重难点培优01 立体几何中的切接、棱切球问题（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 立体几何中球的切接、棱切球问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 6 题型01 墙角模型（★★★★★） 6 题型02 其他补成长方体模型（★★★★★） 6 题型03 棱柱、圆柱的外接球（★★★★★） 7 题型04 正棱锥、圆锥的外接球（★★★★★） 7 题型05 棱台、圆台外接球（★★★★★） 7 题型06 垂面模型（★★★★★） 8 题型07 棱锥内切球（★★★★★） 9 题型08 其他内切球（★★★★） 9 题型09 棱切球（★★★★） 10 03 实战检测·分层突破验成效 11 重难知识巩固 11 创新能力提升 14 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点02 三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点03 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点04 垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点05 正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点06 内切球思路： 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 知识点07 棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 题型精研·技巧通法提能力 题型01 墙角模型 1．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．某长方体零件的所有顶点都在球形保护罩内壁上，该长方体同一顶点处的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________． 4．“阳马”是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时期的数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为_______平方尺. 题型02 其他补成长方体模型 1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在一球面上，该球的半径为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·三模）已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A． B． C． D． 3．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 4．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为_____. 题型03 棱柱、圆柱的外接球 1．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江西·模拟预测）已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为______. 5．正三棱柱底面边长为2，高为3，其外接球的表面积为_______. 6．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 题型04 正棱锥、圆锥的外接球 1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（   ） A．3π B．6π C．9π D．12π 2．已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥外接球的表面积为______. 4．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为_____________. 题型05 棱台、圆台外接球 1．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（   ） A．3 B．5 C． D．6 3．正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（     ） A． B． C． D． 4．已知圆台上底面的周长为，下底面周长为，高为1，那么圆台外接球的体积为_____________. 5．已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 题型06 垂面模型 1．在三棱锥中，，，若平面平面，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 3．三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 5．在三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 题型07 棱锥内切球 1．已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（    ）    A． B． C． D． 2．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁鞍山·一模）正四面体内切球与其外接球表面积之比为________． 4．如图，三棱锥中，，，已知平面平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 题型08 其他内切球 1．（2024·湖南株洲·一模）若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______. 2．（2025·广东·模拟预测）已知某三棱柱的底面为边长为6的正三角形，且该三棱柱存在内切球，则该三棱柱的高为_____________． 3．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知一圆台的上、下底面圆的半径分别为，侧面展开图的扇环面积为，若该圆台存在内切球，则______. 4．若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则该圆锥的侧面积为_____． 5．已知正三棱台的上、下底边长分别为，，该正三棱台内部有一个球与上、下底面和三个侧面均相切（内切球），则这个正三棱台的高为_________. 题型09 棱切球 1．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏·阶段检测）若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．如果一个球与多面体的每条棱都相切，则称这个球为多面体的“棱切球”，如图，在正八面体中，，则该正八面体的棱切球的体积为（    ） A． B． C．4π D．8π 4．若一个正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 5．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2025·河北石家庄·一模）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，面，四边形是边长为的正方形．若，求的面积．（   ） A． B． C． D． 4．已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 5．已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北沧州·模拟预测）已知一圆台的上､下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏·模拟预测）某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（      ） A． B． C． D． 10．已知球内部有一个正四棱锥，且顶点都位于球面上，，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 13．在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 16．（2026·广西崇左·一模）在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·重庆·阶段检测）以一个正四面体中心为球心的三个球，其中与正四面体各个面相切的球半径记为，和正四面体各个棱相切的球半径记为，过正四面体四个顶点的球的半径记为，则（   ） A． B． C． D． 18．已知三棱锥中，若平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 19．在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径______． 20．已知点均在半径为3的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则______. 21．在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 22．已知正六棱锥的底面边长为，高为3，则该正六棱锥的外接球的体积为__________． 23．（2026·广东深圳·模拟预测）已知圆台的母线长为4，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为________． 24．（2026·云南昆明·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，，若S，A，B，C均在球O的表面上，则球O的表面积为__________． 25．在边长为4的正方形中，如图甲所示，，，分别为，的中点，分别沿，及所在直线把，和折，使，，三点重合于点，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为_____________. 26．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为________．    27．（25-26高三上·河北·开学考试）在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 28．如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 29．如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为______． 创新能力提升 1．在三棱锥中，底面是等边三角形，⊥，二面角的大小为.若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．12 D．24 2．（26-27高三上·海南海口·开学考试）在中，，，为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广西·阶段检测）已知正四棱台中，上底面与下底面的面积之比为，且其内切球的半径为2，则的长度为（    ）． A． B． C．2 D．3 4．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中，，则其内部能放入的最大的球的半径________．    7．（2026·河南郑州·二模）已知一个圆台的上底面圆半径为1，母线长为5，且该圆台存在内切球，若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转，则正三棱锥体积的最大值为________． 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）一个正四棱台形盒子（厚度不计），底边长为1，顶边长为3，容积为，放进一块正四面体积木后盖上盖子，若积木能在其中自由转动，则积木体积的最大值为__________. 9．（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）球O内切于侧棱长为2的正三棱柱（与五个面均相切），球与球O以及三棱柱同一顶点的三个面均相切，则球的半径__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 立体几何中球的切接、棱切球问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 6 题型01 墙角模型（★★★★★） 6 题型02 其他补成长方体模型（★★★★★） 8 题型03 棱柱、圆柱的外接球（★★★★★） 10 题型04 正棱锥、圆锥的外接球（★★★★★） 13 题型05 棱台、圆台外接球（★★★★★） 16 题型06 垂面模型（★★★★★） 20 题型07 棱锥内切球（★★★★★） 24 题型08 其他内切球（★★★★） 28 题型09 棱切球（★★★★） 31 03 实战检测·分层突破验成效 34 重难知识巩固 34 创新能力提升 53 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点02 三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点03 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点04 垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点05 正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点06 内切球思路： 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 知识点07 棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 题型精研·技巧通法提能力 题型01 墙角模型 1．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三条侧棱两两互相垂直的三棱锥补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，求其对角线即得球的直径. 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体， 该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球， 外接球的直径等于长方体的体对角线长度． 已知， 则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径．球的表面积. 2．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 3．某长方体零件的所有顶点都在球形保护罩内壁上，该长方体同一顶点处的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________． 【答案】 【分析】使用外接球的表面积公式计算. 【详解】由题知此球为长方体的外接球，球的半径为， 此球的表面积为：. 4．“阳马”是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时期的数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为_______平方尺. 【答案】 【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求其外接球表面积即可. 【详解】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同 而该长方体的体对角线即长方体的外接球的直径，依题，的长分别为7，5，8， 则这个四棱锥的外接球的半径为， 故其外接球的表面积为. 故答案为：. 题型02 其他补成长方体模型 1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在一球面上，该球的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将棱长为2的正四面体补形为正方体，如图所示： 则正方体的外接球即为正四面体的外接球， 设正方体的棱长为，则，解得， 设外接球的半径为，则可得，解得， 所以该球的半径为. 2．（2025·四川绵阳·三模）已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直棱柱补全成长体即可知道其外接球直径，进而可求其体积. 【详解】如图所示，将直三棱柱补全成长方体， 则长方体的体对角线为该三棱柱外接球的直径， 所以其半径为 球O的体积为， 故选：． 3．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______. 【答案】 【分析】先用补形法求出外接球的半径R，再利用表面积公式即可得答案. 【详解】如图：      将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：， 所以，所以外接球的表面积为， 故答案为：. 4．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为_____. 【答案】 【分析】通过补形法，求出长方体外接球的半径的平方即可得解. 【详解】如图，补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高为， 则，所以， 所以，所以棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 题型03 棱柱、圆柱的外接球 1．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心，根据题中条件，结合勾股定理，可得半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】因为圆柱上、下底面圆周均在以为球心的球面上， 所以圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心， 且与底面圆心的连线垂直底面， 因为圆柱底面半径为，高为， 所以球心到底面的距离， 因为底面圆周上一点到球心的距离为球的半径， 所以由勾股定理得， 则球的表面积． 故选：C． 2．已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设分别取的中点，连接，判断直三棱柱的外接球球心在的中点，借助于求得外接球半径，代入公式即得其体积. 【详解】 如图，，，分别取的中点，连接， 则点分别是的外心，故直三棱柱的外接球球心在的中点， 连接，则，， 故直三棱柱的外接球半径，则其体积为. 故选：B. 3．已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得外接圆的半径，利用勾股定理求得外接球的半径，可求表面积. 【详解】在中，， 利用正弦定理可得外接圆的半径， 又，所以直三棱柱的外接球的半径为， 所以该球的表面积为. 故选：A. 4．（2025·江西·模拟预测）已知正六棱柱的体积为，，则该正六棱柱外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】设正六边形，的中心分别为，，连接，可得正六棱柱外接球的球心为的中点，再结合棱柱的体积公式求出，进而求得外接球的半径，再结合球的表面积公式计算即可. 【详解】设正六边形，的中心分别为，，连接， 则正六棱柱外接球的球心为的中点， 该正六棱柱的外接球的半径为， 因为正六棱柱的体积为，， 所以，解得，又， 所以，从而. 故答案为：. 5．正三棱柱底面边长为2，高为3，其外接球的表面积为_______. 【答案】 【分析】利用正弦定理求底面的外接圆半径，再结合正三棱柱性质求外接球半径和表面积. 【详解】如图所示，设底面正的中心为，正三棱柱的外接球球心为， 由正弦定理可得底面的外接圆半径， 由正三棱柱性质可知，则外接球半径， 所以所求外接球的表面积为. 6．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）一个圆柱的体积和底面周长均为，若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积为___________. 【答案】 【详解】底面周长， ， 当圆柱与球外接时，球体积最小， 圆柱外接球球心在圆柱上下底面圆心连线中点， 轴截面是矩形长，宽， 矩形对角线就是球的直径， ，， 球体积. 题型04 正棱锥、圆锥的外接球 1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（   ） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】C 【分析】由外接球的体积公式可得其半径，然后作出圆锥及其外接球的轴截面，由勾股定理列出方程，代入计算，即可得到底面圆的半径，再由圆锥的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球体积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：C 2．已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正三棱锥的外接球球心在其高线上，再利用勾股定理由方程来求解半径，即可求外接球的表面积. 【详解】 根据正三棱锥的性质，可知外接球球心必在正三棱锥的高线上，连接， 由等边三角形，其边长，可知， 再由勾股定理得：， 设外接球半径为，结合勾股定理： 可得：，解得：， 由于，所以外接球球心在高线的延长线上，但仍然满足上述方程， 故该外接球的半径仍为， 所以该外接球的表面积为：， 故选：A 3．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】正棱锥的外接球球心在顶点与底面对角线交点的连线上，设外接球半径为，由正四棱锥已知底面边长求出底面面积，然后由体积求出正四棱锥的高，再由建立方程解出，即可求出外接圆表面积. 【详解】设正四棱锥的底面中心为，外接球球心为，显然球心在直线上. 设正四棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正方形的面积为3，所以，解得. 球心到平面的距离为， 于是，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 4．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为_____________. 【答案】 【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，由此作出圆锥的外接球的草图，根据勾股定理即可求出外接球半径，然后再根据球的体积公式，即可求出结果． 【详解】由于圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆， 所以圆锥的底面圆周长为，母线长为2， 所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面为边长为2的正三角形， 作出圆锥的外接球的草图，如下： 则，设外接球的半径为，则， 在中，， 所以，解得， 所以圆锥的外接球的体积为． 故答案为：. 题型05 棱台、圆台外接球 1．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，结合圆台的几何性质确定轴截面从而可得外接球半径，即可得所求． 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 2．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（   ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到棱台的高为1，设该棱台的外接球球心到下底面的距离为，当球心在棱台内时，列出方程，求出，不合要求，当球心在棱台外时，列出方程，求出，得到答案. 【详解】因为正六棱台的上、下底面边长分别为3和4， 如图，为等边三角形，边长分别为3和4， 所以，过点分别作⊥于点，于点， 故，故， 侧棱长是，即，由勾股定理得， 即棱台的高为1， 设该棱台的外接球球心到下底面的距离为， 当球心在棱台内时，即，则， 由勾股定理得， 则，解得（舍）， 当球心在棱台外时，同理可得，解得， 故棱台的外接球半径为； 故选：B． 3．正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据上下底边长计算上下底外接圆的半径，通过侧棱长、上下底面外接圆半径的差计算棱台的高，联立方程求解外接球半径，根据计算结果. 【详解】设正四棱台的上下底面的中心分别为，，外接球的球心为，连接，，，，；过作下底面，垂足为，如图所示.    则，，. ，，. ，则. （1）当外接球的球心在棱台内部时，如图：    设，则. ，即，解得. ，即外接球的半径. 外接球的表面积. （2）当外接球的球心在棱台外部时，如图：    设，则. ，即，解得，不符合题意. 综上所述，正四棱台的外接球的表面积为. 4．已知圆台上底面的周长为，下底面周长为，高为1，那么圆台外接球的体积为_____________. 【答案】 【分析】根据题意可得上、下底面半径，结合圆台的结果特征列式求外接球的半径，即可得体积. 【详解】设圆台上底面半径为，下底面半径为，外接球的半径为， 则，解得， 可知外接球的球心，则， 即，解得， 所以圆台外接球的体积为. 故答案为：. 5．已知正三棱台中，，若该正三棱台外接球的体积为，则的面积为_____. 【答案】或 【分析】由棱台的结构特征结合多面体的外接球问题求解即可. 【详解】如图所示，设，正三棱台上､下底面所在圆的半径分别为， 则由正弦定理，得， 即． 因为，所以． 设外接球的半径为，由外接球的体积为，得，即． 设球心到上､下底面的距离分别为， 所以， 故（图1）或（图2）， 即或，解得或， 所以的面积为或． 题型06 垂面模型 1．在三棱锥中，，，若平面平面，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先取中点，利用面面垂直性质推出平面，结合的形状确定，得出外接球球心是等边的外心，求出外接球半径后计算外接球表面积. 【详解】取中点，连接，因为，所以， 由于平面平面，且平面平面，平面， 故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心即为的外心， 设球的半径为，则， 故外接球的表面积为. 2．如图，在三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：几何法，由线面垂直、直角三角形性质，确定A1C中点是外接球球心，求出半径再算球体积; 方法二：补形法，三条棱两两垂直，补成长方体，长方体体对角线就是外接球直径，直接求半径. 【详解】法一：因为平面ABC，平面ABC，所以，取的中点为，连接，， 在中，．过作，交AC于，则为AC的中点且， 所以平面ABC，连接，因为平面ABC，所以， 在中，，因此，所以， 因此即三棱锥外接球的球心．由题意，，，因此， 则外接球的半径为，则外接球的体积． 法二：把三棱锥补成一个长方体，如图，易知外接球直径为，由题意，，， 则，因此外接球半径为，外接球的体积． 3．三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面角定义，结合正弦定理、勾股定理、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】如图，设外接球的球心为O，设的外接圆圆心为， 因为平面，所以为直线与平面所成角，即， 所以，又，所以，所以， 设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，解得， 则在中，， 则三棱锥的外接球表面积为． 4．在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心位置并求出球半径即可. 【详解】在三棱锥中，取的中点，连接， 和均为边长为的等边三角形，得， 由二面角的平面角为，得，即， 平面，则平面，同理平面， 令和的中心分别为，三棱锥的外接球球心为， 则平面，平面，于是，四边形为矩形， ，而，， 所以三棱锥外接球半径，表面积. 5．在三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】过点作于，为的中点，设的外心是，半径是，连接，利用正弦定理求得，结合勾股定理定理，，，设三棱锥外接球球心是，连接，，过作于，由，即可求出外接球的半径，利用球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，过点作于，为的中点，设的外心是，半径是，连接， 由正弦定理得，则， 为的中点，， ，所以， 因为， 所以， 所以，， 因为平面平面，于，平面平面，则平面，故， 设三棱锥外接球球心是，连接，，过作于， 则平面，于是，从而是矩形， 所以外接球半径满足， 解得， 所以外接球的表面积为． 题型07 棱锥内切球 1．已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出四棱锥的表面积和体积，利用等体积法即可求出内切球半径，从而得解. 【详解】因为四棱锥的各棱长均为2，所以四棱锥是正四棱锥， 则， 过P作底面垂线，垂足为H，则，    所以，则， 故其内切圆表面积为， 故选：B． 2．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正三棱锥的表面积、体积分别为、 ，设正三棱锥的内切球半径为，由三棱锥体积公式 可求内切球半径，从而求解出内切球的表面积. 【详解】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以.    3．（2025·辽宁鞍山·一模）正四面体内切球与其外接球表面积之比为________． 【答案】 【分析】分别找到外接球球心和内切球球心，利用勾股定理求解外接球半径，三角形相似知识求解内切球半径，求出内切球半径与外接球半径之比，进而求出表面积之比． 【详解】如图1，过点A作底面于点F，则F为正三角形的中心，连接并延长，交于点E，则E为中点，且，在上取点O，此点为正四面体的外接球球心，则，设正四面体棱长为a，则，故，由勾股定理得：，设，由得：，解得：， 如图2，作出正四面体的截面，则正四面体的内切球与，相切，设内切球球心为，半径为r，则作于点G，则，，其中，，由得：，即， 解得：，则， 所以内切球的表面积与外接球表面积之比为， 故答案为：． 4．如图，三棱锥中，，，已知平面平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 【答案】 【详解】设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，， 取中点，连接， ， ，， ， ， 三棱锥的内切球同时与平面相切，且， 平面平面， ， 由， 得， ， ，解得， ， 四点共球，直径为， ， ，故． 题型08 其他内切球 1．（2024·湖南株洲·一模）若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______. 【答案】 【分析】由题意可得该圆柱的高，底面半径为，计算该球的表面积与该圆柱的侧面积即可得. 【详解】由题意可得该圆柱的高，底面半径为， 故该圆柱的侧面积, 该球的表面积, 则. 故答案为：. 2．（2025·广东·模拟预测）已知某三棱柱的底面为边长为6的正三角形，且该三棱柱存在内切球，则该三棱柱的高为_____________． 【答案】 【分析】由题意内切球半径等于底面内切圆半径，据此可得解. 【详解】如图， 边长为6的正三角形的内切圆半径为：， 所以正三棱柱的高为． 故答案为：． 3．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知一圆台的上、下底面圆的半径分别为，侧面展开图的扇环面积为，若该圆台存在内切球，则______. 【答案】3 【详解】设圆台的母线长为， 由侧面展开图的扇环面积为，可得圆台侧面积为，所以， 取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形， 设圆台的内切球球心为，则球心在截面内， 在截面内，设圆切梯形的边分别于点， 由切线长定理可得， 所以，即， 所以，又，所以. 4．若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则该圆锥的侧面积为_____． 【答案】 【分析】作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得. 【详解】如图： 过圆锥的旋转轴作轴截面， 因为圆锥的内切球与外接球的球心重合，所以圆锥的轴截面为等边三角形，设为. 取中点，连接，则点在线段上，且. 由题意，，所以，所以， 所以，. 所以该圆锥的侧面积为. 5．已知正三棱台的上、下底边长分别为，，该正三棱台内部有一个球与上、下底面和三个侧面均相切（内切球），则这个正三棱台的高为_________. 【答案】 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，结合圆的切线性质求得正三棱台的高 【详解】由正三棱台的上、下底边长分别为，， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心，，，为侧面等腰梯形上下底边中点， 则，，， 设内切球半径为r，所以正三棱台的高. 题型09 棱切球 1．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知正方体的体积为，则，则， 球为正方体的棱切球， 故其半径， 球的表面积为． 2．（24-25高三上·江苏·阶段检测）若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在棱长为的正方体中构造棱长为的正四面体，结合正方体的性质求出球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】如图所示， 在棱长为的正方体中构造棱长为的正四面体， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径为正方体棱长的一半，即， 则该球的表面积为． 故选：A 3．如果一个球与多面体的每条棱都相切，则称这个球为多面体的“棱切球”，如图，在正八面体中，，则该正八面体的棱切球的体积为（    ） A． B． C．4π D．8π 【答案】A 【分析】根据正八面体的结构特征得八面体的棱长为2，从而棱切球的半径为1，即可得. 【详解】根据正八面体的对称性，四边形均是正方形， 因为，所以这三个正方形的边长均为2， 由于棱切球与每条棱均相切，所以棱切球的直径等于这三个正方形的边长，则半径为1， 所以棱切球的体积为. 4．若一个正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设AB，的中点分别为D，E，连接CD，OD，OE，， 设，则. 因为，所以. 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 5．已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中心，再求出三棱锥的高，利用勾股定理即可求解外接球半径. 【详解】因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为， 所以底面正三角形的内切圆的半径为， 又因为球的半径为1， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点，连接PO，即为三棱锥的高， 如图，过球心作的垂线交于，则， 又因为，所以, 又与相似， 所以，则，即. 因为外接圆的半径为，正三棱锥外接球的球心在上， 设半径为，则，即, 解得. 故选：D. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2025·河北石家庄·一模）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出轴截面，利用长度关系求出圆柱半径和母线，进而得到答案. 【详解】如图，轴截面为   ， 所以圆柱的侧面积为， 故选：B. 2．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：     图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线， 也是外接球的直径，设外接球半径为R，则， 所以瞥臑的外接球表面积为. 故选：B． 3．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，面，四边形是边长为的正方形．若，求的面积．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因侧棱垂直于底面，故将其补成直棱柱即可. 【详解】因面且四边形是正方形，故将其补成长方体. 如图，球心O为长方体的中心，， 则等腰的高为， 故的面积为. 故选：B. 4．已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，该直三棱柱可补形为长方体，则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球，由球的表面积求出半径，根据长方体的体对角线长的公式列方程，即可解得侧棱长. 【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球. 所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为， 则，解得， 设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为. 故选：C. 5．已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据几何体特征确定球心位置，结合勾股定理可得答案. 【详解】设三棱柱上底面和下底面的中心分别为,连接，则其外接球的球心在的中点处， 记球心为,连接，则由正三棱柱的性质可知为直角三角形； 因为正三棱柱的高为2，， 所以，，所以. 故选：B 6．（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用体积法求出内切球半径. 【详解】依题意，所有棱长都是2的正四棱锥的高， 体积，表面积， 设该棱锥的内切球半径为，则，即. 故选：C 7．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥可以嵌入一个长方体内用体积转化的方法求解该三棱锥的内切球的半径. 【详解】根据题意，三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a，b，，如图所示， 则，，，解得，，. 所以该三棱锥的的体积为， 而， 所以可求得，故选：C 8．（2026·河北沧州·模拟预测）已知一圆台的上､下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆台的体积公式求出该圆台的高，进而求出其外接球的半径即可. 【详解】由题可知，圆台上底面面积，下底面面积， 设该圆台的高为，外接球的半径为， 则体积，解得， 可得解得 所以该圆台的外接球的表面积为. 9．（2026·江苏·模拟预测）某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆锥侧面展开图的弧长和圆心角求出圆锥的底面半径、母线长与高，再通过轴截面等腰三角形的内切圆半径得到内切球半径，最终计算球的最大表面积. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， 侧面展开图弧长等于底面周长，即：，解得； 展开图圆心角为，由扇形弧长公式（为圆心角弧度值）， 代入得，解得； 由勾股定理得圆锥高. 圆锥内最大球为内切球，其半径等于圆锥轴截面（三边长为的等腰三角形） 的内切圆半径 轴截面面积，轴截面半周长， 由三角形内切圆公式，得， ，代入得： . 10．已知球内部有一个正四棱锥，且顶点都位于球面上，，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用正四棱锥几何对称性确定外接球球心位置，借助勾股定理建立方程求解外接球半径，再代入球的表面积公式完成计算. 【详解】如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结， 则平面，因为，，所以， 则，， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，连接， 则球的半径，则，则在内， 由可得，解得， 故正四棱锥外接球的表面积为. 11．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出正四棱台的高，设O距离下底面距离为x，由题意可得，解方程即可知正四棱台下底面中心即为球心，求出外接球的半径，再由球的表面积公式即可得出答案. 【详解】由题意可知，正四棱台的高为， 其外接球的球心O在正四棱台的高上，如图所示. 不妨设O距离下底面距离为x，则， 解得，即正四棱台下底面中心即为球心， 则外接球的直径为，表面积为， 故选:C. 12．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】由过球外一点与球面相切的切线长相等，求出的长，可得三角形的周长. 【详解】 由已知，设球与棱的切点分别为， 则，设， 因为， 则， 又，所以，解得， 则，， 所以三角形的周长为. 故选：D. 13．在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 14．（2025·陕西汉中·模拟预测）在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算可得，求出外接圆半径，再结合勾股定理可求出外接球的半径. 【详解】设正三棱锥底面边长为，底面正三角形的中心为，则顶点在底面的投影点为， 因为侧棱与底面所成的角为， 即， 在中，，，， ，， 正三棱锥体积为：, 因为，所以， 在正三棱锥中，外接球的球心在，设球心为， 设，根据球心到顶点距离相等可得，， 即，解得，所以， 所以. 故选：D 15．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由正棱台性质可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心，然后由截面图结合勾股定理列出关于球的半径的等量关系。即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，， 则． 设内切球的球心为O，半径为，则正三棱台的高， 内切球与相切于点M，根据圆的性质可知，． 则， 如图： 所以，即， 所以正三棱台的高为2 16．（2026·广西崇左·一模）在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设，的中点分别为D，E，连接，，，， 则. 因为，所以， 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 17．（25-26高三上·重庆·阶段检测）以一个正四面体中心为球心的三个球，其中与正四面体各个面相切的球半径记为，和正四面体各个棱相切的球半径记为，过正四面体四个顶点的球的半径记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四面体的棱长为，作图分析确定正四面体的三个球半径，，所对应的线段长度，结合勾股定理、正弦定理对应求解即可得，，与的关系，从而得比值. 【详解】如图设正四面体的棱长为，底面正的中心为，则底面，连接， 则正四面体的中心为在上，连接，取中点为，连接， 底面正的外接圆半径，由正弦定理得，所以， 则正四面体的高度为， 由于正四面体四个顶点的球的半径记为，所以， 因为，所以，整理得； 与正四面体各个面相切的球半径记为，即； 因为点为中点，和正四面体各个棱相切的球半径记为，则； 综上，. 故选：C. 18．已知三棱锥中，若平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接， 则平面. 因为平面，所以， 作，连接，又， 所以四边形是矩形，所以，又， 则，即. 设外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为. 因为，所以是正三角形， 由正弦定理得，可得， 所以， 则外接球的表面积为. 19．在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径______． 【答案】 【分析】将四面体补形为为一个面对角线长分别为，，5的长方体，则长方体外接球即四面体外接球. 【详解】四面体中，三组对棱的棱长分别相等， 可将其补形为一个面对角线长分别为，，5的长方体． 设长方体长宽高为，由题有：， 即长方体体对角线长为，则长方体外接球半径，即四面体外接球半径为. 故答案为： 20．已知点均在半径为3的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则______. 【答案】 【分析】利用球的内接三棱锥，得到球的半径与三棱锥棱长的关系，再利用余弦定理求解的长度即可. 【详解】依题意，将三棱锥补全为正三棱柱. 该三棱锥外接球球心恰为正三棱柱上下底面的中心连线的中点， 设的外接圆圆心为，外接圆半径为，则，解得， 设外接球球心离底面的高度为，在中，则，所以. 所以. 21．在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理逆定理证明底面两边垂直，结合侧棱垂直底面的条件，将三棱锥补为长方体，借助长方体体对角线得到外接球直径，求出半径后代入球表面积公式完成计算． 【详解】由，，得， 所以. 因为平面，且， 可以把三棱锥补成长、宽、高分别为的长方体， 则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球， 所以， 解得， 所以球的表面积． 22．已知正六棱锥的底面边长为，高为3，则该正六棱锥的外接球的体积为__________． 【答案】 【详解】 如图所示，设正六棱锥外接球球心为，底面外接圆圆心为， 因为正六边形边长为，则外接圆半径， 因为正六棱锥的高为3，所以, 可得，即，解得， 则该正六棱锥的外接球的体积为. 23．（2026·广东深圳·模拟预测）已知圆台的母线长为4，母线与底面所成角为，若该圆台存在内切球，则内切球的体积为________． 【答案】 【详解】设内切球半径为， 则，则， 则内切球的体积为 24．（2026·云南昆明·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，，若S，A，B，C均在球O的表面上，则球O的表面积为__________． 【答案】 【分析】由，，得到是直角三角形，由平面得到三棱锥可以补成一个长方体，其外接球与三棱锥的外接球相同，通过求这个长方体的外接球的直径得到此球的半径，利用球的表面积公式得解. 【详解】因为，，， 所以，所以是直角三角形，且， 又因为平面，所以三棱锥可以补成一个长方体，其外接球与三棱锥的外接球相同， 长方体的体对角线就是外接球的直径， ，解得， 则外接球的表面积为. 25．在边长为4的正方形中，如图甲所示，，，分别为，的中点，分别沿，及所在直线把，和折，使，，三点重合于点，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为_____________. 【答案】 【分析】三棱锥外接球等同于补形为长方体的外接球，结合所给长度即可求解. 【详解】由题可得， ,, 所以, 所以 所以三棱锥外接球等同于以同顶点PA,PE,PF扩充为长方体的外接球， 如下图， 设外接球的直径为，则有, 所以，则外接球的半径为, 所以三棱锥外接球的表面积为, 故答案为: . 26．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为________．    【答案】 【分析】四面体内切球半径（即蛋黄半径最大值），需利用等体积法，先求出四面体的体积和表面积，再建立等式求解半径； 【详解】如图所示,对折叠之前的平面图形中各点进行标记,同时将折叠后的几何体置于长方体中,其中三点重合.   设则解的 因为四面体的体积为长方体， 四面体的表面积. 当蛋黄与四面体各个面相切时，蛋黄的半径最大，设此时蛋黄（近似于球）的半径为， 则， 所以. 27．（25-26高三上·河北·开学考试）在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 【答案】 【分析】由正、余弦定理求出底面的外接圆半径，利用圆心与球心的连线垂直于底面构成直角三角形即可求出外接球的半径，进而可得其表面积. 【详解】在底面中，，， 由余弦定理，可得， 设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为， 在中，由正弦定理可得，解得， 因为平面，平面，且球心到点的距离相等， 所以球心到底面的距离为， 在中，， 故该三棱锥外接球的表面积为， 故答案为： 28．如图，石狮子是中国传统建筑中常用的装饰物，石狮子口含石球．将石球看作一个标准光滑球体，石狮子张开的嘴内部空间看作一个正四棱台，已知正四棱台上底面边长与高度相等，下底面边长是上底面边长的两倍，且石球与棱台上下底面相切，则石球的体积与正四棱台的体积的比值为____________． 【答案】 【分析】设正四棱台上底面边长为，利用题设条件可求出石球的半径为，然后利用台体和球体的体积公式计算即可得到答案． 【详解】设正四棱台上底面边长为， 则其上底面的面积，下底面的面积，高， 故， 由题知石球与棱台上下底面相切，如图所示正四棱台，沿斜高作出如下截面， 则，故球的半径， 所以， 因此． 29．如图，在梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的半径为______． 【答案】2 【分析】根据题意，三棱锥的体积最大时，平面平面，取的中点，证得平面，再取的中点为，证得，在直角中，求得，再在直角中，得到，得到为三棱锥外接球的球心，即可求解. 【详解】如图所示，设点到平面的距离为， 因为，且为定值， 所以当三棱锥的体积最大时，只需取得最大值，此时平面平面， 取的中点，连接，因为且， 可得且， 因为平面平面，且平面，所以平面， 取的中点为，连接，因为平面，所以， 因为在梯形中，，， 可得，则，所以，且， 在直角中，可得， 在直角中，根据直角三角形的中线性质，可得， 所以，即为三棱锥外接球的球心， 设三棱锥外接球的半径为，则. 故答案为：2 创新能力提升 1．在三棱锥中，底面是等边三角形，⊥，二面角的大小为.若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为（   ） A．6 B．12 C．12 D．24 【答案】B 【分析】先求出外接球半径，作出辅助线，得到外接球球心，根据二面角大小和外接球半径得到，并得到点到平面的距离最大值，得到体积最大值. 【详解】设三棱锥外接球的半径为，则，解得， ⊥，设的外心为，则是棱的中点， 设等边的外心为，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线， 两垂线交于点，则即为三棱锥的外接球球心， 因为二面角的大小为，所以， 设，则，， 于是，， ， 连接，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得，所以， 因为⊥，所以当时，点到平面的距离最大， 此时，且， 其最大距离为，其中， 所以三棱锥的体积最大值为. 2．（26-27高三上·海南海口·开学考试）在中，，，为的中点，将沿翻折，使二面角为，则翻折后的四面体的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“切西瓜”模型，分别找到外接圆圆心以及的外接圆圆心，然后分别作平面的垂线交点即为外接球球心，然后利用平面几何关系求得，进而外接球表面积为. 【详解】由题意可知， 又，平面， 所以平面，为二面角的平面角， 所以，又因为，所以为等边三角形， 如图，取的中点，则，则平面， 外接圆圆心为，连接，易证平面， 外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，则平面， 连接，则平面， 则四边形为矩形. 在等边中，，则，， 则， 在中，， 所以四面体的外接球的半径， 所以外接球表面积为. 3．（25-26高三上·广西·阶段检测）已知正四棱台中，上底面与下底面的面积之比为，且其内切球的半径为2，则的长度为（    ）． A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据正四棱台及其内切球的性质，结合题给上、下底面面积之比以及内切球半径，结合截面即可求解. 【详解】如图，根据正四棱台的性质可知，上底面与下底面均为正方形，    则，即， 设，，则， 取，为上下底面中心，取E，F为，中点，连接，，，， 则， 根据内切球的性质，球心O为中点，记H为球与平面的切点，则． 所以，，， 因为，，， 所以≌，所以， 同理≌，， 所以，分别为，的角平分线，即． 因为，，， 所以． 连接，，则，G为A在底面投影， 则G位于上，，四边形为矩形， 因为，， 则， 所以，， 故选：A． 4．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中心，连接，即可得到平面，且与棱均相切的球的球心在上，连接并延长交于，连接，过作，交于点，设球的半径为，则，设，再利用勾股定理得到方程求出，即可得解. 【详解】取的中心，连接，则平面，且与棱均相切的球的球心在上. 连接并延长交于，则为的中点，，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 过作，交于点，设球的半径为， 则，因为，，所以，，， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设，则， 因为，从而， 所以（负值已舍去），所以； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 5．如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及表面积即可. 【详解】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 6．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中，，则其内部能放入的最大的球的半径________．    【答案】 【分析】根据题意可得该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，利用等体积法可知：，分别计算出该几何体的体积以及表面积即可求解. 【详解】取的中心O，连接DO，EO，则DO，EO即分别为两个正三棱锥的高，易知D，O，E三点共线，连接AO，延长后与BC相交于点M，则为中点，   ，，， ，，， 该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，其半径为， 由题意可得：， 又， 则， 由等体积法可知：，所以可得． 7．（2026·河南郑州·二模）已知一个圆台的上底面圆半径为1，母线长为5，且该圆台存在内切球，若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转，则正三棱锥体积的最大值为________． 【答案】 【分析】求出圆台内切球的半径为，由题意知，正三棱锥的外接球半径最大为，设正三棱锥的高为，求出的取值范围，即可求出答案. 【详解】圆台内切球的轴截面如图所示，作，易知四边形为矩形， 由题可知，，， 由切线长定理可知，所以， 所以， 所以，即， 所以圆台内切球半径为， 若一个底面边长为3的正三棱锥可以任意地在该圆台内部旋转， 则正三棱锥的外接球半径最大为， 如图，正三棱锥的球心为，的内心为， 设正三棱锥的外接球半径为，正三棱锥的高为， 因为， 所以， 在中，，， 所以，即， 所以，解得， 所以当时，正三棱锥体积取得最大值， 最大值为， 所以正三棱锥体积的最大值为. 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）一个正四棱台形盒子（厚度不计），底边长为1，顶边长为3，容积为，放进一块正四面体积木后盖上盖子，若积木能在其中自由转动，则积木体积的最大值为__________. 【答案】 【分析】利用正四面体积木体积最大时的外接球即为正四棱台形盒子的内切球进行求解即可. 【详解】积木可以在盒子里面自由转动，等价于正四面体要完全放在正四棱台的内切球内部，也就是正四棱台有内切球，内切球半径为，正四面体能自由转动的最大尺寸就是这个内切球为它的外接球. 设正四棱台形盒子的高为，则. 所以，则. 过正四棱台上下底面各一组对边中点的平面截该棱台得等腰梯形， 分别取的中点，则，. 当时，则内切球球心为中点. 设点到的距离为，则. 所以，解得. 所以正四棱台的内切球半径. 所以正四面体积木体积最大时，外接球半径为. 设正四面体积木棱长为，所以，解得. 此时正四面体积木的体积为. 所以积木体积的最大值为. 9．（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）球O内切于侧棱长为2的正三棱柱（与五个面均相切），球与球O以及三棱柱同一顶点的三个面均相切，则球的半径__________． 【答案】 【分析】确定球的半径,利用两球相切关系求球的半径,进而利用位似关系建立关于的方程并求解. 【详解】如图所示， 正三棱柱的高（侧棱长）为 .因为球 内切于该三棱柱，与上、下底面均相切， 所以球 的直径等于三棱柱的高. 球 与三棱柱的三个侧面也相切，则球 在下底面上的投影圆（即下底面正三角形的内切圆）半径为 . 设正三角形 的边长为 ， 根据正三角形内切圆半径公式可得. 正三角形 的外接圆半径（顶点 到下底面中心 的距离）为： 设 为下底面 的中心，由于球心 在正三棱柱的中心轴线上，且到顶面的距离为 . 在 中： ， 球 与顶点 处相交的三个面（下底面 和两个侧面 、）均相切. 球 也与这三个面均相切，且与球 外切. 因此球心 必在线段 上，设球 的半径为 ， 则两球心距 ， 顶点 到球心 的距离 ， 由两球位似可得，即， 整理得， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $