辽宁大连市长海县高级中学2025-2026学年上学期期中考试高二数学试卷

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦直线、圆、椭圆及空间几何，通过基础题与综合题梯度设计，考查逻辑推理、直观想象及数学应用能力，如翻折问题与阿波罗尼奥斯圆体现素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线倾斜角、向量垂直、轨迹判断|基础概念辨析，如第1题斜率与倾斜角关系| |多选题|3/18|直线方向向量、阿波罗尼奥斯圆|选项分层，如第10题结合圆的定义与面积计算| |填空题|3/15|椭圆焦点、对称点求最值|空间向量应用，如第14题平面法向量与线面角| |解答题|5/77|椭圆方程、圆的位置关系、翻折问题|综合探究，如第19题翻折后线面角与二面角计算|

长海县高级中学2025-2026年度上学期期中考试 高二数学试卷 命题：高一数学组 审题：高一数学组 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．直线x-y+1=0的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．设向量，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 4．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．3 B． C．1 D. 5．已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 6. 从点向圆C:引切线,则切线长的最小值为 A． B． C．5 D． 7. A.10 B．11 C．12 D．13 8．已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为109 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个法向量为 C．若直线，则 D．点到直线的距离是2 10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数的点M的轨迹是圆，已知点，M是平面内的一动点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点M的轨迹围成区域的面积为 B．面积的最大值为 C．点M到直线的距离的最大值为 D．若M的轨迹上有四个点到直线的距离为，则实数b的取值范围为 11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知椭圆方程，求两焦点坐标 13．在直线上有一点P，点A（-3，0），B（1，4），求的最小值 . 14．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的法向量为 ；直线与平面所成角的正弦值为 . 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点的坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 16．已知直线和的交点为P． (1)若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： (2)若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 17．如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 18．已知关于的方程. (1)若方程表示圆，求m的取值范围； (2)若圆与圆外切，求的值； (3)若圆与直线相交于两点，且，求的值. 19．如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小； (3)设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 答案第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A B A D C ACD AD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解． 【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，，得． 故选B． 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2．C 【分析】根据空间向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由，得 ∵，， ∴，解得 故选：C 3．D 【分析】根据与的关系判断点的轨迹. 【详解】由题设知， 则动点P的轨迹不存在． 故选：D 4．A 【分析】求出圆心并将其代入直线即可得解. 【详解】由得， 则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称， 故由圆的对称性可知：圆心在直线上， 则. 故选：A 5．B 【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得. 【详解】由题意，, 则与同方向的单位向量为，又, 于是，点A到直线的距离是：. 故选：B. 6．A 【详解】A利用切线长与圆半径的关系加以求解.设切点为M，则CM⊥MP，于是切线MP的长MP=，显然，当时，MP有最小值. 7．D 8．C 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断C 【详解】对于A，和圆， 圆心和半径分别是， 则两圆心中点为， 若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线， 但两圆心中点不在直线上，故A错误； 对于B，到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C正确； 对于D，如图，设关于直线对称点为，    则解得即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D错误. 故选：C 9．ACD 【分析】由直线方向向量的定义判断选项A；由直线法向量与方向向量的位置关系判断选项B；由斜率关系得两直线垂直判断选项C；求点到直线距离判断选项D. 【详解】对于A，因为直线的斜率，所以直线的一个方向向量为，故A正确； 对于B， 直线的一个方向向量为，由，所以不是直线的一个法向量，故B错误； 对于C，因为直线的斜率，且，所以直线与直线垂直，故C正确； 对于D，点到直线的距离，故D正确. 故选：ACD. 10．AD 【分析】对于A，设，先由求出点M的轨迹方程，从而得点M的轨迹圆的半径，再由圆的面积公式即可得解；对于B，先求出，接着求出圆心到直线的距离再加上半径即为的高最大值，进而可求面积最大值；对于C，求出圆心到直线的距离再加上半径即为解；对于D，求出圆心到直线的距离d，令即可计算求解. 【详解】对于A，设，因为，所以， 整理得即， 所以点M的轨迹是圆心为，半径为的圆， 所以点M的轨迹围成区域的面积为.故A正确； 对于B，，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以点M到直线的距离的最大值为， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于C，因为圆心到直线的距离为， 所以点M到直线的距离的最大值为，故C错误； 对于D，圆心到直线的距离为， 要使M的轨迹上有四个点到直线的距离为， 则，解得.故D正确. 故选：AD. 11．ABC 【分析】对于A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于B，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于CD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 【详解】对于A，，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，平面，， ，此时，与所成的角为，异面直线与所成角的取值范围是，故B正确； 对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，， 则，，设平面的法向量， 设平面的法向量， ， 则，即， 令，则，则得， 面与平面所成夹角为， 所以， 因为，，所以，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C正确； 对于D，则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， D错误 故选：ABC 12． 13．6 【分析】求出关于直线的对称点后可求的直线方程，从而可求的坐标. 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线， 故当取最小值6 故答案为：6 14． 【分析】根据材料，易求得平面的法向量；设两个平面的交线的方向向量为，算出题设中来两平面的法向量和，利用和可求得的坐标，再利用空间向量的夹角公式求出线面所成角即得. 【详解】由题意，平面的法向量为； 设直线的一条方向向量为， 因平面的一条法向量为，平面的一条法向量为， 则有故可取， 因平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则. 故答案为：；. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出即可； （2）设椭圆的方程为，再利用待定系数法求解即可. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为， 则，且焦点在轴上， ， 所以， 所以椭圆方程为； （2）设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 16．(1) (2)或 【分析】（1）求出已知直线的交点坐标，根据直线的平行关系，即可求得答案； （2）设直线方程的截距式，由题意列出相应方程组，即可求得答案. 【详解】（1）联立，解得，即， 直线l经过点P且与直线平行， 故设直线l方程为，将代入得， 故直线l方程为； （2）由题意知直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5， 则其在坐标轴的截距不为0，设其方程为， 与两坐标轴的交点分别为，则， 解得或， 故直线m的方程为或， 即或. 17．(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到方程，结合圆的标准方程，得出不等式，即可求解； （2）根据题意，求得圆与圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆相外切，列出方程，即求解； （3）利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由方程，整理得， 因为方程表示圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. （2）由圆，可得， 可得圆心为，半径为， 又由圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，可得，即， 解得. （3）由（2）知，圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆C与直线相交于两点，且， 根据圆的弦长公式，可得， 可得，即，解得. 19．(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【详解】（1）取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. （2）取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. （3）连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $