第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高一数学人教A版必修第一册

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【人教A版】 模块二 一元二次不等式 【知识点1 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【知识点2 分式、高次、绝对值不等式的解法】 1．分式不等式的解法 解分式不等式的一般步骤： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 2．高次不等式的解法 (1)高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. (2)解高次不等式的一般步骤：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 3．绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【题型1 解不含参的一元二次不等式】 【例1】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式1-1】（25-26高一上·云南大理·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（25-26高一上·重庆长寿·阶段检测）不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型2 解含参的一元二次不等式】 【例2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数. (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【变式2-3】（25-26高一上·山东滨州·期末）已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若且，解关于x的不等式. 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【变式3-3】（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（25-26高一上·山东淄博·期末）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一·全国·寒假作业）已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【变式4-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围. 模块三 三个“二次”的关系 【知识点3 三个“二次”的关系】 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型5 二次函数的图象分析与判断】 【例5】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式5-3】（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【题型6 三个“二次”关系的应用】 【例6】（25-26高二上·河南·阶段检测）二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一下·云南·阶段检测）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式6-3】（25-26高一上·上海松江·期中）函数. (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 模块四 一元二次不等式恒成立、有解问题 【知识点4 一元二次不等式恒成立、存在性问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 【例7】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 【变式7-3】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【题型8 一元二次不等式有解问题】 【例8】（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·湖北·期中）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【变式8-3】（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数. (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 2．（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 3．（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 7．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 8．（25-26高一上·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 11．（25-26高一上·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 13．（25-26高一上·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是___________． 14．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）恒成立，则实数a的最大值为___________. 四、解答题 15．（25-26高一上·山东德州·期末）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 16．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 17．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 18．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 19．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，，． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； (3)若，对任意，总存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【人教A版】 模块二 一元二次不等式 【知识点1 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【知识点2 分式、高次、绝对值不等式的解法】 1．分式不等式的解法 解分式不等式的一般步骤： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 2．高次不等式的解法 (1)高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. (2)解高次不等式的一般步骤：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 3．绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【题型1 解不含参的一元二次不等式】 【例1】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【解题思路】利用一元二次不等式的解法即可求解. 【解答过程】由题意有：， 所以原不等式的解集为， 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·云南大理·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】先将因式分解成，再结合二次函数的图象写出不等式的解集即可得解. 【解答过程】因为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·重庆长寿·阶段检测）不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】整理可得，解不等式即可. 【解答过程】因为，即，解得或， 所以不等式的解集是或. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【解答过程】原不等式即为，即，解得或， 故原不等式的解集为. 故选：D. 【题型2 解含参的一元二次不等式】 【例2】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）关于的一元二次不等式的解集不可能为（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对进行分类讨论即可求解 【解答过程】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数. (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解题思路】（1）要使恒成立，可将其转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求解的取值范围. （2）先将不等式转化为一元二次不等式，再通过因式分解求解不等式. 【解答过程】（1）对，恒成立，即恒成立， 所以，整理得，解得， 所以实数的取值范围是. （2），即， 即，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解原不等式得或； 当，即时，解原不等式得或. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式2-3】（25-26高一上·山东滨州·期末）已知二次函数. (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若且，解关于x的不等式. 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解题思路】（1）根据给定的解集，利用一元二次不等式的解集规律，结合韦达定理求解. （2）把代入，按分类求解含参不等式. 【解答过程】（1）不等式的解集为， 则，且是方程的两个实根，于是， 所以. （2）当且时，不等式，则， 当时，，解得或； 当时，，不等式恒成立，； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【题型3 解分式、高次、绝对值不等式】 【例3】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将分式不等式转化为整式不等式，进而求解即可. 【解答过程】因为，所以， 解得. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】整理可得，化分式为整式，结合一元二次不等式运算求解即可. 【解答过程】由，整理可得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次方程的解法即得； （2）去绝对值符号，求解不等式即可； （3）将分式不等式化为不等式组，求解即可. 【解答过程】（1）因为方程的， 所以该方程有两个不相等的实数根，解得，. 不等式的解集为或. （2）原不等式可化为，即，解得. 所以原不等式的解集为. （3）可化为，即， 可等价为①或②，解①得，解②得不等式组无解. 综上，. 所以原不等式的解集为. 【变式3-3】（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)或. (2)或 (3)或. 【解题思路】（1）利用因式分解求二次不等式的解集； （2）由分式不等式转化为二次不等式，然后求得解集； （3）利用因式分解求三次不等式解集. 【解答过程】（1）即， 则， ∴原不等式的解集为或. （2）即， 则， ∴原不等式的解集为或 （3）即， ∴， ∴， ∴， ∴原不等式的解集为或. 【题型4 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（25-26高一上·山东淄博·期末）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据一元二次不等式与方程的关系得，，进而转化为解不等式即可. 【解答过程】因为关于的不等式的解集是 所以，方程的两个实数根 所以，，即， 所以， 因为， 所以，分解因式，解得 所以不等式的解集为 故选：A. 【变式4-1】（25-26高一·全国·寒假作业）已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【解答过程】不等式，可化为． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则． 综上可得，实数a的取值范围是或． 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【解答过程】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式4-3】（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围. 【答案】(1) 当时，不等式化为，无解，不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为. (2) 【解题思路】（1）结合不等式的解集，利用三个二次关系列式求得，然后将所求不等式转化为，分类讨论求解二次不等式即可. （2）将所求不等式化简为，结合得不等式的解集为，然后利用解集中有且仅有7个整数解列不等式求解即可. 【解答过程】（1）由题意及二次函数图象性质可知，方程的两根为1和2， 且函数的最小值不小于.故，即. 不等式等价于， 整理得， 当时，不等式化为，无解，不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为. （2）不等式等价于， 整理得， 因为，所以，所以不等式的解集为， 因为不等式有且仅有7个整数解， 所以，解得，故的取值范围为. 模块三 三个“二次”的关系 【知识点3 三个“二次”的关系】 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型5 二次函数的图象分析与判断】 【例5】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二次函数的图象和性质直接可得. 【解答过程】由的图象可知，， 得，，，，. 即，，. 所以BCD正确，A错误. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【解答过程】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【解答过程】由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④说法正确； 综上①②③④正确； 故选：D. 【变式5-3】（25-26高一上·湖南常德·期中）已知二次函数（为常数，且）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】D 【解题思路】根据函数的图像，结合函数性质和韦达定理得出的符号及相互关系，再利用的符号及相互关系逐一分析判断各选项． 【解答过程】由函数图像可知二次函数开口向上，对称轴为正值，函数的两个零点为和2， ， 选项A：，，又，，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，，故C错误； 选项D：， ， ，原不等式等价于，解得， 不等式的解集为，故D正确． 故选：D． 【题型6 三个“二次”关系的应用】 【例6】（25-26高二上·河南·阶段检测）二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据，确定二次函数的图象开口方向，再由二次方程的两根为2，，写出不等式的解集. 【解答过程】因为二次方程的两根为2，， 又二次函数的图象开口向上， 所以不等式的解集为或 ， 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知不等式的解集是，则对函数，下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用二次不等式的解集，求得a,b,c的关系，由此判断二次函数的图像与性质，从而判断出的大小关系. 【解答过程】由于二次不等式的解集为， 所以，是方程的两个实数根，即 即. 则，，其图像开口向上，且对称轴为 ， 所以 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一下·云南·阶段检测）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则； （2）解：因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个负实数根， 则满足，解得且， 所以实数的取值范围为. 【变式6-3】（25-26高一上·上海松江·期中）函数. (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或1 (3) 【解题思路】（1）解一元一次不等式可得结果； （2）分和，结合根的判别式得到不等式，即可得到的值； （3）分和，结合二次函数的图象性质得到不等式，即可得到的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，当时，，解得， 所以的解集为. （2）由题意，只有1个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1. （3），即的解集为， 当时，，解得，不符合要求， 当时，需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 模块四 一元二次不等式恒成立、有解问题 【知识点4 一元二次不等式恒成立、存在性问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 【例7】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合题意利用主元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即可. 【解答过程】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式恒成立可得出，再利用基本不等式可求得的最大值. 【解答过程】解：因为不等式对任意恒成立， 所以，， 因为，对称轴为，在上单调递减， 所以，当时，有最小值， 所以， 所以， 当且仅当且时等号成立，即时等号成立，满足. 所以的最大值为. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． (3) 【解题思路】（1）代入得到二次函数，解一元二次不等式（分析开口方向、判别式）； （2）整理不等式为，分、、讨论（结合因式分解、根的大小比较）； （3）分离参数，再通过化简，利用基本不等式求取值范围. 【解答过程】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （3）由对一切实数恒成立， 即对恒成立， 当时，，所以， ∵，∴， 当且仅当时，即时等号成立，∴． 【变式7-3】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. 【解答过程】（1）由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； （2）由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； （3）由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【题型8 一元二次不等式有解问题】 【例8】（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【解答过程】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【解答过程】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高一上·湖北·期中）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）解一元二次不等式求得正确答案. （2）由分离参数，结合基本不等式求得的取值范围. 【解答过程】（1），，. ，. 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式成立 即时，能成立. 所以大于的最小值 由基本不等式得 当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 【变式8-3】（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数. (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出参数的取值范围； （2）参变分离可得存在使得成立，结合的范围求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】（1）因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， ①当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ②当时，函数的图象为抛物线，开口向上， 所以对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③当时，函数的图象为抛物线，开口向下， 要使得对任意恒成立，则，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （2）不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】直接利用一元二次不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 故选：A. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】将原分式不等式同解变形为一元二次不等式，求一元二次不等式的解集即可．需要注意的是同解变形时要考虑分母不为零的情形． 【解答过程】原不等式变形为， 同解变形为，解得，又因为， 所以原不等式的解集为． 故选：B. 3．（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【解题思路】根据二次函数、一元二次不等式、一元二次方程之间的关系可得，的根为，由韦达定理可得，可得，解一元二次不等式即可. 【解答过程】因为的解集为，所以， 且的根为， 所以，可得， ，即， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将不等式进行变式，将a的取值范围初步求出，再根据初步范围和不等式恰有2个整数解进行分类讨论，最终求出a的范围. 【解答过程】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：B. 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先分析不等式恒成立需满足的条件，再计算求解． 【解答过程】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件； ，解得， 的取值范围是，故A正确． 故选：A． 6．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 又，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 7．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【解答过程】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 故选：D. 8．（25-26高一上·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，将恒成立转化为，得到的一元二次不等式求解. 【解答过程】正实数、满足， ， 当且仅当时，即，即时，等号成立， 的最小值为， 恒成立，， ，，，实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据二次函数性质分析可知，，且，即可判断A；举反例判断B；结合不等式性质判断CD. 【解答过程】因为抛物线的图象开口向上，则， 且对称轴，则， 又因为抛物线的图象过点，， 则，可得，解得，故A正确； 例如，符合题意，但，故B错误. 因为，且，则， 所以，故CD正确； 故选：ACD． 10．（25-26高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 故选：ABD． 11．（25-26高一上·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【解题思路】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【解答过程】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解题思路】先根据不等式的解集与一元二次方程根的关系，求得的值，再结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【解答过程】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 故答案为：. 13．（25-26高一上·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是___________． 【答案】 【解题思路】利用判别式与韦达定理求解即可. 【解答过程】因为有两个不等实根，故. , 设两个正实数根为, 由题可知，有,整理得, 解得,因此. 故答案为：. 14．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）恒成立，则实数a的最大值为___________. 【答案】 【解题思路】根据恒成立转化为在上恒成立，最后再应用基本不等式计算求解. 【解答过程】恒成立， 即 在上恒成立， 所以 在上恒成立， 又 当且仅当 即 时取等号，所以 则实数a的最大值为 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·山东德州·期末）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1)或； (2)或. 【解题思路】（1）移项、通分，转化为一元二次不等式求解即可； （2）利用公式法可求不等式的解. 【解答过程】（1）即为，故， 所以或，故不等式的解集为或. （2）即为， 故或，所以或， 故不等式的解集为或. 16．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)1和2 (2)答案见详解 【解题思路】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理可得，令求解即可； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【解答过程】（1）因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. （2）由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 17．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】(1)和时，彩带的总长最小值为 (2)①； ② 【解题思路】（1）先根据题意列出等式，然后根据基本不等式的性质求出彩带的总长的最小值. （2）①根据矩形面积公式列出函数解析式即可； ②根据题意要求列出不等式，然后求解集即可. 【解答过程】（1）设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，， 则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. （2）①由题意，（）； ②因为，即， 所以，解得或，又因为，所以， 所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 18．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. (3) 【解题思路】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【解答过程】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 19．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，，． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； (3)若，对任意，总存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将不等式恒成立转化为恒成立，再根据即可求m的取值范围； （2）将题中条件转化为的值域包含于的值域，再根据区间的两端点的函数值可得到的对称轴在区间之间，从而可得到，进而可求得m的取值范围； （3）将不等式成立化简得到不等式成立，再构造函数，从而得到，再构造函数，根据即可求解． 【解答过程】（1）由题意得恒成立， 得恒成立，即 解得． （2）当，当， 由题意得 ∴得， 此时对称轴为， 故，即得或， 综上可得； （3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立， 令，由题意得， 而， 设，则， 而， 易得，故． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $