专题7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义 (2)了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 空间点、直线、平面之间的位置关系 全国甲卷（文数）：第11题，5分 全国甲卷（理数）：第10题，5分 全国一卷：第17题，15分 命题规律分析 1、空间点、直线、平面之间的位置关系 空间点、直线、平面之间的位置关系是高考的热点内容。从近三年的高考情况来看，主要分两方面进行考查，一是空间中点、线、面关系的命题的真假判断；二是异面直线的判定和异面直线所成角问题；主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易，突出空间想象能力、逻辑推理能力。 考点1 平面 知识点1 平面的基本事实及推论 1．四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论 (1)四个基本事实及其表示 ①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. ②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. ③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. (2)四个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. 基本事实4：①判断两条直线平行. (3)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉a⇒a与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P⇒a与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b⇒直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 2．等角定理 (1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. (2)符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或 ∠AOB+∠A'O'B'=. 知识点2 共面、共线、共点问题的证明方法 1．共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 考点2 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点3 平面分空间问题 1．平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 知识点4 空间点、线、面之间的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 2．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 4．异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a'//a，b'//b，把a'与b'所成的角叫做 异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 【方法技巧与总结】 1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3. 2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所成的角，也可能等于其补角. 【题型1 平面的基本性质及推论】 【例1】（25-26高一下·吉林·期末）下列命题正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】C 【解题思路】利用确定平面的条件逐项判断即可. 【解答过程】对于选项A，当三点共线时，不能确定一个平面，故A错误； 对于选项B，当该点在直线上时，不能确定一个平面，故B错误； 对于选项C，由于梯形有一组对边平行，所以确定的平面有且只有一个，故另两条边也在该平面上，故C正确； 对于选项D，当圆心和圆上的两点在同一条线上时，不能确定一个平面，故D错误． 故选：C． 【变式1-1】（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 【答案】D 【解题思路】根据空间点线面面位置关系、基本事实一及推论判断即可. 【解答过程】设是空间中不重合的两条直线， 对于A，若直线相交于一点，则这两条直线可能既共面，又共点，故A说法正确； 对于B，若直线是异面直线，则这两条直线既不共面，又不共点，故B说法正确； 对于C，若直线是平行直线，这两条直线共面但不共点，故C说法正确； 对于D，若直线相交于一点，则直线一定共面，故D说法错误. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】利用平面公理及推论即可判断. 【解答过程】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一下·河南南阳·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用平面的基本事实判断即可. 【解答过程】对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是； 对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是； 对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是； 对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面， 两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是. 故选：D. 【题型2 点（线）共面、点共线、线共点问题】 【例2】（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解题思路】由中点构成的中位线和几何体的特征先判断是否平行，再判断是否在同一个平面内． 【解答过程】第一个图，如图：    分别是棱的中点，由正方体性质知，，则四个点共面； 第二个图，如图：    为棱的中点，由正方体的性质可知六点共面，记作， 因为，所以，所以与异面直线，即四个点不共面； 第三个图，如图：    因和分别是相邻侧面的中位线，所以，， 所以，即四个点共面； 第四个图，如图：    因为平面，所以平面，所以与异面直线， 即四个点不共面． 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【解题思路】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答． 【解答过程】对于A，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故A错误； 对于B，空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面；故B错误； 对于C，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故C错误； 对于D，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故D正确， 故选：D. 【变式2-2】（2026·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【答案】D 【解题思路】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【解答过程】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以 四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【解题思路】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【解答过程】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B. 【题型3 平面分空间问题】 【例3】（25-26高一下·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【解题思路】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目． 【解答过程】如图，若三个平面平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若其中两个平面平行，另一平面与这两个平面都相交， 此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线互相平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线交于同一点，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面相交于同一条直线，此时三个不同平面把空间分成部分， 故A、B、C都有可能，D不可能.    故选：D. 【变式3-1】（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为（    ）个区块. A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三棱柱三个侧面、两个平行的底面将空间分成21部分，再由三棱柱变为三棱锥可得解. 【解答过程】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分， 故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7=21部分， 把三棱柱上面的三个顶点合成一个点，变成三棱锥，这样三棱柱上面的7部分变为1部分， 中间和下面的各有7部分，所以一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为15个区块. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一下·河南洛阳·期中）三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解题思路】根据平面的性质，结合空间想象画出划分空间最多的情况即可得. 【解答过程】由于两个平面最多将空间分成4个部分，故三个平面最多可将空间分成8个部分，如下图示， 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ） A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【解题思路】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解. 【解答过程】      先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B. 【题型4 空间直线位置关系的判断】 【例4】（2026·上海长宁·一模）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用异面直线的定义依次判断选项即可. 【解答过程】如图取正方体底边的中点，和正方体的顶点M，N，P，Q， 连接， 在正方体中有， 所以，所以点四点共面；同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面, 所以直线与直线、直线与直线共面、直线与直线共面， 直线平面AFG， 直线平面，所以直线与直线是异面直线. 综上可知ABC错误D正确. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【答案】C 【解题思路】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断a与d的位置关系. 【解答过程】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·贵州·阶段检测）如图，在长方体中，直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 【答案】C 【解题思路】由题意易得平面，则有，结合异面直线的位置关系即可判断直线与的位置关系. 【解答过程】在长方体中，平面， 因为平面，所以， 又直线与不相交且不平行， 所以直线与异面且垂直. 故选：C. 【变式4-3】（2026·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【解答过程】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D. 【题型5 异面直线所成的角】 【例5】（25-26高三上·广东广州·阶段检测）在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出辅助线，得到即为和所成角，并由勾股定理求出各边长，利用余弦定理求出夹角余弦值. 【解答过程】连接，，因为，所以即为和所成角， 因为，， 由勾股定理得，， 因此. 故选：D． 【变式5-1】（25-26高三下·黑龙江·阶段检测）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将正四面体ABCD中置于正方体中，分析易得，可得为直线AN与CM所成角（或补角），进而结合余弦定理求解即可. 【解答过程】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图， 易得，， 所以四边形为平行四边形，则， 则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角， 即为直线AN与CM所成角（或补角）， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，由余弦定理可得，， 因此直线AN与CM所成角的余弦值为. 故选：C. 【变式5-2】（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据线线平行可得异面直线与所成角为（或其补角），即可根据余弦定理求解. 【解答过程】连接，取的中点，连接， 由题意知，， 则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C． 