依托高数原理 深化初等认知——高数原理在中学导数中的应用-《中学生数理化》高考数学2026年9月刊

大中衔接 依托高数原理 深化初等认知 高数原理在中学导数中的应用 ■河北南宫中学 霍忠林 中学数学教材中渗透了不少高等 件： 数学相关知识，不过大多只是简要提 (1)limf(x)→0，limg(x)→0； 及，并未深挖其内在逻辑与本质原理。 (2)在点a的空心邻域内，f(x)和 面对一些中学数学试题，若借助高等数 g（x)均可导且g'(x)≠0： 学的原理进行分析与求解，既能透彻把 (3)lim f'(x) 握问题本质、夯实解题逻辑，还能总结 x-a g(x) =A(A可以为实 出更为简洁高效的解题策略，鉴于此， 数，也可为十∞或一∞)。 本文梳理了高等数学中与中学数学联 则im f(x) f'(x) 系紧密的四类原理，旨在拓展同学们的 xag(x)x+ag'(x）。 视野，提升数学思维。 类型2.。型。 一、洛必达法则 该法则在中学解题中经常被使用， 若函数f(x)和g(x)满足下列条 尤其画函数图像时。比如函数y= 件： (1)limf(x)→o∞，limg(x)>o∞。 ln工在[e,十o)上单调递减，要求画出 (2)在点a的空心邻域内，f(x)和 x→十○时，该函数的变化趋势。很多 g(x)均可导且g'(x)≠0。 同学做这道题时，误认为该函数在[e, f'(x) (3)lim g'(x) =A(A可以为实 十∞)上单调递减，所以当x→+∞时， 图像就一定无限接近x轴，这想法对 数，也可为十o或一)。 吗？当然这可以通过幂函数和对数函 g(x)mg()=A。 则im f(x) f'(x) -lim 数的变化快慢来定性分析，但是没有用 洛必达法则定量分析更通透。洛必达 注意：将上面公式中的x→a换成 法则通常可以处理下面五种类型。 x→a十（或x→a),x→∞换成x→ 一∞（或x→十∞），洛必达法则仍然成 0 类型1.。型。 立。 若函数f(x)和g(x)满足下列条 类型3.0·∞型。 23 大中衔接 ∞ 1→∞·1n1→0·∞型。 此时可将0·∞型转化为，一→一 1 ∞0→0·1n∞→0·∞，再借助类 0 型3的方法来处理即可。比如：limx -*0 或 0 =lim eln,因为lim zIn x=0,所以 x→0 x→0 lim=lim eth=l。 In x x+0+ x*0+ 比如：lim x Inx=lim x+0 x+0 1 二、函数的凸凹性 x 两个初等函数y=x3和y=√x在 1 [0,十∞)上都是增函数，为啥这两个函 x lim 1=1im(-x)=0。 数的图像却一个是“向下凹”、一个是 +0 x+0 “向上凸”呢？为啥有些函数图像上任 再如教材人教A版选择性必修二 意一点（除切点外）的切线均在函数图 第95页例7中指出：“当x→一c∞时， 像的下方（比如y=e),而有些函数图 与一次函数相比，指数函数y=ex呈 像上任意一点（除切点外）的切线均在 爆炸性增长，从而f(x)=+0。” 函数图像的上方（比如y=lnx)呢？ 这些问题都与函数图像的凸凹性有关。 借助洛必达法则就能解释得清楚明了， 1.凸凹函数的定义：一般地，设 1 lim x+1 -e=lim (-e') f(x)是定义在(a,b)内的函数，若对于 lim (a,b)内任意两个实数x1、x2均有 =0。 f(x1)+f(x2) 类型4.∞一∞型。 或 2 此时可将四一四型转化为行一日 2 成立，则 →0-00】 之0型。 称函数f(x)为凸（或凹）函数。 0·00 2.凸凹函数的判断方法：若函数 比如： lim 】 f(x)在(a,b)内可导，且导函数也在 (a,b)内可导，并且在(a,b)内f"(x) -lim sin x-x im cOsx一1 →0xS1nx -o sin x+xcos x <0(或"(x)>0),则称函数f(x)是 -sin x 凸（或凹）函数。 lim 2cos -sin =0。 不难发现，凸函数图像上任意一点 类型5.0°、1°、∞0型。 (除切点外)的切线均在函数图像的上 此时可通过取对数来进行转化。 方；凹函数图像上任意一点（除切点外） 0°→0·ln0→0·∞型。 的切线均在函数图像的下方。比如教 24 大中衔接 材人教A版必修一第101页第8题第 26题，英国数学家泰勒给出如下公式： (2)问，证明：若g(x)=x2十ax十b,则 sin z=x- 1x5 x 3！5!7！ 十·，C0sx= 解答这 2 x4 x6 1 21+41-6 十…，这两个公式是怎 道题只需证明函数g(x)=x2+a,x十b 为凹函数即可。易得g"(x)=2>0, 么来的呢？ g(x)为凹函数，故得证。 泰勒展开式在大学中我们会学到： 3.琴生不等式：对于(a,b)内的凸 若函数f(x)在点x。处存在n阶导 (凹)函数，(a,b)内的任意n个数x1, 数，则有f(x)=f(xo)十f'(x)(x F"(xo) 十…十 2！ （x-x0)2 x2,…,xm,均有不等式 f(zo) (x-x。)”十 fm+D(传) n! (n+1)! x-)1-P,(x)+fp( (n+1)! 且仅当x1=x2=…=xn时等号成立。 (x一xo)”+1,其中介于xo,x之间。 例1求函数f(x)=5cosx 若a-,)1>0,则 (n+1)! os5x在区间（品牙上的最大值。 f(x)>Pn(x)。 解析：当<≤时，-开≤ 若”( (n+1)! (x一x0)+1<0,则 f(x)<Pn(x)。 5x< 2。 特别地，当x。=0时，就得到麦克 因为余弦函数在(-不，)上为凸 劳林展开式：f(x)=f(0)+f'(0)x+ f"(0) 2+…+f(0) fm+D(传) 函数，所以f(x)=5c0sx一c0s5x 2! n! (n+1)! cos x+cos x+cos x+cos x+cos x+ x+1,其中介于0，x之间。 1 从而得到： cos(x-5x)6cos6(x+ x+元-5x)=33。 e=1+x+ 当且仅当x=元一5x,即x=君时， 0m+1D2+1,其中专介于0，x之间。 等号成立，故f(x)mx=3√3。 sin x =x 3+5 三、泰勒展开式 x2m+1 教材人教A版必修一第256页第 (-1)” (2n+1)I +(-1)m+1 25 大中衔接 x2n+3 (2n+3)1c0s,其中专介于0，x之间。 通过教材求最值的方法可知，在求 可导函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值 cos x =1- 时，要先求函数在开区间(a,b)上的极值， 4! 再将极值与区间的端点函数值比较大小， (2m)1+(-1)1 x2m+2 (-1)” (2n+2)1c0s5, 从而求出最值。但是在求函数的极值时， 其中介于0，x之间。 还是需要通过研究函数的单调性来判断 导函数的零点是否是极值点。实际上，完 有了以上3个公式，当n取具体数 值时，不仅可以得到课本上的公式，还 全没必要判断导函数的零点是否是极值 点，因为最值只可能出现在导函数的零点 可得到一系列常见的不等式。比如，当 n=2时，e=1+x+ 22 或函数f(x)闭区间的端点处，如果导函 3x,其中 数的某零点不是极值点，其对应的函数值 也必然会在后续的大小比较中被自然淘 介于0，x之间。当x≥0时，3x≥0， 汰，于是得到下面优化后的步骤。 所以e≥1+x+ 求可导函数f(x)在闭区间[a,b]上 2;当x<0时，3x 的最值的优化步骤： <0,所以e<1+x+ 第一步，求导函数f'(x)在区间 2。 (a,b)内的零点。 同理可得：e≥1+x(x∈R); 第二步，将导函数f'(x)在区间 sin z<x(x >0);sin x >x(x<0); (a,b)内的零点对应的函数f(x)的值 sin x>x- (0):sin r 6 6 与f(a),f(b)进行比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值。 (x<0);c0sx≥1- 2(x∈R). 例2求函数f(x)=5cosx 四、最值定理（魏尔斯特拉斯最值 cos5x在区间0，牙上的值域。 定理) 解析：f'(x)=5(sin5x-sinx), 最值定理：在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大值和最小值。 由f'(x)=0得sin5x=sinx,而x∈ 人教A版选择性必修二第93页、 0,引所以x-或x=0 第94页指出，求函数f(x)在闭区间 [a,b]上最值的步骤是：第一步，求函 而f(0)=4,f =3√2， 数f(x)在区间(a,b)内的极值；第二 步，将函数f(x)的各极值与端点处的 f(）=3,故f()在区间0，上 函数值f(a),f(b)比较，其中最大的 的值域为[4,3√3]。 一个是最大值，最小的一个是最小值。 (责任编辑侯若晨)》 26