13.1 三角形的概念 导学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册 · 第十三章 三角形 · 13.1 三角形的概念（导学案） 第十三章 三角形 13.1 三角形的概念 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 八年级上册 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 第十三章 三角形 · 第 1 节 · 1 课时 · 教材 P2—P4 一、【立架 · 本节导览】学习目标 · 1 课时 · 三顶点立架 从这一节起，我们正式走进"三角形"这个世界。前面几章认的是直线、射线、线段、角这些零散的材料，现在要把三段线首尾相接，围出一个封闭的图形来。别看它只有三条边、三个角，往后好几章里那些关于三角形的结论，都要以它为基础。所以这一节不贪多，只把最要紧的"底子"打正：三角形是怎么围出来的，它的边、顶点、角怎么称呼，怎么写下来，又怎么分家归队。 这一节只有一个课时，课本是 P2—P4，分量看着轻，但"细节关"很密。最容易出岔子的地方有三处：一是定义里的两个条件，很多同学只记住"三条线段"，把"不在同一条直线上"和"首尾顺次相接"丢掉；二是符号里的对边关系，把"边 a"当成"顶点 A 上的边"，其实 a 是顶点 A 所对的那条边 BC；三是分类，把"等边三角形"和"等腰三角形"并排成两类，其实等边是等腰里最特殊的那一种。把这三处守住，这一节就稳了。 为了把这条路走得清楚，我们借"搭一个三角架"来推进：先立架——把这一节的路线和目标看清楚；再从三个顶点依次往下认——顶点 A 认形状（什么叫三角形），顶点 B 接零件（边、顶点、内角各是什么），顶点 C 起名字（怎么用符号写下来）；接着把三边连起来分家归队（按边分类、按角分类），再收边做例题和数三角形的练习，最后合围自查、加固作业。一步一步走下来，本节该会的东西就都收在架子里了。 （一）本节导览 · 三顶点立架 如图 1，本节按"立架 → 三个顶点 → 连线 → 收边 → 合围 → 加固"的顺序推进：立架是看清路线，顶点 A 认形、顶点 B 接件、顶点 C 命名是三根柱子，连线是把三边收拢起来分家，收边是动手练题，合围与加固是自查和作业。 图 1 三顶点立架：立架 → 顶点A·认形 → 顶点B·接件 → 顶点C·命名 → 连线·分家 → 收边·例练 → 合围·自查 → 加固·作业与自评 这几步有先后：不认形，就不知道手里这个图形是不是三角形；不知道边、顶点、内角怎么称呼，符号就写不对；分类分不清，数三角形时就会重数或漏数。所以顺着顺序走，不要跳步。 （二）课时与教材页码 环节 教材页码 这一环节要弄明白的事 打勾 第 1 课时　三角形的概念 P2—P4 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形；边、顶点、内角三要素；用 △ABC 表示，边 a、b、c 分别对应顶点 A、B、C 所对的边；按边分类与按角分类；课本 P3 练习、P4《习题13.1》 ○ （三）学习目标 1. 能说出三角形的定义，知道"不在同一条直线上""首尾顺次相接"这两个条件缺一不可，并能举出不符合条件的反例。 2. 知道三角形有三条边、三个顶点、三个内角，能在一个给定的三角形里把这三样一一指出来。 3. 会用符号"△ABC"表示三角形，会读"三角形 ABC"，知道也可以写成 △BCA、△CAB。 4. 记住边 a、b、c 与顶点 A、B、C 的对应关系（a 是顶点 A 所对的边 BC），能正着、反着互相说出来。 5. 会按边的相等关系给三角形分类：三边都不相等的三角形，等腰三角形（再分底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）。 6. 知道等腰三角形里腰、底边、顶角、底角的称呼，知道等边三角形是特殊的等腰三角形。 7. 会按最大的内角把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，能按给定条件判定一个三角形属于哪一类。 8. 会用"固定一个顶点、沿对边上的分点逐个去数"的办法数出图中的三角形个数，做到不重不漏。 （四）学习重点与难点 项目 内容 学习重点 三角形的定义与"不在同一条直线上""首尾顺次相接"两个条件；边、顶点、内角三要素；△ABC 的记法与边 a、b、c 的对边关系；按边分类与按角分类；数三角形 学习难点 把"三条线段组成的图形"与"三角形"分清；边 a 与顶点 A 的对边关系（不是"顶点 A 上的边"）；分类的两次逻辑（先二分再细分）与不重不漏；等边三角形与等腰三角形的包含关系 （五）起跑热身 1. 填一填：由不在同一条直线上的三条线段 ____________ 相接所组成的图形叫三角形；它有三条 ____________、三个 ____________、三个 ____________。 2. 填空：顶点是 A、B、C 的三角形记作 ____________，读作 ____________；顶点 A 所对的边 BC 通常用字母 ____________ 表示。 3. 判断对错（对的填"对"，错的填"错"）：① 由三条线段组成的图形叫三角形。（　）② 等边三角形是特殊的等腰三角形。（　）③ 三条线段首尾相接就一定能围成三角形。（　） 4. 填空：有两边相等的三角形叫 ____________ 三角形；三边都相等的三角形叫 ____________ 三角形，它也是 ____________ 三角形。 5. 按最大的内角来分，三角形可以分为 ____________ 三角形、____________ 三角形和 ____________ 三角形。 6. 说一说：在 △ABC 中，边 a = BC 表示什么意思？为什么是 BC 而不是 AB 或 AC？用一句话写出来。 7. 举反例：三条线段不能围成三角形的情形有哪些？各举一个例子写下来。 我的热身答案: 【预习提醒】热身第 1 题：定义里两句不能丢——三条线段要"不在同一条直线上"，还要"首尾顺次相接"；三要素是三条边、三个顶点、三个内角。第 2 题：记作 △ABC，读作"三角形 ABC"，边 a 表示 BC。第 3 题：①错，"三条线段"还不够，必须不共线且首尾相接；②对，等边三角形三边都相等，当然有两边相等；③错，三点共线时首尾相接也围不出三角形。第 4 题：等腰；等边；等腰（等边是特殊的等腰）。第 5 题：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。第 6 题：a 是顶点 A 所对的边，顶点 A 的两条邻边是 AB、AC，剩下不与 A 相邻的那条边 BC 才是 a。第 7 题：三种情形——三条线段首尾不相接（中间断开）、三个端点在同一条直线上、其中两条短线段的和不大于最长线段（这一条后面第十三章还会专门学，先有印象即可）。 二、【顶点A · 认形】三角形的概念与三个要件 要认一个图形，先得弄清它是怎么"生"出来的。三角形看着简单，三笔就能画出来，可正因为简单，定义里的每个字都不能含糊。课本给的那句话不长，却塞进了两个关键条件，漏掉哪个都会画出"不是三角形"的东西来。 把这句话原样记下来：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。它其实由三部分组成——主语是"三条线段"，动作是"首尾顺次相接"，外加一条限制"不在同一条直线上"。三部分齐了，才叫三角形。 （一）三角形是怎么围出来的 如图 2，左边那一格是三条线段首尾相接、并且不在同一条直线上，它们围成一个封闭的图形，这就是三角形。 图 2 三条线段首尾顺次相接：左为正例，中、右为两种不符合定义的情形 中间那一格，三条线段的长度都合适，却没有首尾相接，留下了缺口，围不成封闭图形；右边那一格，三条线段的端点都落在同一条直线上，拼出来只是一条线段，也不是三角形。 所以判断一个图形是不是三角形，就拿两个条件去卡：先看三段线是不是首尾顺次相接（有没有缺口、有没有多余的分叉），再看三个端点是不是在同一条直线上（共线就退化了）。两关都过，才是三角形。 （二）三个要件，缺一不可 要件 说的是什么 少了它会怎样 由三条线段 围成图形的材料是三段线段，而且是三"段"，不是三条射线或直线 材料换成射线或直线，图形不封闭，不成三角形 不在同一条直线上 三个端点不能落在同一根直线上 三点共线时三段线拼成一条线段，图形退化掉 首尾顺次相接 每一段的末端正好是下一段的首端，依次接成一个圈 中间有缺口或分叉，围不成封闭图形 （三）辨一辨：这些说法对不对 说法 判断 理由 由三条线段组成的图形叫三角形 错 缺了"不在同一条直线上"和"首尾顺次相接"两个条件 三条线段首尾相接就能围成三角形 错 还要补一句"不在同一条直线上"，三点共线时围不成 三个点一定可以连成一个三角形 错 三点共线时就退化，连不出三角形 三角形一定是封闭图形 对 首尾顺次相接，本身就围成了一个封闭的圈 把上面四条里你认为最容易记错的那一条抄一遍，并在旁边写清楚它错在哪里。 我的订正: 【辨一辨】判断一个图形是不是三角形，最快的办法是"反着问"：先把它当成三角形，再问自己——三个端点有没有落在同一条直线上？三段是不是一段接一段、中间没有缺口？只要有一处对不上，它就不是三角形。 （四）即时练习 1. 下面每一组都给了三条线段，请判断它们能不能围成三角形，并说明理由。（1）三段首尾相接，三个端点不在同一条直线上；（2）三段首尾相接，三个端点恰好在同一条直线上；（3）三段长度合适，但第一段的末端与第二段的首端没有接上。 2. 把三角形的定义默写一遍，再给它作三条批注：哪一句说的是材料，哪一句说的是位置关系，哪一句说的是连接方式。 3. 自编一个"看着像三角形、其实不是"的图形，画出草图，并在旁边写清它违反了哪一条要件。 我的作答: 自编反例与三条批注: 【作答提醒】练习 1：（1）能，两个条件都满足；（2）不能，三个端点在同一条直线上，围出来的是一条线段；（3）不能，没有首尾顺次相接，留下了缺口。练习 2：三条批注可以这样写——"由三条线段"是材料，"不在同一条直线上"是位置关系，"首尾顺次相接"是连接方式，三条同时成立才是三角形。练习 3：可以画一条开口的折线（三条线段接成不封闭的形状），它违反了"首尾顺次相接"；也可以把三段的端点都摆在同一条直线上，它违反了"不在同一条直线上"。 三、【顶点B · 接件】三角形的三要素：边 · 顶点 · 内角 架子立起来之后，接下来要认出这个图形身上的"零件"。三角形身上的零件只有三样，而且这三样是互相长在一起的：线段是它的边，线段与线段的接点是它的顶点，接点处张开的角是它的内角。会认这三样，才算真正把三角形看清楚了。 认零件时要顺着"边—顶点—角"的次序走：先看三条线段在哪里，再看它们两两相接的地方在哪里，最后看接点处张开的角在哪里。这个次序和画三角形时的笔顺是一样的，所以认起来不会乱。 （一）三要素各是什么 如图 3，在 △ABC 里，三条线段 AB、BC、CA 是它的三条边；点 A、点 B、点 C 是它的三个顶点；∠A、∠B、∠C 是它的三个内角。边、顶点、内角，就是三角形的三要素。 图 3 三角形的三要素：边 AB、BC、CA；顶点 A、B、C；内角 ∠A、∠B、∠C 课本补了两句话把这三样说死：组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。背的时候记住"线段是边、公共端点是顶点、两边夹出的角是内角"。 （二）邻与对：从哪条边、哪个角说起 要问的对象 怎么找 在 △ABC 中的答案 顶点 A 的对边 找不与 A 相连的那一条边 BC 顶点 A 的邻边 找以 A 为端点的那两条边 AB、AC 边 BC 的对角 找不与边 BC 相邻的那个角 ∠A 边 BC 的邻角 找边 BC 两端点处的两个角 ∠B、∠C （三）即时练习 1. 在 △MNP 中，写出它的三条边、三个顶点和三个内角。 2. 在 △MNP 中，顶点 M 的对边是哪一条？边 NP 的对角是哪一个？顶点 M 的邻边有哪两条？ 3. 一个三角形有三个顶点，那么它一共有多少条边、多少个内角？为什么三者的个数一定相同？ 4. 在 △ABC 中，∠A 的两条边分别是哪两条线段？∠A 的顶点是哪一个点？ 我的作答: 【作答提醒】练习 1：三条边是 MN、NP、PM；三个顶点是 M、N、P；三个内角是 ∠M、∠N、∠P。练习 2：顶点 M 的对边是 NP；边 NP 的对角是 ∠M（边 NP 的两端是 N、P，剩下的 M 处那个角就是它的对角）；顶点 M 的邻边是 MN、MP。练习 3：三条边、三个内角；每两个顶点确定一条边，每两条相邻的边夹出一个内角，所以三者个数都是 3。练习 4：∠A 的两条边是 AB、AC，∠A 的顶点是点 A。 四、【顶点C · 命名】三角形 ABC 的记法与对边 a、b、c 认清了零件，就要给这个图形起名字。有了名字，往后讨论才能又快又准——总不能每说一个三角形都画一遍图。三角形的名字有两套：一套用三个大写字母拼出来（△ABC），一套用小写字母给边编号（a、b、c）。两套名字之间有一条对应规矩，这条规矩是本节最容易出错的地方。 （一）三角形的记法 如图 4，顶点是 A、B、C 的三角形记作 △ABC，读作"三角形 ABC"。三个大写字母的先后可以调换，所以也可以写成 △BCA、△CAB，说的还是同一个三角形。 图 4 用三角形 ABC 表示，边 a、b、c 分别对应顶点 A、B、C 所对的边 平时书写时习惯写成 △ABC，按"A→B→C"的顺序读起来顺口；但要知道 △BCA 与 △ABC 指的是同一个图形，字母顺序不改变三角形本身。 （二）顶点、边、内角的对应表 顶点 顶点所对的边 边的字母记法 A BC a B AC b C AB c 这张表要能横着背、也能竖着背：a 对 A 即 a = BC，b 对 B 即 b = AC，c 对 C 即 c = AB。反过来问"BC 用哪个字母表示"，答 a；问"字母 b 表示哪条边"，答 AC。 （三）易错门诊：a 到底是谁的边 错误说法 错在哪里 改正 边 a 是顶点 A 上的边 "顶点 A 上的边"有两条（AB 与 AC），说法含糊 边 a 是顶点 A 所对的边，即 a = BC △ABC 与 △BCA 是两个三角形 字母只是先后顺序不同，图形是同一个 △ABC 与 △BCA 表示同一个三角形 顶点 A 的对边是 AB AB 是以 A 为端点的边，是邻边不是对边 顶点 A 的对边是 BC 把自己的错处记下来：这一节里我把哪一条说混了？抄在下面，并写一句提醒自己的话。 我的订正与提醒: 【易错门诊】记对边关系有个口诀："小写对大写，缺谁是谁的对边"。边 a 对顶点 A，a 就是"没有 A 的那条边"，也就是 BC；同理 b = AC、c = AB。先把对应写出来，再往下做题，就不会把边认错。 （四）即时练习 1. 用符号写出顶点是 D、E、F 的三角形；再说出它的三条边和三个内角。 2. 在 △ABC 中，a = ______，b = ______，c = ______。若把字母记法换成 △PQR，则 p = ______，q = ______，r = ______。 3. 在 △ABC 中，顶点 A 的对边是 ______，顶点 B 的对边是 ______，顶点 C 的对边是 ______。 4. 判断：△ABC、△CBA、△ACB 是同一个三角形吗？请说明理由。 我的作答: 【作答提醒】练习 1：记作 △DEF，三条边是 DE、EF、FD，三个内角是 ∠D、∠E、∠F。练习 2：a = BC，b = AC，c = AB；换成 △PQR 后 p = QR，q = PR，r = PQ，规矩没变——小写字母对的是同名大写顶点所对的边。练习 3：依次是 BC、AC、AB。练习 4：是同一个三角形；三个大写字母只要还是 A、B、C 这三个，先后顺序不影响图形本身，但书写时习惯写成 △ABC。 五、【连线 · 分家】三角形按边分类与按角分类 三根柱子立好、名字也起好了，接下来把三边收拢起来，让三角形"分家归队"。分类是初中数学里很重要的一种思想：世界上的三角形千千万，不可能一个一个去认，但只要定下标准，就能把它们分进几个"格子"里，每个格子里的三角形都有共同的脾气。 给三角形分类，课本给了两条标准：一条看边，一条看角。两条标准分出来的是两套不同的"家"，不能混着用。分类时还要守住一条铁律——不重不漏：每一类之间不能有交叉，所有三角形又必须都有地方可去。 （一）按边分类 如图 5，三角形的分类有两条线：左边是按角分类，右边是按边分类。先看按边分类——标准只有一条，就是"有几条边相等"。 图 5 三角形的分类：左边按角分类，右边按边分类 按边分类要走两步。第一步先问"有没有边相等"，把三角形分成"三边都不相等的三角形"和"等腰三角形"两类；第二步只对等腰三角形再细分，分成"底边和腰不相等的等腰三角形"和"等边三角形"。这样分，既不重、也不漏。 等腰三角形再仔细看一遍，如图 6：有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角；三边都相等的三角形叫等边三角形（也叫正三角形），它是特殊的等腰三角形。 图 6 等腰三角形（腰、底边、顶角、底角）与等边三角形 （二）等腰三角形的边与角 名称 指的是什么 在等腰 △ABC（AB = AC）中是哪一部分 腰 相等的两条边 AB、AC 底边 第三边（与两腰都不相等） BC 顶角 两腰所夹的角 ∠A 底角 腰与底边所夹的角 ∠B、∠C （三）按角分类 按角分类，看的是"最大的那个内角"：最大的角是锐角，就叫锐角三角形；最大的角是直角，就叫直角三角形；最大的角是钝角，就叫钝角三角形。 类别 特征 怎么判断 锐角三角形 三个内角都是锐角 最大的内角是锐角 直角三角形 有一个内角是直角 有一个内角恰好是 90° 钝角三角形 有一个内角是钝角 最大的内角是钝角 （四）分类的两次逻辑与易错 容易说错的话 为什么错 正确说法 三角形分三类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 等边三角形也满足"有两边相等"，已经被等腰三角形包含进去，并排就重复了 先分"三边都不相等"和"等腰"两类，再把等腰细分成"底腰不等"和"等边"两类 等腰三角形就是等边三角形 等腰只要求有两边相等，等边要求三边都相等 等边三角形是等腰三角形的特殊情形，等腰三角形不一定是等边三角形 三边都不相等的三角形也叫等腰三角形 等腰三角形的定义要求"有两边相等" 三边都不相等的三角形与等腰三角形是并列的两类 （五）即时练习 1. 填空：三角形按边分类，先分成 ________________ 和 ________________ 两类；再把 ________________ 细分为 ________________ 和 ________________ 两类。 2. 在 △ABC 中，AB = AC，且 AB ≠ BC。这个三角形属于哪一类？它的腰、底边、顶角、底角分别是什么？ 3. 一个三角形有两个角是锐角，能判断它按角分类属于哪一类吗？为什么？ 4. 判断对错：① 等边三角形是等腰三角形。（　）② 有一个角是直角的三角形是直角三角形。（　）③ 等腰三角形一定是等边三角形。（　） 5. 在 △ABC 中，AB = BC = CA；在 △DEF 中，DE = DF，EF ≠ DE。分别说出这两个三角形按边分类各属于哪一类。 我的作答: 【作答提醒】练习 1：三边都不相等的三角形；等腰三角形；等腰三角形；底边和腰不相等的等腰三角形；等边三角形。练习 2：属于底边和腰不相等的等腰三角形；腰是 AB、AC，底边是 BC，顶角是 ∠A，底角是 ∠B、∠C。练习 3：不能；只知道有两个锐角，第三个角可能是锐角、直角或钝角，需要看最大的那个角（例如 50°、60°、70° 是锐角三角形，而 50°、40°、90° 是直角三角形）。练习 4：①对；②对；③错（等腰只要求有两边相等，等边要求三边都相等）。练习 5：△ABC 三边都相等，是等边三角形；△DEF 有两边相等且第三边不同，是底边和腰不相等的等腰三角形。 六、【收边 · 例练】例题精讲与数三角形 前面认形、接件、命名、分类都过了一遍，现在该动手做题了。这一板块的两件事，一件是照着课本的例题把前面学的知识串起来用一遍，另一件是学会数三角形——数三角形看着简单，很多人却在"数重了"或者"漏掉了"上面栽跟头。 做题时养成一个习惯：先在图上看清楚哪些线段是画出来的，再用"固定一个顶点、沿对边上的分点逐个去数"的办法去找，找到一个就在图上轻轻做个小记号，这样能保证不重不漏。 （一）例题精讲（课本 例 · 对应课本 图13.1-3） 如图 7，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，BD = AD = DC = AC。（图形见课本 P3 例 图13.1-3） 图 7 对应课本 图13.1-3：点 D 在边 BC 上，BD = AD = DC = AC (1) 写出以点 C 为顶点的三角形；(2) 写出以 AB 为边的三角形；(3) 找出图中的等腰三角形和等边三角形。 我的解答: 想一想：判断一个三角形是不是等边三角形，只看它有两条边相等行不行？为什么？ 我的想法: 【例题提醒】例题这类"看图写名称"的题，动笔前先做两件事：一是把图上的线段认清楚（哪些是边、哪些是连出来的线），二是把每个三角形按字母顺序写全。写的时候心里过一句"这三点的三条边在图上都画出来了吗"，缺一条就不是三角形。 （二）数三角形的方法 如图 8，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，连接 AD。数三角形时，先固定顶点 A，再沿对边 BC 上的分点逐个去数，找到一个记一个，就不会重、不会漏。 图 8 数三角形的方法（一）：BC 上取一点 D，连 AD 我在图 8 上数出的三角形: 如图 9，若在 BC 上依次取 D、E 两点，分别连接 AD、AE，图里的三角形就多起来了，这时更要按同样办法一边数一边做记号。 图 9 数三角形的方法（二）：BC 上依次取 D、E，连 AD、AE 我在图 9 上数出的三角形: 做法 具体怎么走 容易踩的坑 固定顶点法 先定下一个顶点，再看它的对边上有几个点，从这些点里每次取两个与顶点相连 对边上的点看漏一个，就会少算 先小后大 先数"小三角形"，再把相邻的小三角形合起来数"大三角形" 只顾着数大的，把中间的小三角形忘了 做记号法 每找到一个就在图上轻轻标一下，或用符号按顺序写出来 只在心里数，数着数着就乱了 【数三角形】数三角形不要贪快。可以先用固定顶点法数出含某个顶点的三角形，再换一个顶点接着数；数完把结果按字母顺序排一排，同一个三角形出现两次就说明刚才重了。 （三）课本练习（P3，与课本同题） 练习 1：如图 10，在 △ABC 中 AB = BC = CA，O 是三角形内一点，且 OA = OB = OC。找出图中的等腰三角形和等边三角形。（图形见课本 P3 练习1） 图 10 对应课本 P3 第1题：AB = BC = CA，O 在内部，OA = OB = OC 练习1 我的作答: 练习 2：如图 11，在 △ABC 中 ∠BAC = 90°，AD ⊥ BC，垂足为 D，E 是 BD 上一点，连接 AE。找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。（图形见课本 P3 练习2） 图 11 对应课本 P3 第2题：∠BAC = 90°，AD ⊥ BC，E 在 BD 上 练习2 我的作答: （四）即时练习 1. 在 △ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，连接 AD。图中共有几个三角形？请把它们写出来。 2. 在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，BD = AD = DC = AC。判断：△ADC 是不是等边三角形？△ABD 是不是等腰三角形？分别说明理由。 3. 画一个三边都不相等的三角形，再画一个等腰三角形，用字母标出顶点，并分别说出它们按边分类属于哪一类。 我的作答: 【作答提醒】例题答案：(1) 以点 C 为顶点的三角形是 △ABC、△ADC（顶点 C 在这两个三角形里）；(2) 以 AB 为边的三角形是 △ABC、△ABD（边 AB 在这两个三角形里）；(3) 由 BD = AD 得 △ABD 是等腰三角形；由 AD = DC = AC 得 △ADC 三边都相等，是等边三角形。所以等腰三角形是 △ABD、△ADC，等边三角形是 △ADC。注意 △ABC 不是等边三角形——AB 与 AC 并不相等。数三角形：图 8 中共 3 个，△ABC、△ABD、△ADC；图 9 中共 6 个，△ABC、△ABD、△ABE、△ADC、△ADE、△AEC。练习 1：等腰三角形有 △ABC、△OAB、△OBC、△OAC，等边三角形是 △ABC（AB = BC = CA）。练习 2：直角三角形有 △ABC、△ABD、△ACD、△ADE；锐角三角形是 △AEC；钝角三角形是 △ABE。（按图中最大的角判定，读图时对照课本原图）即时练习 1：共 3 个，△ABC、△ABD、△ADC。即时练习 2：△ADC 是等边三角形（AD = DC = AC 三边相等）；△ABD 是等腰三角形（BD = AD 两边相等）。 七、【合围 · 自查】本节知识图与三级自查 三边收拢、例题练完，最后一步是把这一节学到的东西"围"起来。围的意思有两层：一层是把零散的知识点串成一张图，看看它们之间怎么挂在一起；另一层是检查自己哪一处还晃，趁热补上。 自查不要笼统地说"我懂了"，要能具体说出来：定义能背吗？三要素能指吗？符号能写吗？对边 a、b、c 能对应吗？分类能分几步？数三角形会不会漏？一项一项过，才算真的合围。 （一）本节知识图 把这一节的内容按"从形到名、从名到类"的顺序串起来，就是下面这张图。 一层 内容 一句话提醒 概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形 两个条件缺一不可 要素 边（AB、BC、CA）、顶点（A、B、C）、内角（∠A、∠B、∠C） 线段是边、公共端点是顶点、两边夹出的是内角 表示 △ABC，读作三角形 ABC；边 a = BC、b = AC、c = AB a 对 A，是"顶点 A 所对的边" 分类 按边：三边都不相等的三角形、等腰三角形（底腰不等、等边）；按角：锐角、直角、钝角 先二分再细分，不重不漏 （二）三级自查 一级（说得出）：能不能不看书画出三角形，并指出它的边、顶点、内角？能不能把定义一字不差地说一遍？ 二级（写得出）：能不能写出 △ABC，并说出 a、b、c 分别表示哪条边？随便给一个顶点，能不能立刻说出它的对边？ 三级（用得上）：能不能独立完成例题与课本练习？能不能用固定顶点的办法把图 9 里的三角形数清楚？ 自查项目 很好 较好 待加强 我的补充 说得出定义的两个条件 ○ ○ ○ 指得出边、顶点、内角三要素 ○ ○ ○ 写得出 △ABC 与对边 a、b、c ○ ○ ○ 分得清按边与按角两种分类 ○ ○ ○ 数三角形不重不漏 ○ ○ ○ （三）错例诊所 常见错例 错在哪里 怎么改 由三条线段组成的图形叫三角形 丢了"不在同一条直线上"和"首尾顺次相接" 记全两个条件，再用反例卡一遍 边 a 是顶点 A 上的边 顶点 A 上的边有两条，说法含糊 改成"顶点 A 所对的边 BC，即 a = BC" 三角形分不等边、等腰、等边三类 等边被等腰包含，并列就重复了 先分两类，再把等腰细分成两类 数三角形时只数大的、漏掉小的 只凭印象数，没有逐个数 固定顶点、沿分点逐个去数，边数边做记号 （四）我的疑问 把这一节里还没想明白的问题写下来，问老师或者问同学都可以；写下来的问题，比心里嘀咕的问题更容易解决。 我还想问: 【自查提醒】自查时可以用"三问法"：这一节的图我能不看书画出来吗？它的名字我会写吗？它该分到哪一类我会说吗？三问都能顺畅回答，说明这一节已经合围；哪一问卡住，就回到对应的那个顶点再走一遍。 八、【加固 · 作业与自评】分层巩固与《习题13.1》 架子合围之后，还要"加固"——也就是动手把这一节的题做一遍。作业分两层：一层是课本的《习题13.1》，它和课堂内容一一对应，是必做的；另一层是分层巩固，按基础、提高、拓展排开，可以按照自己的情况从头往下做。 做题时请守住一条：图形题一律对照课本原图，先把图画清楚、把点标清楚，再动笔写结论。答案统一放在板块九，先独立完成，再对照。 （一）必做《习题13.1》（教材 P4） 1. 写出以 ∠A 为角的三角形，写出以 BC 为边的三角形。（图形见课本 P4 第1题） 第1题 我的作答: 2. 图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。（图形见课本 P4 第2题） 第2题 我的作答: 3. 在 △ABC 中，AD ⊥ BC，垂足为 D，∠BAC 是钝角，E 是 DC 上一点，且 ∠BAE 是锐角。(1) 图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。(2) 找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。（图形见课本 P4 第3题） 第3题 我的作答: 4. 如图 12，AB = BC = CD = DA = AC，找出图中的等腰三角形和等边三角形。（图形见课本 P4 第4题） 图 12 对应课本 P4 第4题：AB = BC = CD = DA = AC 第4题 我的作答: 5. 如图 13，已知点 A、B 在直线 a 上，点 C、D、E 在直线 b 上。以点 A、B、C、D、E 中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形。（图形见课本 P4 第5题） 图 13 对应课本 P4 第5题：点 A、B 在直线 a 上，点 C、D、E 在直线 b 上 第5题 我的作答: （二）分层巩固（自助加油站） A 组·基础 1. 三角形的三要素是 ____________、____________、____________。 2. 顶点是 A、B、C 的三角形记作 ____________；边 a 所对的顶点是 ____________。 3. 判断：由三条线段首尾顺次相接组成的图形一定是三角形。（　） B 组·提高 4. 在 △ABC 中，AB = AC，且 BC 与 AB 不相等。△ABC 按边分类属于 ____________ 三角形，它的腰是 ____________。 5. 一个三角形的两个内角分别是 60° 和 70°，它按角分类是 ____________ 三角形；若两个内角分别是 30° 和 60°，则它是 ____________ 三角形。 6. 三角形按角分类可分为 ____________、____________ 和 ____________ 三类；按边分类先分成 ____________ 和 ____________ 两类。 C 组·拓展 7. 在 △MNP 中，点 Q 在边 NP 上，连接 MQ。图中共有几个三角形？把它们分别写出来。 8. 用一句话说明：为什么"等边三角形"不单独列为与"等腰三角形"并列的一类？ 9. 在 △ABC 中，AB = AC。请说出它按边分类属于哪一类，并指出它的腰、底边、顶角、底角分别是什么。 分层巩固 我的作答: （三）学习自评 评价项 很好 较好 待加强 能说出三角形的定义与两个条件 ○ ○ ○ 能指出边、顶点、内角三要素 ○ ○ ○ 能写 △ABC 并说出对边 a、b、c ○ ○ ○ 能按边、按角给三角形分类 ○ ○ ○ 能用固定顶点法数三角形 ○ ○ ○ 能独立完成《习题13.1》 ○ ○ ○ 给自己写一句本节的小结：这一节我最大的收获是什么？下次要提醒自己的是哪一点？ 本节小结: 【作业提醒】作业建议先做《习题13.1》，再按需做分层巩固。第1、2、3题是图形题，务必对照课本原图，把点标清楚再数；第5题是不重不漏的计数题，可以先把"从 5 个点里取 3 个"的所有情形列出来，再把落在同一条直线上的情形去掉。分层巩固里的 A 组是必做，B 组尽量做，C 组有余力再做。 九、【参考答案】 以下答案按前面板块的顺序排列。请先独立完成，再逐条对照。对不上的地方，不要只改一个数，要在题目旁边把错因写清楚——是"条件没记全"（把"不在同一条直线上"或"首尾顺次相接"丢了），是"名字没对上"（把边 a 当成了顶点 A 上的边），还是"分类没分清"（把等边与等腰并列，或是把"按边"与"按角"混着用）。找出错在哪一步，比改一个答案有用得多。 （八）里的《习题13.1》答案，供做完之后自查用。凡是图形题，答案里只写出结论，过程请自己对照课本原图再走一遍——亲手数过的图、亲手画过的边，才是自己的。 【对照提醒】对照答案时留意四类地方：一类是条件（定义里的两个条件缺一不可）；一类是对应（顶点与对边的对应不能颠倒）；一类是分类（先二分再细分，等边属于等腰）；还有一类是计数（数三角形要固定顶点、逐个去数，不能凭印象）。 （一）立架　本节导览与起跑热身 题号 参考答案 热身1 首尾顺次；三条边；三个顶点；三个内角。 热身2 △ABC；三角形 ABC；a。 热身3 ①错——"三条线段"还不够，还须"不在同一条直线上"且"首尾顺次相接"；②对——等边三角形三边都相等，当然有两边相等；③错——三点共线时首尾相接也围不成三角形。 热身4 等腰；等边；等腰（等边三角形是特殊的等腰三角形）。 热身5 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 热身6 a 表示顶点 A 所对的边，即 a = BC；顶点 A 的两条邻边是 AB、AC，剩下不与 A 相邻的那条边 BC 才是它的对边。 热身7 三种情形：三条线段首尾不相接（留下缺口）；三个端点落在同一条直线上；其中两条较短线段的长之和不大于最长线段（这一点第十三章后面还会专门学）。 （二）顶点A　三角形的概念与三个要件 题号 参考答案 辨一辨订正 四条里最容易记错的是第一条。"由三条线段组成的图形叫三角形"漏了两个条件，必须补上"不在同一条直线上""首尾顺次相接"才成立。 练习1 （1）能，两个条件都满足；（2）不能，三个端点在同一条直线上，围出来的是一条线段；（3）不能，没有首尾顺次相接，留下了缺口。 练习2 "由三条线段"说的是材料，"不在同一条直线上"说的是位置关系，"首尾顺次相接"说的是连接方式；三条同时成立才是三角形。 练习3 示例一：三条线段接成开口的折线，违反"首尾顺次相接"；示例二：三个端点都放在同一条直线上，违反"不在同一条直线上"。 （三）顶点B　三角形的三要素 题号 参考答案 练习1 三条边是 MN、NP、PM；三个顶点是 M、N、P；三个内角是 ∠M、∠N、∠P。 练习2 顶点 M 的对边是 NP；边 NP 的对角是 ∠M；顶点 M 的邻边是 MN、MP。 练习3 有三条边、三个内角。每两个顶点确定一条边，每两条相邻的边夹出一个内角，所以边、顶点、内角三者的个数都是 3。 练习4 ∠A 的两条边是 AB、AC；∠A 的顶点是点 A。 （四）顶点C　三角形的符号表示 题号 参考答案 练习1 记作 △DEF；三条边是 DE、EF、FD；三个内角是 ∠D、∠E、∠F。 练习2 a = BC，b = AC，c = AB；换成 △PQR 后 p = QR，q = PR，r = PQ。 练习3 顶点 A 的对边是 BC，顶点 B 的对边是 AC，顶点 C 的对边是 AB。 练习4 是同一个三角形。三个大写字母只要还是 A、B、C 这三个，先后顺序不影响图形本身；书写时习惯写成 △ABC。 （五）连线　三角形按边分类与按角分类 题号 参考答案 练习1 三边都不相等的三角形；等腰三角形；等腰三角形；底边和腰不相等的等腰三角形；等边三角形。 练习2 属于底边和腰不相等的等腰三角形；腰是 AB、AC，底边是 BC，顶角是 ∠A，底角是 ∠B、∠C。 练习3 不能判断。只知道有两个锐角，第三个角可能是锐角、直角或钝角，要看最大的那个角（如 50°、60°、70° 是锐角三角形，50°、40°、90° 是直角三角形）。 练习4 ①对；②对；③错——等腰三角形只要求有两边相等，等边三角形要求三边都相等。 练习5 △ABC 三边都相等，是等边三角形；△DEF 有两边相等且第三边不同，是底边和腰不相等的等腰三角形。 （六）收边　例题、数三角形与课本练习 题号 参考答案 例题 (1) 以点 C 为顶点的三角形是 △ABC、△ADC；(2) 以 AB 为边的三角形是 △ABC、△ABD；(3) 等腰三角形是 △ABD、△ADC，等边三角形是 △ADC。 例题想一想 不行。等边三角形要求三边都相等，只看"有两条边相等"可能只是等腰三角形；本题中 △ADC 的三边 AD、DC、AC 全部相等，才是等边三角形。 图 8 共 3 个：△ABC、△ABD、△ADC。 图 9 共 6 个：△ABC、△ABD、△ABE、△ADC、△ADE、△AEC。 练习1 等腰三角形：△ABC、△OAB、△OBC、△OAC；等边三角形：△ABC（AB = BC = CA）。 练习2 直角三角形：△ABC、△ABD、△ACD、△ADE；锐角三角形：△AEC；钝角三角形：△ABE。（按图中最大的角判定，读图时对照课本原图） 即时练习1 共 3 个：△ABC、△ABD、△ADC。 即时练习2 △ADC 是等边三角形（AD = DC = AC，三边都相等）；△ABD 是等腰三角形（BD = AD，有两边相等）。 即时练习3 三边都不相等的三角形属于"三边都不相等的三角形"；等腰三角形属于"等腰三角形"，若它恰好三边都相等，则进一步属于"等边三角形"。 （七）合围　知识图与三级自查 项目 参考答案 知识图 概念（两个条件）→ 要素（边、顶点、内角）→ 表示（△ABC 与对边 a、b、c）→ 分类（按边、按角）。 三级自查 一级说得出定义与三要素；二级写得出 △ABC 与对边 a、b、c；三级用得上例题、分类与数三角形。 错例诊所 四条错例分别对应"条件没记全""对边关系说混""分类重复""计数漏项"，改法见板块七表格右栏。 我的疑问 按自己写下的问题逐一解决；解决后在问题旁边打一个勾。 （八）加固　分层巩固与《习题13.1》 题号 参考答案 习题13.1 第1题 以 ∠A 为角的三角形：△ABC、△ABE；以 BC 为边的三角形：△ABC、△BEC、△DBC。 习题13.1 第2题 共 6 个：△ABD、△ADE、△AEC、△ABE、△ADC、△ABC。 习题13.1 第3题 (1) 共 8 个：△ABD、△ADE、△AEF、△EFC、△ABE、△AEC、△ADC、△ABC；(2) 锐角三角形：△ABE；直角三角形：△ABD、△ADE、△AEF、△EFC、△ADC；钝角三角形：△AEC、△ABC。 习题13.1 第4题 等腰三角形：△ABD、△CBD、△ADC、△ABC；等边三角形：△ADC、△ABC。 习题13.1 第5题 共 9 个：△ABC、△ABD、△ABE、△ADC、△ADE、△AEC、△BCD、△BCE、△BDE。 A 组 1 三条边、三个顶点、三个内角。 A 组 2 △ABC；A。 A 组 3 错。还须"不在同一条直线上"，三点共线时围不成三角形。 B 组 4 底边和腰不相等的等腰三角形；腰是 AB、AC。 B 组 5 锐角三角形（第三个角是 50°）；直角三角形（第三个角是 90°）。 B 组 6 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；三边都不相等的三角形、等腰三角形。 C 组 7 共 3 个：△MNP、△MNQ、△MQP。 C 组 8 因为等边三角形满足"有两边相等"，已经被等腰三角形包含在内，若并列成两类就会重复。 C 组 9 属于底边和腰不相等的等腰三角形；腰是 AB、AC，底边是 BC，顶角是 ∠A，底角是 ∠B、∠C。 — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $