，分离参数转化为对恒成立，利用基本不等式求解最小值即可. (1) 小问详解： 由题意，，且和1是关于的方程的两根， 故 解得 (2) 小问详解： 由对恒成立，即对恒成立， 只要，其中. 而， 当且仅当即时取等号. 故当时，取最小值. 因此，，即， 即实数的取值范围是. 25．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据幂函数定义列式求解； （2）由得，而，运算得解； （3）由（1）结合求得，不等式有解化简等价于有解，利用求得答案. (1) 小问详解： 因为是幂函数， 所以 ，解得 . (2) 小问详解： 由（1）知， 因为，所以， 所以， 即. (3) 小问详解： 由（1）知，因为，所以，即，所以. 所以关于的不等式有解，等价于有解， 因为函数在上单调递增，所以有解，即有解， 所以，解得. 所以，实数的取值范围为. 26．【答案】（1）4     （2） 函数的定义域为， ， ， 当且仅当时取等号，因此恒成立，所以二次函数是上凸函数．     （3）      【分析】 （1）根据下凹函数的概念以及满足的不等式，代入参数，列出不等式，进而根据指数函数的性质，求出参数范围，求出最大值. （2）根据二次函数性质，通过作差法比较与的大小关系，从而证明结果. （3）现根据定义，证明函数为下凹函数，再根据下凹函数满足的不等式性质，列出不等式，从而证明不等式即可. (1) 小问详解： 由为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号，则，即，所以的最大值是4． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，，设， 则 ， 即， 于是函数，在上为下凸函数， 依题意，， 因为，可得， 则，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 考点03 对数 1．D 2．A 3．D 4．AC 5．D 6．BD 7．【答案】9 【分析】 根据指数和对数运算公式，即可求解. 【详解】 原式. 故答案为： 8．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算即得. 【详解】 . 故答案为：. 9．【答案】5 【分析】 根据分数指数幂和对数的运算求解. 【详解】 . 故答案为：5. 10．【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由对数的运算法则及换底公式运算即可得解； （2）由指数运算的性质可得，代入运算即可得解. 【详解】 （1）原式； （2）因为， 所以， 所以. 11．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用指数运算法则及对数运算法则计算得解. （2）利用对数运算法则及换底公式求解. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： . 12．【答案】 【详解】利用分段函数对应法则先计算，再计算即可. 【详解】 由分段函数可知，，故. 故答案为：. 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： . 14．【答案】（1）2     （2）     （3）．      【分析】 （1）根据对数的运算性质计算即可求解； （2）由，结合完全平方公式计算即可求解； （3）根据对数的运算性质计算即可求解； (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 因为，所以两边同时平方得：，所以． 又因为，所以， 又因为，所以． 所以． (3) 小问详解： 由题意得，，即， 所以． 15．【答案】 【分析】 计算，根据得到答案. 【详解】 ，函数定义域为， 则， . 故答案为： 16．【答案】 【分析】 根据为奇函数，结合求解即可. 【详解】 令，定义域为， 所以函数为奇函数， 因为，即，所以，， 所以. 故答案为： 17．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据条件，利用指数幂的运算，即可求解； （2）根据条件，利用指对数互换和换底公式得，，，再结合条件得，即可求解. 【详解】 （1）易知，且，所以， 又由，得，所以， 则. （2）由，得到，，， 所以，，， 所以，又， 所以，得到，又均为正整数且均不为1，， 所以. 18．【答案】（1）2；（2）3. 【详解】（1）直接利用指数幂的运算法则化简求解； （2）直接利用对数的运算法则和性质化简求解. 【详解】 （1） =2 （2） =. 【点睛】 易错点睛：是奇数), 是偶数).使用上面的公式时，一定要注意的奇偶性，再化简. 考点04 对数函数 1．C 2．C 3．B 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．AC 10．AC 11．C 12．B 13．AC 14．BCD 15．B 16．B 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出集合A，集合B，再利用集合的交并补运算即可得到结果. （2）因为，则，再利用集合的包含关系即可求得结果. (1) 小问详解： 当时，集合，即， 由得或，所以， 所以，故. (2) 小问详解： 若，则， 又，， 所以或，解得：或 故实数的取值范围为. 18．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. (1) 小问详解： 若，则，令，得， 故的定义域为． (2) 小问详解： 令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以 ，解得. 故的取值范围为. (3) 小问详解： 因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 19．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用函数有意义列出不等式组求出定义域. （2）由求得，确定函数的单调性，进而求解不等式. (1) 小问详解： 由函数，得 ，解得， 所以函数的定义域为. (2) 小问详解： 由，得，即，解得， 函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 不等式等价于 ，解得， 所以原不等式的解集为. 20．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数值域包含正实数集，进而列式求解. 【详解】 由函数的值域为R，得的值域包含， 当时，不满足题意； 则函数是二次函数，其图象开口向上，且与轴有公共点， 于是 ，解得，所以实数k的取值范围是. 故答案为： 21．【答案】 【分析】 首先计算的定义域，然后利用定义法判断出为偶函数，再根据复合函数同增异减的原则，判断出的单调性，最后再根据奇偶性和单调性解不等式，得出最终结果. 【详解】 由得，的定义域为：； ， 根据函数奇偶性的定义：，所以为偶函数； 令，，根据二次函数的性质，开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减； 又因为为增函数，根据复合函数同增异减的原则，在上单调递增，在上单调递减； 因为为偶函数，所以不等式等价于， 则 ，解得：； 故答案为：. 22．【答案】（1）a＝0；（2）a≥0；（3）－<a≤－. 【分析】 （1）由解得，然后检验函数是奇函数即可； （2）由真数恒大于0即恒成立可得； （3）由函数单调性得，解之可得． 【详解】 （1）若函数f(x)是R上的奇函数， 则f(0)＝0，解得a＝0. 当a＝0时，f(x)＝－x＝－f(－x)是R上的奇函数， 所以a＝0为所求． （2）若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)， 故只要a≥0即可． （3）由已知，得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)， 最小值是f（1）＝log2. 由题设，得log2(1＋a)－log2≥2⇒ ，解得－<a≤－. 【点睛】 本题考查对数函数的性质，掌握对数型复合函数的奇偶性、单调性的研究方法是解题关键． 23．【答案】 【分析】 先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】 的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 考点05 函数的应用（二） 1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．B 7．B 8．ACD 9．C 10．BC 11．C 12．C 13．C 14．D 15．ACD 16．BD 17．B 18．A 19．ACD 20．BC 21．ACD 22．【答案】（1）解析式为，该企业从第2年开始盈利；理由如下： 由题意可得， 由得且， 该企业从第2年开始盈利；     （2） 方案二更合理，理由如下： 方案一：， 当时y取到最大值12800， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 方案二：年平均盈利额万元， 当且仅当时，年平均盈利额最大， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 综上，两种方案总利润都是14800万元，但方案一需要五年，方案二仅需三年即可，故方案二更合理.      【分析】 （1）先写出相应的解析式，再解不等式，求出该企业从第2年开始盈利； （2）方案一：配方得到时y取到最大值12800，进而得到总利润为万元；方案二：年平均盈利额为，由基本不等式求出最大值，此时处理掉智能机器人，总利润为万元，得到结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 23．【答案】（1）     （2）当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.      【分析】 （1）根据题意，分与两种情况，求出年利润(万元) 关于年产量（百台）的函数解析式；（2）在第一问的基础上，分别求出与时的年利润最大值，通过比较，最终求得结果. (1) 小问详解： 当时，； 当时，，综上： (2) 小问详解： 当时，，当时，取得最大值为1700万元， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时最大利润为1950万元， 因为，所以当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元. 24．【答案】（1）45000平方米.     （2）.      【分析】 （1）利用函数表达绿化面积，即可求最小值； （2）利用二次函数值域和分式函数值域求法即可求解. (1) 小问详解： 设和的面积分别为，. 由题知，则， 且，，，， 所以，. 所以，且， 当时，（百米）（米）. 所以绿化区域面积的最小值为45000平方米. (2) 小问详解： 由（1）知，且， 设休闲广场面积为，则， 所以，， 令，，则， 所以，， 所以的取值范围为. 25．【答案】（1）     （2）全年产量为40千套时，企业所获利润最大，且最大利润为4080万元.      【分析】 （1）根据给定信息，利用利润的意义求出解析式. （2）由（1）的结论，利用二次函数、基本不等式分段求出最大值并比较大小即可. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 . (2) 小问详解： 当时，，当时，万元； 当时，， 当且仅当时，即时，万元，而， 所以全年产量为40千套时，企业所获利润最大，且最大利润为4080万元. 26．【答案】（1）解析式为①和②     （2）时长为      【分析】 （1）根据函数图象并结合已有模型性质，根据增减性可判断选择① ②，再代入点的坐标求得参数值即可得出解析式； （2）由生态环境最佳的标准得出不等关系解不等式，即可得出结论. (1) 小问详解： 易知模型③在上单调递减，因此可排除； 因为这种微生物在开始的年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意； 又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意； 因此在时，， 当时，； 结合图象可知经过点、； 即 ，解得 ，即； 函数经过点、， 即 ，解得 ，即； 因此符合题意的两函数解析式为①和②. (2) 小问详解： 因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳， 当时，令，解得； 当时，令，解得； 综上可得，当时，满足题意； 因此该水域生态环境最佳的时长为. 27．【答案】 【分析】 由不等式为，分，和讨论求解.， 【详解】 解：由题意知：不等式可化为， 当时，该不等式无解； 当时，， 如图所示： 由图象知：， 此时要有两个整数解是，， 所以， 所以， 当时，， 如图所示： 由图象知：， 此时由两个整数解0，1， 所以， 所以 所以， 综上的取值范围是 故答案为： 28．【答案】（1） ；     （2）最大值为2980元，且取得该最大值时.      