专题05 指数函数与对数函数（期中真题汇编，湖南专用）高一数学上学期

专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）将化成分数指数幂的形式是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）式子的化简结果是（       ） A.  B. 2 C.  D.  4．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知是偶函数，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 5．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）回答下列问题： （1）计算：； （2）已知，求； （3）若，且，求代数式的值． 6．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）计算：　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）设，则　　　　　.（结果用分数指数幂表示） 9．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）已知函数. （1）若，求的值； （2）若，，，证明：为奇数. 10．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）若，且，则　　　　　　　　　　　． 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知函数的图象恒过定点，则（       ） A.  B.  C. 0 D. 2 2．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）（多选）下列命题中，是假命题的有（   ） A. 若，则 B. 函数且的图象恒过定点 C. 若函数，则 D. 函数的最小值为 4．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（     ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 6．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）若，则（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为　　　　　　． 8．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）函数（常数且）图像恒过定点，则的坐标为　　　　　　． 9．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）函数（常数且）图象恒过定点P，则P的坐标为　　． 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）设，，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：，）（       ） A. 28 B. 38 C. 60 D. 100 3．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）设，，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知实数满足，则（　　） A.  B.  C. 2 D. 2 5．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）求值：　　　　　　　　　　　　　　. 6．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）（1）化简：； （2）已知（且），求的值； （3）化简：． 7．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知，，则　　　　　　　　　　（用，表示）． 8．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）若，且，则　　　　　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）求下列各式的值： （1）； （2）． 10．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）若是奇函数，则　　　　　，　　　　　　． 11．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）方程的正实数解为　　　　　　． 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）已知集合，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）若实数则下列不等式不一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知函数 （且）是上的单调函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）已知，则 A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. “存在，使得”的否定是“对任意，均有” B. “”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件 C. 函数的最小值为1 D. 使得对数有意义的实数的范围是 6．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）（多选）若，，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）设，，，则，，的大小顺序是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知函数. （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明； （3）求不等式的解集. 10．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）函数的单调递增区间是　　　　　　． 11．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 12．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知函数 （且）．若的值域为，则的一个取值为　　　　　　　　；若的值域为，则的取值范围是　　　　　　　　． 13．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）已知实数且，函数，. （1）已知，求实数，的值. （2）当时，用定义法判定函数的奇偶性. （3）当时利用对数函数单调性讨论不等式的解集. 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 （   ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知，若当且仅当或，其中，，为实数，则方程的所有实根的和为（     ） A.  B.  C.  D. 11 3．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）（多选）给定数集，，方程①，则（     ） A. 任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数 B. 任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数 C. 任给方程①的两组不同解，，其中，，则 D. 存在方程①的两组不同解，，其中，，使得也是方程①的解 4．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）（多选）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如:，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（       ） A. 对任意的 B. 对任意的 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 5．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元.在年产量不足7万件时，（万元）；在年产量不小于7万件时，（万元）.每件产品售价为6元.假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 6．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 7．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）2023年宜宾市新添城市名片“中国动力电池之都”，初步建成较为完整的配套协同动力电池产业布局，并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽车产业链.新能源电动车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车､纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示： 0 10 40 60 0 1420 4480 6720 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式； （2）现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶到重庆某地，其中，国道上行驶，高速上行驶.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 8．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）若 ，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 9．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案． 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）． （1）若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值； （2）求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围． 10．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知函数 （1）若对任意实数x，都有，求a的值. （2）若，且关于x的方程有两个不同的实数根，求a的取值范围. （3）是否存在a，b，使得在上的值域为? 若存在，求a，b的所有值;若不存在，请说明理由. 11．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）某厂以的速度匀速生产某种产品，每小时可获得的利润是元. （1）要使生产该产品获得的利润为6900元，求. （2）要使生产该产品获得的利润最大，该厂的生产速度应为多少？并求利润的最大值. 12．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称具有“-互倒性”．设，． （1）判断函数是否具有“-互倒性”，并说明理由； （2）当时，若函数与的图象恰有一个交点，求实数的值； （3）当时，设，已知在区间上有两个零点，，证明：． 13．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知，； （1）当时，解方程； （2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值； （3）若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求的取值范围； 14．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）设表示不超过的最大整数，方程的最小解与最大解的和为　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）将化成分数指数幂的形式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由根式与分数指数幂的转换公式即可求解. 【详解】 . 故选：A. 2．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用幂的运算法则化简计算即得. 【详解】 . 故选：C. 3．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）式子的化简结果是（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 利用根式的运算性质计算即可. 【详解】 . 故选：D 4．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知是偶函数，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 根据偶函数的定义运算求解. 【详解】 因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）回答下列问题： （1）计算：； （2）已知，求； （3）若，且，求代数式的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）（2）（3）利用指数幂的运算法则以及根式分数指数幂的互化解答，化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时被开方数非负． (1) 小问详解： ． (2) 小问详解： ，所以． (3) 小问详解： 当，时，． 6．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 两边平方后，求出答案. 【详解】 因为，所以，即． 故答案为：3 7．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）计算：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由指数幂的运算化简可得. 【详解】 原式 . 故答案为：. 8．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）设，则　　　　　.（结果用分数指数幂表示） 【答案】 【分析】 根据分数指数幂的计算公式即可求解. 【详解】 . 故答案为： 9．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）已知函数. （1）若，求的值； （2）若，，，证明：为奇数. 【答案】（1）     （2） 因为，故， 所以，故， 因为， 所以，当且仅当为奇数时原式成立.      【分析】 （1）由，得到，求解即可； （2）由和即可求证. (1) 小问详解： 因为，解得. (2) 小问详解： 略 10．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）若，且，则　　　　　　　　　　　． 【答案】0或2 【详解】若或，则必有.从而，. 若且，对取以6为底的对数，得. 则， 故. 综上或2. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知函数的图象恒过定点，则（       ） A.  B.  C. 0 D. 2 【答案】C 【分析】 令，即可求解与的值，再将代入解析式即可得的值，进而求解答案即可. 【详解】 令，解得：，即； 当时，，所以， 综上可得：. 故选：C 2．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由指数函数的单调性可判断充分性，举反例可判断必要性. 【详解】 由指数函数的性质，当“”可以推出“”，故充分性成立； 取，，则，但，所以必要性不成立， 综上，，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）（多选）下列命题中，是假命题的有（   ） A. 若，则 B. 函数且的图象恒过定点 C. 若函数，则 D. 函数的最小值为 【答案】AB 【分析】 举反例判断A，根据指数函数的性质判断B，根据函数解析式判断C，利用基本不等式判断D. 【详解】 对于A：若，满足，但是、均无意义，故A错误； 对于B：对于函数且，令，解得，此时， 所以的图象恒过定点，故B错误； 对于C：因为 ，则， 所以，故C正确； 对于D：因为， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为，故D正确； 故选：AB 4．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由，利用指数函数的单调性即可比较与的大小，又，利用不等式的性质即可求解. 【详解】 由，又在上单调递增， 又，所以，即，又，所以， 故选：D. 5．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（     ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】B 【分析】 根据函数图象的性质得，进而有时，结合基本不等式求最值即可. 【详解】 由题设，且，则， 所以，则时，， 所以，令，则， 当且仅当时取等号，故最大值为. 故选：B 6．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）若，则（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 根据不等式的基本性质结合指数函数的单调性即可判断 【详解】 由得 . . 故选：D. 7．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 设出解析式，代入，求出，得到答案. 【详解】 设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 故答案为： 8．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）函数（常数且）图像恒过定点，则的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据指数函数的性质，利用指数式的指数为0求出值，进而得出，从而求出点坐标． 【详解】 函数（常数且）图像恒过定点， 令，解得，此时， 函数（常数且）图像恒过定点． 故答案为：． 9．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 欲求函数得单调递增区间，根据指数函数的单调性，只须求函数的单调减区间即可． 【详解】 令，得函数定义域为， 则在上递增，在递减． 又因为函数为减函数， 所以函数的单调递增区间是． 10．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）函数（常数且）图象恒过定点P，则P的坐标为　　． 【答案】 【分析】 根据指数的运算性质进行求解即可. 【详解】 当时，，所以P的坐标为， 故答案为： 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）设，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据对数的运算公式即可求解. 【详解】 . 故选：B 2．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951年9月底，毛主席在接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：好好学习，天天向上.这8个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作1.每天的“进步率”为3%，那么经过一个学期（看作120天）后的学习情况为，如果每天的“迟步率”为3%，同样经过一个学期后的学习情况为，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的1335倍还多，按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的10倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：，）（       ） A. 28 B. 38 C. 60 D. 100 【答案】B 【分析】 根据题意建立指数方程，指数式化对数式求解方程，再利用换底公式，转化为常用对数运算即可. 【详解】 设要经过天，“进步"的值是“迟步”的值的10倍， 则，即， 则 . 故选：B. 3．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）设，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 应用对数运算律计算判断. 【详解】 ， ， ， ，即， 又， ，则. 4．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知实数满足，则（　　） A.  B.  C. 2 D. 2 【答案】A 【分析】 由，得， 得，故,再由，构造函数，由单调性求解． 【详解】 ， 则， 得，故, 由，得， 令， 因为都是增函数，所以在上是增函数， 由，得，故． 故选：A 5．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）求值：　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 利用对数运算性质计算可得结果. 【详解】 易知. 故答案为：2 6．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）（1）化简：； （2）已知（且），求的值； （3）化简：． 【答案】（1）28；（2）；（3）． 【分析】 （1）由根式的运算与幂的运算法则计算； （2）由幂的运算法则计算出与后可得； （3）根据对数的运算法则及换底公式计算可得． 【详解】 （1）； （2）（且）， 则，， 所以； （3）． 7．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知，，则　　　　　　　　　　（用，表示）． 【答案】 【分析】 根据换底公式即可求解. 【详解】 . 故答案为： 8．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）若，且，则　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由条件得到，再结合对数的运算性质即可求解. 【详解】 由， 可得：， 所以， 即，即， 而，所以， 故答案为： 9．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂的运算法则求值. （2）根据对数的运算法则求值. (1) 小问详解： 原式 . (2) 小问详解： 原式 . 10．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）若是奇函数，则　　　　　，　　　　　　． 【答案】① ；    ② ． 【分析】 根据奇函数的定义即可求出． 【详解】 [方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 11．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）方程的正实数解为　　　　　　． 【答案】 【分析】 先证明，然后将等式进行化简求出结果即可. 【详解】 令，两边同时取对数得 ， 所以，所以. 所以对于有. 化简得. 因为函数，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又， 所以，解得. 故答案为：. 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）已知集合，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出集合A，集合B中代表元素的取值范围，再根据交集的定义求出． 【详解】 集合　 故选：D 【点睛】 本题考查集合的表示法，交集的求法，考查运算能力，属于基础题． 2．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）若实数则下列不等式不一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用函数的单调性判断选项A、B、D，利用不等式的性质判断选项C 【详解】 因为函数在定义域上单调递减且，所以，故A正确； 因为函数在定义域上单调递增且，所以，故B正确； 当时，有，则；当时，有，则；当时，有，则.综上，故C不一定成立； 因为函数在定义域上单调递增且，所以，故D正确. 故选：C 3．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知函数 （且）是上的单调函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次函数可判断分段函数在上单调递减，再根据二次函数和对数函数的单调性列不等式即可. 【详解】 因为当时，二次函数图象开口向上，则要使整个函数单调，则函数在上单调递减， 则分段函数在上单调递减， 则有 解得. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）已知，则 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 5．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（       ） A. “存在，使得”的否定是“对任意，均有” B. “”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件 C. 函数的最小值为1 D. 使得对数有意义的实数的范围是 【答案】ABD 【分析】 根据存在量词命题的否定是全称命题可判断A；根据充分必要条件的定义可判断B；根据复合函数的值域可判断C；根据对数函数的定义域可判断D. 【详解】 由存在量词命题的否定是全称命题可知 “存在，使得”的否定是“对任意，均有”，故A正确； 若，，并且关于的方程的两根， 所以两根必是一正一负，所以充分性成立； 若关于的方程有一个正根一个负根， 则 ，解得，所以必要性也成立， 所以“”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件，故B正确； 令，则原函数可化为由对勾函数单调性可知， 在上单调递增，所以，无最小值，即无最小值，故C错误； 由对数函数定义域可知使得对数有意义，则有 ，解得，故D正确； 故选：ABD 6．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）（多选）若，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【详解】利用指数与指数函数，对数和对数函数的图象和性质即可判断. 【详解】项，因为，所以为单调递减函数，由得，故正确； 项，因为，所以为单调递减函数，由，得，故错误；项，因为 ， ，所以，所以，故正确； 项，取，则，故错误. 故选：. 【点睛】本题主要考查对数与对数函数的图象和性质、指数与指数函数的图象和性质以及不等关系与不等式，考查学生的分析能力，是基础题. 7．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用对数函数的性质，结合二次函数的图象性质列式求解. 【详解】 由函数的值域为，得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点，即方程有实根， 因此，解得或； 由函数在上单调递增，而函数是减函数， 则函数在上单调递减且恒为正，则有 ， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 8．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）设，，，则，，的大小顺序是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 可借助指数幂的运算法则可得、，再结合的单调性即可得，大小关系，也可借助幂函数及指数函数的单调性得到，大小关系，再利用对数运算可得，即可得解. 【详解】 法一：由， ， 又函数为增函数，且，故，即， 又，故. 法二：由函数在上单调递增，故， 由函数在上单调递减，故， 即有，故， 又，故. 故选：B. 9．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知函数. （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）     （2）奇函数，证明如下： 由（1）知的定义域为， 设，则, 且，故为奇函数；     （3）      【分析】 （1）根据对数函数的性质进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明； （3）根据对数函数的单调性进行求解． (1) 小问详解： 要使函数有意义,则 ， 解得，故所求函数的定义域为； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 因为，所以，即 可得，解得,又， 所以， 所以不等式的解集是． 10．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）函数的单调递增区间是　　　　　　． 【答案】 【分析】 先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】 的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 11．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. (1) 小问详解： 由题意知， ，即 ，解得： 所以， (2) 小问详解： 由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解 得；解 得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 (3) 小问详解： 由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以 ，即， 所以实数的取值范围为 12．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知函数 （且）．若的值域为，则的一个取值为　　　　　　　　；若的值域为，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足 求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足 求解即可. 【详解】 第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足： 即 ， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足 即 ， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 13．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）已知实数且，函数，. （1）已知，求实数，的值. （2）当时，用定义法判定函数的奇偶性. （3）当时利用对数函数单调性讨论不等式的解集. 【答案】（1），；（2）函数为奇函数；（3）当时不等式的解集为. 当时不等式的解集为. 【分析】 （1）根据，求得，进而得到，再由求解. （2）由得到，先求得函数定义域，再判断的关系. （3）由，得到，将，转化为，再分，讨论求解. 【详解】 （1）因为，即， 解得，则， 又因为, 解得. （2）当时，， 函数定义域为，， 所以函数为奇函数. （3）当，则， 由即① 当时，要使不等式①成立，则 ， 解得. 当时，要使不等式①成立，则 ， 解得， 综上所述：当时不等式的解集为. 当时不等式的解集为. 【点睛】 方法点睛：利用对数函数的单调性解决比较大小、解不等式、求最值等问题时，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决． 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 （   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由已知条件可得方程在区间上有解，构造函数，求出它的值域，得到的范围即可 【详解】 若函数与的图象上存在关于轴对称的点， 则方程在区间上有解， 令， 由的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线 故当时，取最小值 当时，取最大值 故的范围为 故选 【点睛】 本题主要考查了构造函数法求方程的解以及参数范围，解题的关键是将已知转化为方程在区间上有解，属于基础题． 2．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）已知，若当且仅当或，其中，，为实数，则方程的所有实根的和为（     ） A.  B.  C.  D. 11 【答案】D 【分析】 由题意知，1为方程的一个根，可求得，进而解出方程的实数根，进而求解即可. 【详解】 由题意知，1为方程的一个根， 所以，即， 此时， 令，得， 即为， 即为， 即为， 即为，解得，，， 则的解为或，满足题意， 所以方程的实根为，即所有实根的和为11． 故选：D 3．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）（多选）给定数集，，方程①，则（     ） A. 任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数 B. 任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数 C. 任给方程①的两组不同解，，其中，，则 D. 存在方程①的两组不同解，，其中，，使得也是方程①的解 【答案】AC 【分析】 根据函数的定义判断A,B易得；对于C，由题意得到，，化简整理得，根据推得，展开即可判断；对于D，运用反证法，假设也是方程① 的解，通过，替代化简推出，得出矛盾即可. 【详解】 对于A，由① 可得，，对于任意的，都有唯一确定的值与之对应， 故为函数，故A正确； 对于B，由①可得，因，若取，则，此时不存在实数与之对应， 若考虑虚数解，会出现两个虚数与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，依题意，，， 两式相减，整理得， 因且，则有， 即得，展开整理，即得，故C正确； 对于D，由题意，，， 假设也是方程① 的解，则有（*）， 因，则， 代入（*）式，整理得：，即得，这与题意不符，故D错误. 故选：AC. 【点睛】 思路点睛：本题主要考查函数的定义、方程的解的应用，属于难题.对于判断两个变量是否构成函数，主要根据函数的定义，检测对于每一个自变量的取值，是否一定存在唯一的另一个值与之对应；对于方程的解，一般应从字母范围，解析式特点等方面考虑. 4．（25-26学年高一上·湖南长沙岳麓区湖南大学附属中学·期中）（多选）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如:，称为取整函数，也称为高斯函数，在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是（       ） A. 对任意的 B. 对任意的 C. 集合共有个元素 D. 时，关于的方程有无数个解 【答案】BCD 【分析】 由函数新定义举反例可得A错误；由函数新定义设 可得B正确；由函数新定义化简可得C正确；当 时, 方程有无数解可得D正确； 【详解】 A 选项， 时, ，故A 错 误； 选项，设 ， ，又 ， 故 或 1,故 故B正确； C 选项， ， 因为 ，所以 ，故 正确； 选项，当 时, ，故方程存在无数个解，故 正确； 故选： BCD 【点睛】 关键点点睛：本题关键是对函数新定义的理解，其中B选项可设求解，D选项可取. 5．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元.在年产量不足7万件时，（万元）；在年产量不小于7万件时，（万元）.每件产品售价为6元.假设小王生产的产品当年全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当年产量为9（万件）时，利润最大，为17万元      【分析】 （1）根据年利润的算式，分和两种情况得到的分段函数关系式； （2）当时根据二次函数求最大值的方法来求利润最大值，当时利用基本不等式来求利润的最大值，最后综合即可. (1) 小问详解： 因为每件产品售价为6元，则（万件）商品销售收入为万元， 依题：当，时， ， 当，时，， 所以 (2) 小问详解： 当时，， 由二次函数的性质可得，当时，取得最大值（万元）； 当，时，， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最大值17（万元）， 因为，所以当产量为9（万件）时，利润最大，为17万元． 6．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】（1）18     （2），     （3）      【分析】 （1）将代入解析式直接计算即可求解； （2）设地面长为，则，从而有，然后利用基本不等式求解最小值即可； （3）由题意时，恒成立，分离参数得，结合换元法，利用对勾函数的单调性求解最值即可得解. (1) 小问详解： 宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 所以，解得， 所以的值为18. (2) 小问详解： 设地面长为，， 所以墙面面积为， 所以， 因为，当时取等， 所以，最小值为. (3) 小问详解： 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 7．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）2023年宜宾市新添城市名片“中国动力电池之都”，初步建成较为完整的配套协同动力电池产业布局，并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽车产业链.新能源电动车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车､纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示： 0 10 40 60 0 1420 4480 6720 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式； （2）现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶到重庆某地，其中，国道上行驶，高速上行驶.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】（1）选①，；     （2）在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为，.      【分析】 （1）根据表格中的数据，对3个函数模型逐一判断即得. （2）分别求出国道和高速上该辆车耗电量的最小值及对应行驶速度即可得解. (1) 小问详解： 对于③ ，，当时，它无意义，不符合题意； 对于② ，，当时，，又， 所以，不符合原意； 因此选① ，. 由表中的数据得，，解得， 所以. (2) 小问详解： 高速上行驶，所用时间为， 则所耗电量为， 显然函数在上单调递增， 于是； 国道上行驶，所用时间为， 则所耗电量为， 而，则当时，. 所以当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时， 该车从宜宾行驶到重庆某地的总耗电量最少，最少为. 8．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）若 ，若存在实数使得在上有三个实数解，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 对的取值和区间的相对位置进行分类讨论，数形结合，即可求得结果. 【详解】 当时，由的图象知，在上最多有两个实数解，不满足题意； 当时，由的图象可知，不存在实数使得在上有三个实数解，不满足题意； 若，如下图，均可找到实数，使得在上有三个实数解， 所以实数的取值范围是. 故选： 9．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案． 方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P； 方案二：其给出的整体报价为元（）． （1）若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值； （2）求P的函数解析式，并求总报价P的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围． 【答案】（1）20     （2）；最小值     （3）      【分析】 （1）根据给定函数代入计算即得； （2）根据题意求出实验室墙面面积，然后可求的解析式，再利用基本不等式求最值； （3）依题列出不等式，再参变分离，将问题转化为，接着利用基本不等式求函数的最小值即得. (1) 小问详解： 因宽度为6米时，方案二的报价为28000元，且， 则，解得， 所以的值为20. (2) 小问详解： 设底面长为，由题意易得， 故墙面面积为， 则， 因，则，当且仅当时取等， 即总报价P的最小值为. (3) 小问详解： 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 设，， 因，则，， 当且仅当，即时，取得最小值， 故，又，则， 所以若对任意的时，方案二比方案一省钱，则的取值范围为. 10．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）已知函数 （1）若对任意实数x，都有，求a的值. （2）若，且关于x的方程有两个不同的实数根，求a的取值范围. （3）是否存在a，b，使得在上的值域为? 若存在，求a，b的所有值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；     （2）；     （3）存在，.      【分析】 （1）根据给定条件，代入计算，结合恒成立列式求出值. （2）由可得，再利用判别式列出不等式求解即得. （3）按分类，结合函数单调性及二次函数性质求出在上的最小值、最大值，再列式求解即可. (1) 小问详解： 对任意实数x，恒成立， 即对任意实数x，恒成立，因此，解得， 所以a的值是. (2) 小问详解： 由，得，由关于x的方程有两个不同的实数根， 得 ，解得且， 所以a的取值范围. (3) 小问详解： 当时，函数在上单调递增， ，依题意， ，无解； 当时，函数图象的对称轴为， 当时，，函数在上单调递增，则 ， 依题意， ，解得，与矛盾； 当时，，若，即，函数在上单调递增， 则 ，解得，与矛盾； 若，即，函数在上的最大值为， 最小值为或，于是 或 ， 解得，此时在上的值域为，符合要求， 所以存在实数，使得在上的值域为，. 11．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）某厂以的速度匀速生产某种产品，每小时可获得的利润是元. （1）要使生产该产品获得的利润为6900元，求. （2）要使生产该产品获得的利润最大，该厂的生产速度应为多少？并求利润的最大值. 【答案】（1）;     （2）该厂以3的生产速度生产时，利润取得最大值，最大值为元      【分析】 （1）由题意可得，解出即可得； （2）借助二次函数性质计算即可得. (1) 小问详解： 由， 得，解得或. 因为，所以； (2) 小问详解： 生产100kg该产品获得的利润为元，. 令，，则，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 故该厂以3kg/h的生产速度生产时，利润取得最大值，最大值为元. 12．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称具有“-互倒性”．设，． （1）判断函数是否具有“-互倒性”，并说明理由； （2）当时，若函数与的图象恰有一个交点，求实数的值； （3）当时，设，已知在区间上有两个零点，，证明：． 【答案】（1）函数具有“-互倒性”，理由如下： 函数定义域为，对， , 若，则， 整理得：， 若函数具有“-互倒性”，则方程中各项系数为，则，解得， 即存在，使函数具有“-互倒性”.     （2）；     （3） 当时，， 设是的两个零点，则① ， ② ， ①② 得， 整理得 假设，则，所以， 又，所以，而与同号， 所以与同号， 与矛盾， 所以假设不成立，所以.      【分析】 （1）假设具有“-互倒性”，由求判断； （2）将函数与的图象恰有一个交点转化为恰有一根求解； （3）用反证法证明. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，, 函数与的图象恰有一个交点，即方程有且仅有一个解， 令，则，，方程变为：， 即，令， 对，由均值不等式，当且仅当，即时取等号， 对，当时其最小值为， 所以当时，取得最小值， 因为方程有且仅有一个解，所以. (3) 小问详解： 略 13．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知，； （1）当时，解方程； （2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值； （3）若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求的取值范围； 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可； （2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案. （3）对任意，函数在区间上总有意义，得对恒成立，求得. 根据题意得出，即任意恒成立，利用二次函数在区间上恒成立求得的范围. (1) 小问详解： 当a＝1时，不等式化为， ∴，且， ∴，解得或（舍去）； (2) 小问详解： 由，得， 即，所以， 当时，则，解得，经过验证此时满足题意； 当时，①若，则，此时解得．经过验证满足题意； ②若时，方程有两不等实根， 设为，显然， 由，得，因为，所以， 即 所以都满足，所以此时不满足题意. 综上可得或； (3) 小问详解： 因为对任意，函数在区间上总有意义， 所以对恒成立， 因为在上为减函数，故只需对任意恒成立， 所以只要，故，解得 对任意，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上最大值为，最小值为， 所以，所以， 即任意恒成立， 令 当时，， 当时，，矛盾； 当时，在上单调递增， 所以时，取得最大值，且最大值为， 所以当时不满足. 当时，对任意恒成立， 有以下三种情况： ①，解得，结合得. ② ，由得 ，而，故此情况无解. ③ ，解得 ，此时无解. 所以实数的取值范围是． 14．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）设表示不超过的最大整数，方程的最小解与最大解的和为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设（为整数，），将代入，得到，要比较的大小，先要比较的大小，若相等，再比较的大小，得到，所以的最大值只有当时取到，且最大值为0，此时的最大解为0，又因为，所以，当且仅当时，，因此的最小解为，求出的最小解与最大解的和. 【详解】 设（为整数，），代入， 得， 即， 显然均为整数， 故， 即， 对于每个不同的，确定了唯一的有序实数对，从而也互不相同， 要比较的大小，先要比较的大小，若相等，再比较的大小， 因为， 所以的最大值只有当时取到，且最大值为0，此时的最大解为0， 又因为， 所以，当且仅当时，，此时的最小解为， 综上，方程的最小解与最大解的和为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：设（为整数，），将代入，得到，再进行下一步求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．A 2．C 3．D 4．D 5．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）（2）（3）利用指数幂的运算法则以及根式分数指数幂的互化解答，化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时被开方数非负． (1) 小问详解： ． (2) 小问详解： ，所以． (3) 小问详解： 当，时，． 6．【答案】3 【分析】 两边平方后，求出答案. 【详解】 因为，所以，即． 故答案为：3 7．【答案】 【分析】 由指数幂的运算化简可得. 【详解】 原式 . 故答案为：. 8．【答案】 【分析】 根据分数指数幂的计算公式即可求解. 【详解】 . 故答案为： 9．【答案】（1）     （2） 因为，故， 所以，故， 因为， 所以，当且仅当为奇数时原式成立.      【分析】 （1）由，得到，求解即可； （2）由和即可求证. (1) 小问详解： 因为，解得. (2) 小问详解： 略 10．【答案】0或2 【详解】若或，则必有.从而，. 若且，对取以6为底的对数，得. 则， 故. 综上或2. 考点02 指数函数 1．C 2．A 3．AB 4．D 5．B 6．D 7．【答案】 【分析】 设出解析式，代入，求出，得到答案. 【详解】 设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 故答案为： 8．【答案】 【分析】 根据指数函数的性质，利用指数式的指数为0求出值，进而得出，从而求出点坐标． 【详解】 函数（常数且）图像恒过定点， 令，解得，此时， 函数（常数且）图像恒过定点． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 欲求函数得单调递增区间，根据指数函数的单调性，只须求函数的单调减区间即可． 【详解】 令，得函数定义域为， 则在上递增，在递减． 又因为函数为减函数， 所以函数的单调递增区间是． 10．【答案】 【分析】 根据指数的运算性质进行求解即可. 【详解】 当时，，所以P的坐标为， 故答案为： 考点03 对数 1．B 2．B 3．B 4．A 5．【答案】2 【分析】 利用对数运算性质计算可得结果. 【详解】 易知. 故答案为：2 6．【答案】（1）28；（2）；（3）． 【分析】 （1）由根式的运算与幂的运算法则计算； （2）由幂的运算法则计算出与后可得； （3）根据对数的运算法则及换底公式计算可得． 【详解】 （1）； （2）（且）， 则，， 所以； （3）． 7．【答案】 【分析】 根据换底公式即可求解. 【详解】 . 故答案为： 8．【答案】 【分析】 由条件得到，再结合对数的运算性质即可求解. 【详解】 由， 可得：， 所以， 即，即， 而，所以， 故答案为： 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据幂的运算法则求值. （2）根据对数的运算法则求值. (1) 小问详解： 原式 . (2) 小问详解： 原式 . 10．【答案】① ；    ② ． 【分析】 根据奇函数的定义即可求出． 【详解】 [方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 11．【答案】 【分析】 先证明，然后将等式进行化简求出结果即可. 【详解】 令，两边同时取对数得 ， 所以，所以. 所以对于有. 化简得. 因为函数，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又， 所以，解得. 故答案为：. 考点04 对数函数 1．D 2．C 3．C 4．B 5．ABD 6．AC 7．A 8．B 9．【答案】（1）     （2）奇函数，证明如下： 由（1）知的定义域为， 设，则, 且，故为奇函数；     （3）      【分析】 （1）根据对数函数的性质进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明； （3）根据对数函数的单调性进行求解． (1) 小问详解： 要使函数有意义,则 ， 解得，故所求函数的定义域为； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 因为，所以，即 可得，解得,又， 所以， 所以不等式的解集是． 10．【答案】 【分析】 先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】 的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 11．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. (1) 小问详解： 由题意知， ，即 ，解得： 所以， (2) 小问详解： 由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解 得；解 得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 (3) 小问详解： 由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以 ，即， 所以实数的取值范围为 12．【答案】①     ② 【分析】 第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足 求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足 求解即可. 【详解】 第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足： 即 ， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足 即 ， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 13．【答案】（1），；（2）函数为奇函数；（3）当时不等式的解集为. 当时不等式的解集为. 【分析】 （1）根据，求得，进而得到，再由求解. （2）由得到，先求得函数定义域，再判断的关系. （3）由，得到，将，转化为，再分，讨论求解. 【详解】 （1）因为，即， 解得，则， 又因为, 解得. （2）当时，， 函数定义域为，， 所以函数为奇函数. （3）当，则， 由即① 当时，要使不等式①成立，则 ， 解得. 当时，要使不等式①成立，则 ， 解得， 综上所述：当时不等式的解集为. 当时不等式的解集为. 【点睛】 方法点睛：利用对数函数的单调性解决比较大小、解不等式、求最值等问题时，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决． 考点05 函数的应用（二） 1．D 2．D 3．AC 4．BCD 5．【答案】（1）     （2）当年产量为9（万件）时，利润最大，为17万元      【分析】 （1）根据年利润的算式，分和两种情况得到的分段函数关系式； （2）当时根据二次函数求最大值的方法来求利润最大值，当时利用基本不等式来求利润的最大值，最后综合即可. (1) 小问详解： 因为每件产品售价为6元，则（万件）商品销售收入为万元， 依题：当，时， ， 当，时，， 所以 (2) 小问详解： 当时，， 由二次函数的性质可得，当时，取得最大值（万元）； 当，时，， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最大值17（万元）， 因为，所以当产量为9（万件）时，利润最大，为17万元． 6．【答案】（1）18     （2），     （3）      【分析】 （1）将代入解析式直接计算即可求解； （2）设地面长为，则，从而有，然后利用基本不等式求解最小值即可； （3）由题意时，恒成立，分离参数得，结合换元法，利用对勾函数的单调性求解最值即可得解. (1) 小问详解： 宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 所以，解得， 所以的值为18. (2) 小问详解： 设地面长为，， 所以墙面面积为， 所以， 因为，当时取等， 所以，最小值为. (3) 小问详解： 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 7．【答案】（1）选①，；     （2）在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为，.      【分析】 （1）根据表格中的数据，对3个函数模型逐一判断即得. （2）分别求出国道和高速上该辆车耗电量的最小值及对应行驶速度即可得解. (1) 小问详解： 对于③ ，，当时，它无意义，不符合题意； 对于② ，，当时，，又， 所以，不符合原意； 因此选① ，. 由表中的数据得，，解得， 所以. (2) 小问详解： 高速上行驶，所用时间为， 则所耗电量为， 显然函数在上单调递增， 于是； 国道上行驶，所用时间为， 则所耗电量为， 而，则当时，. 所以当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时， 该车从宜宾行驶到重庆某地的总耗电量最少，最少为. 8．【答案】 【分析】 对的取值和区间的相对位置进行分类讨论，数形结合，即可求得结果. 【详解】 当时，由的图象知，在上最多有两个实数解，不满足题意； 当时，由的图象可知，不存在实数使得在上有三个实数解，不满足题意； 若，如下图，均可找到实数，使得在上有三个实数解， 所以实数的取值范围是. 故选： 9．【答案】（1）20     （2）；最小值     （3）      【分析】 （1）根据给定函数代入计算即得； （2）根据题意求出实验室墙面面积，然后可求的解析式，再利用基本不等式求最值； （3）依题列出不等式，再参变分离，将问题转化为，接着利用基本不等式求函数的最小值即得. (1) 小问详解： 因宽度为6米时，方案二的报价为28000元，且， 则，解得， 所以的值为20. (2) 小问详解： 设底面长为，由题意易得， 故墙面面积为， 则， 因，则，当且仅当时取等， 即总报价P的最小值为. (3) 小问详解： 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 设，， 因，则，， 当且仅当，即时，取得最小值， 故，又，则， 所以若对任意的时，方案二比方案一省钱，则的取值范围为. 10．【答案】（1）；     （2）；     （3）存在，.      【分析】 （1）根据给定条件，代入计算，结合恒成立列式求出值. （2）由可得，再利用判别式列出不等式求解即得. （3）按分类，结合函数单调性及二次函数性质求出在上的最小值、最大值，再列式求解即可. (1) 小问详解： 对任意实数x，恒成立， 即对任意实数x，恒成立，因此，解得， 所以a的值是. (2) 小问详解： 由，得，由关于x的方程有两个不同的实数根， 得 ，解得且， 所以a的取值范围. (3) 小问详解： 当时，函数在上单调递增， ，依题意， ，无解； 当时，函数图象的对称轴为， 当时，，函数在上单调递增，则 ， 依题意， ，解得，与矛盾； 当时，，若，即，函数在上单调递增， 则 ，解得，与矛盾； 若，即，函数在上的最大值为， 最小值为或，于是 或 ， 解得，此时在上的值域为，符合要求， 所以存在实数，使得在上的值域为，. 11．【答案】（1）;     （2）该厂以3的生产速度生产时，利润取得最大值，最大值为元      【分析】 （1）由题意可得，解出即可得； （2）借助二次函数性质计算即可得. (1) 小问详解： 由， 得，解得或. 因为，所以； (2) 小问详解： 生产100kg该产品获得的利润为元，. 令，，则，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 故该厂以3kg/h的生产速度生产时，利润取得最大值，最大值为元. 12．【答案】（1）函数具有“-互倒性”，理由如下： 函数定义域为，对， , 若，则， 整理得：， 若函数具有“-互倒性”，则方程中各项系数为，则，解得， 即存在，使函数具有“-互倒性”.     （2）；     （3） 当时，， 设是的两个零点，则① ， ② ， ①② 得， 整理得 假设，则，所以， 又，所以，而与同号， 所以与同号， 与矛盾， 所以假设不成立，所以.      【分析】 （1）假设具有“-互倒性”，由求判断； （2）将函数与的图象恰有一个交点转化为恰有一根求解； （3）用反证法证明. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当时，, 函数与的图象恰有一个交点，即方程有且仅有一个解， 令，则，，方程变为：， 即，令， 对，由均值不等式，当且仅当，即时取等号， 对，当时其最小值为， 所以当时，取得最小值， 因为方程有且仅有一个解，所以. (3) 小问详解： 略 13．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可； （2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案. （3）对任意，函数在区间上总有意义，得对恒成立，求得. 根据题意得出，即任意恒成立，利用二次函数在区间上恒成立求得的范围. (1) 小问详解： 当a＝1时，不等式化为， ∴，且， ∴，解得或（舍去）； (2) 小问详解： 由，得， 即，所以， 当时，则，解得，经过验证此时满足题意； 当时，①若，则，此时解得．经过验证满足题意； ②若时，方程有两不等实根， 设为，显然， 由，得，因为，所以， 即 所以都满足，所以此时不满足题意. 综上可得或； (3) 小问详解： 因为对任意，函数在区间上总有意义， 所以对恒成立， 因为在上为减函数，故只需对任意恒成立， 所以只要，故，解得 对任意，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上最大值为，最小值为， 所以，所以， 即任意恒成立， 令 当时，， 当时，，矛盾； 当时，在上单调递增， 所以时，取得最大值，且最大值为， 所以当时不满足. 当时，对任意恒成立， 有以下三种情况： ①，解得，结合得. ② ，由得 ，而，故此情况无解. ③ ，解得 ，此时无解. 所以实数的取值范围是． 14．【答案】 【分析】 设（为整数，），将代入，得到，要比较的大小，先要比较的大小，若相等，再比较的大小，得到，所以的最大值只有当时取到，且最大值为0，此时的最大解为0，又因为，所以，当且仅当时，，因此的最小解为，求出的最小解与最大解的和. 【详解】 设（为整数，），代入， 得， 即， 显然均为整数， 故， 即， 对于每个不同的，确定了唯一的有序实数对，从而也互不相同， 要比较的大小，先要比较的大小，若相等，再比较的大小， 因为， 所以的最大值只有当时取到，且最大值为0，此时的最大解为0， 又因为， 所以，当且仅当时，，此时的最小解为， 综上，方程的最小解与最大解的和为. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：设（为整数，），将代入，得到，再进行下一步求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $