“威力十足”的不等式链的应用&浅谈高考中“函数的单调性”的四种考查类型-《中学生数理化》高一数学2026年1月刊

青一数新碧架器册中学生款理化 “威办十足”的不等式链的应用 ■王朝中 不等式链：11≤历<“ 2 2 a+b>√a 2 a'+b 日+ a -(a,b∈R+),当且仅当a=b时等号 2 ≤ab≤a十b≤ 成立。不等式链揭示了两个变量a,b∈R4的 综上可得，1工 2 b a 倒数和、积、和，以及平方和之间的不等关系， 当这四个量中有一个为定值时，其他三个量 a+b -,其中a,b都是正数，当且仅当a= 2 都能取到最值。 b时（点C与点O重合时）等号成立。 一、数学文化中的“不等式链” 二、不等式求最值中的“不等式链” 例1如图1，以AB为直径作半圆，圆 例2若a>0,b>0,且a十b=4,则下 心为O。过直径AB上一点C作CD垂直于 列不等式不恒成立的是()。 AB,交半圆于点D,连接AD,BD。你能利 用这个图形得出不等式链的几何解释吗？ A.a2+b2≥8 B.J、1 ab≥4 C.√a+√6≤22 n2+≤1 解：对于A,由a十b≥2ab,可得 2(a2十b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2。因为 a+b=4,所以2(a2+b2)≥(a+b)2=16,即 图1 a2十b≥8，当且仅当a=b=2时等号成立， 解：不妨设AC=a,CB=b,且a>b,则 A正确。对于B,由a十b=4,可得a十b= 以0为圆心的圆的半径r=a十b 2一。作OE⊥ ≥2历，即0<b≤4，所以六，当且仅 AB,交半圆于点E,则OE=a.由CD 当a=b=2时等号成立，B正确。对于C,由 a+b≥2√ab,可得2(a十b)≥a+b+2√ab =AC·CB得CD=Vab。易得OC=a一b =(√a+√6)2，所以8≥（√a+√b)2,即√a+ √万≤2√2，当且仅当a=b=2时等号成立，C cE=oE+oc-√)+) 正确.对于D,易知+名- -(a+b)· -√.显然O0-士，过点c作 (日+2)-(1+8+会+)≥子(2+ CH⊥OD于点H,则CD=DH·OD,所以 DH=ab 2 a+6=11。因为CE>OE=OD 2合·）1，即+方≥1，当且仅当a 2 b a b=2时等号成立，D错误。应选D。 作者单位：陕西省洋县中学 >CD>DH,所以当a>b时，A a2+b2 2 (责任编辑郭正华) 37 中学生教理化高数学2026年1月 创新题追根溯源 综上可得，实数x的取值范围是（一∞， 浅熇考中函数的单调性”的 1]U(-1,0)=(-∞，0)。 三、“符号语言”型，即通过函数满足的条 件得到函数的单调性或单调区间 四种考查类型 例3已知f(x)是定义在R上的奇函 数，对任意两个不等正数x1,x2,都有 x2f(x1)-x1f(x2) <0,记a=f4.1, x1-x2 4.102, ■祝秋丽 b=f(0.42.1) f(1og.24.1) 0.421 C- 1og0.24.1 ,则( )。 A.a<c<b B.a<b<c 函数的单调性是函数的重要性质之一， C.c<b<a D.b<c<a 是每年高考的常考点，备受命题者的青睐，因 解：设0<x1<x2,由题设得x2f(x1)一 此要引起同学们的高度重视。 x1f(x2)>0,即fx2f( ,所以函数 一、“文字语言”型，即通过题设得到函数 的单调性或单调区间 g(x)=fx在(0，十)上单调递减。易得 例1已知奇函数f(x)在（一∞，十∞） f(4.12) 上单调递增，若a=一f(o8:》6 a= 4.102 =g(4.12)<g(1),b= f(log24.1),c=f(2.8),则a,b,c的大小关 f0.4)=g0.41)>g(0.)>g(2) 0.42.1 系是()。 A.a<b<c B.b<a<c 因为4.1>5，所以2 <1og4.1<1,所以 C.c<b<a D.c<a<b g1)<g10g4.1)<g(号)。因为f(x)是 解：由题意得a=f(-1og.号）=fog,5). 奇函数，所以g(x)=是(-∞，0)U(0, 因为f(x)在（一∞，十∞）上单调递增，且 10g25>1og24.1>28,所以f(10g25)> 十∞)上的偶函数，所以c= f(1ogo.24.1) 1ogo.24.1 f(1og24.1)>f(2°.8)，即a,b,c的大小关系 g(1oga24.1)=g(-1og0.24.1)=-g(1og4.1) 是a>b>c。应选C。 二、“图形语言”型，即通过图像得到函数 ∈(g1)g()。 故a<g(1)<c< 的单调性或单调区间 例2已知函数f(z)=2x≤0·若 g(）<b,即a<c<b。应选A。 1,x>0, 四、“自主探究”型，即利用单调函数的定 f(x十1)<f(2x),则实数x的取值范围是 义探究 例4设f(x)是定义在R上的函数，对 解：由f(x)的图像（图略）知函数f(x) 于任意实数x,y,都有∫(x十y)=f(x)十 在区间（一∞，0]上单调递减。当x十1≤0， f(y)-2,且当x>0时，f(x)>2。 2x≤0时，f(x十1)<f(2x)等价于 (1)证明f(x)在R上是增函数。 x+1≤0， (2)解不等式f(x)-f(2-x)十2 {2x≤0， 解得x≤-1；当2x<0,x十1> f(0)。 x+1>2x, 解：(1)设任意实数x1<x2,则x2一x1> 0时，f(2x)>1,f(x十1)=1，满足f(x十1) 0。当x>0时，f(x)>2,可得f(x2一x1)>2。 <f(2.x),可得-1<x<0。 因为f(x2)一f(x1)=f[(x2-x1)十 38 创新题追相湖酒中学生数理化 高一数学2026年1月 一元二次不等式恒成立与存在性问题的 典型题型解析 ■王国星 一元二次不等式的恒成立与存在性问题 A.(-∞，-2] B.[2,+∞) 是高考的考查热点之一。这类问题综合性 C.[-2,十∞) D.(-∞，2] 强，涉及分类讨论、参数分离、变换主元等方 分析：利用分离参数法，将所求问题转化 法。下面通过典型例题剖析五类常见题型， 1 帮助同学们开阔解题思路，提升逻辑推理与 为当2≤x≤2时，a≤x十恒成立，再结合 转化能力。 基本不等式即可求出a的范围。 题型一：一元二次不等式在实数集上的 解：当2<x<2时，x2-ax+1≥0恒成 恒成立问题 例1若不等式2(a-1)x2十(a-1)x 立等价于a≤x十上对号 x2恒成立，故 x <0对一切实数x都成立，则实数a的 3 只需求出x十上在[经，习]上的最小值即可。 取值范围为一。 因为x+≥2· 1 分析：利用一元二次不等式在实数集上 =2,当且仅当 x 的恒成立，分类求出a的范围。 x=1时取等号，所以a≤2，即实数a的取值 解：当a=1时，原不等式可化为一< 范围固是（一∞，2]。应选D。 0,此不等式对一切实数x都成立；当a≠1 评注：对于指定区间上的恒成立问题，常 转化为函数的最值问题求解。若参数不易分 2(a-1)0, 时，由 离，则可采用函数法，利用一元二次函数的图 a-1)-4×2a-10×(-）<0.解 像与性质，合理构建不等式求解。 得-5<a<1。 题型三：一元二次不等式在指定范围内 综上得实数a的取值范围为(-5,1]。 的有解问题 评注：解决一元二次不等式在实数集上 例3已知命题“]x>一3，x2-ax 的恒成立问题，若二次项系数含有参数，则需 3a+16<0”是真命题，则实数a的取值范围 对二次项系数是否为0进行分类讨论。 总 题型二：一元二次不等式在指定范围内 分析：由题设条件，利用参数分离，结合 的恒成立问题 基本不等式求出最小值即得结果。 例2若对任意的≤x≤2，不等式 解：当x>一3，即x十3>0时，x2一 ax-3a+16<0=x2+16<(x+3)a=a> x一ax十1≥0恒成立，则实数a的取值范围 x2+16\ 为()。 x2+169a7 x十3 x+3/ 心心心心心◆心心心心心心心心心心心心小心心心心心◇心心心心心心心心小w心w◆◇◇心心心心心心心◇心心心心心心w心心心心心心心心w心心小心心◇心心 x1]-f(x1)=f(x2-x1)十f(x1)-2- x)<0,即f(x)<f(2-x)。因为f(x)在R f(x1)=f(x2-x1)-2>0,所以f(x2)> 上是曾函数，所以x一2一x,解得x1。 f(x),所以f(x)在R上是增函数。 故f(x)一f(2一x)+2<f(0)的解集为 (2)令x=y=0得f(0)=2,结合f(x) (-∞，1)。 -f(2一x)+2f(0),可得f(x)一f(2一 作者单位：河南省商丘市夏邑县佳合高级中学 (责任编辑王琼霞) 39