专题03 函数的概念与性质（期中真题汇编，湖南专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念与性质 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．B 2．D 3．D 4．AC 5．B 6．AC 7．D 8．C 9．D 10．C 11．B 12．B 13．D 14．BC 15．B 16．AD 17．C 18．A 19．D 20．D 21．A 22．B 23．【答案】 【分析】 根据偶次根式被开方数大于等于以及分式分母不为求解出定义域. 【详解】 因为 ，解得，所以定义域为， 故答案为：. 24．【答案】 【分析】 移项通分，转化为一元高次不等式即可求解. 【详解】 移项得， 即 ， 解得， 故答案为：. 25．【答案】①     ② 【分析】 利用换元法即可求解. 【详解】 设，因为，所以， 故的定义域为； 因为， 所以，故， 故答案为， 26．【答案】 【分析】 根据函数有意义求解即可. 【详解】 由题意， ，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 27．【答案】 【分析】 根据题意，得出不等式组 ，解不等式组即可求得函数的定义域. 【详解】 由函数的定义域得要使函数有意义，则满足 ， 解得或，即函数的定义域为. 故答案为：. 28．【答案】 【分析】 由的定义域为，得到中，解出的范围就是所求的函数的定义域. 【详解】 因为的定义域为，所以对于，有， 则对于，有，解得，则的定义域为. 故答案为： 29．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）将代入计算得解； （2）由是一次函数，设，代入已知等式计算得解. 【详解】 （1）令，得，解得. （2）因为是一次函数，所以设， 由，可得， 化简可得， 所以 解得，，故. 30．【答案】（1）     （2）     （3），最小总费用是12200元      【分析】 （1）总费用包括维修费用和新墙费用，旧墙长度为，新墙长度为，乘单价后相加得到总费用； （2）将代入，得到的值； （3）由基本不等式求得最值. (1) 小问详解： 设利用旧墙的长度为，则另一边长为， 所以新墙总长度为， 则 ， 故. (2) 小问详解： 由（1）知，， 所以当时，. (3) 小问详解： 因为，所以，由基本不等式有， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 31．【答案】2x－ － (x≠0) 【分析】由可得，联立即可求出答案 【详解】已知，① 以代替① 式中的，得 ，② ①②得 故 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解及其常用方法，掌握解方程组法来求解函数解析式是解题的关键，属于基础题． 32．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋，求出； （2）在（1）基础上赋值可以实现求解的解析式的问题； （3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即转化为相应的二次函数最值问题求出m的范围；利用二次函数的单调性求解策略求出m的范围，最后通过命题的真假即可． (1) 小问详解： 令，，则由已知， 有； (2) 小问详解： 令，则， 又， ； (3) 小问详解： 不等式， 即， 即 当时，的最大值为3， 若p为真命题，则； 又因为在上是单调函数， 故有，或，解得或， 当p为真且q为假时，得 则， 当p为假且q为真时，得 则， 综上得m的取值范围为 33．【答案】（1） 证明：因为对任意实数，都有 令，可得，可得， 所以函数的图象过定点.     （2） 证明：解法1：取代入条件方程，可得， 取代入条件方程，可得， 两式相加得：， 取，代入条件方程，可得， 综上可得，. 解法2：因为对任意实数，都有， 令，可得， 再令，可得， 所以.     （3）      【分析】 （1）根据题意，令，求得，即可得到答案. （2）解法1：分别取和，求得和，两式相加即可得证；解法2：令和，代入已知方程，即可得证； （3）由，用代换，用代换，求得，化简原式，结合，代入求得的值，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由， 因为对任意实数，都有， 用代换，用代换，可得：， 即， ， 又因为， 令代入，可得， 令代入上述方程，可得， 令代入上述方程，可得， 令代入上述方程，可得， 令代入上述方程，可得， ， 综上，所求和式答案为. 考点02 幂函数 1．D 2．A 3．C 4．AC 5．CD 6．【答案】 【分析】 根据幂函数的表达式即可求解. 【详解】 点在幂函数的图像上， ，解得， 的表达式为. 故答案为：. 7．【答案】 【分析】 根据幂函数定义及性质可得 【详解】 因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用幂函数的定义及性质即可求解； （2）根据（1）的结论及幂函数的性质，结合函数的单调性即可求解. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以，解得或． 当时，，此时在上单调递减，不满足题意； 当时，，满足在上单调递增． 所以； (2) 小问详解： ，， 因为， 所以，即． 考点03 函数的应用（一） 1．B 2．ACD 3．A 4．A 5．【答案】（1）0.6元/（kW·h）     （2）      【分析】 （1）先表示出下调电价后新增用电量，则电力部门的收益 当时，代入表达式中列出不等式，解出结果即可得实际电价最低定价. （2）当时，代入收益中，利用基本不等式求出收益得最小值即可 (1) 小问详解： 由题意知，下调电价后新增用电量为. 故电力部门的收益，. （1）当时，. 由题意知且. 化简得. 解得. 或 又 .· 所以实际电价最低定为：0.6元/（kW·h）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% (2) 小问详解： 当时，. 令，，.· ， 当且仅当时取等号. 故收益的最小值. 6．【答案】（1）    ；，     （2），，当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润      【分析】 （1）根据题中表格描点，可知y与x 之间的函数关系为一次函数，利用待定系数法运算求解； （2）根据题意结合（1）中的函数解析式求P 关于x 的函数解析式，并利用基本不等式求最值. (1) 小问详解： 描出实数对的对应点，如图所示：    根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系为一次函数，设为， 代入点可得 ，解得 ， 则，代入点依然成立， 所以y与x 之间的函数关系为，. (2) 小问详解： 由（1）可知：，， 则经营此商品的日销售利润为 ，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润. 7．【答案】（1） ，（单位：万元）.     （2）年产量百辆时利润最大，最大利润为万元      【分析】 （1）分析可知，年产量（百辆）时销售收入为万元，利用利润销售量售价成本可得出函数的函数表达式； （2）分别求出当、时，的最大值，比较大小后可得出结论. (1) 小问详解： 年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为 ， 所以 ，单位：万元. (2) 小问详解： 由（1）当时，， 当（百辆）时，取最大值，即（万元）， 当时，， 当且仅当时，即当（百辆）时，等号成立， 因为，所以年产量百辆时利润最大，最大利润为万元． 8．【答案】（1）     （2）当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元．      【分析】 （1）依题意,当时，当时，根据利润与售价的关系即可求得解析式； （2）根据相应解析式利用二次函数与基本不等式得最值，比较可得结论． (1) 小问详解： 当时， 当时， 综上， (2) 小问详解： 当时，， 图象的对称轴为， 所以在上单调递增，最大值在处取到，为220； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，且； 因为，所以当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元． 9．【答案】（1）     （2）生产3万件产品时利润最大，最大利润为390万元      【分析】 （1）根据题意直接写出解析式； （2）当时，利用二次函数性质求最值，当时，利用基本不等式求最值，综合两段函数求最值. (1) 小问详解： 由题意得， (2) 小问详解： 当，， 故当时，取最大值，； 当时，， 当且仅当，即时，为最大值. 因此，优化后产品产量为3万件时，企业获最大利润万元 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 把时间与离家的路程变化，与速度有关，所以根据速度的大小来判断直线的斜率. 【详解】 从家出发先匀速步行，此时直线的上升幅度较小，中间匀速跑步前进，此时直线的上升幅度较之前步行的增大，后面看电影的时间表示离家的距离没有发生变化，故直线呈水平状态，最后匀速步行回家，此时直线下降，最后减至离家的距离为. 根据以上判断，只有B吻合， 故选：B. 2．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）下列表示函数图象的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 结合各个选项，利用函数的定义，即可求解. 【详解】 由A、B、C选项的图知，存在的值，不止一个与之对应， 由函数的定义知A，B，C选项对应的图形不表示函数， 对于D，由图知，每一个的值，有且只有一个值与之对应，所以D正确． 故选：D. 3．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）若，则（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 令，求得，进而求得. 【详解】 令，解得， 所以. 故选：D 4．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）（多选）设集合，则下列图象能表示从到的函数关系的有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据函数的定义结合图像逐一判断各个选项即可. 【详解】 对于A，任意，都能在中找到唯一的元素与之对应，A正确； 对于B，，2 在中找不到元素与之对应，不符合函数的定义，B错误； 对于C，任意，都能在中找到唯一的元素与之对应，C正确； 对于D，中有的元素在中对应两个值，不符合函数的定义，D错误； 故选：AC. 5．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由求出，再由抽象函数的定义域可得 ，解方程即可得出答案. 【详解】 的定义域为， 的定义域为， 由 可得： ， 解得：的定义域为. 故选：B. 6．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）（多选）下列选项中，为上的函数有（       ） A. 为“乘以” B. 为“对应元素为或” C. 为“求倒数” D. 为“求平方根” 【答案】AC 【分析】 根据函数的定义进行判断选项. 【详解】 对于任意实数，乘以2得到都是唯一确定的，所以A正确； 对于任意，对应到4或5均有可能，不是唯一确定的，所以B错误； 对于任意，求倒数得到都是唯一确定的，所以C正确； 对于任意，求平方根得到不是唯一确定的，所以D错误. 故选:AC. 7．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）已知函数 ，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】D 【分析】 根据分段函数的解析式代入即可求解. 【详解】 ∴ ，∴，∴. 故选：D. 8．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由被开方数大于等于零和分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】 由题意可得 ，解得且，所以函数的定义域为. 故选：C 9．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知函数 若，则的值为（       ） A. 1 B. 或2 C. 1或2 D. 2 【答案】D 【分析】 分，和三种情况求解即可. 【详解】 当时，由，得，解得，不满足，舍去； 当时，由，得，解得或（舍去）； 当时，由，得，解得，不满足，舍去； 综上所述：的值为2. 故选：D 10．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据，即可求出. 【详解】 且，得且， 则函数的定义域为. 故选：C 11．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）已知函数 则使得的的值为（       ） A. 0或1或-1 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】B 【分析】 分别讨论和两种情况，代入不同表达式，求得a值，分析即可得答案. 【详解】 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得或-1（负值舍去）， 综上，a的值为1. 故选：B 12．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）已知函数 ，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由分段函数定义域范围直接代入计算即可； 【详解】 由题意可得，当时，， 当时，， 所以. 故选：B. 13．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知函数满足，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用方程组法求解出的解析式. 【详解】 因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 14．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）（多选）下列各组函数中，是同一个函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ，与， 【答案】BC 【分析】 由相同函数的定义逐项判断即可. 【详解】 对于A，中，与不是同一个函数. 对于B， 与是同一个函数. 对于C，，与是同一个函数. 对于D，两个函数的定义域不同，不是同一个函数. 故选：BC 15．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知函数，则（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 用换元法求函数解析式即可 【详解】 令，则， 所以，. 所以. 故选：B. 16．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）（多选）以下说法错误的是（     ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为4 【答案】AD 【分析】 A由同一个函数的定义域和对应法则相同判断；B应用分离常数法，结合分式型函数的性质确定值域判断；C根据充分、必要性定义确定条件间的推出关系判断；D应用换元法，结合对勾函数的性质求最小值判断. 【详解】 A：由的定义域为R，而的定义域为，故不是同一个函数，错； B：由在上都单调递减，易知其值域为，对； C：由满足，但不满足，充分性不成立， 由，则，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，对； D：令，且在上单调递增，故最小值为，错. 故选：AD 17．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）下列函数中与函数表示同一个函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先分析各选项中函数的定义域是否与已知函数相同，再对定义域相同的选项进行对应法则判断，从而确定是否与已知函数为同一函数． 【详解】 函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同， 与不是同一个函数，故A错误； 函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同， 与不是同一个函数，故B错误； 函数的定义域为，且， 与是同一个函数，故C正确； 函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同， 与不是同一个函数，故D错误． 故选：C． 18．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由已知求出中的取值范围，它即为中的范围，再结合分母不等于0，二次根式中被开方数非负得出结论． 【详解】 中，，则， 所以函数中 ，解得， 故选：A． 19．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，若在上的值域为，则的最大值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 借助分段函数、二次函数及反比例型函数的性质计算即可得． 【详解】 由题意知，解得或， 当时，的图象在处断开，不符合题意； 当时，符合题意，当时，令，得， 令，得或； 当时，令，得； 如图，作出的大致图象，    由图可知，当时，取得最大值，为4． 故选：D. 20．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（       ） A. 和无法确定 B. 和无法确定 C. 和 D. 和 【答案】D 【分析】 根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为函数的定义域和值域都是，令，解得， 所以函数的定义域为，由的值域得的值域为． 故选：D. 21．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由的定义域得的定义域，进而得 ，解出即可求解. 【详解】 由函数的定义域为，所以， 所以的定义域为，所以 ， 则的定义域为，故A正确. 故选：A. 22．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）定义在上的函数满足，，，且当时，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用赋值法得到，，，根据，得，从而可得：.再由当时，，可求出，从而求解答案即可. 【详解】 中，令，得， 即，所以； 又，所以，所以. 因为，所以，， 所以. 因为，当时，， 所以，所以， 所以. 故选：B 23．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）函数 的定义域为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据偶次根式被开方数大于等于以及分式分母不为求解出定义域. 【详解】 因为 ，解得，所以定义域为， 故答案为：. 24．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　　（用区间的形式表示）. 【答案】 【分析】 移项通分，转化为一元高次不等式即可求解. 【详解】 移项得， 即 ， 解得， 故答案为：. 25．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）若，则的定义域为　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 利用换元法即可求解. 【详解】 设，因为，所以， 故的定义域为； 因为， 所以，故， 故答案为， 26．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）函数的定义域是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数有意义求解即可. 【详解】 由题意， ，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 27．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知函数的定义域，则函数的定义域为 　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，得出不等式组 ，解不等式组即可求得函数的定义域. 【详解】 由函数的定义域得要使函数有意义，则满足 ， 解得或，即函数的定义域为. 故答案为：. 28．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由的定义域为，得到中，解出的范围就是所求的函数的定义域. 【详解】 因为的定义域为，所以对于，有， 则对于，有，解得，则的定义域为. 故答案为： 29．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）（1）已知函数满足对于任意的，都有，求； （2）已知是一次函数，且，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）将代入计算得解； （2）由是一次函数，设，代入已知等式计算得解. 【详解】 （1）令，得，解得. （2）因为是一次函数，所以设， 由，可得， 化简可得， 所以 解得，，故. 30．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求总费用； （3）试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】（1）     （2）     （3），最小总费用是12200元      【分析】 （1）总费用包括维修费用和新墙费用，旧墙长度为，新墙长度为，乘单价后相加得到总费用； （2）将代入，得到的值； （3）由基本不等式求得最值. (1) 小问详解： 设利用旧墙的长度为，则另一边长为， 所以新墙总长度为， 则 ， 故. (2) 小问详解： 由（1）知，， 所以当时，. (3) 小问详解： 因为，所以，由基本不等式有， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 31．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知f(x)满足2f(x)＋f ＝3x－1，则f(x)＝　　　　　　　　. 【答案】2x－ － (x≠0) 【分析】由可得，联立即可求出答案 【详解】已知，① 以代替① 式中的，得 ，② ①②得 故 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解及其常用方法，掌握解方程组法来求解函数解析式是解题的关键，属于基础题． 32．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）已知函数对一切实数x，y都有成立，且 （1）求的值; （2）求的解析式; （3）设命题当时，不等式恒成立;命题函数在区间上具有单调性.如果p与q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋，求出； （2）在（1）基础上赋值可以实现求解的解析式的问题； （3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即转化为相应的二次函数最值问题求出m的范围；利用二次函数的单调性求解策略求出m的范围，最后通过命题的真假即可． (1) 小问详解： 令，，则由已知， 有； (2) 小问详解： 令，则， 又， ； (3) 小问详解： 不等式， 即， 即 当时，的最大值为3， 若p为真命题，则； 又因为在上是单调函数， 故有，或，解得或， 当p为真且q为假时，得 则， 当p为假且q为真时，得 则， 综上得m的取值范围为 33．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）设函数为定义在上的单调函数，对任意实数，都有 （1）证明：函数的图象过定点； （2）证明：对任意实数，，都有； （3）若，求的值. 【答案】（1） 证明：因为对任意实数，都有 令，可得，可得， 所以函数的图象过定点.     （2） 证明：解法1：取代入条件方程，可得， 取代入条件方程，可得， 两式相加得：， 取，代入条件方程，可得， 综上可得，. 解法2：因为对任意实数，都有， 令，可得， 再令，可得， 所以.     （3）      【分析】 （1）根据题意，令，求得，即可得到答案. （2）解法1：分别取和，求得和，两式相加即可得证；解法2：令和，代入已知方程，即可得证； （3）由，用代换，用代换，求得，化简原式，结合，代入求得的值，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由， 因为对任意实数，都有， 用代换，用代换，可得：， 即， ， 又因为， 令代入，可得， 令代入上述方程，可得， 令代入上述方程，可得， 令代入上述方程，可得， 令代入上述方程，可得， ， 综上，所求和式答案为. 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）已知函数是幂函数，则（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【分析】 利用幂函数的定义计算参数再计算函数值即可. 【详解】 由是幂函数的定义可知，解得，故， 故. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）若幂函数在上单调递减，则实数的值是（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 根据幂函数的定义与单调性，建立方程与不等式，可得答案. 【详解】 因为函数是幂函数，且在上单调递减，所以 ， 由方程，解得或；由不等式，解得， 故. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）幂函数的大致图象为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据幂函数的性质进行判断. 【详解】 因为，所以，所以为偶函数，图象关于轴对称； 又，所以在上单调递减. 故选：C 4．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若幂函数过点，则 B. 函数表示幂函数 C. 若幂函数在单调递增，则 D. 幂函数的图象都过点和 【答案】AC 【分析】 对于A，利用待定系数法求解判断，对于B，根据幂函数的定义分析判断，对于C，根据幂函数的性质分析判断，对于D，举例判断即可. 【详解】 对于A，设幂函数为，则，所以，所以A正确， 对于B，因为的系数为2，所以函数不是幂函数，所以B错误， 对于C，因为幂函数在单调递增， 所以 ，解得，所以C正确， 对于D，因为幂函数的图象不过，所以D错误. 故选：AC 5．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 当时， B. 当时，的定义域为 C. 当时，为增函数 D. 当时，为偶函数 【答案】CD 【分析】 根据幂函数的性质对选项逐一分析即可. 【详解】 对于A：，则，故A错误； 对于B：的定义域为，故B错误； 对于C：为增函数，故C正确； 对于D：的定义域为， ，所以的定义域为， 令，则， 所以为偶函数，故D正确； 故选：CD. 6．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据幂函数的表达式即可求解. 【详解】 点在幂函数的图像上， ，解得， 的表达式为. 故答案为：. 7．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）已知幂函数在上是减函数，则实数　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据幂函数定义及性质可得 【详解】 因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 8．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知幂函数在上单调递增． （1）求的解析式； （2）设，试比较与的大小关系． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用幂函数的定义及性质即可求解； （2）根据（1）的结论及幂函数的性质，结合函数的单调性即可求解. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以，解得或． 当时，，此时在上单调递减，不满足题意； 当时，，满足在上单调递增． 所以； (2) 小问详解： ，， 因为， 所以，即． 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（       ） A. 135 B. 149 C. 165 D. 195 【答案】B 【分析】 把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】 由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B 2．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）（多选）某工厂生产一批总量为个的零件，有两种方案可供选择：①生产总时长为小时，一半时间以每小时个零件的速度生产，一半时间以每小时个零件的速度生产；②生产总时长为小时，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产；则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C. 采用方案①效率更高 D. 无论生产零件总数（总数大于）为多少，效率更高的方案都相同 【答案】ACD 【分析】 根据方案① 可得出关于的等式，求出其值，可判断A选项；根据方案② 求出，可判断B选项；比较、的大小，可判断C选项；求出两个方案的平均生产速度，比较大小可判断D选项. 【详解】 由方案① ，，解得，故A正确； ，故B错误； 因为，所以采用方案① 效率更高，故C正确； 方案① 的平均生产速度为个每小时，方案② 设总零件数为， 所以两部分的时间分别为，， 平均生产速度为个每小时， 故方案② 平均速度低于方案① ，所以无论生产零件总数为多少，效率更高的都是方案① ，故D正确， 故选：ACD. 3．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（       ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】A 【分析】 根据题意写出函数解析式，利用解析式即可得出图象． 【详解】 设行进的速度为 ，行走的路程为， 则 ，且 ， 由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为① ② ． 故选：A． 4．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为（　　） A. 17m3 B. 18m3 C. 19m3 D. 20m3 【答案】A 【分析】 根据收费标准，求出y关于x的分段函数，由水费的值，判断出用水量的范围，求出x的值，即可求解． 【详解】 设用水量为xm3，水费为y元， 当0≤x≤12时，y＝3x， 当12＜x≤18时，y＝12×3+（x﹣12）×6＝6x﹣36，值域为 当x＞18时，y＝12×3+6×6+（x﹣18）×9＝9x﹣90， ∵12＜x≤18， ∴令6x﹣36＝66，解得x＝17， 故此用户居民本月用水量为17m3． 故选：A． 5．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）某地区上年度电价为0.8元/（kW·h），年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价成本价）） （1）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （2）当时，求收益的最小值. 【答案】（1）0.6元/（kW·h）     （2）      【分析】 （1）先表示出下调电价后新增用电量，则电力部门的收益 当时，代入表达式中列出不等式，解出结果即可得实际电价最低定价. （2）当时，代入收益中，利用基本不等式求出收益得最小值即可 (1) 小问详解： 由题意知，下调电价后新增用电量为. 故电力部门的收益，. （1）当时，. 由题意知且. 化简得. 解得. 或 又 .· 所以实际电价最低定为：0.6元/（kW·h）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% (2) 小问详解： 当时，. 令，，.· ， 当且仅当时取等号. 故收益的最小值. 6．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）某商场经营一批进价为20元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系，其中. x … 15 20 30 35 y 50 40 20 10 （1）根据表中提供的数据在直角坐标系中描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为 P(单位：元)，根据上述关系，写出 P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润. 【答案】（1）    ；，     （2），，当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润      【分析】 （1）根据题中表格描点，可知y与x 之间的函数关系为一次函数，利用待定系数法运算求解； （2）根据题意结合（1）中的函数解析式求P 关于x 的函数解析式，并利用基本不等式求最值. (1) 小问详解： 描出实数对的对应点，如图所示：    根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系为一次函数，设为， 代入点可得 ，解得 ， 则，代入点依然成立， 所以y与x 之间的函数关系为，. (2) 小问详解： 由（1）可知：，， 则经营此商品的日销售利润为 ，， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当销售单价为30元时，才能获得最大日销售利润. 7．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，每百辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润． 【答案】（1） ，（单位：万元）.     （2）年产量百辆时利润最大，最大利润为万元      【分析】 （1）分析可知，年产量（百辆）时销售收入为万元，利用利润销售量售价成本可得出函数的函数表达式； （2）分别求出当、时，的最大值，比较大小后可得出结论. (1) 小问详解： 年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为 ， 所以 ，单位：万元. (2) 小问详解： 由（1）当时，， 当（百辆）时，取最大值，即（万元）， 当时，， 当且仅当时，即当（百辆）时，等号成立， 因为，所以年产量百辆时利润最大，最大利润为万元． 8．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）某文具店销售笔记本，根据销售数据，日均销量与售价存在分段规律．该文具店每日的固定成本为20元，每本笔记本的进价为2元．设笔记本的售价为每本元，日均销量为本．当时，；当时，． （1）写出该文具店的日均利润（元）的解析式．（利润=销售收入-成本） （2）当笔记本的售价定为每本多少元时，该文具店的日均利润最大？最大日均利润是多少？ 【答案】（1）     （2）当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元．      【分析】 （1）依题意,当时，当时，根据利润与售价的关系即可求得解析式； （2）根据相应解析式利用二次函数与基本不等式得最值，比较可得结论． (1) 小问详解： 当时， 当时， 综上， (2) 小问详解： 当时，， 图象的对称轴为， 所以在上单调递增，最大值在处取到，为220； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，且； 因为，所以当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元． 9．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）某企业原来生产某种产品（万件）可获利（万元），且满足 .现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调研分析得知，当前产品供不应求.记该企业优化后的产品的利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】（1）     （2）生产3万件产品时利润最大，最大利润为390万元      【分析】 （1）根据题意直接写出解析式； （2）当时，利用二次函数性质求最值，当时，利用基本不等式求最值，综合两段函数求最值. (1) 小问详解： 由题意得， (2) 小问详解： 当，， 故当时，取最大值，； 当时，， 当且仅当，即时，为最大值. 因此，优化后产品产量为3万件时，企业获最大利润万元 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）下列表示函数图象的是（       ） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）若，则（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）（多选）设集合，则下列图象能表示从到的函数关系的有（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）（多选）下列选项中，为上的函数有（       ） A. 为“乘以” B. 为“对应元素为或” C. 为“求倒数” D. 为“求平方根” 7．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）已知函数 ，则（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 8．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知函数 若，则的值为（       ） A. 1 B. 或2 C. 1或2 D. 2 10．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）已知函数 则使得的的值为（       ） A. 0或1或-1 B. 1 C. 0 D. -1 12．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）已知函数 ，则（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知函数满足，则（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）（多选）下列各组函数中，是同一个函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ，与， 15．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）已知函数，则（    ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）（多选）以下说法错误的是（     ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为4 17．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）下列函数中与函数表示同一个函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·湖南长沙第六中学·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，若在上的值域为，则的最大值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 20．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（       ） A. 和无法确定 B. 和无法确定 C. 和 D. 和 21．（25-26学年高一上·湖南长沙长郡中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）定义在上的函数满足，，，且当时，，则（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）函数 的定义域为　　　　　　　. 24．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　　（用区间的形式表示）. 25．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）若，则的定义域为　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）函数的定义域是　　　　　　． 27．（25-26学年高一上·湖南长沙望城区第一中学·期中）已知函数的定义域，则函数的定义域为 　　　　　　. 28．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　　. 29．（25-26学年高一上·湖南三新联盟联考·期中）（1）已知函数满足对于任意的，都有，求； （2）已知是一次函数，且，求的解析式. 30．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求总费用； （3）试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 31．（25-26学年高一上·湖南师范大学附属中学·期中）已知f(x)满足2f(x)＋f ＝3x－1，则f(x)＝　　　　　　　　. 32．（25-26学年高一上·湖南永州第一中学）已知函数对一切实数x，y都有成立，且 （1）求的值; （2）求的解析式; （3）设命题当时，不等式恒成立;命题函数在区间上具有单调性.如果p与q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 33．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）设函数为定义在上的单调函数，对任意实数，都有 （1）证明：函数的图象过定点； （2）证明：对任意实数，，都有； （3）若，求的值. 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）已知函数是幂函数，则（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2．（25-26学年高一上·湖南常德第一中学·期中）若幂函数在上单调递减，则实数的值是（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 3．（25-26学年高一上·湖南衡阳第一中学·期中）幂函数的大致图象为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若幂函数过点，则 B. 函数表示幂函数 C. 若幂函数在单调递增，则 D. 幂函数的图象都过点和 5．（25-26学年高一上·湖南名校联考·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 当时， B. 当时，的定义域为 C. 当时，为增函数 D. 当时，为偶函数 6．（25-26学年高一上·湖南衡阳第八中学·期中）已知点在某一个幂函数的图像上.求幂函数的表达式为　　　　　　　　　　. 7．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）已知幂函数在上是减函数，则实数　　　　　　． 8．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）已知幂函数在上单调递增． （1）求的解析式； （2）设，试比较与的大小关系． 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·湖南岳阳岳阳县第一中学·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（       ） A. 135 B. 149 C. 165 D. 195 2．（25-26学年高一上·湖南娄底涟源部分学校·期中）（多选）某工厂生产一批总量为个的零件，有两种方案可供选择：①生产总时长为小时，一半时间以每小时个零件的速度生产，一半时间以每小时个零件的速度生产；②生产总时长为小时，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产，一半数量的零件以每小时个零件的速度生产；则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C. 采用方案①效率更高 D. 无论生产零件总数（总数大于）为多少，效率更高的方案都相同 3．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（       ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 4．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3 超过18m3的部分 9元/m3 若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为（　　） A. 17m3 B. 18m3 C. 19m3 D. 20m3 5．（25-26学年高一上·湖南长沙第一中学·期中）某地区上年度电价为0.8元/（kW·h），年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价成本价）） （1）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （2）当时，求收益的最小值. 6．（25-26学年高一上·湖南名校联盟·期中）某商场经营一批进价为20元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系，其中. x … 15 20 30 35 y 50 40 20 10 （1）根据表中提供的数据在直角坐标系中描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x 之间的函数关系，并写出一个函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为 P(单位：元)，根据上述关系，写出 P 关于x 的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润. 7．（25-26学年高一上·湖南汨罗第一中学·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，每百辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润． 8．（25-26学年高一上·湖南邵阳第二中学·期中）某文具店销售笔记本，根据销售数据，日均销量与售价存在分段规律．该文具店每日的固定成本为20元，每本笔记本的进价为2元．设笔记本的售价为每本元，日均销量为本．当时，；当时，． （1）写出该文具店的日均利润（元）的解析式．（利润=销售收入-成本） （2）当笔记本的售价定为每本多少元时，该文具店的日均利润最大？最大日均利润是多少？ 9．（25-26学年高一上·湖南长沙雅礼中学·期中）某企业原来生产某种产品（万件）可获利（万元），且满足 .现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调研分析得知，当前产品供不应求.记该企业优化后的产品的利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $