第25章《一元二次方程》章节测试试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

《一元二次方程》 单元检测 【新教材人教版】 满分：150分；考试时间：120分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分150分，限时120分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】A 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 3．设，是一元二次方程的两个根，则的值（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，灵活运用这些知识是解题的关键． 将代入方程可得，由根与系数的关系可得，将转化为后代入计算即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴． 又∵m，n是方程的两个根， ∴由根与系数的关系，得， ∴． 故选：D． 4．定义一种新运算，当时，的值为（   ） A． B．4 C．3 D．4或 【答案】D 【分析】先由新定义将转化为方程，再由配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：由新定义可知， ， 则， ， 则或， 解得或． 5．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】令可将方程化成可得或，由此即可得． 【详解】解：令， 则方程可化成为方程， ∵方程的两个实数根为1和， 方程的两个实数根为1和， 或， 解得或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键． 6．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 7．若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， 当时，， ∴方程有2个相等的实数根，满足题意． 8．对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 9．年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两年的产量和是，分别表示、年的每公顷产量后相加列方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为． 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为, 由题意得 ． 10．如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质可得，，，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则，由此即可判断①正确；根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值为，由此即可判断②错误；根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；利用勾股定理可得，由此即可判断④正确；先求出的周长为，从而可得，再在中，利用勾股定理求解即可判断⑤正确． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，则结论①正确； ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时在中，，， ∴的最小值为， ∴面积的最小值是，则结论②错误； ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 即四边形的面积始终不变，结论③正确； 在中，， 由上已得：的最小值为1， ∴长度的最小值是，结论④正确； ∵， ∴的周长为， 又∵的周长为， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或，均符合题意， ∴当或时，使得的周长是，结论⑤正确； 综上，所有正确结论的序号是①③④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、一元二次方程的应用、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分） 11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 化简得， 解得． 12．将一元二次方程配方后变形为，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】将等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a的值为． 13．设，是方程的两实数根，则____________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两实数根 根据根与系数的关系可得，， ∴ ． 14．某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】根据平均每月增长率表示出三月份的产量，结合给出的三月份总产量列出方程即可． 【详解】解：∵一月份总产量为吨，平均每月的增长率为， ∴二月份的产量为吨， ∴三月份的产量为吨， ∵已知三月份总产量为吨， ∴可列方程为． 15．已知方程的两根分别为，，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，将所求式子通过平方差公式变形，代入求解即可． 【详解】解∶∵方程的两根分别为，， ∴， ∴． 16．设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到两根和与两根积，结合方程解的定义得到，满足的关系式，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根，，是方程的两个根， ∴，，，，且，， ∴ ． 三、解答题(本大题共9小题,满分86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本题6分）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得， （2）解：， ∴， 解得，； （3）解：， ， ∴， ∴，即，， 解得，； （4）解：， ∵，，， ∴判别式， ∴， ，． 18．（本题6分）请你利用“配方法”和“因式分解”两种方法求解方程． (1)配方法： (2)因式分解法： 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】 （1）第一步移项（常数项移到等号右边），第二步配方（等号两边同时加上一次项系数一半的平方），第三步直接开方即可求解； （2）用十字相乘法进行因式分解． 【详解】（1） 解： 或 ，； （2） 或 ，． 19．（本题8分）我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【答案】(1)， (2)当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 【分析】（1）根据“若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴当销售价为110元/盒时，每天的销售量为盒，每天盈利元； （2）解：设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 20．（本题8分）小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ (1)如果设金色纸边的宽度为分米，则挂画的长可表示为______分米，挂画的宽可表示为______分米，列出的方程为______． (2)根据你所列的方程求出的值． 【答案】(1)；； (2)1 【分析】（1）先根据四周都加宽，得到挂画新的长和宽，再利用总面积列出一元二次方程． （2）把一元二次方程展开整理后，因式分解解方程，最后舍去负数解，结合实际意义，得到纸边的宽度． 【详解】（1）设金色纸边的宽度为分米， 由于纸边在图片四周， 因此挂画的长为原图片的长加上两侧纸边的宽度，即分米； 挂画的宽为原图片的宽加上两侧纸边的宽度，即分米； 根据“挂图面积=长宽”，且挂图面积为80平方分米，可列出方程：． （2）由题意得方程：， 整理得，即， 两边同时除以4，得， 因式分解得， 解得， 因为纸边的宽度不能为负数，所以舍去， 即， 答：金色纸边的宽应是1分米． 21．（本题8分）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长， 且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】(1)证明：在方程中， ，，， ∴ ． ∵， ∴，即， ∴该方程总有两个实数根． (2)的值为． 【分析】（1）由根的判别式得，即可得证； （2）由勾股定理得，由根与系数关系得，，即可求解． 【详解】（1）证明略． （2）解：，是一个矩形两邻边的长， ， ， 由根与系数关系得，， ，， 解得，（舍去），， 故的值为． 22．（本题10分）“若一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”．若、是一元二次方程的两个实数根，求证：． 【答案】证明：∵ 整理得，， 由“韦达定理”可得：，， ∵， ∴． 【分析】首先由“韦达定理”得，，然后将展开后代入证明即可． 【详解】略 23．（本题12分） 已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)0 【分析】（1）把代入方程，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：把代入方程，得， ． （2）解：将，整理得， ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 24．（本题14分）阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 【答案】 【分析】由题意可知：可以将方程化简为的形式，然后根据根与系数的关系可解得：的值；也可将方程化简为的形式，再根据根与系数的关系可解得的值． 【详解】 解：解法一：由知， ， ， 由得， 根据与的特征， 是方程的两个不相等的实数根， ． 解法二：由得， 根据与的特征，且， 与是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 25．（本题14分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《一元二次方程》 单元检测 【新教材人教版】 满分：150分；考试时间：120分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分150分，限时120分钟。本卷题型针对性高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 3．设，是一元二次方程的两个根，则的值（    ） A． B． C． D．5 4．定义一种新运算，当时，的值为（   ） A． B．4 C．3 D．4或 5．若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 6．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 8．对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分） 11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 12．将一元二次方程配方后变形为，则的值为_______ ． 13．设，是方程的两实数根，则____________． 14．某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为__________． 15．已知方程的两根分别为，，则的值为___________． 16．设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________． 三、解答题(本大题共9小题,满分86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本题6分）解方程： (1) (2) (3) (4) 18．（本题6分）请你利用“配方法”和“因式分解”两种方法求解方程． (1)配方法： (2)因式分解法： 19．（本题8分）我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 20．（本题8分）小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ (1)如果设金色纸边的宽度为分米，则挂画的长可表示为______分米，挂画的宽可表示为______分米，列出的方程为______． (2)根据你所列的方程求出的值． 21．（本题8分）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长， 且矩形的对角线长为，求的值． 22．（本题10分）“若一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”．若、是一元二次方程的两个实数根，求证：． 23．（本题12分） 已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)直接写出代数式的最小值． 24．（本题14分）阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 25．（本题14分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $