一元二次函数、方程和不等式学习导引-《中学生数理化》高一数学2026年9月刊

夯基固本 元二次函数、方程和不等式学习导引 ■江苏省无锡市锡山区教师发展中心 姚敬东 ■云南省保山市教育研究院 韩云凤 一元二次函数、方程和不等式是每 D.n<p<m 年高考的必考点之一，同学们需要理解 解：(1)因为x2-2x+3=(x-1)2 一元二次函数与一元二次不等式的内 +2≥2>0，所以x2-2x>-3,A正 在联系，掌握基本不等式的性质与应 确。a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+ 用。下面就一元二次函数、方程和不等 b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a- 式的学习要点与常考题型进行分析，供 b)(a+b),因为(a-b)2≥0，a+b的 同学们参考。 符号不确定，所以a3十b3与a2b十ab2 要点一：数（式）的比较大小 的大小关系不确定，B错误。因为a 比较数（式）大小的三种常用方法： +b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+ 作差法，即作差，变形，定号，得出结论； 1)2≥0，所以a2+b2≥2(a-b-1),C 作商法，即作商，变形，判断商与1的大 a+2025 错误。6+2025 a2025(b-a) b(b+2025) 小关系，得出结论；构造函数法，即利用 2025(b-a) 函数的单调性比较大小。 因为b>a>0,所以 (6+2025)>0, 例1(1)（多选题）下列不等式中 ,D正确。应选AD。 正确的是()。 所以分生02 b+2025 A.x2-2x>-3(x∈R) (2)因为实数m,n,p满足m= B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R) C.a2+b2>2(a-b-1)(a,b∈R) D.<a+2025 b>a>0) bb+2025 D>0。因为n-4e 5。名e1·所以 (2)若实数m,n,p满足m=4e, n=5e,p。则 18 m<n。又因”4e p18 2e>1,所以 ）。 e2 A.p<m<n m>p,所以p<m<n。应选A。 B.p<n<m 跟踪训练1：已知c>1,且x= C.m<p<n √+I-,y=√--1，则x,y 12 务基固木 的大小关系是( )。 ☑ B.不等式ab≤ a+by 2 与√ab≤ A.x>y B.x-y a+b 2 成立的条件是相同的 C.x<y D.x,y的大小关系随c而定 C.√x2+2+ 的最小值为2 √x2+2 提示：（方法1）由题设条件可知， x>0,y>0。易得工= c+1-Jc D.存在实数a,使得a十a<2成立 yE-√-I 解：对于A,当x>0时，可得x+ √E+√e-1 <1,所以x<y。应选C。 4 c+1+√ ≥2· =4(当且仅当x=2时 (方法2)设函数f(t)=√t 1 取等号)，当x<0时，可得x十4 t-1= ,其定义域为[1， √E+√t-1 十∞)，则f(t)为减函数。因为c十1 c>1,所以f(c+1)<f(c),即x<y。 =一4（当且仅当x=一2时取等号），A 应选C。 猫误：对于B6中) 对于a, 要点二：不等式性质的综合应用 利用不等式的性质求取值范围的 6∈R恒成立，而<a 2成立的条 关键是建立待求范围与已知范围的关 件为a≥0，b≥0，B错误。对于C,不 系，结合不等式的性质求解。需要注意 的是同向不等式的两边可以相加，但这 等式√x2+2+ 1 ≥2，等号成立 x2+2 种转化不是等价变形，如果在解题过程 1 中多次使用这种转化，那么就有可能扩 的条件是√x+2= ,即x2+ √x2+2 大其取值范围。基本不等式的常见变 2=1,显然x无解，C错误。对于D,取 -(a,b∈R), 2 a=-1,可得a十1 =一2<2，D正确。 2 a2+b3 (a> 应选ABC。 跟踪训练2：已知命题p:a>b> 0,b>0)。 a2+b2 0,命题9：2 > 生)，则力是 例2（多选题）下列说法不正确 的是( )。 的()。 A.充分不必要条件 A.x+4的最小值是4 x B.必要不充分条件 13 夯基固本 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6=(2a+)+8)=8+0+≥ b 0 提示：因为a>b>0,所以a2+ 3+22(当且仅当a=1+ 2,b=1+ b2>2ab,所以2(a2+b2)>a2+b2+ 2ab,所以2(a2+b2)>(a+b)2,所以 √2时取等号)，C正确。对于D,因为 >色，即由可推出 2 (a-1)(6-1)=1,所以1，+，1 a-1+6-1≥2 当a<0,b<0时，取a=-1,b=-3, 1 2 =2(当且仅当a= 则2+6 -5> 2 N(a-1)(b-1) =4,即q也成 b=2时取等号)，D正确。应选ACD。 立，所以由q推不出p。故力是q的充 跟踪训练3：（多选题）已知a>0, 分不必要条件。应选A。 b>0,a十b=1,则下列结论正确的是 要点三：利用基本不等式求最值 ）。 利用基本不等式求最值的五种方 法：直接法，配凑法，利用常数“1”代换 A.a6的最大值为 的方法，消元法，构造不等式法。 B日+号的绿小自为9 例3（多选题)已知a,b为正实 数，且a>1,b>1,(a-1)(b-1)=1, C.a2+b2的最小值为号 则下列结论正确的是()。 A+1 +3驰的最小值为6 D. ab 提示：对于A,因为1=a+b≥ B.ab的最大值为4 C.2a+b的最小值为3+22 26,所以a6≤当且仅当a=b D+的最小值为2 14 时取等号，A错误。对于B,十方 解：因为a>1,b>1,所以a-1 0,b-1>0。对于A,因为(a-1)(b 日+a+6)=5++≥5+ a b D=1,所以的=a十6，则+名=1，A (b Aa 2 b Aa Na b =9,当且仅当ab’即 正确。对于B,由ab=a十b得ab= a+b=1, a+b≥2√ab(当且仅当a=b=2时取 1 a= 分，b二时取等号，B正确。对有 等号)，所以√ab≥2，即ab≥4，所以ab 的最小值为4，B错误。对于C,2a+ C0+6≥吉-当且仅当 14 务基固木 2b时取等号，C正确。对于D 解：(1)由题意得 √a+26 1+3-a+b)+-2+分+ a ab a ab 2√a+4Wb ≥m恒成立，即5+26 × 石 4b≥2+2 0.6=6,当且仅当 b a 2a ≥m恒成立。因为5+ 6 a Ab 6 a b=a’ 1 2 即b= 时取等号，D 3 2√a 26 2Ja a+b=1, ≥5+2 =9,当且仅 6 √a b 正确。应选BCD。 当a=b时取等号，所以m≤9，即实数 要点四：与基本不等式有关的恒 m的最大值为9。 (能)成立问题 对于一些简单的恒（能）成立问题， (2)因为不等式x+兰<m-3m 可转化为m>ymx或m<ymn（m> ymm或m<ymx)的形式，通过求y的 有解，所以{女+)<m2-3m。因 min 最小值与最大值，得到参数的最值。一 元二次不等式在R上恒成立，可用判 为>0≥0，十子-1.所以+号 别式求解；一元二次不等式在给定区间 上恒成立，一般采用分离参数法求最值 -(++)=号+#+2≥ 或分类讨论求解。 112 2号若+=，当卫仅当= y 4x 例4(1)若不等式二+ √a 即x=2,y=8时取等号，所以m2一 m 3m>4,解得m<-1或m>4,所以实 恒成立，则实数m的最大值 a+2√b 数m的取值范围是{m|m<一1或 为 m>4}。应选D。 (2)若两个正实数x,y满足1+4 跟踪训练4：已知a>0,若关于x x y =1,且不等式x+ 的不等式x十牛≥3在x（-1. <m2-3m有解， 十∞)上恒成立，则a的最小值为 则实数m的取值范围是()。 提示：因为x>一1，即x十1>0， A.{m-1<m<4} B.{m|m<-4或m>1 所以x十年1=x+1+, x+1-1≥ C.{m|-4<m<1} D.{mm<-1或m>4} 2x+)-1=2a-1,当且 15 夯基固本 仅当x+1=a 即x=石-1时取 f(1)>0,则af(1)<0,即a(11a+ 等号，所以+年有最小值2石 2)<0:解得音<0<0.应法D。 (方法2)因为方程ax2+(a十2)x 山，因为不等式x十年≥3在x +9a=0有两个不相等的实数根x1, a+2 (-1,+∞)上恒成立，所以2√a一1≥ 22,所以2十2= a’由题设知 3,解得a≥4，所以a的最小值为4。 x1x2=9。 要点五：三个“二次”的关联应用 x1<1<x2,所以(x1-1)(x2-1)<0, 已知一元二次不等式的解集，就能 即x1x2-(x1+x2)+1<0,所以9+ 够得到相应的一元二次方程的两根，由 2 根与系数的关系，可以求出相应的系 2士2+1<0，解得-<a<0.应注 数，这时结合不等式解集的形式还可以 D。 判断二次项系数的正负。二次函数 跟踪训练5：已知关于x的不等式 y=ax2+bx+c的图像在x轴上方部 ar2+2x十c<0的解集是(-∞，-) 分的横坐标，对应不等式ax2+bx+ c>0的解集，图像在x轴下方部分的 U(+，则不等式cx2-2x十a≤ 横坐标，对应不等式a.x2+bx+c<0 0的解集是( )。 的解集。 117 例5若关于x的方程a.x2十(a A.厂23 十2)x十9a=0有两个不相等的实数根 B. [11] x1x2,且x1<1<x2,则实数a的取 3'2] 值范围是( )。 C.[-2,3] D.[-3,2] A.- <a5 提示：由题意得一 2 3和2是方程 B.a75 a.x2十2x+c=0的两个实数根，所以 2 1,1。 2 C.a<- 7 3+2 a a=-12, 解得 所以 D.-Ha<0 2 11 c=2, 3X2=a 解：（方法1）显然a≠0。令f(x) 不等式cx2-2x十a≤0为2x2-2x =a.x2+(a+2)x十9a,结合x1<1< 12≤0，解得一2≤x≤3，即所求的解集 x2,当a>0时，f(1)<0,当a<0时， 是[-2,3]。应选C。 16