【变式5-3】（2026·云南红河·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将四棱锥补成长方体，设，根据条件可求得，可得与所成的角即为或其补角，在中，利用余弦定理求解. 【解答过程】设，如图所示，将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径， 因为，，即，所以． 又，所以与所成的角即为或其补角， 由题意以及长方体结构特征知和均为直角三角形， 所以，， 所以． 可知与所成的角为，所以与所成的角的正弦值为． 故选：B． 【题型6 线面、面面位置关系的判断】 【例6】（2026·浙江·模拟预测）已知平面互相垂直，则下列正确的是（   ） A．若直线，则 B．若直线，则 C．内有无数条直线与平行 D．内的所有直线与都垂直 【答案】C 【解题思路】根据线面平行判定和面面平行判定，以及面面垂直判定，逐项判断，即可求得答案. 【解答过程】选项A：若，可能与相交，也可能在内，不一定有，A错误； 选项B：无法推出，可以平行或与相交或者垂直，B错误； 选项C：根据线面平行的判定定理，内所有平行于交线的直线都与平行，这样的直线有无数条，C正确； 选项D：内平行于交线的直线与平行，并非所有直线都垂直，D错误. 由图可知ABD错误. 故选：C. 【变式6-1】（2026·湖南永州·二模）已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】根据线线、线面和面面的基本关系即可下结论. 【解答过程】如图，， 若，则与相交或异面，不一定垂直； 若，则 不一定成立.    所以“ ”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式6-2】（2026·云南·一模）设为两条不同直线，为三个不同平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【解题思路】根据题意，由空间中的线面关系逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于A，与可能相交（如墙角的三个平面）； 对于B，因为，所以在内存在直线使得 ，由得，故； 对于C，应推出； 对于D，由且，由面面垂直的判定定理， 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直， 这里缺少这个条件，所以不能得出，故D错误； 故选：B． 【变式6-3】（2026·河南·模拟预测）设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（     ） A．若，∥，∥，则 B．若⊂，⊂，∥，则∥ C．若，∥，∥，则∥ D．若，，∥，则 【答案】C 【解题思路】利用反例可判断A,B,D选项，根据线面平行的性质和判定定理可判断C选项. 【解答过程】如图，正方体中，记底面为平面，侧面为平面，为，为， 显然满足，∥，∥，但是此时，A不正确； 如图，满足⊂，⊂，∥，但是此时，B不正确； 因为，所以存在平面，使得，根据线面平行的性质定理可得， 所以，又因为，根据线面平行的判定定理可得， 而，所以，又因为，所以，C正确； 因为，，所以，因为，所以，D不正确. 故选：C. 一、单选题 1．（2026·浙江·一模）已知直线与平面，则下列选项可使得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】举例说明可判断A；由面面平行的性质可判断B；由线面垂直的性质定理可判断C；举例说明可判断D. 【解答过程】对于A，若，则不成立，如图所示，故A错误； 对于B，由面面平行的性质可知，成立，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则可能存在，如图所示，故D错误. 故选：B. 2．（2026·安徽合肥·一模）已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】举反例可说明充分性不成立，利用两平面有公共点，则公共点在两平面的交线上可说明必要性成立. 【解答过程】如图所示，空间中三条直线与平面分别交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面， 所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件； 若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面内， 则在平面与的交线上，所以三点共线， 所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件； 所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2026·湖南株洲·模拟预测）设，是两个不同的平面，则“内至少有一条直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据面面平行的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解答过程】由“内至少有一条直线与平行”，可得平面与平面平行或相交，即充分性不成立； 反之：若“”，则“平面内任一条直线与平行”，即必要性成立， 所以“内至少有一条直线与平行”是 “”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2026·重庆九龙坡·一模）已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取的中点，的中点，得到为菱形，故有过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形，根据题意求出的长度，取的中点，连接，根据勾股定理求出的长度，故菱形的面积为，代入数值得解. 【解答过程】取的中点，的中点，连接，，，， 取的中点，连接，取的中点，连接， 分别是，，，的中点，是正方形， 且，且， 且，为平行四边形，且， 而且，则，为平行四边形， ，四点共面，又，为菱形， 平面， 过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形， ，，则， 故菱形的面积为. 故选：A. 5．（2026·湖北恩施·二模）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以所在平面作为下底面，将展开图还原为正方体，根据正方体性质判断选项即可. 【解答过程】以所在平面作为下底面还原， 则重合，重合，还原成如图正方体: 对于A，由图可得异面不平行，故A错误； 对于B，显然，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由图可得异面不平行，故D错误. 故选：B. 6．（2026·天津北辰·二模）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】利用充分条件与必要条件定义，结合直线与平面的位置关系判断即可得. 【解答过程】由，，若，则与可能平行也可能相交； 由，，若，则与可能平行、可能异面也可能相交； 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7．（2026·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解题思路】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解. 【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分； （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，      所以三个不同平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12. 故选：B. 8．（2026·安徽蚌埠·模拟预测）给出下列四个判断： ①若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交． ②对平面，和直线，若，，则． ③对平面，和直线，若，，则． ④对直线，和平面，若，，且过平面内一点，则． 其中正确的判断有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】由线面垂直，线面平行关系可判断选项正误. 【解答过程】对于①，过直线上一点作直线，设过和的平面为，则当点在平面内，且不在直线上时，找不到直线同时与，都相交，故①错误； 对于②，由题可得可能在内，故②错误； 对于③，因，则在内存在，使，则，又，则，故③正确； 对于④，因，，则或，又过平面内一点，则，故④正确. 故选：B. 二、多选题 9．（2026·湖南长沙·一模）已知是三个不同的平面，为三条不同的直线且，则三条直线的位置关系可能是（   ） A．三条直线两两平行 B．有且仅有两条直线平行 C．三条直线相交于同一点 D．有且仅有两条直线相交 【答案】AC 【解题思路】根据平面基本事实可得正确的选项. 【解答过程】由题设，故为共面直线， 若，则，则重合，与题设矛盾，故，同理 若，因，故，而，，故， 故三条直线两两平行，故A正确，B错误； 若相交，设，则，故， 故三条直线相交于同一点，故C正确，D错误； 故选：AC. 10．（2026·广东·模拟预测）如图所示，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（    ）    A．直线AB B．直线BC C．直线CD D．直线DA 【答案】CD 【解题思路】由异面直线的定义依次分析选项. 【解答过程】如图所示的正方体中，A、B、C、D、E、F分别是所在棱的中点，    正方体中有且，四边形为平行四边形，有且， 又，，所以且， 所以为梯形，故直线与相交，A错误； 正方体中，因为，所以，故B错误； 因为平面平面，平面，平面， 所以直线与直线无公共点， 又，，所以直线与直线不平行， 即直线与直线是异面直线，故C正确； 因为平面，平面，，故直线与异面，D正确. 故选：CD. 11．（2026·浙江·三模）已知两个平面和两条直线，满足，下列命题正确的是（   ） A．若不垂直，则不可能垂直 B．若垂直，则可能不垂直 C．若不平行，则不可能平行 D．若平行，则可能不平行 【答案】BD 【解题思路】根据空间中面面位置关系与线线位置关系的判定，可通过生活中的实物模型举反例结合空间几何基本定理判断各选项正误。 【解答过程】对于A，想象一本半打开的书（比如打开成 角），左边的书页是平面 ，右边的书页是平面，显然这两个平面不垂直， 在左边书页上，画一条直线 垂直于书脊（交线），在右边书页上，取书脊即交线为，此时互相垂直的， 因此平面不垂直，也可以垂直，故A错误；   对于B，想象教室的墙角，地面是平面，前面的黑板墙面是平面 ，它们互相垂直， 在地面上画一条直线，让它平行于墙脚线（交线），在黑板墙面上也画一条直线 ，让它也平行于墙脚线，此时，直线和直线是互相平行的， 因此即使平面垂直，可以平行，即可能不垂直，故B正确； 对于C，还是那本半打开的书，左右两页纸代表平面和，它们相交于书脊，肯定不平行， 在左页纸上画一条横线平行于书脊，在右页纸上也画一条横线平行于书脊， 根据几何公理（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行），和都平行于书脊，所以和互相平行， 因此哪怕平面相交（不平行），依然可以平行，故C错误； 对于D，想象教室的天花板是平面，地面是平面，这两个平面是平行的， 在天花板上画一条直线，方向是南北走向，在地面上画一条直线，方向是东西走向， 直线 a在头顶，直线在脚下，方向还互相交叉，它们既不会相交，方向也不一样，这种关系叫作异面直线，既然是异面，它们自然不平行， 因此平面平行，可以是异面的（即不平行），故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，在正方体中，平面平面__________．    【答案】 【解题思路】利用平面基本事实推理即得. 【解答过程】因为平面，平面，所以平面平面； 同理平面，平面，所以平面平面. 所以平面平面 . 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是____________．    【答案】相交 【解题思路】连接，利于中位线性质可证得得共面，再利用反证法假设，可证得矛盾，从而可得与相交. 【解答过程】如图，    连接，P是的中点，Q是的中点，所以是的中位线， 故，而在正方体中中，， 所以四边形是平行四边形， 故，所以，得共面， 故与共面， 假设,由，可得四边形是平行四边形， 则，即，这与是的中位线矛盾， 故与相交. 故答案为：相交. 14．（25-26高二·上海·随堂练习）三条不同的直线a、b、c，若，c与a、b都相交，则a、b、c三条直线能确定的平面的个数是____________个． 【答案】1 【解题思路】由两平行直线可确定一个平面进行求解． 【解答过程】两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上， 所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面， 所以三条直线能确定1个平面． 故答案为：1. 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．证明：三线共点． 【答案】证明见解析 【解题思路】先证明与相交，记交点为，再证明点为平面与平面的公共点，根据平面基本事实可得，从而证得三线共点． 【解答过程】证明：由分别为的中点，得，且； 由分别为的中点，得，且， 而，所以不平行； 由分别为的中点，易知，所以确定平面； 因为不平行，延长交于一点，记作点，则，所以平面； 同理平面，即平面. 所以即为平面与平面的公共点. 又平面平面，所以； ， 即三线共点． 16．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，.判断直线与直线的位置关系，并说明理由. 【答案】异面，理由见解析 【解题思路】根据平行传递性证明线线平行，进而证明直线异面； 【解答过程】异面，理由为： 如图所示，取中点，连接， ，则， 因为四边形为平行四边形，所以， ， 又因为，且， 所以，且， 则四边形为平行四边形，且， ， 所以且， 所以四边形为平行四边形，且， 又，且平面， 所以与异面. 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，，E，F分别是AB，CD的中点，，求异面直线AD与BC所成的角的大小．    【答案】 【解题思路】取BD的中点O，利用定义法求出异面直线AD与BC所成的角. 【解答过程】如图所示，    设BD的中点为O，连接EO，FO，则， 所以是异面直线AD与BC所成的角或其补角， 而，， 在中，由余弦定理，得， 而，因此， 所以异面直线AD与BC所成的角为． 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，，，，分别为，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】(1)利用中位线性质证明与平行且相等即四边形是平行四边形. (2)由(1)知道四边形是平行四边形，因为即可得到平行四边形邻边相等，所以四边形是菱形. 【解答过程】（1）证明：空间四边形中,,,,分别为,,,的中点， 所以,,. 所以, 所以四边形是平行四边形． （2）证明：因为空间四边形中，,,,分别为,,,的中点， 所以，, , 因为，所以． 又因为是平行四边形，所以四边形是菱形． 19．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，在正四棱锥中，点，分别为棱，上的四等分点，且，． (1)若，，求四棱锥的体积； (2)取点，分别为，的中点，试证明三条直线，，交于一点． 【答案】(1)16 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用勾股定理求出高，再利用棱锥体积公式计算即可； （2）利用点同时属于两个面，则该点必在这两个面的交线上进行证明. 【解答过程】（1），， 又， 正四棱锥的高， 正四棱锥的体积． （2）证明：连接， 点，分别为，的中点，，， ，，，， ，且，即四边形是梯形， 直线，相交，记交点为， ，又平面，平面， 同理可得平面，又平面平面， ，即三条直线，，交于一点. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义 (2)了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 空间点、直线、平面之间的位置关系 全国甲卷（文数）：第11题，5分 全国甲卷（理数）：第10题，5分 全国一卷：第17题，15分 命题规律分析 1、空间点、直线、平面之间的位置关系 空间点、直线、平面之间的位置关系是高考的热点内容。从近三年的高考情况来看，主要分两方面进行考查，一是空间中点、线、面关系的命题的真假判断；二是异面直线的判定和异面直线所成角问题；主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易，突出空间想象能力、逻辑推理能力。 考点1 平面 知识点1 平面的基本事实及推论 1．四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论 (1)四个基本事实及其表示 ①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. ②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. ③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. (2)四个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. 基本事实4：①判断两条直线平行. (3)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉a⇒a与A共面于平面α,且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P⇒a与b共面于平面α,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b⇒直线a,b共面于平面α,且平面唯一. 2．等角定理 (1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. (2)符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或 ∠AOB+∠A'O'B'=. 知识点2 共面、共线、共点问题的证明方法 1．共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 考点2 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点3 平面分空间问题 1．平面分空间问题 一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢? (1)两个平面有两种情形： ①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)； ②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2). (2)三个平面有五种情形： ①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)； ②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)； ③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)； ④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)； ⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5). 知识点4 空间点、线、面之间的位置关系 1．空间中直线与直线的位置关系 (1)三种位置关系 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种： (2)异面直线的画法 为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示. 2．空间中直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线与平面平行 没有公共点 3．空间中平面与平面的位置关系 (1)两种位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下： 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 (2)平行平面的画法技巧 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行. 4．异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a'//a，b'//b，把a'与b'所成的角叫做 异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 【方法技巧与总结】 1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3. 2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所成的角，也可能等于其补角. 【题型1 平面的基本性质及推论】 【例1】（25-26高一下·吉林·期末）下列命题正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面 【变式1-1】（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 【变式1-2】（25-26高二上·上海·阶段检测）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（25-26高一下·河南南阳·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【题型2 点（线）共面、点共线、线共点问题】 【例2】（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-1】（25-26高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【变式2-2】（2026·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【变式2-3】（25-26高一下·山东威海·期末）在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【题型3 平面分空间问题】 【例3】（25-26高一下·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【变式3-1】（25-26高一下·黑龙江大庆·期中）一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为（    ）个区块. A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一下·河南洛阳·期中）三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3-3】（25-26高一下·广东广州·期末）空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（    ） A．25 B．26 C．28 D．30 【题型4 空间直线位置关系的判断】 【例4】（2026·上海长宁·一模）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【变式4-2】（25-26高二上·贵州·阶段检测）如图，在长方体中，直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 【变式4-3】（2026·山东济南·三模）如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 异面直线所成的角】 【例5】（25-26高三上·广东广州·阶段检测）在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三下·黑龙江·阶段检测）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·云南红河·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，若四棱锥的外接球半径为2，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 线面、面面位置关系的判断】 【例6】（2026·浙江·模拟预测）已知平面互相垂直，则下列正确的是（   ） A．若直线，则 B．若直线，则 C．内有无数条直线与平行 D．内的所有直线与都垂直 【变式6-1】（2026·湖南永州·二模）已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（2026·云南·一模）设为两条不同直线，为三个不同平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【变式6-3】（2026·河南·模拟预测）设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（     ） A．若，∥，∥，则 B．若⊂，⊂，∥，则∥ C．若，∥，∥，则∥ D．若，，∥，则 一、单选题 1．（2026·浙江·一模）已知直线与平面，则下列选项可使得的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·一模）已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·湖南株洲·模拟预测）设，是两个不同的平面，则“内至少有一条直线与平行”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·重庆九龙坡·一模）已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北恩施·二模）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·天津北辰·二模）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 8．（2026·安徽蚌埠·模拟预测）给出下列四个判断： ①若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交． ②对平面，和直线，若，，则． ③对平面，和直线，若，，则． ④对直线，和平面，若，，且过平面内一点，则． 其中正确的判断有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 9．（2026·湖南长沙·一模）已知是三个不同的平面，为三条不同的直线且，则三条直线的位置关系可能是（   ） A．三条直线两两平行 B．有且仅有两条直线平行 C．三条直线相交于同一点 D．有且仅有两条直线相交 10．（2026·广东·模拟预测）如图所示，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（    ）    A．直线AB B．直线BC C．直线CD D．直线DA 11．（2026·浙江·三模）已知两个平面和两条直线，满足，下列命题正确的是（   ） A．若不垂直，则不可能垂直 B．若垂直，则可能不垂直 C．若不平行，则不可能平行 D．若平行，则可能不平行 三、填空题 12．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，在正方体中，平面平面__________．    13．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是____________．    14．（25-26高二·上海·随堂练习）三条不同的直线a、b、c，若，c与a、b都相交，则a、b、c三条直线能确定的平面的个数是____________个． 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．证明：三线共点． 16．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，.判断直线与直线的位置关系，并说明理由. 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，，E，F分别是AB，CD的中点，，求异面直线AD与BC所成的角的大小．    18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在空间四边形（不共面的四边形称为空间四边形）中，，，，分别为，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是菱形． 19．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，在正四棱锥中，点，分别为棱，上的四等分点，且，． (1)若，，求四棱锥的体积； (2)取点，分别为，的中点，试证明三条直线，，交于一点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $