专题二二次函数图象与性质的常见应用2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题二 二次函数图象与性质的常见应用 类型1 函数的增减性 1. 已知二次函数 （ 为常数，且 ），则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则当 时， 随 的增大而增大 B．若 ，则当 时， 随 的增大而减小 C．若 ，则当 时， 随 的增大而增大 D．若 ，则当 时， 随 的增大而减小 2. 已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大. 当 时， 的值为________. 类型2 比较函数值的大小 3. 已知抛物线 的开口向下，，， 是抛物线上的三个点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 4. [2025 福建]已知点 ， 在抛物线 上. 若 ，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 5. 已知抛物线 （）经过 ，，， 四点，则 与 之间的大小关系为 ________（填“”“”或“”）. 6. [2025 安徽]已知抛物线 （）经过点 . （1）求该抛物线的对称轴. （2）点 和 分别在抛物线 和 上（点 与原点都不重合）. ① 若 ，且 ，比较 与 的大小； ② 当 时，若 是一个与 无关的定值，求 与 的值. 类型3 函数的最值问题 7. 已知二次函数 ，当 时，下列关于该函数的最大值和最小值的说法中，正确的是（ ） A．最大值为 ，最小值为 B．最大值为 ，最小值为 C．最大值为 ，最小值为 D．最大值为 ，最小值为 8. 已知二次函数 （ 是实数）. 若该函数的最小值为 ，则 的值为________. 9. [2025 福建]在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点 ，. （1）求 的值. （2）已知二次函数 的最大值为 . ① 求该二次函数的表达式； ② 若 ， 为该二次函数图象上不同的两点，且 ，求证：. 10. [2024 牡丹江]如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，连结 . （1）求该二次函数的表达式； （2）若 是二次函数在第四象限内的图象上的任意一点，当 的面积最大时，边 上的高线 的长为________. 类型4 抛物线的对称性 11. 已知点 在二次函数 （ 为常数）的图象上，则点 关于该图象的对称轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 12. [2025 凉山改编]二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线 ，且图象经过点 ，则图象与 轴另一个交点的坐标为________. 13. 如图，在平面直角坐标系中， 是抛物线 （）与 轴的交点， 是这条抛物线上的另一点，且 轴，求以 为边的正方形 的周长. 参考答案 1. C 2. 3. A 4. A 5. 6. (1) 将 代入 ，得 ，即 ，所以 . 所以该抛物线的对称轴是直线 . (2) ① 因为 ，，所以抛物线对应的函数表达式为 . 又因为 ，所以 . 因为抛物线 过原点，且点 与原点不重合，所以 . 所以 . 所以 . ② 由题意知，，，因为 ，所以 . 因为两条抛物线均过原点，且点 与原点都不重合，所以 ，. 所以 ，即 . 所以 . 因为 是与 无关的定值，所以 ，解得 . 经检验，当 时， 是一个与 无关的定值，符合题意. 所以 ，. 7. D 8. 9. (1) 由题意，得二次函数 的图象的对称轴为直线 . 因为点 ， 在该函数的图象上，所以 . 所以 . (2) ① 由(1)，得 ，所以该函数的表达式为 . 所以函数图象的顶点坐标为 . 因为函数的最大值为 ，所以 ，且 ，解得 或 （舍去）. 所以该二次函数的表达式为 . ② 因为点 在函数 的图象上，所以 . 由①知，点 ， 关于直线 对称，不妨设 ，则 ，即 . 所以 . 所以 . 10. (1) 把点 ， 的坐标代入 ，得 解得 所以二次函数的表达式为 . (2) . 解析：在 中，令 ，得 ，解得 ，. 所以点 的坐标为 ，即 . 所以 . 设直线 对应的函数表达式为 . 将 ， 代入，得 解得 所以直线 对应的函数表达式为 . 过点 作 轴，交 于点 . 设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 . 所以 . 所以 . 因为 ，且 ，所以当 时， 的面积取最大值，为 . 又因为 ，所以 . 11. C 12. 13. 因为在平面直角坐标系中， 是抛物线 （）与 轴的交点，所以点 的横坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 . 因为 是这条抛物线上的另一点，且 轴，所以点 的横坐标是 . 所以 . 所以正方形 的周长为 . 学科网（北京）股份有限公司 $