第02讲 集合间的基本关系（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦集合间的基本关系，系统梳理子集（定义、记法、图示及自反性、传递性结论）、真子集（含存在元素差异的定义及记法）、集合相等（双向包含）、空集（不含元素及子集规定）及集合间关系性质（自反、传递等），构建从概念到性质的完整知识链，为后续学习提供清晰支架。 资料以知识点与题型深度融合为特色，通过定义辨析（如子集与真子集的区别）、Venn图直观呈现培养数学眼光，借助求子集个数、根据集合关系求参数等题型训练逻辑推理（数学思维），符号规范表达强化数学语言。课中辅助教师分层教学，课后变式题与提升练助力学生查漏补缺，巩固知识。

第02讲 集合间的基本关系 【人教A版】 模块二 集合的子集 【知识点1 子集的概念】 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 【知识点2 真子集的概念】 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 求集合的子集（真子集）】 【例1】（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 【变式1-2】（25-26高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【变式1-3】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合. (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (3)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式2-1】（25-26高三上·辽宁·期中）已知集合，，若，则的所有可能取值构成的集合的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【变式2-2】（2026高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【变式2-3】（25-26高一上·吉林四平·阶段检测）已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 模块三 集合相等与空集 【知识点3 集合相等的概念】 1．定义：如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 【知识点4 空集的概念】 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【知识点5 Venn图的优点及其表示】 1．优点：形象直观. 2．表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（2026高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式4-2】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知集合，．若，则___________． 【变式4-3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设，若集合，则___________. 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-3】（25-26高一上·山西太原·阶段检测）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 模块四 集合间关系的性质 【知识点6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的几大性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若A⊆B，B=C，则A⊆C. (3)若A⊆B，A≠B，则. 【题型6 判断集合间的关系】 【例6】（25-26高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，试判断之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【变式6-3】（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【题型7 根据集合的包含关系求参数】 【例7】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【变式7-3】（2026高一·全国·专题练习）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得 ，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【题型8 集合关系中的新定义问题】 【例8】（25-26高一上·江西抚州·阶段检测）已知，，若，则集合中的所有非空子集的元素之和为（   ） A．15 B．30 C．60 D．120 【变式8-1】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【变式8-2】（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）给定非空数集，集合，. (1)若{是16的平方根}，求，； (2)若，证明：； (3)若，，，证明：. 【变式8-3】（25-26高二下·浙江宁波·期中）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）集合的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南永州·一模）设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 6．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2026高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2026高一·上海·专题练习）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 二、多选题 9．（25-26高一上·江西赣州·开学考试）下列命题中，正确的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是菱形是平行四边形 D． 10．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 11．（2026·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 三、填空题 12．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是____________. 13．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）含有三个实数的集合可表示为，也可以表示为，则的值为____________. 14．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）定义集合的运算：已知集合，则．若集合，则集合的真子集个数的可能取值是___________． 四、解答题 15．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 16．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 19．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合间的基本关系 【人教A版】 模块二 集合的子集 【知识点1 子集的概念】 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 【知识点2 真子集的概念】 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 求集合的子集（真子集）】 【例1】（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出集合的真子集，即可判断. 【解答过程】根据题意，集合的真子集为： ， 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C. 【变式1-1】（2026高一·全国·专题练习）设集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则（　　） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】根据子集概念分析即可求解. 【解答过程】由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． 故选：A. 【变式1-2】（25-26高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【解题思路】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 【变式1-3】（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合. (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (3)若有且只有四个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)时，；时， (3)且 【解题思路】（1）根据条件得，即可求解； （2）分和两种情况，当时，直接求出，当时，根据条件得，即可求解； （3）根据条件得方程有两个不等实数根，即可求解. 【解答过程】（1）当时，由，即，解得或， 所以，则的所有子集为. （2）时，由，得，此时，符合题意， 时，由，解得， 由，即，解得，此时，符合题意， 故时，；时，. （3）若有且只有四个子集，则方程有两个不等实数根， 所以，解得且， 综上，实数的取值范围为且. 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解题思路】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【解答过程】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高三上·辽宁·期中）已知集合，，若，则的所有可能取值构成的集合的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】D 【解题思路】利用分类讨论参数，根据子集关系可求得参数的集合，再通过元素个数确定真子集个数. 【解答过程】当时，，成立， 当时，， 因为，故或，此时或1， 综上，，故真子集个数为. 故选：D. 【变式2-2】（2026高一上·福建厦门·专题练习）已知集合． (1)若，求实数的取值集合． (2)若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由可得，分和进行讨论； （2）由的子集有两个得出只含有一个元素，分和进行讨论. 【解答过程】（1）若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （2）若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 【变式2-3】（25-26高一上·吉林四平·阶段检测）已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 【答案】(1)，，，，， (2) 【解题思路】（1）根据集合间的包含关系可直接写出符合题意的集合； （2）对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式即可求出的取值范围. 【解答过程】（1）当时，方程的根的判别式，所以． 又，故． 由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为,,,,,． （2）当时，是的一个子集， 此时对于方程，有，所以． 当时，因为，所以当时，，即， 此时，因为，所以不是的子集； 同理，当时，，也不是的子集； 当时，，也不是的子集． 综上，满足条件的的取值范围是． 模块三 集合相等与空集 【知识点3 集合相等的概念】 1．定义：如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 【知识点4 空集的概念】 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 【知识点5 Venn图的优点及其表示】 1．优点：形象直观. 2．表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【题型3 判断两个集合是否相等】 【例3】（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用相等集合的定义逐一判断可得. 【解答过程】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用集合相等的条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误， 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【解答过程】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【变式3-3】（2026高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 【题型4 根据两个集合相等求参数】 【例4】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合相等的定义分两种情况解方程组，再结合元素具有互异性判断可得结果. 【解答过程】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【解答过程】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知集合，．若，则___________． 【答案】 【解题思路】根据集合的性质和相等进行求解即可. 【解答过程】因为集合， 所以当时，（此时不满足集合元素的互异性，故舍去）或. 当时，集合，集合. 因为，所以，即. 此时. 当时，要使得，则. 那么有，即（此时不满足集合元素的互异性，故舍去）. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设，若集合，则___________. 【答案】 【解题思路】根据集合相等确定的值，再求的值. 【解答过程】因为，根据集合元素的互异性，可知，，，， 若，则，解得，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 若，由，解得，经检验，符合题意. 所以 . 故答案为：. 【题型5 空集的判断、性质及应用】 【例5】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【解答过程】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 【变式5-1】（25-26高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【解答过程】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解题思路】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【解答过程】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式5-3】（25-26高一上·山西太原·阶段检测）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解题思路】利用元素和集合的关系、集合间的关系、集合中元素的特性分析判断即可得解. 【解答过程】解：对于①，由集合间的关系和集合中元素的无序性知，故①正确； 对于②，由集合中元素的无序性知，故②正确； 对于③，是没有任何元素的集合，而集合中有元素，所以，故③错误； 对于④，是集合的元素，所以，故④正确； 对于⑤，是集合的子集而非元素，故⑤错误； 对于⑥，是集合的子集，即，故⑥正确； 综上知，正确的个数为4个. 故选：B. 模块四 集合间关系的性质 【知识点6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的几大性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若A⊆B，B=C，则A⊆C. (3)若A⊆B，A≠B，则. 【题型6 判断集合间的关系】 【例6】（25-26高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【解答过程】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，试判断之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先化简三个集合，再根据集合中元素的关系即可得解. 【解答过程】， ， ， 当时，比较，与， 可知与表示的数完全相同，∴， 只相当于中当为偶数时的情形，∴. 综上可知. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论． 【解答过程】（1）中唯一元素， 又， 所以； （2）， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， 所以； （3）是等腰三角形}，是等边三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； 所以. 【变式6-3】（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； （3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解． 【解答过程】（1）解：的唯一元素， 又， ； （2）解：，， ，， 的倍数一定是的倍数， 的倍数不一定是的倍数， 例如：， ； （3）解：为正整数}正奇数， ，为正整数}不小于3的正奇数， ． 【题型7 根据集合的包含关系求参数】 【例7】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解． 【解答过程】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·山西大同·阶段检测）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【解题思路】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【解答过程】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 【变式7-3】（2026高一·全国·专题练习）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得 ，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，，． (2)存在，或． 【解题思路】（1）化简，再结合 逐个列举即可； （2）由和两类情况讨论求解. 【解答过程】（1）当时， ， ． 又因为 ，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 【题型8 集合关系中的新定义问题】 【例8】（25-26高一上·江西抚州·阶段检测）已知，，若，则集合中的所有非空子集的元素之和为（   ） A．15 B．30 C．60 D．120 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用列举法表示出集合，进而求出结果. 【解答过程】由，，得， 含有数1的的子集有：，共8个， 同理含有数2、4、8的的子集都各有8个， 所以集合中的所有非空子集的元素之和为. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【解题思路】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解. 【解答过程】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）给定非空数集，集合，. (1)若{是16的平方根}，求，； (2)若，证明：； (3)若，，，证明：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【解题思路】（1）首先写出集合，再根据所给定义求出、； （2）设，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，即可得到集合，再又得到，即可得到的关系，即可得证. 【解答过程】（1）因为{是16的平方根}， 所以， 又，， 所以，. （2）证明：设，，，，，，则，，， 所以. 因为，，所以，因为，，所以， 所以，所以； （3）证明：因为，， 又因为，且， 所以. 因为，所以， 则，得， 此时，满足题意，所以. 【变式8-3】（25-26高二下·浙江宁波·期中）对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】(1)12； (2)672； (3). 【解题思路】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和； （3）将集合的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和，再加上单元素集的“交替和”即可. 【解答过程】（1）集合的非空子集有， 根据题意，集合的交替和分别为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况， 相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次. 同理，每个元素出现的次数为次， 所以，集合所有非空子集的元素和的总和为. （3）集合，其非空子集有个， 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3； 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个； 第三类，不含元素3的非空集合，有个， 将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合与集合的“交替和”的和始终为3， 如取，则，集合与集合的“交替和”的和为， 这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）集合的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据题意，解得，再由子集个数的计算即可求解． 【解答过程】，解得或， ，集合A有两个元素， 所以其有4个子集． 故选：D． 2．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【解答过程】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 3．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【解答过程】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 4．（2026·湖南永州·一模）设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】用列举法表示集合，根据，求得实数的取值集合. 【解答过程】由题意得． 当时，； 当时，，由，可得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：D. 5．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【解答过程】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B. 6．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解题思路】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值． 【解答过程】由题意得集合中有8个子集， 又 ，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ， ，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 7．（2026高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据集合的新定义及元素与集合的关系判断求解. 【解答过程】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 8．（2026高一·上海·专题练习）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 【答案】A 【解题思路】先求出集合，根据分、讨论求得，进而判断各选项即可. 【解答过程】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合，则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，真子集为7个，故C错误，D错误； 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·江西赣州·开学考试）下列命题中，正确的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是菱形是平行四边形 D． 【答案】BC 【解题思路】根据集合间的关系判断各个选项； 【解答过程】对于A，集合真子集是，共3个，所以A错误； 对于B，由，知，，则，则B正确； 对于C，菱形是特殊的平行四边形，所以C正确； 对于D，，所以，所以D错误. 故选：BC. 10．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知非空集合，且，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C．－3 D．0 【答案】BCD 【解题思路】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解． 【解答过程】因为非空集合，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是3或－3或0． 故选：BCD． 11．（2026·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【解题思路】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C. 【解答过程】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海嘉定·期中）已知集合，，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解题思路】先解方程得，再根据集合间的基本关系，分类讨论计算参数即可. 【解答过程】由可得或，则， 而当时，此时，符合题意； 当时，则，即， 要符合题意，需，或，即或， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）含有三个实数的集合可表示为，也可以表示为，则的值为____________. 【答案】 【解题思路】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性列方程求，，由此可求结论. 【解答过程】因为有意义，所以， 因为，， 所以，所以，所以， 所以，所以，， 所以，又， 所以， 此时 ，，满足要求， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）定义集合的运算：已知集合，则．若集合，则集合的真子集个数的可能取值是___________． 【答案】3或7 【解题思路】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【解答过程】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 因为集合中有个元素，则集合有个子集，有个真子集， 此时集合中有两个元素，其真子集个数为. 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：或. 四、解答题 15．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【解答过程】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 16．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【解题思路】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【解答过程】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故 ，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则 ，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 17．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，，， (3) 【解题思路】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； （3）由，结合（2）分别对进行讨论，从而求解. 【解答过程】（1）由，所以，得， 则，解得或， 所以. （2）由， 所以集合的子集为：，，，. （3）由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 18．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 19．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【答案】(1)； (2)①；②. 【解题思路】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【解答过程】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $