五年级 第二讲 同余定理-数学思维训练手册 五年级、六年级（无答案）

五年级思维题第二讲同余定理 第二讲同余定理 ·知识导引● 1.带余除法 整数A除以正整数m,商为q,余数为r,则有A=mq十r。 2.余数原理 若干个数的和（差或积）除以一个数所得的余数，等于这若干个数分别除以这个数，所 得余数的和（差或积），再除以这个数所得的余数。 3.同余定义 如果两个整数a、b除以另一个整数c,得到相同的余数，则称a、b对于c同余，记为a= b(modc)。 4.剩余定理 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数。三三数之，剩二；五 五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又称为“韩信点兵”。“韩信点兵”是中国 剩余定理的经典原型。 基础应用 例1 小丁丁的生日是6月27日，这一年的6月1日是星期六，小丁丁的生日是星期几呢？ ○分析与解答从6月1日到6月27日，共27天（包括6月1日）。周期排列为：星期六、 星期天、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五。27÷7=3（组）…6（天），余数为6，则周期 内第六天就是小丁丁的生日，所以小丁丁的生日是星期四。 拓展训练 例2 11+22+33+44+55+66+77+88+9°除以3的余数是多少？为什么？ ○分析与解答本题可以分别求出各个加数被3除的余数，然后求出这些余数的和被3除的余 数。因为3、6、9均能被3整除，所以3、6、9°均能被3整除；因为1、4、7这3个数被3除均余1，所 以1、44、7均被3除余1；因为2÷3余2,2=4,4÷3=1…1，所以2除以3余1；因为8÷3余2， 数学思维训练手册（五年级、六年级） 根据同余性质88和28除以3余数一样，2÷3余1,28=(22)4，所以28除以3余1；因为5除以3余 2,所以55除以3余2.1+22+33+44+55+6+7+88+9°与1+1+0+1+2+0+1+1+0=7被 3除同余。所以原数被3除余数为1。 例3今有物不知其数（总数为100个以内）： (1)四四数之剩一，五五数之剩一，六六数之剩一，问物几何？ (2)四四数之剩三，五五数之剩四，六六数之剩五，问物几何？ (3)四四数之剩三，五五数之剩二，六六数之剩一，问物几何？ ○分析与解答本题属于“特殊同余”。 (1)4个4个数多1个，5个5个数多1个，6个6个数多1个，既然都是多1个，那就去掉1个。 此时，4个4个数正好，5个5个数正好，6个6个数正好，因[4,5,6]=60，所以原来有60+ 1=61。 (2)4个4个数多3个，即少1个，5个5个数多4个，即少1个，6个6个数多5个，即少1个， 既然都是少1个，那就补上1个。此时，4个4个数正好，5个5个数正好，6个6个数正好， 因[4,5,6]=60，所以原来有60-1=59。 (3)4个4个数多3个，即4个4个数多7个，5个5个数多2个，即5个5个数多7个，6个6 个数多1个，即6个6个数多7个，既然都是多7个，那就去掉7个。此时，4个4个数正 好，5个5个数正好，6个6个数正好，因[4,5,6]=60，所以原来有60+7=67。 本题中的第(1)小题属于“同余”，第(2)小题属于“差同”，第(3)小题属于“和同”，可以通过口诀 记忆特殊同余解决，即余同加余、差同减差、和同加和，最小公倍数作周期。 巩固提高> 1.2026年1月1日是星期四，那么2027年1月1日是星期几？ 2.求1+5+52+…+5被7除所得的余数。 C 五年级思维题第二讲同余定理 3.一个整数除300、262、205，得到相同的余数，这个整数是几？ 4.求2461×135×6047÷11的余数。 5.已知N=1×2002+2×2002+3×2002+…+2002×2002,N除以7的余数是多少？ 6.今有物不知其数（总数为100个以内）： (1)三三数之剩一，五五数之剩一，七七数之剩二，问物几何？ (2)三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ⑦ 数学思维训练手册（五年级、六年级） 记录你的优秀 你完成了 道题目，做对了 道题目。 请点亮自己的专属奖牌（用你喜欢的颜色涂色即可）： 答对4题及以上 答对3题 答对1~2题 获奖感言 我自信已掌握了以下知识点： 以上6道题目中，我最喜欢第()题，因为它：