23.2 直角三角形性质 题型专练 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版（2024）九年级上册 23.2 直角三角形性质 题型专练 【题型1】直角三角形斜边上中线等于斜边一半 【典例】如图，AB⊥BF，EF⊥BF，AE与BF交于点C，点D是AC的中点，∠AEB＝2∠A．若AC＝6，EF＝1，则BF的长是（　　） A． B．3 C． D． 【举一反三1】如图，点是 、 的斜边的中点，且，，分别连接，，则 的度数是 __________ . 【举一反三2】我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.这个定理的逆命题也是真命题.下面我们来证明这个逆命题： （1）写出逆命题：                      ； （2）画出图形，如图，请补全下面的已知和求证： 已知： 如图， 是的中线，      . 求证：为       三角形. （3）请写出你的证明过程. 【举一反三3】已知，点是Rt斜边上一动点(不与，重合)，分别过向直线作垂线，垂足分别为。 (1)当点为的中点时，如图①所示，连结。证明：四边形是平行四边形。 (2)当点不是的中点时，如图②所示，是的中点，连结。证明：是等腰三角形。 【题型2】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为__________ ． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到．△DEF．若四边形ABED的面积为15，则平移距离为　　． 【举一反三3】如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【举一反三4】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，且，，点P为x轴上一动点. (1)点的坐标是__________ ，点的坐标是__________ ，点的坐标是__________ ； (2)连接，如图2，当时，求的长； (3)点是线段上的一动点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，如图3，已知，设运动时间为秒.当是直角三角形时，求的值. 【题型3】直角三角形定义 【典例】下列三角形中，非直角三角形的是（ ） A．三边分别为11，， B．有一边的中线等于这边的一半 C．三个内角之比为 D．三边之比为 【举一反三1】在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三2】在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件： ①；②；③；④；⑤；⑥，能判定为直角三角形的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【举一反三3】已知：如图，在中，，.求证：是直角三角形. 【举一反三4】如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒. (1)用含的式子表示线段长度：__________ ，__________ ； (2)当为何值时，为直角三角形； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由. 【题型4】直角三角形的两个锐角互余 【典例】如图，，交于点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，，则的度数（    ） A．25° B．45° C．70° D．90° 【举一反三2】将如图，所示的一块直角三角板放置在上，使三角板的两条直角边、分别经过点B、C，若，则等于（    ） A．30° B．40° C．50° D．55° 【举一反三3】如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为　　． 【举一反三4】如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 华东师大版（2024）九年级上册 23.2 直角三角形性质 题型专练（参考答案） 【题型1】直角三角形斜边上中线等于斜边一半 【典例】如图，AB⊥BF，EF⊥BF，AE与BF交于点C，点D是AC的中点，∠AEB＝2∠A．若AC＝6，EF＝1，则BF的长是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】∵AB⊥BF， ∴∠ABC＝90°， ∵点D是AC的中点，AC＝6， ∴BD＝ADAC＝3， ∴∠A＝∠ABD， ∴∠BDE＝∠A+∠ABD＝2∠A， ∵∠AEB＝2∠A， ∴∠BDE＝∠BED， ∴BE＝BD＝3， ∵EF⊥BF， ∴∠BFE＝90°， ∴BF． 故选：C． 【举一反三1】如图，点是 、 的斜边的中点，且，，分别连接，，则 的度数是 __________ . 【答案】 【解析】如图所示，连接， ∵点是 、 的斜边的中点，， ∴，且，则， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：. 【举一反三2】我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.这个定理的逆命题也是真命题.下面我们来证明这个逆命题： （1）写出逆命题：                      ； （2）画出图形，如图，请补全下面的已知和求证： 已知： 如图， 是的中线，      . 求证：为       三角形. （3）请写出你的证明过程. 【答案】解：（1）∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”， ∴它的逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. （2）已知： 如图， 是的中线，； 求证：为直角三角形； （3）∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形. 【举一反三3】已知，点是Rt斜边上一动点(不与，重合)，分别过向直线作垂线，垂足分别为。 (1)当点为的中点时，如图①所示，连结。证明：四边形是平行四边形。 (2)当点不是的中点时，如图②所示，是的中点，连结。证明：是等腰三角形。 【答案】证明：(1)因为为的中点，所以。 因为，所以。 在和中， ， 所以， 所以，所以四边形是平行四边形。 (2)如图所示，延长交于点。 因为， 所以， 所以。 在和中， ， 所以，所以。 因为， 所以是Rt斜边上的中线， 所以，所以是等腰三角形。 【题型2】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ，，. 故选：B. 【举一反三1】如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为__________ ． 【答案】6 【解析】作PH⊥AC于H，连接PF， 当PQ⊥AB时，PQ的最小， ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PH⊥AC， ∴PH＝PQ＝3，∠PAB＝∠PAC＝15°， ∵GF垂直平分AP， ∴FA＝FP， ∴∠FPA＝∠PAC＝15°， ∴∠PFH＝30°， ∴PF＝2PH＝6， ∴AF＝6， 故答案为：6． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到．△DEF．若四边形ABED的面积为15，则平移距离为　　． 【答案】3 【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝10， ∴ACAB＝5， ∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF， ∴AD＝BE，AD∥BE， ∴四边形ABED为平行四边形， ∵四边形ABED的面积等于15， ∴AC•BE＝15，即5BE＝15， ∴BE＝3， 即平移距离等于3． 故答案为：3． 【举一反三3】如图，在中，，，垂直平分，垂足为E，交于点D，连接． (1)求证：； (1)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (1)解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【举一反三4】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，且，，点P为x轴上一动点. (1)点的坐标是__________ ，点的坐标是__________ ，点的坐标是__________ ； (2)连接，如图2，当时，求的长； (3)点是线段上的一动点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，如图3，已知，设运动时间为秒.当是直角三角形时，求的值. 【解析】(1)∵A，B两点的坐标分别为，，且， ∴，， 解得：，， ∴A，B两点的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，，； (2)∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（P在y轴左侧）或（P在y轴右侧）. (3)∵， ∴是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当，则， 此时，，， ∵， ∴，即，解得：； ②当，则， 此时，，， ∵， ∴，即，解得：， 综上所述：或. 【题型3】直角三角形定义 【典例】下列三角形中，非直角三角形的是（ ） A．三边分别为11，， B．有一边的中线等于这边的一半 C．三个内角之比为 D．三边之比为 【答案】D 【解析】A、∵， ∴三边长为11，，，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、如图，中，是中线且， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C、由题意得，最大的内角度数为，则三个内角之比为的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D、设三边长分别为 ∵， ∴三边之比为，不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D. 【举一反三1】在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】①因为∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C=2：3：5，设∠A=2x，则2x+3x+5x=180，x=18°，∠C=18°×5=90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠B﹣∠C=90°，则∠B=90°+∠C，所以三角形为钝角三角形. 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③. 故选：C. 【举一反三2】在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件： ①；②；③；④；⑤；⑥，能判定为直角三角形的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【举一反三3】已知：如图，在中，，.求证：是直角三角形. 【答案】证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形. 【举一反三4】如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒. (1)用含的式子表示线段长度：__________ ，__________ ； (2)当为何值时，为直角三角形； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) ； (1)答案见解析 (1)答案见解析 【解析】(1)根据题意得，，； 故答案为：，； (1)，要使为直角三角形，分两种情况讨论： 情况1：当时，， . ，解得； 情况2：当时，， . ，解得. 因为点到点停止运动，所以的取值范围是， 所以，当或时，为直角三角形； (2)假设存在点为线段中点的情况. 过点作交于点. 是等边三角形，， 是等边三角形. ， . ， ，. 是中点， . ， ，. ，， ， 解得. 当时，. ， . 经检验，当时，在延长线上，与交于点，符合题意. 【题型4】直角三角形的两个锐角互余 【典例】如图，，交于点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】本题考查对顶角相等，直角三角形两锐角互余，根据对顶角相等，直角三角形两锐角互余得到，即可得到答案； ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【举一反三1】如图，，则的度数（    ） A．25° B．45° C．70° D．90° 【答案】C 【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理，根据，可得，再由三角形内角和定理求出的度数，即可求解，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选C 【举一反三2】将如图，所示的一块直角三角板放置在上，使三角板的两条直角边、分别经过点B、C，若，则等于（    ） A．30° B．40° C．50° D．55° 【答案】A 【解析】此题考查了三角形内角和定理要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和等于．根据，由三角形的内角和定理得到，根据三角形的内角和得到，即可得到结论． 在中， ， ， ， 在中， ， 又，， ， ， ， 故选：A． 【举一反三3】如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为　　． 【答案】50° 【解析】∵把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠， ∴∠CDE＝∠C′DE， ∵∠1＝70°， ∴∠CDE＝∠C∠DE＝110°， ∴∠C′DA′＝40°， ∵∠C′＝∠C＝90°， ∴∠2＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50°． 【举一反三4】如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； (2)∵平分， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $