专题02 直线和圆的方程（期中真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期

专题02 直线和圆的方程 5大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）若直线的斜率为，则的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】 设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C 2．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C. 0 D. 不存在 【答案】C 【分析】 由直线方程即可求解. 【详解】 由方程，可知直线与轴平行， 倾斜角为0， 故选：C 3．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）直线的倾斜角为（    ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【分析】 求出直线的斜率，即可求得直线的倾斜角． 【详解】 因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为150°， 故选：D． 4．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）下列直线中，倾斜角为的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由倾斜角为，则该直线的斜率为，逐项判断即可. 【详解】 若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 所以这四条直线中，倾斜角为的是. 故选：C 5．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，求出直线的倾斜角，进而求出的倾斜角，再由斜率求出. 【详解】 直线的斜率，其倾斜角， 因此直线的倾斜角为，其斜率为， 所以. 故选：C 6．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知直线与平行，则的值可以是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BC 【分析】 由直线的一般方程，根据直线平行的判定列方程求参数，注意验证即可. 【详解】 由已知两条直线平行，则，可得， 所以或， 当时，，，满足题设， 当时，，，满足题设， 所以可以是2或3. 故选：BC 7．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】 ① 当时，此时，倾斜角为， ② 当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C 8．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 已知斜率的取值范围，通过正切函数性质来确定倾斜角的取值范围. 【详解】 直线的斜率，为倾斜角，， 已知，即， 当时，； 当时，. 综上当时，. 故选：C 9．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）（多选）已知直线，则（       ） A. 点到距离的最大值为 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则倾斜角的取值范围为 【答案】BCD 【分析】 A选项，求出过定点，到距离的最大值，验证后发现最大值取不到；B选项，根据平行关系得到方程，求出，检验后得到B正确；C选项，由垂直关系得到方程，求出；D选项，求出的斜率，进而求出倾斜角取值范围. 【详解】 对于A：， 令 ，解得 ，故过定点， 到距离的最大值为， 此时，，故的斜率应为， 故，即，无解，故最大值取不到，故A错误； 对于B：由，得，解得， 经检验，当时，与不重合，故B正确； 对于C：由，得，解得，故C正确； 对于D：当时，直线的斜率， 当时，的倾斜角，故D正确. 故选：BCD 10．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知直线与直线，若，则　　　　　　 【答案】 【分析】 根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】 若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 11．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）直线与直线平行，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 分别讨论两直线斜率是否存在，存在时两斜率相等解方程即可解得. 【详解】 当时，即时，不满足题意； 当时，即时，不满足题意； 当且时，两直线斜率均存在，需满足， 解得或. 又当时，与重合，不合题意； 当时，与平行，满足题意； 故答案为： 12．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）已知坐标平面内两点． （1）当直线MN的斜率不存在时，求的值； （2）当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】（1）     （2）直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为.      【分析】 （1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； (2) 小问详解： 直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 13．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知直线：（）. （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时的方程. 【答案】（1）；     （2）；     （3）最小值是4，方程为.      【分析】 （1）由直线过定点可得斜率的范围； （2）根据（1）的结论，结合互相垂直两直线斜率的性质进行求解即可； （3）求出，两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值. (1) 小问详解： 直线方程为：：，它过定点，在第二象限， 因此直线不过第四象限，则 ∴的取值范围是； (2) 小问详解： 由（1）知直线l恒过定点， 当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率， 因此直线的斜率，直线的方程为， 所以直线的一般式方程为. (3) 小问详解： 易知，令得，令，得， 即，， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴最小值是4，此时方程为，即. 14．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）直线与直线平行，则实数　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由直线平行得到，求解并验证即可. 【详解】 由题意可得：， 解得：或， 当时：，，重合，舍去， 当时，，，平行， 所以， 故答案为： 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（        ） A. 直线经过点 B. 直线的斜截式方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】 利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】 对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 2．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）（多选）下列四个命题中正确的是（       ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线在坐标轴上的截距之和为 C. 直线与直线之间的距离为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【分析】 根据直线方向向量的定义，可判断A错误；求得直线在坐标轴上的截距，可判定B正确，根据两平行直线间的距离公式，可判定C正确，根据直线倾斜角的定义，可判定D错误. 【详解】 对于A，由直线，可得直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量为， 因为与不共线，所以不是直线的一个方向向量，所以A错误； 对于B，当时，；当时，， 可得直线在坐标轴上的截距之和为，所以B正确； 对于C，由直线可化为， 两平行直线间的距离为，所以C正确； 对于D，直线的斜率为， 因为，所以， 故直线倾斜角的取值范围是，所以D错误. 故选：BC. 3．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 7 【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用截距求出，再利用倾斜角的关系，结合斜率与二倍角公式列式求出即可. 【详解】 由直线在轴上的截距为，得，解得， 由直线的倾斜角为，得，直线的倾斜角为， 因此，解得， 所以. 故选：A 4．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由直线的法向量得到直线的方向向量，进而求得直线的斜率，利用斜率与 倾斜角的关系求范围. 【详解】 由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率，， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：A. 5．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【详解】 由条件可知，直线不过原点， 设直线，则 ，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为： 6．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）在中，. （1）求的平分线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据已知点的坐标特征，判断，推得的平分线所在直线的倾斜角为，即可写出直线的斜截式方程； （2）先求出直线的斜率，利用垂直关系求出边上的高的斜率，由点斜式求得其方程，整理得直线的一般式方程. (1) 小问详解： 由，易得直线的斜率为0，故其方程为， 直线的斜率不存在，故其方程为，可得， 易知的平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为， 故的平分线所在直线的斜截式方程为. (2) 小问详解： 由可得直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率， 又所求直线经过点，故其方程为， 故边上的高所在直线的一般式方程为. 7．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）已知直线. （1）求恒过的定点的坐标; （2）若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）变化主元计算可求直线所过定点； （2）分类讨论结合直线在纵轴上截距及其斜率的大小计算不等式即可. (1) 小问详解： 整理直线的方程,得(, 联立方程组 解得 所以直线恒过的定点的坐标为; (2) 小问详解： 当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意; 当时,, 因为经过第一、二、三象限，所以 ， 解得或, 综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是. 8．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）在平面直角坐标系中，已知三点. （1）若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）求出直线的斜率，利用垂直关系求出直线的斜率及方程. （2）按截距是否为0分类，再结合直线的截距式方程求解. (1) 小问详解： 由，得直线的斜率为， 由，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即 (2) 小问详解： 设直线在上的截距为， 当时，直线过原点及点，方程为，即； 当时，直线的方程为，而直线过点，则，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 9．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）（1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 【答案】（1）在轴、轴上的截距分别为；（2）；（3） 【分析】 （1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令和求解即可； （2）法一：由垂直设直线方程，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式即可求解； （3）法一：由倾斜角得到，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线的倾斜角互补，   即可求解 【详解】 解：（1）（方法一）由，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （方法二）令，得， 令，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （2）（方法一）依题意设所求直线方程为， 将点的坐标代入得， 解得， 所以所求直线的方程为. （方法二）因为直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为2， 所以所求直线的方程为， 即（或）. （3）（方法一）因为直线的倾斜角为， 所以， 又直线的斜率为， 所以， 所以直线的倾斜角为. （方法二）因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 所以这两条直线的倾斜角互补， 所以直线的倾斜角为. 10．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 因为，所以，根据两角差的正切公式，结合各点坐标，可得的表达式，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】 直线可表示为，可知其过定点. 设，设，注意到， 则， 而， 故| ∠ OPM| =| (| t| -(1) /(2) | t| )/(1+(1) /(2) | t| ^2)| =(| t| )/(t^2+2)≤ (| t| )/(2√2| t| )=(√2)/(4)， 于是，当且仅当时，等号成立， 故答案为：. 11．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）设直线的方程为 （1）求证：直线经过定点，并求此定点坐标. （2）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为，求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】（1） 因为直线，即。 令 ，解得 ， 所以直线过定点.     （2） 或     （3） 6，      【分析】 （1）整理可得，进而分析定点； （2）分类讨论直线是否过坐标原点，结合直线的斜率求参数的值，进而可得方程； （3）先求参数的取值范围和截距，进而求面积，结合基本不等式求最值和方程. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为直线， 当直线过原点时满足条件，则，解得， 可得直线的方程为：； 当直线不过原点时，则直线斜率为， 则，解得， 可得直线的方程为：； 综上所述，直线的方程为或. (3) 小问详解： 令，解得，解得； 令，解得，解得或； 综上所述：. 则 ， 当且仅当，即时取等号. 所以（为坐标原点）面积的最小值是6，此时直线方程为. 12．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程； （3）设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）方程转化成，由且，得到，再由，得到； （2）由中点坐标公式得到的中点坐标即可求解； （3）法一：由动点在上运动和动点在上运动，由斜率的几何意义即可求解；法二：确定线段的方程为且，设，联立得到，即可求解. (1) 小问详解： 由可得， 令且，解得，， 故直线恒过定点              设，则， 故则， 解得，故 (2) 小问详解： 由于，， 故的中点坐标，则， 故直线方程为，即 (3) 小问详解： 法一：设与轴的交点为， ① 当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当与重合时，， 当在轴上时，，所以.    ② 当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当在轴上时，， 当与重合时，，所以，                     综上可得.             法二：由于，， 得，所以，即 则线段的方程为且③③        设，其中不为0， 得代入③ 化简整理得， 即，且， 令，且， 解得 ，则， 即. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）若直线与直线之间的距离为，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 利用平行线间的距离公式求解. 【详解】 由题意知， 又， 解得， 故选：B. 2．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）（多选）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解. 【详解】 设直线的方程为， 则间的距离， 解得，或， 所以直线的方程为或. 故选：AB. 3．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）一无人机在直线上移动测量噪声，要求无人机到居民点和主干道轴的距离和越小越好，求这个距离和的最小值为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 设无人机所在位置，求出无人机到居民点和主干道轴的距离和的关系，利用不等式的性质求出最小值. 【详解】 设无人机所在位置为点，且， 则无人机到居民点和主干道轴的距离和为 ，当且仅当时取等号， 所以所求距离和的最小值为4. 故选：B 4．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）若点在直线，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 根据两点间的距离公式，判断代数式的几何意义，再根据点关于直线的对称点的求法，求出最小值，判断结果即可. 【详解】 设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：B. 5．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）两条平行直线之间的距离为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 6．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）直线关于直线对称的直线的方程是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 法1，求出直线与的交点坐标，利用直线上的点到直线与的距离相等，列式计算得解；法2，利用直线关于特殊直线对称结论求解. 【详解】 （方法1）联立 ，得两直线的交点为， 设直线的方程为， 直线上的点到直线与的距离相等，即， 解得或（舍去），故的方程是. 故答案为：. （方法2：直线关于特殊直线对称）利用直线关于直线的对称直线为. 所以关于直线对称的直线为：，即. 故答案为：. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）圆的半径为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 把一般方程转化为标准方程即可求解. 【详解】 方程可化为，所以圆的半径为2. 故选：B 2．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】由题意分析可知，圆心在轴上，且在轴的正半轴上，设半径为，圆心坐标为，求出圆的方程，将点代入圆的方程，求出即可求解. 【详解】由题意分析可知，圆心在轴上，且在轴的正半轴上， 设半径为，圆心坐标为，， 则，解得， 其圆心坐标为， 则圆的方程为，即. 故选：D 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题. 3．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）记点，点在圆上，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 通过计算圆心到原点的距离，结合圆的半径，求出圆上点到原点距离的取值范围. 【详解】 圆的圆心为，半径. 原点到圆心的距离：. 因为点在圆上，所以的最小值为，最大值为. 故的取值范围是. 故选：A. 4．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）圆心在轴上，则过点和点的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由圆心在轴上，可设圆心为，设圆的半径为，由圆过点和点，利用两点间距离公式得到，计算出和，从而得到圆的方程. 【详解】 圆心在轴上，设圆心为，设圆的半径为， 圆过点和点，， ，圆的方程为. 故选：A 5．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）（多选）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（     ） A. 曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 曲线围成图形的面积为 C. 曲线的周长为 D. 曲线上任意两点间距离的最大值8 【答案】ACD 【分析】 根据给定方程的特征，结合曲线对称性的探讨方法、计算判断ABC；画出图形并结合图形求出最大值. 【详解】 当时方程为；当时方程为； 当时方程为；当时方程为， 对于A，在方程中，用换或用换该方程均不变， 因此曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确； 对于B，曲线交轴正半轴于，曲线在第一象限部分图形是以为圆心， 为半径，所对的圆心角为的，圆心到轴的距离， 因此曲线在第一象限围成图形面积， 由对称性得总面积为，B错误； 对于C，由选项B得，的长度为，由对称性得曲线的周长为，C正确； 对于D，曲线交轴负半轴于，曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确. 故选：ACD 6．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知圆的方程为. （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）整理可得，进而可得，运算求解即可； （2）求圆心到直线的距离，根据题意结合垂径定理列式求解即可. (1) 小问详解： 因为圆的方程为，整理可得， 则，解得， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 由圆的方程为可知圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，则， 即，解得， 且，符合题意，所以. 7．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）圆（其中）的周长的取值范围为　　　　　　　． 【答案】. 【分析】 本题通过将圆方程化为标准形式，求出半径的取值范围，进而得到周长的取值范围. 【详解】 将圆的方程化为标准形式：，则半径. 圆的周长. 因为，所以，即，故. 故答案为：. 8．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）已知，点P在y轴上，满足． （1）求点P的坐标； （2）若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由垂直关系转化为数量积为，设出点坐标，由坐标运算求解可得； （2）设动点，由已知距离比关系，利用两点间距离公式坐标代入化简整理可得轨迹方程. (1) 小问详解： 由点P在y轴上，设，则， 由，则， 即，解得， 故点P的坐标为. (2) 小问详解： 设，， 由，得，即， 则， ， 则有 化简得，即. 则动点Q的轨迹方程. 9．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）√14     （3）存在；      【分析】 （1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程； （2）利用弦长公式表示，结合函数单调性求解； （3）先设坐标为(b,0)，联立韦达定理，通过为定值写出方程，化简求解即可. (1) 小问详解： 设动点，则，| TO| =√x^2+y^2， 而，故√(x+3)^2+y^2=2√x^2+y^2，化简得：， 故的标准方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立 得：， 故x_1+x_2=(2) /(1+k^2),x_1· x_2=(-3)/(1+k^2)， 根据弦长公式得： ， 令k^2=t，t∈ [1,4]，        故| EF| = 2√(4+3t)/(1+t)=2√3+(1) /(1+t)， 设，易知f(t)在t∈ [1,4]上单调递减，故当t=1，f(t)最大， 即 | EF|最大，此时，故（舍）或， 故| EF|最大值为| EF| _ =2√3+(1) /(1+1)=√14. (3) 小问详解： 设点坐标为(b,0)，，，过点的动直线为：. 联立 得：， 故x_3+x_4=(2) /(1+m^2),x_3· x_4=(-3)/(1+m^2)， BP=( x_3-b,y_3)，BQ=( x_4-b,y_4)， 又，位于过点的动直线： 上， 故BP=( x_3-b,mx_3)，BQ=( x_4-b,mx_4). 则， 将x_3+x_4=(2) /(1+m^2),x_3· x_4=(-3)/(1+m^2)代入上式， 得：BP· BQ= (1+m^2)((-3 )/(1+m^2))-b· (2 )/(1+m^2)+b^2=-3-(2b )/(1+m^2)+b^2， 若使为定值，则-(2b )/(1+m^2)+b^2必须为常数， 而且与无关，故此时只能为. 当直线的方程为时，也成立， 故存在点，使得，此时点坐标为. 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知直线是圆的一条对称轴，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用圆的性质列式求得的值. 【详解】 圆的圆心， 由直线是圆的一条对称轴，得，所以. 故选：C 2．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. -1 【答案】C 【分析】 转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 依题意，则为直线的斜率， 结合图象可知，当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C 3．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知圆与圆交于两点，且直线经过线段上靠近的三等分点，则（     ） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】C 【分析】 通过两圆公共弦方程与线段三等分点的结合，求解参数的值. 【详解】 圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 圆心距为，由于两圆相交，所以， 将两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简为，即. 线段的长度为，靠近的三等分点的坐标为. 因为直线经过，将其代入公共弦方程得，解得. 故选：C. 4．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）已知圆和点，若点在圆上，且，则实数的最小值是（       ） A.  B. 6 C. -6 D.  【答案】D 【分析】 设，根据得到方程，分，，三种情况，结合两圆有公共点，从而由圆心距和半径之间的关系得到不等式，求出答案. 【详解】 设，由，得， 化简得， 若，此时不存在，舍去， 若，此时点坐标为，但不满足， 故不合要求，舍去， 若，即点在圆上， 圆心为，半径. 圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点， 所以，解得596， 所以或，即的最小值为. 故选：D. 5．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（       ） A.  B.  C. 20 D. 15 【答案】D 【分析】 根据题意，当到直线的距离最大时，的面积最大，再结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设圆心到直线的距离为，到直线的距离为， 又圆心坐标为，所以，又半径为， 则当最大时，， 此时的面积也最大，最大值为. 故选：D. 6．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 判断圆与直线的位置关系为相离，可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】 由题意得，圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与该圆相离， 所以的最小值为. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）当时，圆与圆的位置关系不可能是（     ） A. 内含 B. 相交 C. 外离 D. 外切 【答案】C 【分析】 求出两圆圆心距离，然后与半径的和、差比较大小，即可判断. 【详解】 由题意圆，圆的圆心分别为，则， 又圆，圆的半径分别为， 两圆的圆心距，因为， 所以两圆半径之和.即. 而两圆外离的条件是，故两圆的位置关系不可能是外离. 故选：C. 8．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）（多选）已知直线与圆（为半径）恒有两个不同的公共点，则下列结论正确的有（       ） A. 直线过定点 B. 半径的取值范围是 C. 当时，线段的长度的最小值为 D. 当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则 【答案】CD 【分析】 首先直线变形为，可得直线过定点即可判断A；根据定点与圆的位置关系，即可判断B；当定点为弦的中点时，此时弦长最短，即可判断C；根据题意转化为圆心到直线的距离为2，即可判断D. 【详解】 A.直线，所以直线恒过点，故A错误； B.若直线恒与圆有2个交点，则定点在圆的内部，即，，得，故B错误； C.当定点为弦的中点时，此时弦长最短，，时，此时最短弦，故C正确； D. 当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则圆心到直线的距离等于2，则，得，故D正确. 故选：CD 9．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）“”是“直线与圆相切”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 首先求直线与圆相切时的值，再根据充分，必要条件的定义，即可判断. 【详解】 若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，得， 所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A 10．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）（多选）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BCD 【分析】 先求得圆心到直线的距离，再由，求解即可. 【详解】 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意得，即， 解得，. 故选：BCD 11．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（     ） A. 圆与圆相切 B. 两圆公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公切线段长为3 D. 有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【分析】 首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，两圆方程作差即可判断B，求出即可判断C，根据公切线的性质判断D. 【详解】 由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径. 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误； 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点， 即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确； 故选：D 12．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于90°，则的取值范围为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于的不等式即可求解. 【详解】 将直线变形为， 则可知直线恒过定点，且， 若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径， 根据圆的性质，当时，弦最短，最小，此时弦长， 在中，当时，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足， 即，解得， 综上，的取值范围为. 故选：C. 13．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的最小值为（     ） A. 4 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题通过折叠性质确定圆心，结合圆的方程与两圆位置关系求解参数最小值. 【详解】 由折痕的性质，折痕为对应点连线的垂直平分线， 故圆心是折痕方程与的交点. 解方程组 ，得，，即圆心. 点在圆上，故圆的半径， 圆的方程为. 因为，、，所以点在以为直径的圆上， 该圆方程为，圆心为，半径为. 两圆的圆心距，由两圆有公共点，得 . 解得，即m∈ [-6,-4]∪ [4,6]，故的最小值为. 故选：D 14．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 确定圆心为，半径，将四边形的面积转化为，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】 ，即，圆心为，半径， ，即最小时，面积最小. ，故四边形面积的最小值为. 故答案为： 15．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则的范围为是　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据对称求出直线的方程，利用直线与圆相离求范围. 【详解】 设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ，，且， ，即， 直线， 圆，即， 圆心，半径，， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离， ，即，又，解得. 故答案为：. 16．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，． （1）若，求的斜率； （2）若的斜率为，求的面积． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）设的方程为，利用圆的弦长公式得到方程，解出即可； （2）写出直线方程，利用点到直线的距离公式得到方程，解出，再求出三角形的高，最后利用三角形面积公式即可. (1) 小问详解： 若的斜率为0，则，不合题意． 故设的方程为，点到直线的距离， 又，即，解得， 故的斜率． (2) 小问详解： 由题知． 此时点到直线的距离，解得． 而点到的距离， 又，故的面积． 17．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】 易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 18．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； （3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3） 不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.      【分析】 （1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. (1) 小问详解： 设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； (2) 小问详解： 设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 19．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，现在人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，定点、，动点满足，则的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为圆. （1）求圆的方程. （2）如图，过点斜率为的直线与圆相交于，（点在轴上方），点，是不在直线上的两点，满足平分，平分. （ⅰ）求的取值范围. （ⅱ）将点、、看作一个阿氏圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）设动点，根据条件建立方程，化简即可求解； （2）（i）根据题设条件得，令，进而有，设，利用点在圆上，得，再结合，即可求解；（ii）根据条件得到在以为定点的阿氏圆上，再结合题设条件求得的坐标，即可求解. (1) 小问详解： 设动点，因为、，又， 得，化简整理得：， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）由， 又，所以，令，则， 设，则有，又直线的斜率，则， 又由，得 ，代入， 得到，即， ∵，则，所以， 又，则，所以， 故的取值范围. （ⅱ）由（ⅰ）有，由阿氏圆定义知在以为定点的阿氏圆上， 设此阿氏圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，整理得到， 又，解得，∴， 又， ∴， 设，则，整理得到， 解得或（舍去）， 由，解得， ， ∴，则直线的方程为，即. 20．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知点及圆 （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）或     （2）或     （3）存在，      【分析】 （1）设直线的斜率为，用点到直线的距离公式得，即求； （2）设MN的中点为，由题可得 ，即得； （3）假设存在，则圆心必在上，由得，再由直线与圆的位置关系可得，即可得出结果. (1) 小问详解： 由得 设直线的斜率为，则方程为. 又圆的圆心为，半径， 由，解得或. 所以直线方程为或， 即直线的方程为或. (2) 小问详解： 设的中点为，则， 又，所以， ,              化简得 （2）（1）得代入（2）得    或                     或 ，                     以为直径的圆的方程为或. (3) 小问详解： 存在实数满足题意 由直线与圆交于，两点， 则圆心到直线的距离，解得.              设符合条件的实数存在， 由于垂直平分弦，故圆心必在上. 所以的斜率，而，所以        由于              故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦. 21．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）     （2）或     （3）过定点，      【分析】 （1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，结合弦长公式即可求解. （3）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入，求出与的关系进而可得定点. (1) 小问详解： 设圆的标准方程为， 由已知可得： ，解得：，，， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意可知圆心到直线的距离为. 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离为； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则有，解得，此时直线. 综上，直线的方程为或. (3) 小问详解： 由已知得：直线的斜率必存在，设直线的方程为， 由 消去得， 当时，，（※） 又， 即，代入（※）得， 即，解得，或， 当时，直线的方程为，过定点（舍去）； 当时，直线的方程为，过定点， 故当时，直线过定点. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 5大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）若直线的斜率为，则的倾斜角为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）直线的倾斜角为（       ） A.  B.  C. 0 D. 不存在 3．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）直线的倾斜角为（    ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）下列直线中，倾斜角为的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知直线与平行，则的值可以是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）（多选）已知直线，则（       ） A. 点到距离的最大值为 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则倾斜角的取值范围为 10．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知直线与直线，若，则　　　　　　 11．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）直线与直线平行，则　　　　　　． 12．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）已知坐标平面内两点． （1）当直线MN的斜率不存在时，求的值； （2）当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 13．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知直线：（）. （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. （3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时的方程. 14．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）直线与直线平行，则实数　　　　　　　　　　　. 考点02 直线的方程 1．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（        ） A. 直线经过点 B. 直线的斜截式方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的一个法向量为 2．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）（多选）下列四个命题中正确的是（       ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线在坐标轴上的截距之和为 C. 直线与直线之间的距离为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 3．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 7 4．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为　　　　　　　　　　. 6．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）在中，. （1）求的平分线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的一般式方程. 7．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）已知直线. （1）求恒过的定点的坐标; （2）若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 8．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）在平面直角坐标系中，已知三点. （1）若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 9．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）（1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 10．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，直线过定点，点在直线上，则的最大值为　　　　　　　　　　. 11．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）设直线的方程为 （1）求证：直线经过定点，并求此定点坐标. （2）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （3）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为，求的最小值并求此时直线的方程. 12．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）设为实数，直线恒过一定点记作，为的一个直角顶点，另两个顶点为、，其中点在轴上，点 （1）求点，的坐标； （2）求斜边中线所在的直线方程； （3）设点，若是线段上的动点，求的取值范围. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）若直线与直线之间的距离为，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）（多选）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）一无人机在直线上移动测量噪声，要求无人机到居民点和主干道轴的距离和越小越好，求这个距离和的最小值为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）若点在直线，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 2 D.  5．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）两条平行直线之间的距离为　　　　　　　　　　　　. 6．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）直线关于直线对称的直线的方程是　　　　　　　　. 考点04 圆的方程 1．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）圆的半径为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）记点，点在圆上，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）圆心在轴上，则过点和点的圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）（多选）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（     ） A. 曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 曲线围成图形的面积为 C. 曲线的周长为 D. 曲线上任意两点间距离的最大值8 6．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知圆的方程为. （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值. 7．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）圆（其中）的周长的取值范围为　　　　　　　． 8．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）已知，点P在y轴上，满足． （1）求点P的坐标； （2）若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程． 9．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知直线是圆的一条对称轴，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. -1 3．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知圆与圆交于两点，且直线经过线段上靠近的三等分点，则（     ） A. 1 B.  C.  D. 2 4．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）已知圆和点，若点在圆上，且，则实数的最小值是（       ） A.  B. 6 C. -6 D.  5．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（       ） A.  B.  C. 20 D. 15 6．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）当时，圆与圆的位置关系不可能是（     ） A. 内含 B. 相交 C. 外离 D. 外切 8．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）（多选）已知直线与圆（为半径）恒有两个不同的公共点，则下列结论正确的有（       ） A. 直线过定点 B. 半径的取值范围是 C. 当时，线段的长度的最小值为 D. 当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则 9．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）“”是“直线与圆相切”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10．（25-26学年高二上·辽宁营口·期中）（多选）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（     ） A. 圆与圆相切 B. 两圆公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公切线段长为3 D. 有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 12．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于90°，则的取值范围为（   ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的最小值为（     ） A. 4 B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为　　　　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则的范围为是　　　　　　　　　　 16．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，． （1）若，求的斜率； （2）若的斜率为，求的面积． 17．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）过点与圆相切的直线方程为　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； （3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 19．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，现在人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，定点、，动点满足，则的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为圆. （1）求圆的方程. （2）如图，过点斜率为的直线与圆相交于，（点在轴上方），点，是不在直线上的两点，满足平分，平分. （ⅰ）求的取值范围. （ⅱ）将点、、看作一个阿氏圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程. 20．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知点及圆 （1）若直线过点且与圆相切，求直线的方程； （2）设过直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程； （3）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 21．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）设过的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）已知是圆上异于的两点，记分别为直线的斜率.若，请判断直线是否过定点?若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点02 直线的方程 考点03 直线的交点坐标与距离公式 考点04 圆的方程 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点01 直线的倾斜角与斜率 1．C 2．C 3．D 4．C 5．C 6．BC 7．C 8．C 9．BCD 10．【答案】 【分析】 根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】 若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 11．【答案】 【分析】 分别讨论两直线斜率是否存在，存在时两斜率相等解方程即可解得. 【详解】 当时，即时，不满足题意； 当时，即时，不满足题意； 当且时，两直线斜率均存在，需满足， 解得或. 又当时，与重合，不合题意； 当时，与平行，满足题意； 故答案为： 12．【答案】（1）     （2）直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为.      【分析】 （1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. (1) 小问详解： 直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； (2) 小问详解： 直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 13．【答案】（1）；     （2）；     （3）最小值是4，方程为.      【分析】 （1）由直线过定点可得斜率的范围； （2）根据（1）的结论，结合互相垂直两直线斜率的性质进行求解即可； （3）求出，两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值. (1) 小问详解： 直线方程为：：，它过定点，在第二象限， 因此直线不过第四象限，则 ∴的取值范围是； (2) 小问详解： 由（1）知直线l恒过定点， 当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率， 因此直线的斜率，直线的方程为， 所以直线的一般式方程为. (3) 小问详解： 易知，令得，令，得， 即，， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴最小值是4，此时方程为，即. 14．【答案】 【分析】 由直线平行得到，求解并验证即可. 【详解】 由题意可得：， 解得：或， 当时：，，重合，舍去， 当时，，，平行， 所以， 故答案为： 考点02 直线的方程 1．ABC 2．BC 3．A 4．A 5．【答案】 【分析】 利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【详解】 由条件可知，直线不过原点， 设直线，则 ，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为： 6．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）根据已知点的坐标特征，判断，推得的平分线所在直线的倾斜角为，即可写出直线的斜截式方程； （2）先求出直线的斜率，利用垂直关系求出边上的高的斜率，由点斜式求得其方程，整理得直线的一般式方程. (1) 小问详解： 由，易得直线的斜率为0，故其方程为， 直线的斜率不存在，故其方程为，可得， 易知的平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为， 故的平分线所在直线的斜截式方程为. (2) 小问详解： 由可得直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率， 又所求直线经过点，故其方程为， 故边上的高所在直线的一般式方程为. 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）变化主元计算可求直线所过定点； （2）分类讨论结合直线在纵轴上截距及其斜率的大小计算不等式即可. (1) 小问详解： 整理直线的方程,得(, 联立方程组 解得 所以直线恒过的定点的坐标为; (2) 小问详解： 当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意; 当时,, 因为经过第一、二、三象限，所以 ， 解得或, 综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是. 8．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）求出直线的斜率，利用垂直关系求出直线的斜率及方程. （2）按截距是否为0分类，再结合直线的截距式方程求解. (1) 小问详解： 由，得直线的斜率为， 由，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即 (2) 小问详解： 设直线在上的截距为， 当时，直线过原点及点，方程为，即； 当时，直线的方程为，而直线过点，则，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 9．【答案】（1）在轴、轴上的截距分别为；（2）；（3） 【分析】 （1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令和求解即可； （2）法一：由垂直设直线方程，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式即可求解； （3）法一：由倾斜角得到，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线的倾斜角互补，   即可求解 【详解】 解：（1）（方法一）由，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （方法二）令，得， 令，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （2）（方法一）依题意设所求直线方程为， 将点的坐标代入得， 解得， 所以所求直线的方程为. （方法二）因为直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为2， 所以所求直线的方程为， 即（或）. （3）（方法一）因为直线的倾斜角为， 所以， 又直线的斜率为， 所以， 所以直线的倾斜角为. （方法二）因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 所以这两条直线的倾斜角互补， 所以直线的倾斜角为. 10．【答案】 【分析】 因为，所以，根据两角差的正切公式，结合各点坐标，可得的表达式，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】 直线可表示为，可知其过定点. 设，设，注意到， 则， 而， 故| ∠ OPM| =| (| t| -(1) /(2) | t| )/(1+(1) /(2) | t| ^2)| =(| t| )/(t^2+2)≤ (| t| )/(2√2| t| )=(√2)/(4)， 于是，当且仅当时，等号成立， 故答案为：. 11．【答案】（1） 因为直线，即。 令 ，解得 ， 所以直线过定点.     （2） 或     （3） 6，      【分析】 （1）整理可得，进而分析定点； （2）分类讨论直线是否过坐标原点，结合直线的斜率求参数的值，进而可得方程； （3）先求参数的取值范围和截距，进而求面积，结合基本不等式求最值和方程. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为直线， 当直线过原点时满足条件，则，解得， 可得直线的方程为：； 当直线不过原点时，则直线斜率为， 则，解得， 可得直线的方程为：； 综上所述，直线的方程为或. (3) 小问详解： 令，解得，解得； 令，解得，解得或； 综上所述：. 则 ， 当且仅当，即时取等号. 所以（为坐标原点）面积的最小值是6，此时直线方程为. 12．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）方程转化成，由且，得到，再由，得到； （2）由中点坐标公式得到的中点坐标即可求解； （3）法一：由动点在上运动和动点在上运动，由斜率的几何意义即可求解；法二：确定线段的方程为且，设，联立得到，即可求解. (1) 小问详解： 由可得， 令且，解得，， 故直线恒过定点              设，则， 故则， 解得，故 (2) 小问详解： 由于，， 故的中点坐标，则， 故直线方程为，即 (3) 小问详解： 法一：设与轴的交点为， ① 当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当与重合时，， 当在轴上时，，所以.    ② 当动点在上运动时， 由斜率的几何意义可得， 当在轴上时，， 当与重合时，，所以，                     综上可得.             法二：由于，， 得，所以，即 则线段的方程为且③③        设，其中不为0， 得代入③ 化简整理得， 即，且， 令，且， 解得 ，则， 即. 考点03 直线的交点坐标与距离公式 1．B 2．AB 3．B 4．B 5．【答案】 【分析】 利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 6．【答案】 【分析】 法1，求出直线与的交点坐标，利用直线上的点到直线与的距离相等，列式计算得解；法2，利用直线关于特殊直线对称结论求解. 【详解】 （方法1）联立 ，得两直线的交点为， 设直线的方程为， 直线上的点到直线与的距离相等，即， 解得或（舍去），故的方程是. 故答案为：. （方法2：直线关于特殊直线对称）利用直线关于直线的对称直线为. 所以关于直线对称的直线为：，即. 故答案为：. 考点04 圆的方程 1．B 2．D 3．A 4．A 5．ACD 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）整理可得，进而可得，运算求解即可； （2）求圆心到直线的距离，根据题意结合垂径定理列式求解即可. (1) 小问详解： 因为圆的方程为，整理可得， 则，解得， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 由圆的方程为可知圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，则， 即，解得， 且，符合题意，所以. 7．【答案】. 【分析】 本题通过将圆方程化为标准形式，求出半径的取值范围，进而得到周长的取值范围. 【详解】 将圆的方程化为标准形式：，则半径. 圆的周长. 因为，所以，即，故. 故答案为：. 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由垂直关系转化为数量积为，设出点坐标，由坐标运算求解可得； （2）设动点，由已知距离比关系，利用两点间距离公式坐标代入化简整理可得轨迹方程. (1) 小问详解： 由点P在y轴上，设，则， 由，则， 即，解得， 故点P的坐标为. (2) 小问详解： 设，， 由，得，即， 则， ， 则有 化简得，即. 则动点Q的轨迹方程. 9．【答案】（1）     （2）√14     （3）存在；      【分析】 （1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程； （2）利用弦长公式表示，结合函数单调性求解； （3）先设坐标为(b,0)，联立韦达定理，通过为定值写出方程，化简求解即可. (1) 小问详解： 设动点，则，| TO| =√x^2+y^2， 而，故√(x+3)^2+y^2=2√x^2+y^2，化简得：， 故的标准方程为. (2) 小问详解： 设，， 联立 得：， 故x_1+x_2=(2) /(1+k^2),x_1· x_2=(-3)/(1+k^2)， 根据弦长公式得： ， 令k^2=t，t∈ [1,4]，        故| EF| = 2√(4+3t)/(1+t)=2√3+(1) /(1+t)， 设，易知f(t)在t∈ [1,4]上单调递减，故当t=1，f(t)最大， 即 | EF|最大，此时，故（舍）或， 故| EF|最大值为| EF| _ =2√3+(1) /(1+1)=√14. (3) 小问详解： 设点坐标为(b,0)，，，过点的动直线为：. 联立 得：， 故x_3+x_4=(2) /(1+m^2),x_3· x_4=(-3)/(1+m^2)， BP=( x_3-b,y_3)，BQ=( x_4-b,y_4)， 又，位于过点的动直线： 上， 故BP=( x_3-b,mx_3)，BQ=( x_4-b,mx_4). 则， 将x_3+x_4=(2) /(1+m^2),x_3· x_4=(-3)/(1+m^2)代入上式， 得：BP· BQ= (1+m^2)((-3 )/(1+m^2))-b· (2 )/(1+m^2)+b^2=-3-(2b )/(1+m^2)+b^2， 若使为定值，则-(2b )/(1+m^2)+b^2必须为常数， 而且与无关，故此时只能为. 当直线的方程为时，也成立， 故存在点，使得，此时点坐标为. 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．C 2．C 3．C 4．D 5．D 6．C 7．C 8．CD 9．A 10．BCD 11．D 12．C 13．D 14．【答案】 【分析】 确定圆心为，半径，将四边形的面积转化为，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】 ，即，圆心为，半径， ，即最小时，面积最小. ，故四边形面积的最小值为. 故答案为： 15．【答案】 【分析】 根据对称求出直线的方程，利用直线与圆相离求范围. 【详解】 设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ，，且， ，即， 直线， 圆，即， 圆心，半径，， 圆心到直线的距离， 直线与圆相离， ，即，又，解得. 故答案为：. 16．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）设的方程为，利用圆的弦长公式得到方程，解出即可； （2）写出直线方程，利用点到直线的距离公式得到方程，解出，再求出三角形的高，最后利用三角形面积公式即可. (1) 小问详解： 若的斜率为0，则，不合题意． 故设的方程为，点到直线的距离， 又，即，解得， 故的斜率． (2) 小问详解： 由题知． 此时点到直线的距离，解得． 而点到的距离， 又，故的面积． 17．【答案】或 【分析】 直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】 易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 18．【答案】（1）     （2）     （3） 不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.      【分析】 （1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. (1) 小问详解： 设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； (2) 小问详解： 设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 19．【答案】（1）     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）设动点，根据条件建立方程，化简即可求解； （2）（i）根据题设条件得，令，进而有，设，利用点在圆上，得，再结合，即可求解；（ii）根据条件得到在以为定点的阿氏圆上，再结合题设条件求得的坐标，即可求解. (1) 小问详解： 设动点，因为、，又， 得，化简整理得：， 所以圆的方程为. (2) 小问详解： （ⅰ）由， 又，所以，令，则， 设，则有，又直线的斜率，则， 又由，得 ，代入， 得到，即， ∵，则，所以， 又，则，所以， 故的取值范围. （ⅱ）由（ⅰ）有，由阿氏圆定义知在以为定点的阿氏圆上， 设此阿氏圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，整理得到， 又，解得，∴， 又， ∴， 设，则，整理得到， 解得或（舍去）， 由，解得， ， ∴，则直线的方程为，即. 20．【答案】（1）或     （2）或     （3）存在，      【分析】 （1）设直线的斜率为，用点到直线的距离公式得，即求； （2）设MN的中点为，由题可得 ，即得； （3）假设存在，则圆心必在上，由得，再由直线与圆的位置关系可得，即可得出结果. (1) 小问详解： 由得 设直线的斜率为，则方程为. 又圆的圆心为，半径， 由，解得或. 所以直线方程为或， 即直线的方程为或. (2) 小问详解： 设的中点为，则， 又，所以， ,              化简得 （2）（1）得代入（2）得    或                     或 ，                     以为直径的圆的方程为或. (3) 小问详解： 存在实数满足题意 由直线与圆交于，两点， 则圆心到直线的距离，解得.              设符合条件的实数存在， 由于垂直平分弦，故圆心必在上. 所以的斜率，而，所以        由于              故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦. 21．【答案】（1）     （2）或     （3）过定点，      【分析】 （1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，结合弦长公式即可求解. （3）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入，求出与的关系进而可得定点. (1) 小问详解： 设圆的标准方程为， 由已知可得： ，解得：，，， 所以圆的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意可知圆心到直线的距离为. 若直线的斜率不存在，则直线，此时圆心到直线的距离为； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则有，解得，此时直线. 综上，直线的方程为或. (3) 小问详解： 由已知得：直线的斜率必存在，设直线的方程为， 由 消去得， 当时，，（※） 又， 即，代入（※）得， 即，解得，或， 当时，直线的方程为，过定点（舍去）； 当时，直线的方程为，过定点， 故当时，直线过定点. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $