2026年新高考Ⅱ卷数学第19题深度评析与备考指导-《中学生数理化》高考数学2026年9月刊

命题研究 2026年新高考Ⅱ卷数学第19题深度评析与备考指导 ■郑州市第一中学 田顺利 一、试题再现与整体评价 选拔功能。 (一)试题再现 二、核心考点与深度解析 题目已知函数f(x)=xe'十ax (一)第(1)问：切线方程求参（基础 十b,曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的 层，5分) 切线方程为y=一2x十1。 1.核心考点锚定 (1)求a,b的值； 导数的儿何意义双层内涵：一是切 (2)当x>0时，f(x十m)-f(x) 点(xo,f(x。)同时落在函数图像与切 >m,求m的取值范围； 线上，对应函数值相等；二是切点处导 (3)当x>0时，f(x+k)+f(k一 数值等于切线斜率，对应导数的几何定 x)>2f(),求k的最小值。 义。两个内涵缺一不可，也是阅卷固定 (二)整体评价 得分点，任意遗漏一项直接扣分。 本题作为2026年新高考Ⅱ卷数学 2.解题思路 解答题的压轴题，核心遵循“低起点、高 已知f(x)=xe+a.x+b,求导得 落差、多层次”的稳定命题风格。试题 f'(x)=(x+1)ex+a。因为曲线y 以高频超越函数xe”搭配一次线性项 f(x)在(0，f(0)处的切线为y= 为载体，三问严格遵循“一函到底”命题 -2.x+1,所以f(0)=b=1,f(0)=e 范式，全程不更换函数解析式，层层递 +a=1+a=-2,解得a=-3,b=1。 进考查导数基础、含参恒成立.、对称双 (二)第(2)问：含参不等式恒成立 变量凹凸性三大核心考点。 (中档层，7分) 结合阅卷中心实测数据，三问难度 1.核心考点锚定 分层清晰：第(1)问为教材原型改编基 该问属于自变量平移型差值恒成 础题，主要区分基础运算失误；第(2)问 立问题，核心考查转化与化归、分类讨 为中档含参恒成立题型，是整张试卷中 论、极限必要性探路三大数学思想。课 等生分层分水岭，失分集中在分类讨论 内对应考点为利用导数研究函数单调 意识缺失；第(3)问为高阶凹凸性综合 性、恒成立问题最值转化，课外拓展为 题，失分集中在必要性与充分性逻辑割 端点效应解题逻辑，全程无须用洛必达 裂。整题满分17分，具备极强的人才 法则，仅依托函数单调性与单侧极限初 37 命题研究 等语言表述即可作答。同时该问暗含 3.思维路径二：必要性探路巧解 连锁失分风险：若第(1)问a,b求解错 (考场提速解法，阅卷同分) 误，后续所有推导逻辑正确也不得步骤 必要性逻辑：开区间恒成立优先取 分，是新高考阅卷统一规则。 区间左端点单侧极限，令x→0+，不等 2.思维路径一：构造差函数通法 式必须成立，得到参数m≥2ln2;充分 (考场保底通法，容错率最高)》 性逻辑：证明该范围下函数全局单调递 代数化简溯源：由(1)得f(x)= 增，不等式恒成立。需要明确：新高考 xex-3x十1，则f(x+m)-f(x)= 阅卷禁止直接使用极限符号跳步，必须 (x+m)e*m-3(x+m)+1-xe*+ 补充“由函数连续性，左端点极限值为 3.x-1>m,化简得(x十m)er+m-xe4 下界”的文字说明，否则扣2分。 一4m>0(x>0)。此处绝大多数考生 (三)第(3)问：对称型不等式求参 化简时遗漏常数项抵消，导致后续函数 数最小值（高阶层，5分） 构造冗余，运算量翻倍。 1.核心考点锚定 差函数单调性细化：令g(x)=(x 不等式f(k+x)十f(k一x)≥ +m)e*+m-xe*-4m,g'(x)= 2f(k)是中点型对称不等式的标准形 ex+m(x+m+1)-e'(x+1)=e[(e" 态，课内对应教材探究栏目“导函数单 -1)x+e"(m+1)-1],令h(x)= 调性与函数凹凸性关系”，本质是函数 (em一1)x+em(m+1)一1，将超越函 在x=k处局部下凸。课标不要求掌 数符号判断转化为一次函数斜率分析， 握凹凸性专业名词，但要求同学们能通 这是命题人预设的解题突破口。 过二阶导数判断一阶导数单调性，进而 分类讨论严谨性补充：当m≤0 判断原函数增减速率，所有表述必须初 时，一次函数的斜率em一1≤0，在x> 等化，不能直接使用凹函数、Jensen不 0时h(x)<h(0),故g'(x)<0,函数 等式等课外结论。 g(x)单调递减，g（x)<g(0),必然不 2.解题思路 满足g(x)>0恒成立；当m>0时，斜 令9(x)=(k+x)e+(k-x)e 率为正，函数g(x)全局单调递增，最小 一2k,一阶导数o'(x)=(k+x+1)e 值趋近于g(0)。 -(k-x+1)ex,代入x=0得o'(0) 边界开闭深度解释：题干定义域为 =(k+1)一(k+1)=0;二阶导数 x>0是开区间，g(0)=0不属于定义 9"(x)=(k+x+2)e+(k-x+2)· 域取值，因此即使m=2ln2时端点函 ex,代入x=0得o"(0)=2(k十2)。 数值为0，依然满足x>0时g(x)>0, 细化对齐阅卷标准答案。 无须剔除等号，这是考生端点开闭错误 3.双路径逻辑完善 的核心根源。 二阶导数通法：必要性层面，若x 38 命题研究 =0右侧极小邻域内φ(x)>0,结合 避免阅卷扣分。 p(0)=p'(0)=0,必须满足二阶导数 (二)中档层：恒成立三类解法分层 非负，否则邻域内函数递减出现负值： 适配训练 充分性层面，k≥一2时，拆分"(x)正 明确三类解法适配边界，避免盲目 负项：当x≤k十2时，两项均为正；当 混用：构造差函数适用于差函数结构简 x>k+2时，(k+x+2)e的增长速度 洁、无复杂分式，容错率最高，要求所有 远大于(k一x十2)ex的衰减速度，整 中等生必须掌握；分离参数适用于参数 体恒正，无须复杂放缩即可证明。反向 可无代价分离、分离后函数易求最值， 排除：k<一2时，由二阶导数连续性，存 规避分类讨论；必要性探路适用于自变 在极小正数x。使得x∈(0，xo)时 量区间为开区间、端点结构简洁，提速 0"(x)<0,函数局部递减，与题意矛盾。 专用。一轮复习每两周开展1次差值 分离参数巧解：化简整理得k> 型恒成立微专题，配套6道梯度变式题， 覆盖自变量平移、参数平移两类变式。 一。。一号，令右侧为h(x),除等 (三)高阶层：凹凸性初等化专题突破 价无穷小分析外，补充初等单调性证 严格遵循课内要求，不补充课外凹 明：求导可得h'(x)<0在x>0时恒 凸性名词与不等式，全部用一阶导数单 成立，故h(x)单调递减，上确界为x→ 调性转述：原函数增速越来越快=一阶 0+极限值为一2，因此kmm=一2。阅卷 导数递增=二阶导数为正=局部下凸。 明确要求：使用极限必须搭配单调性证 2026年新高考Ⅱ卷数学第19题 明，仅写无穷小替换直接扣1分。 是新高考导数命题转向的典型样本，标 三、备考策略指引 志着导数压轴彻底告别偏难放缩、隐零 (一)基础层：导数工具零失误闭环 点复杂运算，转向教材本源、逻辑严谨、 训练 分层选拔。试题三层设问精准对应考 摒弃碎片化公式背诵，建立导数运 生能力分层：基础设问考查课内必备运 算闭环：每日10分钟组合函数求导专 算，中档设问考查数学思想应用，高阶 项训练，重点关注xe、lmx,。三大 设问考查理性逻辑完备性。同学们在 备考过程中需要摒弃“刷题套路”思维， 课内高频组合函数，杜绝求导漏项。切 回归教材概念、探究栏目、课后习题三 线问题固定“两等式一验算”模板：函数 大本源，强化代数化简、逻辑闭环、规范 值等式、导数值等式、结果反向验算。 书写三大底层能力，建立“先溯源、再转 单调性严格执行六步法：定义域→求导 化、后严谨证明”的解题思维，才能适配 →通分因式分解→划分驻点→列表判 后续新高考导数命题趋势，实现解答题 单调→规范文字结论，统一书写话术， 稳定得分。 (责任编辑王福华) 39