【分析】 （1）根据利润销售收入成本，列式求解； （2）当时，利用二次函数单调性求出最大值，当时，利用基本不等式求出最大值，比较得解. (1) 小问详解： 设该团队的日销售收入为（单位：元），由题意知； 所以 ， 即 . (2) 小问详解： 由（1）知，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以（元）； 当时， （元）， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以的最大值为2980元，且取得该最大值时吨. 29．【答案】 【分析】 先换元对原函数进行化简，然后根据对勾函数的性质判断单调性和最值，进而求出结果. 【详解】 令，因为，所以， 则有方程在内有2个根， 即在内有2个解， 即直线与函数的图象在内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以. 故答案为：. 30．【答案】（1）；     （2）     （3）500台，5万元，500台.      【分析】 （1）根据题意列式求出与的函数关系. （2）根据给定的关系，结合（1）写出分段函数的解析式即可. （3）由（1）的解析式，结合二次函数及基本不等式分段求出最值，再比较大小即提. (1) 小问详解： 依题意，每月投入的成本与月产量的函数关系为：. (2) 小问详解： 由（1）及 ， 得利润 . (3) 小问详解： 由（2）知，当时，， 则当时，利润取得最大值5000； 当时，， 当且仅当时，利润取得最大值50000，而， 所以当月产量为500台时，公司所获利润最大值为5万元，应当应该确定月产量为500台. 31．【答案】（1）和3；     （2）8；     （3）.      【分析】 （1）根据不动点定义列出方程求解程即得. （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可. （3）根据不动点定义得恒有不动点，再借助判别式及一元二次不等式恒成立求解.. (1) 小问详解： 由，得，解得或， 所以二次函数的不动点为和3. (2) 小问详解： 依题意，方程有两个不相等的正实数根， 于是 ，解得， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. (3) 小问详解： 一元二次方程， 依题意，对任意实数，恒成立， 因此，而，解得， 所以的取值范围是. 32．【答案】（1） ，59     （2）.      【分析】 （1）分别求得、和时的解析式，综合即可得答案，代入数据，即可求得，时的值. （2）分别求出、时的表达式，结合基本不等式，反比例函数性质，分析即可得答案. (1) 小问详解： 由题意可得，当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：则 ， 所以当时，； (2) 小问详解： 由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 因为，所以当游玩时间为5小时，取到最小值为. 33．【答案】（1）     （2）100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元      【分析】 （1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. (1) 小问详解： 由题意有销售额为， 所以当时，， 当时，， 所以 ； (2) 小问详解： （2）当时，， 当时，万元，              当时，，当且仅当， 即时等号成立，万元，             即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 34．【答案】3 【分析】 令，则零点所在区间为，利用零点存在定理及函数的单调性判断即可． 【详解】 令，则在上连续，且单调递增， 因为， ， 所以的零点在内， 即方程的解所在区间为， 所以k的值为3． 故答案为： 35．【答案】 【分析】 令，结合图形分析得到答案． 【详解】 解：令， 当时，令，则，即， 解得：，不符题意，舍去； 当时，令，则或， 即或， 由图象可知，有两解，则有一个解， 则只需，解得：， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查由函数零点个数求参数的取值范围，一般通过数形结合解答，属于基础题． 36．【答案】（1）     （2）选择函数模型② ，.     （3）961.      【分析】 （1）由即可求解； （2）通过函数单调性确定选择函数模型②.再由即可求解； （3）由（2）确定 ，结合基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 因为第15天的日销售收入为1057元， 所以， 解得. (2) 小问详解： 由表中的数据知，当时间变化时，先增后减. 而函数模型①和③在上都是单调函数， 所以选择函数模型②. 由，得，解得. 所以 解得. 所以日销售量与时间的变化关系为. (3) 小问详解： 由（2）知 ， 所以 ， 即 ， 当时，由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立. 当时，单调递减， 所以. 综上所述，当时，取得最小值，最小值为961. 37．【答案】 【分析】 如图，结合图象得出解的情况，设，则原方程变为，根据解的情况，可得出方程三根的取值范围，根据解的范围，即可得出系数的范围. 【详解】 由题意，画出直线和函数的图象，如图， 由图象可知，当时，有3个解. 设，则原方程变为， 所以原方程有6个不同的实数解的充要条件是 方程的两根满足且. 则 ，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：． 【点睛】 思路点睛：画出直线和函数的图象，.进而根据图象，得出解的情况.然后根据已知零点的个数，分析得出方程根的分布情况，即可得出系数的范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）用分数指数幂可表示为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）下列命题中正确的个数为（       ） ①②，则，③，④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）化简结果为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）　　　　　　　　　　 5．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）的值为　　　　　　. 6．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）计算： （1）； （2）已知，求的值. 7．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）计算　　　　　. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）函数与的图象（     ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于原点对称 3．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）若，，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·山东日照·期中）当时，函数和的图象只可能是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）已知、为实数，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）若，则的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　) A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）（多选）下列选项中，正确的是（       ） A. 幂函数在上递减，则实数 B. 函数的值域为 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为或 10．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）（多选）下列不等关系正确的为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）若函数（，且，均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 13．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）（多选）已知函数，则下列叙述正确的是（       ） A. 当，时，函数的图象过点 B. 当时，函数的单调递增区间为 C. 当时，函数的值域为 D. 当时，若函数有最大值2，则 14．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）（多选）下列说法错误的有（     ） A. 命题“”的否定是“” B. 是的必要不充分条件 C. 的单调递减区间为 D. 函数且的图象恒过定点（1，2） 15．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）若函数且在上为减函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数的图象必经过定点　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过定点，则的坐标是　　　　　　　　． 18．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）函数单调递减区间是　　　　　　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高一上·山东日照·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 22．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数（，且）是奇函数. （1）求实数的值； （2）若，，且在上的最小值为，求实数的值. 23．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）已知函数（，）图象恒过定点，且点在函数（，）图象上，则的最小值为　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）已知二次函数，且关于的不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 25．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）已知函数是幂函数. （1）求，的值； （2）若，求的值； （3）若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围. 26．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）某同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数．如图1． 定义2．设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的上凸函数．如图2． 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，该同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： （1）已知为下凸函数，若．求的最大值； （2）求证：二次函数是上凸函数． （3）设，且，求的最小值． 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知集合，则下列是从集合到集合的函数的为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）设函数 （       ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）若实数a，b满足，则（       ） A.  B.  C.  D. 1 4．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）下列各式化简正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）定义在上的奇函数和偶函数满足，则的最小值为（     ） A. 2 B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）（多选）以下运算中不正确的有（       ） A. 若，则 B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）　　　　　　　　　　. 8．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）计算：　　　　　　　　． 9．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）计算：　　　　　　　; 10．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 11．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）计算： （1）； （2）． 12．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）已知函数，则　　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）求值： （1）； （2）. 14．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）求下列各式的值： （1）； （2）已知，求的值； （3）若，，用表示． 15．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知函数，则　　　　　　　　. 16．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）已知函数，，则　　　　　　　　． 17．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）（1）已知，求的值； （2）对于正整数和非零实数，有，，求的值． 18．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）计算下列各式： （1） （2） 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）设，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）已知，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（       ）倍 A. 10 B. 100 C. 1.2 D. 12 9．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）（多选）已知函数，则（        ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的单调递减区间是 C. 函数的值域是 D. 不等式的解集是 10．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A. 的图象恒过原点 B. 若，则是增函数 C. 若的定义域为，则的取值范围为 D. 若的值域为，则的取值范围为 11．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）“”是“”的（     ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 13．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）（多选）若，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）（多选）已知，则 （        ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 18．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求不等式的解集． 20．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知函数，若的值域为R，则实数k的取值范围是　　　　　. 21．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）已知，若，则实数的取值范围是　　　　　　　　． 22．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知函数f(x)＝log2. （1）若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； （2）若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围； （3）若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围． 23．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）函数的单调递增区间是　　　　　　． 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·山东日照·期中）函数的零点所在的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过（      ）（参考数据：） A. 48小时 B. 52小时 C. 64小时 D. 120小时 4．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）设函数，若互不相等的实数，，满足：.则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）（多选）下列命题正确的是（     ） A. 函数的图象恒过定点 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数已知函数的值域为 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 9．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1个该细菌增长到1万个该细菌大约需要（       ）（参考数据： A. 3小时 B. 4小时 C. 5小时 D. 6小时 10．（25-26学年高一上·山东日照·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 不等式的解集是 C. 若，则的最大值是 D. 函数有且只有两个零点 11．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）函数的零点所在区间是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·山东菏泽第一中学·期中）若关于的方程有三个不同的解，则（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 13．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点．例如：函数的不动点，即求解方程的实数解，即0和1为函数的不动点．已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·山东日照·期中）对于函数和，记零点组成的集合分别为.若存在､，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·山东日照·期中）（多选）已知定义在上的函数..满足，对任意整数，区间.当时，.集合在上有两个不相等的实根}，则（       ） A.  B.  C.  D. 若，则 16．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）（多选）已知函数，若有四个不同的解，，，且，则有（     ） A.  B.  C.  D. 的最小值为 17．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）在计算机系统中，缓存的核心作用是加速数据访问.当缓存加载完成后，未被读取的信息比例会随时间的推移逐渐下降，其变化规律可用函数模型近似描述.其中表示稳态未被读取比例，表示初始时未被读取的“额外”比例，为衰减时间常数.某工程师对某服务器缓存进行性能测试，下表记录了以下数据（缓存加载完成后开始计时）： （分钟） 0 5 10 75 45 30 用该模型推算当时，缓存中未被读取的信息比例约为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）已知函数为偶函数，且若方程有六个不同的实数解，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）（多选）已知函数，且时，，则（       ） A.  B.  C. 的取值范围为 D. 函数的值域为 20．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）（多选）已知函数，，若方程有4个不同的实数根，则实数可能的取值为（     ） A.  B. 1 C.  D.  21．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）已知是定义在上的函数；对于任意实数满足，当时，，则（     ） A.  B.  C. 方程有3个实数根 D. 若，则或 22．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 （1）写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 23．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产（单位：百台）另需投入成本（万元），当年产量不足50(百台)时，（万元；当年产量不小于50（百台）时， (万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600 万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. （1）求年利润(万元) 关于年产量（百台）的函数解析式；(利润销售额一投入成本固定成本) （2）当年产量为多少时，年利润最大? 并求出最大年利润. 24．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）如图，某市计划在一矩形场地上建设休闲公园，其中（单位：百米），（单位：百米），点，分别在线段，上（不含端点），且，按照规划，和均为绿化区域，其余区域为休闲广场； （1）求该公园绿化区域面积的最小值； （2）设绿化区域面积与休闲广场面积的比值为，求的取值范围. 25．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）某企业计划生产某种新型的电子设备，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产试销.通过市场分析发现，生产此款电子设备全年需投入固定成本120万元，每生产千套电子设备，需另投入成本万元，且，假设每千套电子设备售价定为500万元，且全年内生产的电子设备当年能全部销售完. （1）求全年的利润万元关于年产量千套的函数关系式（利润=销售额成本）； （2）当全年产量为多少千套时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 26．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. （1）请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； （2）求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 27．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）在某大学生创业园，小王团队开展了废旧钢材回收项目，他们每天通过固定渠道回收废旧钢材，然后再全部售出.已知该团队的日废旧钢材回收成本（单位：元）与日废旧钢材回收量（吨）的关系为，销售时每吨废旧钢材2400元，记该团队的日废旧钢材回收利润为（单位：元），且利润=销售收入-成本. （1）求关于的函数解析式； （2）求的最大值，并求出取得该最大值时的值. 29．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 　　　　　　　　. 30．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月生产量为（单位：台），已知总收入（单位：元）满足函数：. （1）将每月投入的成本表示为月产量的函数； （2）将每月利润表示为月产量的函数； （3）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？如果你是公司董事长，你应该确定月产量为多少台？（总收入=总成本+利润） 31．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 32．（25-26学年高一上·山东菏泽第一中学·期中）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 33．（25-26学年高一上·山东实验中学·期中）某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 34．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）若方程的解所在区间为，，则k的值为　　　　　　　． 35．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）已知 ，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是　　　　　　． 36．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. （1）求的值； （2）给出以下三种函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； （3）利用问题（2）中的函数，求的最小值. 37．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）已知函数若关于的方程有6个互不相等的实数解，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）用分数指数幂可表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，利用指数幂的运算性质，准确计算化简，即可求解. 【详解】 根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 2．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）下列命题中正确的个数为（       ） ①②，则，③，④ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 由指数幂的运算和根式与分数指数幂的转换,结合特殊值逐项判断即可. 【详解】 ① 取，则，错， ② 当时，，无意义，错， ③ 取，则，错， ④，错， 故选：A 3．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）化简结果为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用根式运算化简即得. 【详解】 当时，. 故选：B 4．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）　　　　　　　　　　 【答案】100 【分析】 利用指数运算法则计算得解. 【详解】 . 故答案为：100 5．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）的值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】 . 故答案为： 6．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）计算： （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据幂指数运算法则计算得解. （2）利用指数运算法则化简求解. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： 由，得，， 所以 7．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）计算　　　　　. 【答案】1 【分析】 根据根式与分数指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】 . 故答案为：1. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 依题意，时，求时的值. 【详解】 经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即时，， 则再经过6年，，. 故选：D 2．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）函数与的图象（     ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于原点对称 【答案】D 【分析】 方法1：根据两个函数图象上点的坐标确定两函数图象的关系. 方法2：做出函数与的图象，数形结合，判断两函数图象的关系. 【详解】 方法1：设为函数图象上任意一点， 则， 所以点在函数的图象上. 因为点与点关于原点对称， 所以函数图象上任意一点关于原点的对称点都在函数的图象上； 设为函数的图象上任意一点，则. 即在函数的图象上. 因为点与点关于原点对称， 所以函数图象上任意一点关于原点的对称点都在函数的图象上. 所以函数与函数的图象关于原点对称. 故选：D 方法2：在同一坐标系内，做出函数与的图象如下： 由图可知：函数与的图象的图象关于原点对称. 故选：D 3．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）若，，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数函数，幂函数的单调性比较大小. 【详解】 因为，所以函数在上单调递减，所以. 因为，所以函数在上单调递增，所以， 又， 所以； 又，即. 综上：. 故选：A 4．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 判断函数是定义域R上的减函数，再将不等式化为，求解即可. 【详解】 函数的图象过第二、三、四象限，则，解得， 则函数是定义域R上的减函数， 不等式化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 5．（25-26学年高一上·山东日照·期中）当时，函数和的图象只可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据各选项中的图象，由一次函数的图象确定的取值情况，再由指数型函数图象判断特征判断即可. 【详解】 对于A，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，A正确； 对于B，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，B错误； 对于C，由一次函数的图象知，，此时函数为减函数，C错误； 对于D，由一次函数的图象知，，此时函数为增函数，D错误. 故选：A 6．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）已知、为实数，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据指数函数、幂函数的性质比较大小确定题设条件间的关系，结合充分必要性的定义即可得. 【详解】 设函数 ， ，两函数均在定义域R上单调递减， 则 ， . 所以“”是“”的充要条件， 故选：C 7．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）若，则的大小关系是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据指数函数和幂函数的性质，判断函数值大小关系即可. 【详解】 由在上单调递减可知，，即 由在上单调递增可知，，即， 综上所述，. 故选：C. 8．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】函数y＝x＋a单调递增． 由题意知a>0且a≠1. 当0<a<1时，y＝ax单调递减，直线y＝x＋a 在y轴上的截距大于0且小于1； 当a>1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D. 点睛：与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象． 9．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）（多选）下列选项中，正确的是（       ） A. 幂函数在上递减，则实数 B. 函数的值域为 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】 利用幂函数定义及性质求解判断A；求出值域判断B；求出图象所过定点判断C；求解不等式判断D. 【详解】 对于A，由幂函数在上递减，得 ，解得，A正确； 对于B，函数定义域为，，B正确； 对于C，由，得函数的图象恒过定点，C错误； 对于D，不等式的解集为，得是方程的二根，且， 则，即，不等式为， 即，解得或，D正确. 故选：ABD 10．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分析函数的定义域、奇偶性及其在时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数，排除AB选项， 当时，，，则，排除C选项. 故选：D. 11．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）（多选）下列不等关系正确的为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据指数函数，幂函数的单调性及中间值比大小. 【详解】 对于A，因为是R上单调减函数，，所以，故A正确； 对于B，因为在上单调递减，，所以，故B正确； 对于C，因为是R上单调减函数，是R上单调增函数，所以，，故C错误； 对于D，因为在R上单调递减，则， 又在上单调递增，则，所以，故D正确. 故选：ABD. 12．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）若函数（，且，均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 抓住与1大小，正负讨论，结合指数函数的图象求解. 【详解】 若，，函数经过第三象限，不合题意； 若，，函数经过第一，二象限，不合题意； 若，，则不可能同时经过第一、二、四象限，不合题意； 若，，函数经过第一，二象限，不合题意； 若，，则经过第一、二、四象限，合题意； 若，，函数经过第二，四象限，不合题意； 若，，函数经过第二，三，四象限，不合题意； 综上，当，时，经过第一、二、四象限. 故选：D. 13．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）（多选）已知函数，则下列叙述正确的是（       ） A. 当，时，函数的图象过点 B. 当时，函数的单调递增区间为 C. 当时，函数的值域为 D. 当时，若函数有最大值2，则 【答案】CD 【分析】 明确函数解析式，代入验证可判断A的真假；利用指数函数的单调性，结合复合函数单调性的有关结论，可判断B的真假；明确函数解析式，求函数值域，可判断C的真假；分情况讨论，根据函数的最大值，求参数的值，可判断D的真假. 【详解】 对A：当，时，． 将代入可得，， 所以函数的图象不经过点．故A错误； 对B：当时，． 令，二次函数图象的对称轴为，在区间上单调递增，在上单调递减． 又因为指数函数是减函数，所以根据复合函数“同增异减”的原则，可知的单调递增区间为．故B错误； 对C：当时，，令． 因为函数是减函数，所以. 所以函数的值域为．故C正确； 对D：当时，． 若，则，此时函数无最大值． 若，令， 要使有最大值2，则在t取最小值时取最大值，所以． 对于二次函数，其图象的对称轴为， 当时，， 因为的最大值为2，所以，所以，解得．故D正确. 故选：CD 14．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）（多选）下列说法错误的有（     ） A. 命题“”的否定是“” B. 是的必要不充分条件 C. 的单调递减区间为 D. 函数且的图象恒过定点（1，2） 【答案】CD 【分析】 根据全称量词的命题的否定求法求所给命题的否定判断A，根据充分条件和必要条件的定义判断B，根据反比例函数的单调性判断C，根据指数函数的性质判断D. 【详解】 对于A，易知命题“”的否定是“”，故A正确； 对于B，不能推出，充分性不成立，能推出，必要性成立， 故是的必要不充分条件，故B正确； 对于C，的单调减区间为，不能用并集符号，故C错误； 对于D，由且，可令，解得， 又，故函数的图像恒过定点，故D不正确． 故选：CD. 15．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）若函数且在上为减函数，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 要使函数在上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可. 【详解】 当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足， 且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即 ，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 16．（25-26学年高一上·山东济南·期中）函数的图象必经过定点　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】 当，即时，， 所以定点坐标为 故答案为： 17．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过定点，则的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据指数函数的性质计算可得. 【详解】 因为函数（且）恒过点， 所以函数（且）恒过点，即. 故答案为： 18．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）函数单调递减区间是　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间. 【详解】 因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 故答案为：. 19．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 结合的值域，可分析得到必为减函数，再根据分段函数整体的图象，数形结合，即得解 【详解】 由题意，的值域为： 要使得： 的值域为 必为减函数，因此 可作出函数图象如图，由图象可知 解之得.    故答案为： 20．（25-26学年高一上·山东日照·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据基本初等函数的性质，以及定义域的概念，列出不等式，求出结果即可. 【详解】 由题意得，即，可得，解得； 故答案为：. 21．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）把代入，利用指数函数的值域，结合二次函数求出值域. （2）按分类，结合指数函数的值域及二次函数求出取得最小值的. （3）由（2）的结论，等价变形不等式，分享参数并构造函数，求出最小值即可得解. (1) 小问详解： 当时，，而， 所以的值域为. (2) 小问详解： 令，函数， 当，即时，在上递增，此时无最值，不满足题意； 当，即时，在上递减，在上递增， 所以，而，解得， 所以的最小值为时，. (3) 小问详解： 由（2）知，， 不等式， 设，依题意，有实数解， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 22．（25-26学年高一上·山东滕州第一中学·期中）已知函数（，且）是奇函数. （1）求实数的值； （2）若，，且在上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)利用在处有意义的奇函数的性质即可求解；(2)结合已知条件，利用换元法和一元二次函数性质，并对参数分类讨论即可求解. (1) 小问详解： 因为是定义域为得奇函数，所以，即，解得. (2) 小问详解： 当时， 令， 因为在是增函数，所以. 令，， ① 若，在上单调递增， 故，不合题意； ② 若，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得， 因为，所以； ③ 若，在上单调递减， 故解得，舍去. 综上所述，. 23．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）已知函数（，）图象恒过定点，且点在函数（，）图象上，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 根据指数函数的性质可得定点得坐标，利用点在函数上可得，结合基本不等式求解的最值即可. 【详解】 当时，函数，则定点，所以， 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2. 故答案为：2. 24．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）已知二次函数，且关于的不等式的解集为. （1）求实数a，b的值； （2）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由不等式的解集为，由韦达定理建立方程求解即可； （2）不等式对恒成立，分离参数转化为对恒成立，利用基本不等式求解最小值即可. (1) 小问详解： 由题意，，且和1是关于的方程的两根， 故 解得 (2) 小问详解： 由对恒成立，即对恒成立， 只要，其中. 而， 当且仅当即时取等号. 故当时，取最小值. 因此，，即， 即实数的取值范围是. 25．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）已知函数是幂函数. （1）求，的值； （2）若，求的值； （3）若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据幂函数定义列式求解； （2）由得，而，运算得解； （3）由（1）结合求得，不等式有解化简等价于有解，利用求得答案. (1) 小问详解： 因为是幂函数， 所以 ，解得 . (2) 小问详解： 由（1）知， 因为，所以， 所以， 即. (3) 小问详解： 由（1）知，因为，所以，即，所以. 所以关于的不等式有解，等价于有解， 因为函数在上单调递增，所以有解，即有解， 所以，解得. 所以，实数的取值范围为. 26．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）某同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数．如图1． 定义2．设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的上凸函数．如图2． 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，该同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： （1）已知为下凸函数，若．求的最大值； （2）求证：二次函数是上凸函数． （3）设，且，求的最小值． 【答案】（1）4     （2） 函数的定义域为， ， ， 当且仅当时取等号，因此恒成立，所以二次函数是上凸函数．     （3）      【分析】 （1）根据下凹函数的概念以及满足的不等式，代入参数，列出不等式，进而根据指数函数的性质，求出参数范围，求出最大值. （2）根据二次函数性质，通过作差法比较与的大小关系，从而证明结果. （3）现根据定义，证明函数为下凹函数，再根据下凹函数满足的不等式性质，列出不等式，从而证明不等式即可. (1) 小问详解： 由为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号，则，即，所以的最大值是4． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，，设， 则 ， 即， 于是函数，在上为下凸函数， 依题意，， 因为，可得， 则，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知集合，则下列是从集合到集合的函数的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】 对于选项A：定义域为，不满足函数的特性：任意性，故A错误； 对于选项B：值域为，当取集合A中元素0时，集合B中没有元素与之对应，不满足任意性；故选项B错误； 对于选项C：值域为实数集R，当取集合A中元素为负值时，集合B中没有元素与之对应，故选项C错误； 对于选项D：满足函数的定义，故选项D正确； 故选：D 2．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）设函数 （       ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【分析】 根据分段函数解析式，结合对数与指数运算即可得答案. 【详解】 因为 所以， 则. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）若实数a，b满足，则（       ） A.  B.  C.  D. 1 【答案】D 【分析】先将指数式化成对数式，求出，再利用换底公式的推论以及对数的运算法则即可求出． 【详解】因为，所以， ． 故选D． 【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论的应用以及对数的运算法则的应用． 4．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）下列各式化简正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断. 【详解】 对于A，，A正确， 对于B，，B错误， 对于C，因为，， ，， 所以，C正确， 对于D，因为， ， 所以，D错误， 故选：AC. 5．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）定义在上的奇函数和偶函数满足，则的最小值为（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据函数的奇偶性求函数的解析式，再结合对数的运算法则和基本不等式可求函数的最小值. 【详解】 因为函数，分别为上的奇函数和偶函数， 所以. 所以， 由（当且仅当时取“”）. 所以. 故选：D 6．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）（多选）以下运算中不正确的有（       ） A. 若，则 B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 由对数，指数幂运算可判断各选项正误． 【详解】 对于A，，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：BD 7．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）　　　　　　　　　　. 【答案】9 【分析】 根据指数和对数运算公式，即可求解. 【详解】 原式. 故答案为： 8．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）计算：　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算即得. 【详解】 . 故答案为：. 9．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）计算：　　　　　　　; 【答案】5 【分析】 根据分数指数幂和对数的运算求解. 【详解】 . 故答案为：5. 10．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由对数的运算法则及换底公式运算即可得解； （2）由指数运算的性质可得，代入运算即可得解. 【详解】 （1）原式； （2）因为， 所以， 所以. 11．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用指数运算法则及对数运算法则计算得解. （2）利用对数运算法则及换底公式求解. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： . 12．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）已知函数，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】利用分段函数对应法则先计算，再计算即可. 【详解】 由分段函数可知，，故. 故答案为：. 13．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）求值： （1）； （2）. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： . 14．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）求下列各式的值： （1）； （2）已知，求的值； （3）若，，用表示． 【答案】（1）2     （2）     （3）．      【分析】 （1）根据对数的运算性质计算即可求解； （2）由，结合完全平方公式计算即可求解； （3）根据对数的运算性质计算即可求解； (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 因为，所以两边同时平方得：，所以． 又因为，所以， 又因为，所以． 所以． (3) 小问详解： 由题意得，，即， 所以． 15．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知函数，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 计算，根据得到答案. 【详解】 ，函数定义域为， 则， . 故答案为： 16．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）已知函数，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据为奇函数，结合求解即可. 【详解】 令，定义域为， 所以函数为奇函数， 因为，即，所以，， 所以. 故答案为： 17．（25-26学年高一上·山东青岛第十九中学·期中）（1）已知，求的值； （2）对于正整数和非零实数，有，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据条件，利用指数幂的运算，即可求解； （2）根据条件，利用指对数互换和换底公式得，，，再结合条件得，即可求解. 【详解】 （1）易知，且，所以， 又由，得，所以， 则. （2）由，得到，，， 所以，，， 所以，又， 所以，得到，又均为正整数且均不为1，， 所以. 18．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）计算下列各式： （1） （2） 【答案】（1）2；（2）3. 【详解】（1）直接利用指数幂的运算法则化简求解； （2）直接利用对数的运算法则和性质化简求解. 【详解】 （1） =2 （2） =. 【点睛】 易错点睛：是奇数), 是偶数).使用上面的公式时，一定要注意的奇偶性，再化简. 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据对数函数的概念和分式的意义计算即可. 【详解】 由题意知， ，解得且， 所以函数的定义域为， 故选：C 2．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据指数函数的单调性得，利用对数函数单调性得，即可利用中间值法比较大小. 【详解】 ， ， ， 。 故选：C 3．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）设，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据指数函数与对数函数性质可判断的正负，再利用指数的运算性质比较大小即可. 【详解】 由指数函数性质可知，， 由对数函数性质可知， 又因为， 所以，即. 综上可得：. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数有意义，列出不等式组，求解取交集即可. 【详解】 解：要使有意义，则 ，即 ， 解得，故定义域为， 故选：D 5．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】 根据对数函数的单调性化简，即可根据充要条件的定义求解. 【详解】 因为，等价于即，解得， 所以是的充要条件. 故选：C. 6．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求函数的定义域. 【详解】 由题意得，函数的定义域需满足 ，解得：. 所以函数的定义域是. 故选:B. 7．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）已知，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】由指数函数、对数函数的性质可得，即可得解. 【详解】 由函数在上单调递增，，∴； 由函数在上单调递增，，∴； 由指数函数在上单调递减，，∴； ∴. 故选：C. 8．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（       ）倍 A. 10 B. 100 C. 1.2 D. 12 【答案】B 【分析】 根据声强级的定义分别求出声强级为和声强级为的声强度，然后计算它们的比值即可. 【详解】 由题意得，， 当声强级为时，，； 当声强级为时，，， . 故选：. 9．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）（多选）已知函数，则（        ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的单调递减区间是 C. 函数的值域是 D. 不等式的解集是 【答案】AC 【分析】 利用函数对称性的定义可判断A选项；根据复合函数单调性的“同增异减”原则结合对数函数和一元二次函数性质可判断B选项； 由真数部分函数的值域，结合对数函数的基本性质可判断C选项；利用对数函数的单调性解不等式，可判断D选项. 【详解】 对于A选项，因为， 所以函数的图象关于对称，故A正确； 对于B选项，由可得或， 所以函数的定义域为， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且函数为增函数，所以函数的单调递减区间是，故B错误； 对于C选项，由B知函数的定义域为， 当或时，函数值域为，所以函数的值域是，故C正确； 对于D选项，由可得， 解得或，所以不等式的解集是，故D错误. 故选：AC. 10．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A. 的图象恒过原点 B. 若，则是增函数 C. 若的定义域为，则的取值范围为 D. 若的值域为，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】 对于A：直接代入运算即可；对于B：举反例说明即可；对于C：分析可知对任意恒成立，结合判别式分析运算；对于D：分析可知的值域包含，结合判别式分析运算. 【详解】 因为函数， 对于选项A：因为，所以的图象恒过原点，故A正确； 对于选项B：若，则， 因为，可知不是增函数，故B错误； 对于选项C：若的定义域为，则对任意恒成立， 则，解得， 所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：若的值域为，则的值域包含， 则，解得或， 所以的取值范围为，故D错误； 故选：AC. 11．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用指数函数和对数函数的性质判断即可. 【详解】 由于，所以, 故选：C 12．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）“”是“”的（     ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】 因为，所以， 当，对数没有意义， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：B． 13．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）（多选）若，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据不等式的性质、幂函数的单调性、指数函数的单调性以及对数函数的定义域和单调性等概念.我们将分别根据这些性质来判断每个选项是否成立. 【详解】 对于选项A，对于幂函数，它在R上是增函数.因为，所以，选项A成立. 对于选项B，已知且.根据不等式的性质，当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号方向不变，所以，选项B不成立. 对于选项C，指数函数在R上是增函数.因为，所以，选项C成立. 对于选项D，因为，所以.对数函数在上是增函数.所以，选项D不成立. 故选：AC. 14．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）（多选）已知，则 （        ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 利用对数运算知，且，，利用基本不等式判断A；由对数函数单调性判断B；作差法判断C；利用指数函数和幂函数单调性判断D. 【详解】 根据题意，， A，， 因为，所以等号不成立，即，错误； B，，正确； C，由，，，则， 由，得，正确； D，由于，，所以，， 则，，且， 由于为减函数，所以， 由于为增函数，所以， 所以，即，则，正确. 故选：BCD 15．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题构造函数，判断的单调性，从而得到，依次判断各个选项. 【详解】 令，由在R上单调递增，在R上单调递增， 所以函数在R上单调递增. 若，则，即， . 对于AB，由，得，即，所以，故A错误，B正确； 对于CD，由，得，所以，故选CD错误. 故选：B. 16．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】 法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 17．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求出集合A，集合B，再利用集合的交并补运算即可得到结果. （2）因为，则，再利用集合的包含关系即可求得结果. (1) 小问详解： 当时，集合，即， 由得或，所以， 所以，故. (2) 小问详解： 若，则， 又，， 所以或，解得：或 故实数的取值范围为. 18．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. (1) 小问详解： 若，则，令，得， 故的定义域为． (2) 小问详解： 令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以 ，解得. 故的取值范围为. (3) 小问详解： 因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 19．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知函数（，且）． （1）求的定义域； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）利用函数有意义列出不等式组求出定义域. （2）由求得，确定函数的单调性，进而求解不等式. (1) 小问详解： 由函数，得 ，解得， 所以函数的定义域为. (2) 小问详解： 由，得，即，解得， 函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 不等式等价于 ，解得， 所以原不等式的解集为. 20．（25-26学年高一上·山东泰安第二中学·期中）已知函数，若的值域为R，则实数k的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数值域包含正实数集，进而列式求解. 【详解】 由函数的值域为R，得的值域包含， 当时，不满足题意； 则函数是二次函数，其图象开口向上，且与轴有公共点， 于是 ，解得，所以实数k的取值范围是. 故答案为： 21．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）已知，若，则实数的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先计算的定义域，然后利用定义法判断出为偶函数，再根据复合函数同增异减的原则，判断出的单调性，最后再根据奇偶性和单调性解不等式，得出最终结果. 【详解】 由得，的定义域为：； ， 根据函数奇偶性的定义：，所以为偶函数； 令，，根据二次函数的性质，开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减； 又因为为增函数，根据复合函数同增异减的原则，在上单调递增，在上单调递减； 因为为偶函数，所以不等式等价于， 则 ，解得：； 故答案为：. 22．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）已知函数f(x)＝log2. （1）若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； （2）若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围； （3）若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围． 【答案】（1）a＝0；（2）a≥0；（3）－<a≤－. 【分析】 （1）由解得，然后检验函数是奇函数即可； （2）由真数恒大于0即恒成立可得； （3）由函数单调性得，解之可得． 【详解】 （1）若函数f(x)是R上的奇函数， 则f(0)＝0，解得a＝0. 当a＝0时，f(x)＝－x＝－f(－x)是R上的奇函数， 所以a＝0为所求． （2）若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)， 故只要a≥0即可． （3）由已知，得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)， 最小值是f（1）＝log2. 由题设，得log2(1＋a)－log2≥2⇒ ，解得－<a≤－. 【点睛】 本题考查对数函数的性质，掌握对数型复合函数的奇偶性、单调性的研究方法是解题关键． 23．（25-26学年高一上·山东济南外国语学校·期中）函数的单调递增区间是　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】 的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用零点存在定理可得结论. 【详解】 因为的图象是一条连续不断的曲线， 且，，，， 所以，由零点存在性定理可知一定包含零点的区间是． 故选：C. 2．（25-26学年高一上·山东日照·期中）函数的零点所在的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先分析函数单调性，再利用零点存在性定理求解即可. 【详解】 因为在上单调递增， 又，， 所以由零点存在性定理可知，函数存在唯一零点，且. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过（      ）（参考数据：） A. 48小时 B. 52小时 C. 64小时 D. 120小时 【答案】B 【分析】 根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入计算即可． 【详解】 由题意可得 ，解得 ，所以， 这种药物完全分解，即当时，有，即， 解得． 故选：B． 4．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用二分法可得答案. 【详解】 已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间  内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 5．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数的单调性和特殊值计算，可求得和，再由函数的单调性和零点存在定理推理得到即可. 【详解】 因是上的增函数，且，则可得， 又是上的增函数，且，则可得． 因为函数在上是增函数，，， 由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得． 故选：D． 6．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据零点存在定理，结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】 由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 7．（25-26学年高一上·山东济南第一中学·期中）设函数，若互不相等的实数，，满足：.则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据解析式画出函数草图，结合零点的情况及一次，二次函数性质得，结合题意可得，即可得出答案. 【详解】 由解析式，可得如下图象， 令，要满足题设，则， 若，则，令，则，故， 综上的范围时. 故选：B. 8．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）（多选）下列命题正确的是（     ） A. 函数的图象恒过定点 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数已知函数的值域为 D. 若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】 根据可判断A；求得函数的定义域可判断B；求得函数的值域判断判断C；利用数形结合可判断D. 【详解】 对于A，∵，∴恒过定点，故A正确； 对于B，由可得：，显然不在定义域内，故B错误； 对于C，，由 ，所以函数的值域为，故C正确； 对于D，当时，函数的图像下图所示， 当时，函数的图像下图所示， 则当时，直线与函数的图像有两个公共点， 所以，实数的取值范围是，故D正确． 故选：ACD. 9．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1个该细菌增长到1万个该细菌大约需要（       ）（参考数据： A. 3小时 B. 4小时 C. 5小时 D. 6小时 【答案】C 【分析】 设大约需要分钟，则，两边取对数，根据对数运算求解即可. 【详解】 设大约需要分钟， 则， 两边同时取对数得：， 所以， 所以需要小时. 故选：C. 10．（25-26学年高一上·山东日照·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 不等式的解集是 C. 若，则的最大值是 D. 函数有且只有两个零点 【答案】BC 【分析】 根据指数函数的单调性、基本不等式、含绝对值不等式的求解等知识逐项计算即可. 【详解】 因为指数函数是单调递减的，所以 若，则，所以A错误； 不等式化简为，解得，所以B正确； ，因为， 所以，， 当且仅当时，即时，等号成立，此时取最大值为，所以C正确； 由图象可知有多于2个零点，所以D错误.    故选：BC. 11．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）函数的零点所在区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由复合函数的单调性结合指数函数的单调性以及零点存在定理可得. 【详解】 由复合函数的单调性可得在上单调递增， 又， ， 所以，由零点存在定理可得函数的零点位于内. 故选：C. 12．（25-26学年高一上·山东菏泽第一中学·期中）若关于的方程有三个不同的解，则（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 因为，令，变形得出，然后对方程的根进行分析解出即可. 【详解】 因为，令， 所以变形得：， 即，也即， 要使方程有三个不同的解， 则方程有两个不相等的正实数根， 由可能应对0个、1个、2个的值， 所以方程要有三个不同的解， 则方程的有一个实根必为，另一个， 当， 当时，， 将代入方程得： ， 此时方程为， 解得：或， 当， 当时，，满足题意， 故选：C. 13．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点．例如：函数的不动点，即求解方程的实数解，即0和1为函数的不动点．已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据“不动点”的定义列出方程，转化为二次函数零点问题，对的取值进行讨论，结合二次函数零点的分布，列不等式，求解即可. 【详解】 根据题意，可得在上恰有两个解， 即函数在区间上恰有两个零点， 当时，则有，解得，不满足题意； 当时，则有 ，即 ，解得； 当时，则有 ，即 ，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C 14．（25-26学年高一上·山东日照·期中）对于函数和，记零点组成的集合分别为.若存在､，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围. 【详解】 函数是上的单调递增函数， 且，据此可知， 结合“零点相邻函数”的定义可得，则， 据此可知函数在区间上存在零点， 即方程在区间上存在实数根， 整理可得：， 根据对勾函数的性质，很明显函数， 在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，则函数的值域为， 据此可知实数的取值范围是. 故选：D. 15．（25-26学年高一上·山东日照·期中）（多选）已知定义在上的函数..满足，对任意整数，区间.当时，.集合在上有两个不相等的实根}，则（       ） A.  B.  C.  D. 若，则 【答案】ACD 【分析】 对于A：利用函数，把转化为，在这个区间有对应表达式，代入求出值为2；对于B：根据在上是偶函数，即可判断；对于C：运用和奇偶性判断；对于D：时，，是由平移得到.找到直线过点时的值为，根据两图象有两个不同交点确定的范围. 【详解】 已知函数满足，则， 当时，，所以， 故，选项A正确； 当时，，， 所以在上是偶函数，即， 又，则，选项B错误； 由于在上是偶函数，且，则在上为偶函数， 所以，选项C正确； 当时，，则. 在上有两个不相等的实根， 即与在上有两个不同交点. 当时，， 的图象是由向右平移个单位得到的. 当直线过点时，， 故要使与在上有两个不同交点， 则，即，选项D正确. 故选：ACD 16．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）（多选）已知函数，若有四个不同的解，，，且，则有（     ） A.  B.  C.  D. 的最小值为 【答案】BD 【分析】 先画出图像，结合图像即可判断AC选项，再通过判断B选项，最后构造函数令，由其单调性判断D选项． 【详解】 由题意，当时，， 当时，，当时，， 作出函数的图象，如图所示， 易知与直线有四个交点，分别为，，，， 因为有四个不同的解，，，且， 所以，故C错误； 且，故A错误； ，又，， 所以，即，故B正确； 所以，且， 令且，则在上单调递减， 且，所以的最小值为，故D正确． 故选：BD． 17．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）在计算机系统中，缓存的核心作用是加速数据访问.当缓存加载完成后，未被读取的信息比例会随时间的推移逐渐下降，其变化规律可用函数模型近似描述.其中表示稳态未被读取比例，表示初始时未被读取的“额外”比例，为衰减时间常数.某工程师对某服务器缓存进行性能测试，下表记录了以下数据（缓存加载完成后开始计时）： （分钟） 0 5 10 75 45 30 用该模型推算当时，缓存中未被读取的信息比例约为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意可知建立方程组分别求出，、，从而代入计算可得. 【详解】 由题意得：当时，， 当时，， 当时，， 由得， 由得， 由得，所以， 由得，解得，则， 所以当时，， 即当时，缓存中未被读取的信息比例约为. 故选：B. 18．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）已知函数为偶函数，且若方程有六个不同的实数解，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作出分段函数的图像，利用数形结合的方法，可求a的取值范围. 【详解】 当时，；当时，, 则当时， ， 令，则，方程有6个不同实根， 即直线与函数的图象有6个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得当且仅当时直线与函数的图象有6个交点， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 19．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）（多选）已知函数，且时，，则（       ） A.  B.  C. 的取值范围为 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【分析】 根据题意，作出函数的图象，，A正确；由，求得，B错误；，，从而判定C；设，则，则，可得值域，判断D. 【详解】 作出函数的图象， 由图可知，若， 则，A正确； 因为，可得， 所以，可得，B错误； 依题意，，得， 则，且当接近时，接近，接近4， 此时， 且当接近时，无限增大，所以趋于负无穷， 则的取值范围为，C正确； 函数，， 设，则， 则，， 所以函数的值域为，D正确. 故选：ACD 【点睛】 关键点点睛：选项C，依题意，，得，则，从而求范围. 20．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）（多选）已知函数，，若方程有4个不同的实数根，则实数可能的取值为（     ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】BC 【分析】 令，问题化为函数与的图象有2个不同的交点，画出函数的图象，数形结合即可得. 【详解】 令，则原方程化为， 根据二次函数的性质，时对应有2个值，时对应有1个值，时没有对应值， 由函数的图象（参见如图是一部分，时顺势往右上延申）可知，对于任意的实数,关于的方程至多有2个根，所以要使方程有4个不同的实数根，则关于的方程必须有2个根，即, 同时有2个不同的实数根， 综上，，则函数与有2个不同的交点，如下示意图， 由图可知，即所求a的取值范围是. 故选：BC 21．（25-26学年高一上·山东青岛第五十八中学·期中）（多选）已知是定义在上的函数；对于任意实数满足，当时，，则（     ） A.  B.  C. 方程有3个实数根 D. 若，则或 【答案】ACD 【分析】 利用赋值法求值判断A，利用赋值法得到判断B，利用赋值法求解零点个数判断C，对参数范围分类讨论结合奇函数的性质判断D即可. 【详解】 对于A：令,则，所以，故A正确； 对于B：令，， 所以，令，所以， 所以，所以为奇函数，故B错误； 对于C：令，所以，所以， 当时，所以，则， 当时，，所以，，又， 所以为奇函数，且定义域为，所以，又， 所以方程有3个实数根，故C正确； 对于D：由，， 又，若，则， 当时，所以，则，满足题意， 当时，，所以，，不满足题意， 当时，，， 又为奇函数，所以，满足题意， 当时，， 由为奇函数，所以，不满足题意， 所以，若，则或，故D正确， 故选：ACD. 22．（25-26学年高一上·山东济南历城第二中学·期中）某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 （1）写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 【答案】（1）解析式为，该企业从第2年开始盈利；理由如下： 由题意可得， 由得且， 该企业从第2年开始盈利；     （2） 方案二更合理，理由如下： 方案一：， 当时y取到最大值12800， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 方案二：年平均盈利额万元， 当且仅当时，年平均盈利额最大， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 综上，两种方案总利润都是14800万元，但方案一需要五年，方案二仅需三年即可，故方案二更合理.      【分析】 （1）先写出相应的解析式，再解不等式，求出该企业从第2年开始盈利； （2）方案一：配方得到时y取到最大值12800，进而得到总利润为万元；方案二：年平均盈利额为，由基本不等式求出最大值，此时处理掉智能机器人，总利润为万元，得到结论. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中）某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，每生产（单位：百台）另需投入成本（万元），当年产量不足50(百台)时，（万元；当年产量不小于50（百台）时， (万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600 万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完. （1）求年利润(万元) 关于年产量（百台）的函数解析式；(利润销售额一投入成本固定成本) （2）当年产量为多少时，年利润最大? 并求出最大年利润. 【答案】（1）     （2）当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.      【分析】 （1）根据题意，分与两种情况，求出年利润(万元) 关于年产量（百台）的函数解析式；（2）在第一问的基础上，分别求出与时的年利润最大值，通过比较，最终求得结果. (1) 小问详解： 当时，； 当时，，综上： (2) 小问详解： 当时，，当时，取得最大值为1700万元， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时最大利润为1950万元， 因为，所以当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元. 24．（25-26学年高一上·山东烟台·期中）如图，某市计划在一矩形场地上建设休闲公园，其中（单位：百米），（单位：百米），点，分别在线段，上（不含端点），且，按照规划，和均为绿化区域，其余区域为休闲广场； （1）求该公园绿化区域面积的最小值； （2）设绿化区域面积与休闲广场面积的比值为，求的取值范围. 【答案】（1）45000平方米.     （2）.      【分析】 （1）利用函数表达绿化面积，即可求最小值； （2）利用二次函数值域和分式函数值域求法即可求解. (1) 小问详解： 设和的面积分别为，. 由题知，则， 且，，，， 所以，. 所以，且， 当时，（百米）（米）. 所以绿化区域面积的最小值为45000平方米. (2) 小问详解： 由（1）知，且， 设休闲广场面积为，则， 所以，， 令，，则， 所以，， 所以的取值范围为. 25．（25-26学年高一上·山东济宁育才中学·期中）某企业计划生产某种新型的电子设备，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产试销.通过市场分析发现，生产此款电子设备全年需投入固定成本120万元，每生产千套电子设备，需另投入成本万元，且 ，假设每千套电子设备售价定为500万元，且全年内生产的电子设备当年能全部销售完. （1）求全年的利润万元关于年产量千套的函数关系式（利润=销售额成本）； （2）当全年产量为多少千套时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1）     （2）全年产量为40千套时，企业所获利润最大，且最大利润为4080万元.      【分析】 （1）根据给定信息，利用利润的意义求出解析式. （2）由（1）的结论，利用二次函数、基本不等式分段求出最大值并比较大小即可. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 . (2) 小问详解： 当时，，当时，万元； 当时，， 当且仅当时，即时，万元，而， 所以全年产量为40千套时，企业所获利润最大，且最大利润为4080万元. 26．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. （1）请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； （2）求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 【答案】（1）解析式为①和②     （2）时长为      【分析】 （1）根据函数图象并结合已有模型性质，根据增减性可判断选择① ②，再代入点的坐标求得参数值即可得出解析式； （2）由生态环境最佳的标准得出不等关系解不等式，即可得出结论. (1) 小问详解： 易知模型③在上单调递减，因此可排除； 因为这种微生物在开始的年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意； 又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意； 因此在时，， 当时，； 结合图象可知经过点、； 即 ，解得 ，即； 函数经过点、， 即 ，解得 ，即； 因此符合题意的两函数解析式为①和②. (2) 小问详解： 因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳， 当时，令，解得； 当时，令，解得； 综上可得，当时，满足题意； 因此该水域生态环境最佳的时长为. 27．（25-26学年高一上·山东济宁第一中学·期中）已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由不等式为，分，和讨论求解.， 【详解】 解：由题意知：不等式可化为， 当时，该不等式无解； 当时，， 如图所示： 由图象知：， 此时要有两个整数解是，， 所以， 所以， 当时，， 如图所示： 由图象知：， 此时由两个整数解0，1， 所以， 所以 所以， 综上的取值范围是 故答案为： 28．（25-26学年高一上·山东聊城·期中）在某大学生创业园，小王团队开展了废旧钢材回收项目，他们每天通过固定渠道回收废旧钢材，然后再全部售出.已知该团队的日废旧钢材回收成本（单位：元）与日废旧钢材回收量（吨）的关系为，销售时每吨废旧钢材2400元，记该团队的日废旧钢材回收利润为（单位：元），且利润=销售收入-成本. （1）求关于的函数解析式； （2）求的最大值，并求出取得该最大值时的值. 【答案】（1） ；     （2）最大值为2980元，且取得该最大值时.      【分析】 （1）根据利润销售收入成本，列式求解； （2）当时，利用二次函数单调性求出最大值，当时，利用基本不等式求出最大值，比较得解. (1) 小问详解： 设该团队的日销售收入为（单位：元），由题意知； 所以 ， 即 . (2) 小问详解： 由（1）知，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以（元）； 当时， （元）， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以的最大值为2980元，且取得该最大值时吨. 29．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先换元对原函数进行化简，然后根据对勾函数的性质判断单调性和最值，进而求出结果. 【详解】 令，因为，所以， 则有方程在内有2个根， 即在内有2个解， 即直线与函数的图象在内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以. 故答案为：. 30．（25-26学年高一上·山东威海第二中学·期中）某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月生产量为（单位：台），已知总收入（单位：元）满足函数：. （1）将每月投入的成本表示为月产量的函数； （2）将每月利润表示为月产量的函数； （3）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？如果你是公司董事长，你应该确定月产量为多少台？（总收入=总成本+利润） 【答案】（1）；     （2）     （3）500台，5万元，500台.      【分析】 （1）根据题意列式求出与的函数关系. （2）根据给定的关系，结合（1）写出分段函数的解析式即可. （3）由（1）的解析式，结合二次函数及基本不等式分段求出最值，再比较大小即提. (1) 小问详解： 依题意，每月投入的成本与月产量的函数关系为：. (2) 小问详解： 由（1）及 ， 得利润 . (3) 小问详解： 由（2）知，当时，， 则当时，利润取得最大值5000； 当时，， 当且仅当时，利润取得最大值50000，而， 所以当月产量为500台时，公司所获利润最大值为5万元，应当应该确定月产量为500台. 31．（25-26学年高一上·山东师范大学附属中学·期中）对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】（1）和3；     （2）8；     （3）.      【分析】 （1）根据不动点定义列出方程求解程即得. （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可. （3）根据不动点定义得恒有不动点，再借助判别式及一元二次不等式恒成立求解.. (1) 小问详解： 由，得，解得或， 所以二次函数的不动点为和3. (2) 小问详解： 依题意，方程有两个不相等的正实数根， 于是 ，解得， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. (3) 小问详解： 一元二次方程， 依题意，对任意实数，恒成立， 因此，而，解得， 所以的取值范围是. 32．（25-26学年高一上·山东菏泽第一中学·期中）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 【答案】（1） ，59     （2）.      【分析】 （1）分别求得、和时的解析式，综合即可得答案，代入数据，即可求得，时的值. （2）分别求出、时的表达式，结合基本不等式，反比例函数性质，分析即可得答案. (1) 小问详解： 由题意可得，当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：则 ， 所以当时，； (2) 小问详解： 由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 因为，所以当游玩时间为5小时，取到最小值为. 33．（25-26学年高一上·山东实验中学·期中）某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元      【分析】 （1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. (1) 小问详解： 由题意有销售额为， 所以当时，， 当时，， 所以 ； (2) 小问详解： （2）当时，， 当时，万元，              当时，，当且仅当， 即时等号成立，万元，             即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 34．（25-26学年·山东新泰第一中学·期中）若方程的解所在区间为，，则k的值为　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 令，则零点所在区间为，利用零点存在定理及函数的单调性判断即可． 【详解】 令，则在上连续，且单调递增， 因为， ， 所以的零点在内， 即方程的解所在区间为， 所以k的值为3． 故答案为： 35．（25-26学年高一上·山东潍坊第一中学·期中）已知 ，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 令，结合图形分析得到答案． 【详解】 解：令， 当时，令，则，即， 解得：，不符题意，舍去； 当时，令，则或， 即或， 由图象可知，有两解，则有一个解， 则只需，解得：， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查由函数零点个数求参数的取值范围，一般通过数形结合解答，属于基础题． 36．（25-26学年·山东青岛第一中学·期中）国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业､带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间的部分数据如下表所示： 15 20 25 30 105 110 105 100 设该文化工艺品的日销售收入为（单位：元），且第15天的日销售收入为1057元. （1）求的值； （2）给出以下三种函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式； （3）利用问题（2）中的函数，求的最小值. 【答案】（1）     （2）选择函数模型② ，.     （3）961.      【分析】 （1）由即可求解； （2）通过函数单调性确定选择函数模型②.再由即可求解； （3）由（2）确定 ，结合基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 因为第15天的日销售收入为1057元， 所以， 解得. (2) 小问详解： 由表中的数据知，当时间变化时，先增后减. 而函数模型①和③在上都是单调函数， 所以选择函数模型②. 由，得，解得. 所以 解得. 所以日销售量与时间的变化关系为. (3) 小问详解： 由（2）知 ， 所以 ， 即 ， 当时，由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立. 当时，单调递减， 所以. 综上所述，当时，取得最小值，最小值为961. 37．（25-26学年高一上·山东泰安泰安一中新校区·期中）已知函数 若关于的方程有6个互不相等的实数解，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 如图，结合图象得出解的情况，设，则原方程变为，根据解的情况，可得出方程三根的取值范围，根据解的范围，即可得出系数的范围. 【详解】 由题意，画出直线和函数的图象，如图， 由图象可知，当时，有3个解. 设，则原方程变为， 所以原方程有6个不同的实数解的充要条件是 方程的两根满足且. 则 ，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：． 【点睛】 思路点睛：画出直线和函数的图象，.进而根据图象，得出解的情况.然后根据已知零点的个数，分析得出方程根的分布情况，即可得出系数的范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $