专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．C 2．B 3．C 4．B 5．ACD 6．BC 7．B 8．AC 9．B 10．B 11．【答案】（1），     （2）     （3）存在点且.      【分析】 （1）由向量加法及减法运算得到，平方后，结合数量积的运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案； （3）由，，是共面向量，存在，，使得即可求解. (1) 小问详解： 由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． (3) 小问详解： 当，可设，， 若，，是共面向量，即存在，，令， 即， 由 ，解得，，， 故存在点且. 考点02 空间向量基本定理 1．AB 2．A 3．A 4．B 5．C 6．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）由向量的线性运算的运算法则计算； （2）由计算求解. (1) 小问详解： 因为，且，，所以， ， . (2) 小问详解： 由题意得， 所以，，， ，   ，              所以              即        计算得 所以. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 9．【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）利用空间向量的坐标运算进行计算即得； （2）先通过空间向量的坐标运算求得，再由数量积得不等式求解即可. (1) 小问详解： 因为，所以， 得 (2) 小问详解： 因为，所以. 解得：或. 10．【答案】 【分析】 根据空间向量垂直的坐标表示求解即可． 【详解】 由， ，解得． 故答案为：． 11．【答案】或 【分析】 设正方体棱长为1，建系，由题意可设，则所求问题转化成向量夹角的余弦值，即，根据已知求n即可． 【详解】 设正方体棱长为1，建系，由题意设，则, ∵和都是单位向量， ． ， 又 ． ． 答案：或 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. (1) 小问详解： ，， ，， . (2) 小问详解： 设与的夹角为，则，        ，，        ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 考点04 空间向量的应用 1．D 2．C 3．AB 4．A 5．B 6．ACD 7．A 8．D 9．BCD 10．D 11．A 12．A 13．ABD 14．C 15．D 16．BCD 17．D 18．ABD 19．【答案】（1）证明：平面，与平面所成角为45°， ，， 又为中点，. 平面，平面，. ，，平面， 平面， ∵平面，， 又，平面， 平面， ∵平面，， ，，，平面， 平面，∵平面， ，，平面， 平面.     （2）      【分析】 （1）由线面角得到，故，证明出，得到⊥平面，，从而平面； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离向量公式求出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 平面，平面， . 又，故两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵，为等边三角形， ∴，∵，∴，， 则，，，， ，， 设平面的法向量为， ，即 取，则，， ，， 点到平面的距离. 20．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）由三角形法则和中点公式求解. （2）由线线角的空间向量求法求解. (1) 小问详解： 因为是的中点， 所以. (2) 小问详解： 如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， ，.                     因为， 所以直线与所成角的余弦值为. 21．【答案】 【分析】 根据题意，得到平面的一个法向量为，再由直线的方向向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】 由平面的方程为，可得平面的一个法向量为， 又由直线的方向向量为， 设直线与平面所成角，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 22．【答案】（1） 证明：过作直线于，连接. 由题知， ，即， 又平面,平面， 又平面， ，即      （2）     （3）      【分析】 （1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解. （3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 方法一：平面平面，平面平面， 平面平面. 以为原点，以的长度为单位长度，以的方向分别为轴，轴，的正 方向建立空间直角坐标系，如图，则. 平面. 为中点，由题知 设， ， ， 又在中，， 所以. 方法二：平面.设，由知，. 平面平面，平面平面平面， 平面，又平面，又， 平面. (3) 小问详解： 由（2）知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 令则， ， 平面与平面所成角的余弦值为. 23．【答案】6 【分析】 建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解. 【详解】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 24．【答案】 【分析】 如图过作于，连接，根据条件可得为直线与平面所成的角，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】 如图过作于，连接， 因为面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 则．又，所以，    故答案为：. 25．【答案】 【分析】 将三棱锥补成为正方体，然后确定出以及的位置，再通过向量法求解出，由此可求的结果. 【详解】 在正三棱锥中，，又， 所以，所以，同理可得，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，令，则，所以， 则点到平面的距离，所以． 故答案为：. 26．【答案】（1） ， ， ， 平面平面， ，又且平面平面， 平面.     （2）      【分析】 （1）通过余弦定理结合勾股定理证明线线垂直，再利用线面垂直判定定理完成证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过法向量夹角公式求解二面角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以A为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，    则各点坐标为， ， 平面的法向量设为， 所以 即 ， 令，则平面的法向量， 平面PAD的法向量设为， 所以 即 ， 令，则平面的法向量， 设平面与平面夹角为， . 27．【答案】 【分析】 由，两边平方进行求解． 【详解】 设向量的夹角为，则， 由题意可得：， 因为， 则， 即，解得， 由，可得， 因为，，平面平面，平面，平面， 故平面与平面的夹角为. 故答案为：. 28．【答案】（1） 在三棱柱中，连接，设，连接，则是的中点， 由为的中点，得，又平面，平面， 所以平面.     （2） 直线与平面相交． 在三棱柱中，取的中点，连接，由为的中点，得， 由为正三角形，且为的中点，得． 由平面，得平面，于是直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则 ，取，得， 而，且，则， 由，得与不垂直，即向量不平行于平面， 因此平面，且与平面不平行， 所以直线与平面相交.      【分析】 （1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 29．【答案】 【分析】 根据已知有，应用空间向量共线的坐标表示列方程求参数，即可得. 【详解】 由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得，所以， 即 ，解得 ，所以. 故答案为： 30．【答案】（1）证明： 在△ABC中，由余弦定理得： AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos∠ABC=32+(2√3)2−2×3×2√3×cos30∘=3， 故AC=√3. 因为AB2+AC2=9+3=12=BC2，所以AC⊥AB. 又PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以PA⊥AC. 因为PA∩AB=A，且PA,AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.     （2）      【分析】 （1）通过余弦定理结合勾股定理证明线线垂直，再利用线面垂直判定定理完成证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过法向量夹角公式求解二面角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则，，，，. 由，，，可得. ，. 设平面的法向量为，则 ， 令，得. ，. 设平面的法向量为， 则 ，令，得. 设平面与平面夹角为， 则. 31．【答案】（1） 证明：因为平面平面CDE， 所以平面CDE.     （2）（i）； （ii）证明：同上建系，设平面CDE的法向量为， 则 ,令，得.      设平面CDE与平面BCE的夹角为， 由， 所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于       .      【分析】 （1）直接运用线面平行的判定定理证明即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而找到向量坐标，再利用直线与平面所成角的向量公式求解；（ii）求出两个平面的法向量，再利用两平面夹角的向量公式求出夹角的余弦值，再比较大小. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,      则.        设平面BCE的法向量为，则 ， 令，得.        （i）设直线AD与平面BCE所成角为 ， 因为，所以， 所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.        （ii）略 32．【答案】（1）证明见解析     （2）     （3）存在，P点在A点处时平面与平面的夹角为45°.      【分析】 （1）利用中位线和平行四边形证明线线平行，然后得到线面平行； （2）证明三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求得面的法向量，然后由直线所在向量与法向量的夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值； （3）由（2）求出平面的法向量，设点坐标，由空间向量求得平面的法向量，由两个面的法向量夹角的余弦值的绝对值求等于面面角的余弦值建立方程，解得点坐标，即可知道点的位置. (1) 小问详解： 取中点，连接 ∵四边形为矩形，∴点为中点， ∴且， 又∵且，∴且， ∴四边形为平行四边形，即， ∵平面，∴平面. (2) 小问详解： ∵，且平面平面，平面平面， ∴平面， 又∵平面，∴， 故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， ∴，，，，， ，，， 设为平面的一个法向量， 则 ，解得 ，即， 设直线与平面所成角为， 则 (3) 小问详解： 由（2）可知平面的一个法向量为， 设存在，则，， 设平面的一个法向量为， 则 ，解得 ，即， 则， ∴，即， 所以存在符合题意的点P，当P点在A点处时平面与平面的夹角为45°. 33．【答案】（1） 由题意，在图1中，，，，，， 则在图2中，， ，，， 因为平面， 所以平面，而，则， 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 所以，即.     （2）；     （3）存在，点在线段的延长线上，且.      【分析】 （1）先证明平面，结合建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可； （2）求出和平面的一个法向量的坐标，进而结合线面角的公式求解即可； （3）先假设存在，设，利用空间向量验证求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）及为的中点， 则，，，， 设平面的一个法向量， 则 ，即 ， 令，得， 设与平面所成的角为， 所以. (3) 小问详解： 假设直线上存在点，使平面与平面垂直，设， 由（1）知，，， 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ，令，得， 而平面的一个法向量为， 由于平面平面， 当且仅当，即时成立， 所以直线上存在点，使平面与平面垂直， 此时点在线段的延长线上，且. 34．【答案】（1）① 证明： 由于，分别为，的中点 ，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； ②；     （2）存在，当或时，使得直线与平面所成的角为60°.      【分析】 （1）① 根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论；由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则建立空间直角坐标系，由点面距离的向量法即可求解② ； （2）利用线面角的向量求法可求得. (1) 小问详解： ① 略 ②， ，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角， ； 取中点，连接，如图， ，， ， ， ， ， ，，又平面，， 平面， 平面， ， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，，， ，， 设平面的法向量，则 ， 令，则，，， ， 故点到平面的距离为， (2) 小问详解： 设，则，，， 设平面的法向量，则 ， 令，则，，， 直线与平面所成的角为60°， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为60°. 35．【答案】（1） 取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为，则 ， 设，则，，可得， 又因为，则，可得. 且平面，所以平面.     （2）      （3） 存在，线段的长为      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角的余弦值，进而可得正弦值； （3）设，由线面角的向量求法求出，得到坐标，求出长度. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，， 设平面的一个法向量为，则 ， 设，则，，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 可得， 所以平面与平面夹角正弦值为. (3) 小问详解： 设， 则，可得， 因为平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为. 36．【答案】（1） ，是.的中点，， 又平面，平面   平面，        平面，平面面，，        ，平面面，平面平面， 平面，                     平面；     （2）      【分析】 （1）由面面垂直的性质定理证明平面，结合可证； （2）设，由向量法表示直线与直线所成的角求出，再利用向量法求解所求角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，平面平面 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，                     则点在平面内，，，，，， 则，，， 设， 则点坐标为，，， ，解得，        则点坐标为，知，， 设平面的法向量， 即 ，即 ，取，可得；              设平面法向量为， 则 ，即 ，取，可得；        ，              即平面与平面所成角的余弦值为.        37．【答案】（1） 由题意，得为的中点，且点是线段的中点， 故是的中位线，故． 又平面，而平面， 故平面．     （2）.      【分析】 （1）利用三角形中位线的性质得，再利用线面平行的判定即可证明； （2）首先利用椎体体积公式得高为2，设，求出相关向量和平面法向量，写出线面角的正弦值表达式，再利用二次函数性质即可求出最值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，以点为坐标原点，的方向分别为，轴正方向， 垂直于平面向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 由题意可知，． 设四棱锥的高为，由体积公式易有，解得． 又平面平面，且平面平面， 故点在平面内的投影落在直线上． 设点，，则． 由题，为线段上一点，因此点，，三点共线， 即等价于求直线与平面所成角的最大值， 设平面的法向量为．又． 则 即 ， 令，可得平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为． 则． 故当时，取得最小值8，此时取得最大值， 又，由正弦函数单调性可知，此时取得最大值， 即直线与平面所成角的最大值为． 38．【答案】（1） 在中，，，所以， 所以在四棱锥中，，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以.     （2）      （3）       【分析】 （1）先证明平面，从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直； （2）先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的法向量，从而得到两平面夹角的余弦值； （3）先建立空间直角坐标系，并设出点和的坐标，通过垂直得出关系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式得，从而利用对勾函数单调性和正弦函数性质求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当四棱锥的体积取得最大值时，平面平面. 又平面平面，，平面， 所以平面， 故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，    则，，，，，所以. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以 ，令，解得，， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以 ， 令，解得，所以平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 以为坐标原点，直线和分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，设，，，，，    ，， 又，所以，解得， 则，则， 又，所以， 整理得，且，，得. 易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上单调递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（     ） A. 空间中任意两个单位向量都相等 B. 空间中零向量的方向是确定的 C. 空间中相反向量的模长相等 D. 空间中共线的向量必在同一条直线上 2．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（       ） A. 1， B. ，0 C. 0，1 D. 0，0 3．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（       ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）（多选）在正六棱柱中，点满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）（多选）关于空间向量，下列说法正确的是（       ） A. 若三个向量所在的直线两两共面，则三个向量一定也共面 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是锐角 7．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）在棱长为的正四面体中，若，则（       ） A. 2 B.  C. 1 D.  8．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）（多选）下列命题中，正确的是（     ） A. 若空间三个向量，满足，则向量共面 B. 若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底 C. 在四面体中，若，则 D. 已知四点共面，对平面ABC外的任意一点，若，则 9．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）正方体 的棱长为2， M为的中点， 下列命题中错误的是（     ） A. 与成60°角 B. 若 平面交CD于点H，则 C. 若P点在正方形边界及内部运动，且MP⊥，则P点的轨迹长等于 D. 若点E，F分别在上，且 直线EF与，所成的角分别是、β，则 10．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）已知正方体的棱长为2，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． （1）用表示，并求； （2）求与夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由． 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）（多选）在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 3．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（     ） A.  B.  C. 3 D. 5 4．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知在正方形中，，点在边上，且，把沿折起，使得点到达点处，.设，， （1）用，，表示； （2）求. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）设空间向量，则（       ） A. 6 B. 9 C. -6 D. -9 3．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（       ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 相交但不垂直 4．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知，，，点在平面内，则的值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知空间向量，若，则（       ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 6．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，则与的位置关系是（     ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 相交但不垂直 7．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）已知向量，，则为（     ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 8．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）已知空间向量，，共面，则（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 9．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）已知. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 10．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）已知向量，若，则　　　　　. 11．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）在正方体中，以D为圆心，正方体棱长为半径，分别在正方形ABCD和正方形内画圆，点M为弧AC上任一点，点N为弧上任一点，点M，N到平面的距离相等，且，则　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 考点04 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）九棱柱的棱数为（       ） A. 10 B. 18 C. 24 D. 27 2．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. 每个棱柱至少有两个面互相平行 B. 垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直 C. 平行于同一个平面的两条直线不可能互相垂直 D. 若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 4．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）（多选）在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（     ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积不是定值 C. 若正方体的棱长为2，点M在线段BC上运动，则点M到平面的距离最小值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 7．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）把正方形沿对角线折成二面角，若，，，四点均在球的球面上，球的表面积为，且，则二面角的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）（多选）如图，正方体，、、、分别为，，，的中点，则下列选项正确的是（       ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与平面垂直 C. 点在线段上运动，则三棱锥的体积是定值 D. 二面角的余弦值为 10．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）如图，已知在长方体中，，，点，分别在棱和上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）（多选）如图几何体是由正方形以直线为轴旋转90°得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则下列结论正确的是（     ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得直线与平面的所成角的正切值为 C. 不存在点，使得平面平面 D. 不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 14．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）如图，把正方形纸片沿对角线折成60°的二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知高为2的斜三棱柱中，在底面上的射影为点，且四边形是边长为2的正方形．设分别为的中点，则（     ） A.  B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 17．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知半径为2的球与平面相切，球面上两点满足，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）（多选）已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，，则平面 C. 平面与平面夹角的大小与，，都有关 D. 若，则点P到平面的距离是 19．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若，求点到平面的距离. 20．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点.    （1）试用向量，，表示向量； （2）求直线与所成角的余弦值. 21．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）在空间直角坐标系中，设是平面内的任意一点，若平面经过点，且以为法向量，则由，可得，此即为平面的点法式方程.利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为　　　　　　　　　　　. 22．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上. （1）求证：； （2）若平面，求的值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值. 23．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为　　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为　　　　　　． 25．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）如图，已知四棱锥的底面为梯形，底面，且是的中点．    （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 27．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为　　　　　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． （1）求证：平面； （2）若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 29．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为　　　　　　　　　　. 30．（25-26学年高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）如图，已知四棱锥的底面为梯形，，，底面，，，，是的中点. （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 31．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）在四棱锥中，底面. （1）证明：平面CDE. （2）设. （i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值； （ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于. 32．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为45°？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 33．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）如图1，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2. （1）证明：； （2）若为的中点，求直线与平面的夹角正弦值； （3）直线上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在，写出点的位置；若不存在，说明理由. 34．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知正方形的边长为2，，分别为，的中点，沿将四边形折起，使得，为线段上一点. （1）如图（一），若为线段中点，设直线与直线的交点为， ①证明：∥平面； ②求点到平面的距离； （2）如图（二），是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由. 35．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 36．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值. 37．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是边长为2、中心为0的正方形，为平面外一动点，满足平面平面，且四棱锥的体积为．设线段的中点为为线段上一动点（不包含端点）．    （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的最大值． 38．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点.    （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（     ） A. 空间中任意两个单位向量都相等 B. 空间中零向量的方向是确定的 C. 空间中相反向量的模长相等 D. 空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【分析】 根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】 相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 2．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（       ） A. 1， B. ，0 C. 0，1 D. 0，0 【答案】B 【分析】 根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】 ，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 3．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由空间向量的加减法运算的几何表示和数乘关系即可得到答案. 【详解】 . 故选：C. 4．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（       ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【分析】 根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】 因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组 . 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 5．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）（多选）在正六棱柱中，点满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 对A，根据条件，利用正六棱柱的性质，即可求解；对B和C，利用正六棱柱的性质和空间向量的运算律，即可求解；对D，利用正六棱柱的性质、空间向量的运算律及空间向量数量积的定义，即可求解. 【详解】 对于选项A，因为，所以， 又由正六棱柱的性质知，所以，故A正确， 对于选项B，由正六棱柱的性质知，， 则，所以B错误， 对于选项C，由图知，又， 由正六棱柱的性质及选项A知，， 所以，故C正确， 对于选项D，因为， 又，，所以， 又因为平面，所以， 则， 又在正六边形中，易知，所以， 则，所以D正确，    故选：ACD. 6．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）（多选）关于空间向量，下列说法正确的是（       ） A. 若三个向量所在的直线两两共面，则三个向量一定也共面 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若，则是锐角 【答案】BC 【分析】 根据共面向量定理，以及空间向量基底的定义，以及数量积的定义，即可判断选项. 【详解】 若三个向量所在的直线交于同一点，比如三棱锥的三条侧棱，这时三个向量不共面，故A错误； 若对空间中任意一点，有，其中，所以四点共面，故B正确； 若向量是空间的一个基底，则不存在实数使，所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确； 若，则或锐角，故D错误. 故选：BC 7．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）在棱长为的正四面体中，若，则（       ） A. 2 B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 利用基底法结合空间向量数量积的运算律可求的值. 【详解】 设正四面体的棱长为. 由正四面体结构性质可知， 而 故， 故选：B. 8．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）（多选）下列命题中，正确的是（     ） A. 若空间三个向量，满足，则向量共面 B. 若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底 C. 在四面体中，若，则 D. 已知四点共面，对平面ABC外的任意一点，若，则 【答案】AC 【分析】 利用空间向量共面的基本定理判断A、B；应用向量数量积的运算律转化已知条件判断C；由空间向量共面的推论判断D. 【详解】 A：由题设，根据空间向量的共面定理知向量共面，对； B：由，即共面，故不能构成基底，错； C：由， 又，则，对； D：由四点共面，对空间任意一点，则有， 所以，则，错. 故选：AC 9．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）正方体 的棱长为2， M为的中点， 下列命题中错误的是（     ） A. 与成60°角 B. 若 平面交CD于点H，则 C. 若P点在正方形边界及内部运动，且MP⊥，则P点的轨迹长等于 D. 若点E，F分别在上，且 直线EF与，所成的角分别是、β，则 【答案】B 【分析】 由图建立空间直角坐标系，对于A，利用向量法求得，即可判断；对于B，利用空间向量共面定理求出点,即得；对于C，经推理计算得到点的轨迹长为线段的长度，计算即可判断；对于D，利用空间向量夹角公式分别计算、β，即可判断结论. 【详解】 对于A，如图建立空间直角坐标系，则 . 则， ，因， 故，即与成60°角，故A正确； 对于B，由可得，即， 设，则， 由题意，四点共面，故存在，使得， 则得 ，解得 ，即，，则，故B错误； 对于C，设，则， 由，可得， 故P点的轨迹长为线段的长度，为，故C正确； 对于D，因点E，F分别在上，且 ， 则， ， 则，则，因， 则，故； ，故，则有，故D正确. 故选：B. 10．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）已知正方体的棱长为2，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 正方体的中心为，由正方体的棱长求出外接球和内切球的半径，由得到是正方体内切球的直径，从而得到，利用向量的三角形加法法则得到和，求解即可. 【详解】 设正方体外接球半径为，内切球半径为，正方体的中心为，则， 所以，所以，即， 因为，所以是正方体内切球的直径，所以， 所以 . 故选：B. 11．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，． （1）用表示，并求； （2）求与夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由． 【答案】（1），     （2）     （3）存在点且.      【分析】 （1）由向量加法及减法运算得到，平方后，结合数量积的运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案； （3）由，，是共面向量，存在，，使得即可求解. (1) 小问详解： 由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． (3) 小问详解： 当，可设，， 若，，是共面向量，即存在，，令， 即， 由 ，解得，，， 故存在点且. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）（多选）在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D． 【详解】 因为D，E分别为棱PB，AC的中点， 所以，A正确，C错误. 因为，且，， 所以，B正确. ，D错误. 故选：AB． 2．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】A 【分析】 根据四面体的性质，结合向量加减法求向量的数量积． 【详解】 四面体的棱长都是4， 四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， 点M为棱的中点， ， ， 故选：A． 3．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（     ） A.  B.  C. 3 D. 5 【答案】A 【分析】 用空间的一个基底表示，再利用向量数量积的运算律求出模即可. 【详解】 在平行六面体中，取为空间的一个基底， 由，，得， ，而， 因此. 故选：A 4．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 可设，利用坐标运算得出方程组，根据其解的情况来判断. 【详解】 当时，， 假设，显然无解， 则不共面，A不符合题意； 假设， 则， 当时，方程组为，，解得， 故，则共面，B符合题意； 当时，方程组为，无解， 故不共面，可构成空间向量的一组基底，C不符合题意； 当时，方程组为，无解， 故不共面，可构成空间向量的一组基底，D不符合题意. 故选：B． 5．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据向量的线性运算可得，结合空间向量基本定理可求，从而得相应的坐标. 【详解】 依题意可知， 设向量在基底下的坐标为， 即， 则， 由空间向量基本定理得， ，解得 . 故选：C. 6．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知在正方形中，，点在边上，且，把沿折起，使得点到达点处，.设，， （1）用，，表示； （2）求. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）由向量的线性运算的运算法则计算； （2）由计算求解. (1) 小问详解： 因为，且，，所以， ， . (2) 小问详解： 由题意得， 所以，，， ，   ，              所以              即        计算得 所以. 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】 由题意知，. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）设空间向量，则（       ） A. 6 B. 9 C. -6 D. -9 【答案】B 【分析】 根据向量平行，列等式求解即可. 【详解】 因为AB//CD，所以(x)/(y)=(1) /(3) =(x-1)/(6)，解得 故选：B. 3．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（       ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 相交但不垂直 【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明求解即得. 【详解】 平面的法向量，直线的方向向量， 由，得与不平行，则直线不垂直于平面； 由，得与不垂直，则直线，且不平行于平面， 所以与的位置关系是相交但不垂直. 故选：D 4．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知，，，点在平面内，则的值为（       ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先求出，，，即可判断与不共线，从而得到，根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】 因为，，，， 所以，，， 因为不存在实数使得，所以与不共线， 又点在平面内，所以， 即， 所以 ，解得 . 故选：C 5．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知空间向量，若，则（       ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【分析】 先求出的坐标，再根据空间向量的模的坐标公式求出即可得解. 【详解】 由已知得，则， 即，可得，因此. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，则与的位置关系是（     ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 相交但不垂直 【答案】D 【分析】 分析平面法向量与直线方向向量的位置关系，判断直线与平面的位置关系. 【详解】 因为直线l的方向向量，平面的法向量， 所以， 所以与不垂直，故直线与平面不平行，也不可能在平面内； 同时不存在常数使得，即， 即直线的方向向量与平面的法向量不共线，所以直线不垂直于平面， 所以直线与相交但不垂直. 故选：D. 7．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）已知向量，，则为（     ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【分析】 先求的坐标，再求向量模即可求解. 【详解】 由题意有：， 所以. 故选：B. 8．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）已知空间向量，，共面，则（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 由空间向量的共面定理，代入计算，即可得到结果. 【详解】 由共面可知，存在实数使得， 即， 所以 ，解得 . 故选：A 9．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）已知. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）或.      【分析】 （1）利用空间向量的坐标运算进行计算即得； （2）先通过空间向量的坐标运算求得，再由数量积得不等式求解即可. (1) 小问详解： 因为，所以， 得 (2) 小问详解： 因为，所以. 解得：或. 10．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）已知向量，若，则　　　　　. 【答案】 【分析】 根据空间向量垂直的坐标表示求解即可． 【详解】 由， ，解得． 故答案为：． 11．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）在正方体中，以D为圆心，正方体棱长为半径，分别在正方形ABCD和正方形内画圆，点M为弧AC上任一点，点N为弧上任一点，点M，N到平面的距离相等，且，则　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 设正方体棱长为1，建系，由题意可设，则所求问题转化成向量夹角的余弦值，即，根据已知求n即可． 【详解】 设正方体棱长为1，建系，由题意设，则, ∵和都是单位向量， ． ， 又 ． ． 答案：或 12．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. (1) 小问详解： ，， ，， . (2) 小问详解： 设与的夹角为，则，        ，，        ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 考点04 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）九棱柱的棱数为（       ） A. 10 B. 18 C. 24 D. 27 【答案】D 【分析】 根据棱柱的特征得到答案. 【详解】 九棱柱上下底面均为九边形，侧棱有9条，故棱数为． 故选：D 2．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设，则二面角的大小为，根据，展开计算可得，即可求解. 【详解】 设，则二面角的大小为， 由题意，，则， 所以， 即，得，所以， 即二面角的大小为. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）（多选）下列命题为真命题的是（       ） A. 每个棱柱至少有两个面互相平行 B. 垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直 C. 平行于同一个平面的两条直线不可能互相垂直 D. 若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 【答案】AB 【分析】 根据空间中线面，面面之间的位置关系逐一判断即可. 【详解】 对于A，每个棱柱的底面互相平行，A为真命题； 对于B，垂直于同一个平面的两个平面可能互相垂直，B为真命题； 对于C，平行于同一个平面的两条直线可能互相垂直，C为假命题； 对于D，在长方体中，三点到平面的距离都相等， 但平面与平面并不平行，D为假命题． 故选：AB. 4．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】 因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：A . 5．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】 两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）（多选）在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（     ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积不是定值 C. 若正方体的棱长为2，点M在线段BC上运动，则点M到平面的距离最小值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法证明线面垂直即可判断A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可判断B，利用点面距离的向量公式求解距离，然后利用一次函数性质求解最值判断C，利用向量法可求线面角的正弦值，再利用二次函数性质求解最值判断D. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨取正方体的棱长为2， ，，，， ，，，，  对于A：，， ， 所以，，且， 所以是平面的一个法向量，即直线平面，故A正确； 对于B：因为，平面，平面， 所以平面，因为点在线段上运动， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故由等体积法可知三棱锥的体积为定值，故B错误； 对于C：设，则， 由A选项可知平面的一个法向量为， 故点M到平面的距离为， 因为，所以． 即点M到平面的距离最小值为，故C正确； 对于D：设，则，， 由A选项可知平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值， 且最大值为，故D正确. 故选：ACD 7．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）把正方形沿对角线折成二面角，若，，，四点均在球的球面上，球的表面积为，且，则二面角的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据正方形特征得出，再应用二面角定义得出平面角为，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】 取为的中点，则. 设球的半径为，则，得，则. 因为，， 所以二面角的平面角为. 由，得. 故选：A. 8．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 建立空间直角坐标系，求，，利用空间向量求异面直线夹角的余弦值. 【详解】 由题意可知：，平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为点为线段的中点，则， 可得，， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 故选：D. 9．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）（多选）如图，正方体，、、、分别为，，，的中点，则下列选项正确的是（       ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与平面垂直 C. 点在线段上运动，则三棱锥的体积是定值 D. 二面角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】 取的中点，的中点，连接、、、、、，，即可证明、、、、、在一个平面内，即可判断A，建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，即可判断B，证明平面，即可判断C，求出平面、的法向量，利用向量法判断D. 【详解】 对于A：取的中点，的中点，连接、、、、、，， 因为、、、分别为，，，的中点， 所以，，所以，所以、、、四点共面； 又，，所以，所以、、、四点共面； 综上可得、、、、、在一个平面内，所以直线与直线共面，故A错误； 对于B：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，即，， 又，平面，所以直线平面，故B正确； 对于C：连接，所以，又平面，平面， 所以平面，又点在线段上运动， 所以点到平面的距离为定值，设为，又的面积为定值， 所以为定值，即三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D：由B可知平面的法向量为，又平面的法向量， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以，所以二面角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD 10．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 建立空间直角坐标系求异面直线，所成角的余弦值即可. 【详解】 解：连接，，，并且，的中点为， 因为底面是菱形，所以， 又因为四棱柱为直四棱柱， 所以底面， 又因为，所以底面， 所以，. 以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 则，，，，， 于是，，， 所以，， 设异面直线，所成角为， 则. 故选：D 【点睛】 11．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 求出点的坐标，利用空间向量基本定理可得，再结合模长及数量积运算律求出的余弦值即可. 【详解】 直线上的横坐标分别为的点， 给定的图形中，轴于点C，轴于点D，则， 又，， ，则 ，解得，而，所以. 故选：A. 12．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）如图，已知在长方体中，，，点，分别在棱和上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.    已知得，， 因为点在棱上，且，， 所以，，则. ，，， 所以， 则. 直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A 13．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）（多选）如图几何体是由正方形以直线为轴旋转90°得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则下列结论正确的是（     ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得直线与平面的所成角的正切值为 C. 不存在点，使得平面平面 D. 不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】 先将图形补全为一个正方体，然后建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算对各选项进行判定即可. 【详解】 由题意，可将几何体补全为一个正方体，建立空间直角坐标系，如图所示，    设正方体棱长为2，则，，设， 对于A：设存在点，使得平面，因为， 所以 ， 由，所以， 即当点与点重合时，平面，故A正确； 对于B：设存在点，使得直线与平面的所成角的正切值为， 设直线与平面的所成角为，即，， 又，所以，又，解得， 又，， 则， 整理得，令， 可知在上的图象是连续的， ， 所以存在，使得， 所以存在点，使得直线与平面的所成角的正切值为，故B正确； 对于C：设存在点，使得平面平面， 则， 而，平面的一个法向量为， 所以 ， 又，则，即当点为的中点时，平面平面，故C错误； 对于D：设平面的法向量为， 因， 所以 ，令，则 可得，故， 假设存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，， 所以， 所以或 ， 因为，则，而， 故当时，或 均无解， 综上所述，不存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 14．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）如图，把正方形纸片沿对角线折成60°的二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，则折纸后的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由二面角的定义得到二面角，设正方形边长，求得长，然后由向量表示，表示，然后求得的数量积，即可求出向量夹角的余弦值，即的余弦值. 【详解】 如图，连接， 在正方形中，，∴，， ∵平面平面， 即二面角，即， 设正方形边长为，则，，    ， ∴ . 故选：C. 15．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 建立空间坐标系，设棱柱高，求出平面的法向量，令，求出的值. 【详解】 以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，    设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则 ，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得. 故选：D. 16．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知高为2的斜三棱柱中，在底面上的射影为点，且四边形是边长为2的正方形．设分别为的中点，则（     ） A.  B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与直线所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】 利用空间向量法，结合坐标运算，向量共线的坐标运算和向量垂直的坐标运算来确定各选项. 【详解】 正方形的边长为2，则是以为直角顶点的等腰直角三角形. 以点为原点，以的方向分别为轴，轴正方向， 过点且垂直于底面的直线为轴，向上为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，    则，由四边形是正方形，得， 因为顶点在底面上的射影是点，且棱柱的高为2，所以. 故，则，则， 则，， 故直线与不垂直，A错误. 由.设平面的法向量为. 由，得， 由，得，取，得. 由于，因此向量与共线，也即直线垂直于平面，B正确. 三棱锥的体积等价于三棱锥的体积，， 三棱锥的高即到平面的距离，等于1. 故，C正确. ，设直线与的夹角为， 则，故D正确. 故选：BCD. 17．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）已知半径为2的球与平面相切，球面上两点满足，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 建立空间直角坐标系，可得球的方程为，设的坐标为，的坐标为，结合向量的运算求得，可求结论. 【详解】 过点得平面的垂线为，在平面内作两条互相垂直的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则球的方程为， 因为点到的距离为3，所以设的坐标为，所以， 设的坐标为，则，， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又由平面向量知识可得， 所以， 又因为，所以， 所以，两边平方得， 所以，所以， 解得，所以， 所以点到平面距离的最大值为. 故选：D. 18．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）（多选）已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，，则平面 C. 平面与平面夹角的大小与，，都有关 D. 若，则点P到平面的距离是 【答案】ABD 【分析】 建系标点，根据题意可得．对于A：利用向量可得，即可判断垂直；对于B：利用向量可得，进而判断线面平行；对于C：分别求平面与平面的法向量，利用向量求面面夹角的余弦值即可判断；对于D：求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】 如图，以点A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，，，， 可得，，， 则，即． 对于选项A：若，，即， ，， 则，故，即A正确； 对于选项B：若，，则，， 因为，可知， 且平面，平面，所以平面，故B正确； 对于选项C：设平面的法向量，则 令，则，可得， 又因为平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为， 即平面与平面夹角的大小与无关，故C错误； 对于选项D：设平面的法向量为， 因为，，可得 ，即 ， 取，可得，，可得是平面的一个法向量， 因为，则点到平面的距离为， 又因为，可得，故D正确． 故选：ABD． 19．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，平面，与平面所成角为45°. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：平面，与平面所成角为45°， ，， 又为中点，. 平面，平面，. ，，平面， 平面， ∵平面，， 又，平面， 平面， ∵平面，， ，，，平面， 平面，∵平面， ，，平面， 平面.     （2）      【分析】 （1）由线面角得到，故，证明出，得到⊥平面，，从而平面； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离向量公式求出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 平面，平面， . 又，故两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵，为等边三角形， ∴，∵，∴，， 则，，，， ，， 设平面的法向量为， ，即 取，则，， ，， 点到平面的距离. 20．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，是的中点.    （1）试用向量，，表示向量； （2）求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）由三角形法则和中点公式求解. （2）由线线角的空间向量求法求解. (1) 小问详解： 因为是的中点， 所以. (2) 小问详解： 如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， ，.                     因为， 所以直线与所成角的余弦值为. 21．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）在空间直角坐标系中，设是平面内的任意一点，若平面经过点，且以为法向量，则由，可得，此即为平面的点法式方程.利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，得到平面的一个法向量为，再由直线的方向向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】 由平面的方程为，可得平面的一个法向量为， 又由直线的方向向量为， 设直线与平面所成角，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 22．（25-26学年高二上·辽宁七校协作体·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上. （1）求证：； （2）若平面，求的值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：过作直线于，连接. 由题知， ，即， 又平面,平面， 又平面， ，即      （2）     （3）      【分析】 （1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解. （3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 方法一：平面平面，平面平面， 平面平面. 以为原点，以的长度为单位长度，以的方向分别为轴，轴，的正 方向建立空间直角坐标系，如图，则. 平面. 为中点，由题知 设， ， ， 又在中，， 所以. 方法二：平面.设，由知，. 平面平面，平面平面平面， 平面，又平面，又， 平面. (3) 小问详解： 由（2）知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 令则， ， 平面与平面所成角的余弦值为. 23．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为　　　　　　　　　　　. 【答案】6 【分析】 建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解. 【详解】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为　　　　　　． 【答案】 【分析】 如图过作于，连接，根据条件可得为直线与平面所成的角，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】 如图过作于，连接， 因为面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 则．又，所以，    故答案为：. 25．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将三棱锥补成为正方体，然后确定出以及的位置，再通过向量法求解出，由此可求的结果. 【详解】 在正三棱锥中，，又， 所以，所以，同理可得，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，令，则，所以， 则点到平面的距离，所以． 故答案为：. 26．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）如图，已知四棱锥的底面为梯形，底面，且是的中点．    （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） ， ， ， 平面平面， ，又且平面平面， 平面.     （2）      【分析】 （1）通过余弦定理结合勾股定理证明线线垂直，再利用线面垂直判定定理完成证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过法向量夹角公式求解二面角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以A为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，    则各点坐标为， ， 平面的法向量设为， 所以 即 ， 令，则平面的法向量， 平面PAD的法向量设为， 所以 即 ， 令，则平面的法向量， 设平面与平面夹角为， . 27．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由，两边平方进行求解． 【详解】 设向量的夹角为，则， 由题意可得：， 因为， 则， 即，解得， 由，可得， 因为，，平面平面，平面，平面， 故平面与平面的夹角为. 故答案为：. 28．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． （1）求证：平面； （2）若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】（1） 在三棱柱中，连接，设，连接，则是的中点， 由为的中点，得，又平面，平面， 所以平面.     （2） 直线与平面相交． 在三棱柱中，取的中点，连接，由为的中点，得， 由为正三角形，且为的中点，得． 由平面，得平面，于是直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则 ，取，得， 而，且，则， 由，得与不垂直，即向量不平行于平面， 因此平面，且与平面不平行， 所以直线与平面相交.      【分析】 （1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据已知有，应用空间向量共线的坐标表示列方程求参数，即可得. 【详解】 由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得，所以， 即 ，解得 ，所以. 故答案为： 30．（25-26学年高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）如图，已知四棱锥的底面为梯形，，，底面，，，，是的中点. （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明： 在△ABC中，由余弦定理得： AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos∠ABC=32+(2√3)2−2×3×2√3×cos30∘=3， 故AC=√3. 因为AB2+AC2=9+3=12=BC2，所以AC⊥AB. 又PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以PA⊥AC. 因为PA∩AB=A，且PA,AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.     （2）      【分析】 （1）通过余弦定理结合勾股定理证明线线垂直，再利用线面垂直判定定理完成证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过法向量夹角公式求解二面角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则，，，，. 由，，，可得. ，. 设平面的法向量为，则 ， 令，得. ，. 设平面的法向量为， 则 ，令，得. 设平面与平面夹角为， 则. 31．（25-26学年高二上·辽宁抚顺·期中）在四棱锥中，底面. （1）证明：平面CDE. （2）设. （i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值； （ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于. 【答案】（1） 证明：因为平面平面CDE， 所以平面CDE.     （2）（i）； （ii）证明：同上建系，设平面CDE的法向量为， 则 ,令，得.      设平面CDE与平面BCE的夹角为， 由， 所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于       .      【分析】 （1）直接运用线面平行的判定定理证明即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而找到向量坐标，再利用直线与平面所成角的向量公式求解；（ii）求出两个平面的法向量，再利用两平面夹角的向量公式求出夹角的余弦值，再比较大小. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,      则.        设平面BCE的法向量为，则 ， 令，得.        （i）设直线AD与平面BCE所成角为 ， 因为，所以， 所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为.        （ii）略 32．（25-26学年高二上·辽宁阜新·期中）如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为45°？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析     （2）     （3）存在，P点在A点处时平面与平面的夹角为45°.      【分析】 （1）利用中位线和平行四边形证明线线平行，然后得到线面平行； （2）证明三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求得面的法向量，然后由直线所在向量与法向量的夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值； （3）由（2）求出平面的法向量，设点坐标，由空间向量求得平面的法向量，由两个面的法向量夹角的余弦值的绝对值求等于面面角的余弦值建立方程，解得点坐标，即可知道点的位置. (1) 小问详解： 取中点，连接 ∵四边形为矩形，∴点为中点， ∴且， 又∵且，∴且， ∴四边形为平行四边形，即， ∵平面，∴平面. (2) 小问详解： ∵，且平面平面，平面平面， ∴平面， 又∵平面，∴， 故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， ∴，，，，， ，，， 设为平面的一个法向量， 则 ，解得 ，即， 设直线与平面所成角为， 则 (3) 小问详解： 由（2）可知平面的一个法向量为， 设存在，则，， 设平面的一个法向量为， 则 ，解得 ，即， 则， ∴，即， 所以存在符合题意的点P，当P点在A点处时平面与平面的夹角为45°. 33．（25-26学年高二上·辽宁朝阳建平县高级中学·期中）如图1，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2. （1）证明：； （2）若为的中点，求直线与平面的夹角正弦值； （3）直线上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在，写出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 由题意，在图1中，，，，，， 则在图2中，， ，，， 因为平面， 所以平面，而，则， 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 所以，即.     （2）；     （3）存在，点在线段的延长线上，且.      【分析】 （1）先证明平面，结合建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可； （2）求出和平面的一个法向量的坐标，进而结合线面角的公式求解即可； （3）先假设存在，设，利用空间向量验证求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）及为的中点， 则，，，， 设平面的一个法向量， 则 ，即 ， 令，得， 设与平面所成的角为， 所以. (3) 小问详解： 假设直线上存在点，使平面与平面垂直，设， 由（1）知，，， 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ，令，得， 而平面的一个法向量为， 由于平面平面， 当且仅当，即时成立， 所以直线上存在点，使平面与平面垂直， 此时点在线段的延长线上，且. 34．（25-26学年高二上·辽宁协作校·期中）已知正方形的边长为2，，分别为，的中点，沿将四边形折起，使得，为线段上一点. （1）如图（一），若为线段中点，设直线与直线的交点为， ①证明：∥平面； ②求点到平面的距离； （2）如图（二），是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）① 证明： 由于，分别为，的中点 ，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； ②；     （2）存在，当或时，使得直线与平面所成的角为60°.      【分析】 （1）① 根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论；由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则建立空间直角坐标系，由点面距离的向量法即可求解② ； （2）利用线面角的向量求法可求得. (1) 小问详解： ① 略 ②， ，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角， ； 取中点，连接，如图， ，， ， ， ， ， ，，又平面，， 平面， 平面， ， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，，， ，， 设平面的法向量，则 ， 令，则，，， ， 故点到平面的距离为， (2) 小问详解： 设，则，，， 设平面的法向量，则 ， 令，则，，， 直线与平面所成的角为60°， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为60°. 35．（25-26学年高二上·辽宁辽西重点高·期中）如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为，则 ， 设，则，，可得， 又因为，则，可得. 且平面，所以平面.     （2）      （3） 存在，线段的长为      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角的余弦值，进而可得正弦值； （3）设，由线面角的向量求法求出，得到坐标，求出长度. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，， 设平面的一个法向量为，则 ， 设，则，，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 可得， 所以平面与平面夹角正弦值为. (3) 小问详解： 设， 则，可得， 因为平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为. 36．（25-26学年高二上·辽宁大连·期中）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） ，是.的中点，， 又平面，平面   平面，        平面，平面面，，        ，平面面，平面平面， 平面，                     平面；     （2）      【分析】 （1）由面面垂直的性质定理证明平面，结合可证； （2）设，由向量法表示直线与直线所成的角求出，再利用向量法求解所求角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，平面平面 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，                     则点在平面内，，，，，， 则，，， 设， 则点坐标为，，， ，解得，        则点坐标为，知，， 设平面的法向量， 即 ，即 ，取，可得；              设平面法向量为， 则 ，即 ，取，可得；        ，              即平面与平面所成角的余弦值为.        37．（25-26学年高二上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是边长为2、中心为0的正方形，为平面外一动点，满足平面平面，且四棱锥的体积为．设线段的中点为为线段上一动点（不包含端点）．    （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的最大值． 【答案】（1） 由题意，得为的中点，且点是线段的中点， 故是的中位线，故． 又平面，而平面， 故平面．     （2）.      【分析】 （1）利用三角形中位线的性质得，再利用线面平行的判定即可证明； （2）首先利用椎体体积公式得高为2，设，求出相关向量和平面法向量，写出线面角的正弦值表达式，再利用二次函数性质即可求出最值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，以点为坐标原点，的方向分别为，轴正方向， 垂直于平面向上的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 由题意可知，． 设四棱锥的高为，由体积公式易有，解得． 又平面平面，且平面平面， 故点在平面内的投影落在直线上． 设点，，则． 由题，为线段上一点，因此点，，三点共线， 即等价于求直线与平面所成角的最大值， 设平面的法向量为．又． 则 即 ， 令，可得平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为． 则． 故当时，取得最小值8，此时取得最大值， 又，由正弦函数单调性可知，此时取得最大值， 即直线与平面所成角的最大值为． 38．（25-26学年高二上·辽宁朝阳）如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点.    （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1） 在中，，，所以， 所以在四棱锥中，，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以.     （2）      （3）       【分析】 （1）先证明平面，从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直； （2）先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的法向量，从而得到两平面夹角的余弦值； （3）先建立空间直角坐标系，并设出点和的坐标，通过垂直得出关系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式得，从而利用对勾函数单调性和正弦函数性质求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 当四棱锥的体积取得最大值时，平面平面. 又平面平面，，平面， 所以平面， 故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，    则，，，，，所以. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以 ，令，解得，， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以 ， 令，解得，所以平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. (3) 小问详解： 以为坐标原点，直线和分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，设，，，，，    ，， 又，所以，解得， 则，则， 又，所以， 整理得，且，，得. 易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上单调递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $