18.2.1分式的乘除（教学课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

18.2.1 分式的乘除 专项练习 一、核心知识点梳理 1. 分式的乘法法则 两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 公式：$$\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\quad(b eq0,d eq0)$$ 2. 分式的除法法则 两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。（除以一个分式等于乘以这个分式的倒数） 公式：$$\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}\quad(b eq0,c eq0,d eq0)$$ 3. 分式乘除通用解题步骤（必考规范） 第一步：统一形式除法变乘法，除式取倒数； 第二步：因式分解分子、分母中的多项式全部因式分解； 第三步：提前约分交叉约分、彻底约去公因式（计算又快又准）； 第四步：相乘整理剩余分子相乘、剩余分母相乘，结果化为最简分式或整式。 4. 整式与分式的乘除 整式可以看作分母为1的分式，例：$$x=\dfrac{x}{1}$$，再按照分式乘除法则运算。 二、重点易错点汇总 1. 除法不倒数：做除法时直接分子分母分别相除，忘记“变乘、取倒数”，是头号易错点。 2. 不分解直接算：多项式分式不因式分解就硬乘，导致无法约分、结果复杂出错。 3. 约分错误：只能约乘积公因式，严禁约分加减项，如$$\dfrac{x+1}{x+2}$$不可约分。 4. 符号混乱：负号个数奇数结果为负，偶数结果为正，多负号运算容易漏符号。 5. 漏写取值限制：默认分母不为0，运算中保证原式、倒数式分母均有意义。 6. 运算顺序错误：同级乘除从左到右依次运算，不能随意调换顺序。 三、基础专项练习 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 计算$$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a^2}$$的结果是（ ） A. $$a$$ B. $$\dfrac{1}{a}$$ C. $$b$$ D. $$\dfrac{1}{b}$$ 2. 计算$$\dfrac{2x}{y}\div\dfrac{4x}{y^2}$$的结果是（ ） A.$$\dfrac{y}{2}$$ B. $$\dfrac{2}{y}$$ C. $$2y$$ D. $$\dfrac{1}{2}$$ 3. 下列计算正确的是（ ） A. $$\dfrac{m}{n}\cdot\dfrac{n}{m}=1$$ B. $$\dfrac{2}{x}\div\dfrac{x}{2}=1$$ C. $$\dfrac{1}{a}\cdot a=a$$ D. $$\dfrac{a}{b}\div b=a$$ 4. 计算$$\dfrac{x^2-1}{x}\cdot\dfrac{x}{x+1}$$的结果是（ ） A. $$x-1$$ B. $$x+1$$ C. $$x$$ D. $$1$$ 5. 化简$$\dfrac{3a}{a-2}\div\dfrac{6a}{a^2-4}$$的结果是（ ） A. $$\dfrac{a+2}{2}$$ B. $$\dfrac{a-2}{2}$$ C. $$2a+4$$ D. $$\dfrac{2}{a+2}$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. $$\dfrac{2x^2}{3y}\cdot\dfrac{6y}{x}=$$________。 2. $$\dfrac{4a}{b}\div\dfrac{2a^2}{b}=$$________。 3. $$\dfrac{x^2-2x}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{x}=$$________。 4. $$\dfrac{m+2}{m-3}\div(m+2)=$$________。 5. $$\dfrac{6}{x^2-9}\cdot(x-3)=$$________。 （三）解答题（共60分） 1.（15分）计算下列分式乘法： （1）$$\dfrac{3x}{y^2}\cdot\dfrac{y}{6x^2}$$ （2）$$\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}\cdot\dfrac{x}{x-2}$$ （3）$$\dfrac{a^2-6a+9}{a^2-4}\cdot\dfrac{a+2}{a-3}$$ 2.（15分）计算下列分式除法： （1）$$\dfrac{5ab}{c^2}\div\dfrac{10a^2b}{c}$$ （2）$$\dfrac{x^2}{x-1}\div\dfrac{x}{x^2-1}$$ 3.（15分）综合运算：$$\dfrac{x^2-9}{x^2-6x+9}\div\dfrac{x+3}{x-3}\cdot\dfrac{1}{x}$$ 4.（15分）先化简，再求值：$$\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2-xy}\div\dfrac{x-y}{x}$$，其中$$x=2，y=1$$。 四、参考答案及详细解析 （一）选择题解析 1. B 解析：原式$$=\dfrac{ab}{a^2b}=\dfrac{1}{a}$$，交叉约分即可。 2. A 解析：原式$$=\dfrac{2x}{y}\cdot\dfrac{y^2}{4x}=\dfrac{y}{2}$$，除法变乘法取倒数再约分。 3. A 解析：B原式$$=\dfrac{4}{x^2}$$；C原式$$=1$$；D原式$$=\dfrac{a}{b^2}$$，只有A正确。 4. A 解析：原式$$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\cdot\dfrac{x}{x+1}=x-1$$，因式分解后整体约分。 5. A 解析：原式$$=\dfrac{3a}{a-2}\cdot\dfrac{(a+2)(a-2)}{6a}=\dfrac{a+2}{2}$$。 （二）填空题解析 1. $$4x$$ 解析：约分后$$2x\cdot2=4x$$。 2. $$\dfrac{2}{a}$$ 解析：除法变乘法，约去$$2ab$$得结果。 3. $$x-2$$ 解析：原式$$=\dfrac{x(x-2)}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{x}=x-2$$。 4. $$\dfrac{1}{m-3}$$ 解析：把$$m+2$$看成$$\dfrac{m+2}{1}$$，取倒数约分。 5. $$\dfrac{6}{x+3}$$ 解析：原式$$=\dfrac{6}{(x+3)(x-3)}\cdot(x-3)=\dfrac{6}{x+3}$$。 （三）解答题解析 1. 解：（1）原式$$=\dfrac{3x\cdot y}{y^2\cdot6x^2}=\dfrac{1}{2xy}$$；（2）原式$$=\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}\cdot\dfrac{x}{x-2}=1$$；（3）原式$$=\dfrac{(a-3)^2}{(a+2)(a-2)}\cdot\dfrac{a+2}{a-3}=\dfrac{a-3}{a-2}$$。 2. 解：（1）原式$$=\dfrac{5ab}{c^2}\cdot\dfrac{c}{10a^2b}=\dfrac{1}{2ac}$$；（2）原式$$=\dfrac{x^2}{x-1}\cdot\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}=x(x+1)=x^2+x$$。 3. 解：原式$$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2}\cdot\dfrac{x-3}{x+3}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x}$$，分步约分，彻底化简。 4. 解：原式$$=\dfrac{(x-y)^2}{x(x-y)}\cdot\dfrac{x}{x-y}=1$$，化简后为常数，代入任意符合条件的值结果均为$$1$$。 课时总结：分式乘除核心口诀：乘直接相乘，除变乘倒数，先分解、再约分、后计算。所有多项式分式必须先因式分解，提前约分简化计算，杜绝硬乘展开。本节是分式运算核心基础，后续分式乘方、混合运算均以此为依托，必须熟练掌握因式分解+约分的标准化解题流程。 人教版数学（新教材）八年级上册 18.2.1分式的乘除 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/22 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十八章 分式 素养目标 情境引入 QING JING YIN RU 果果一家人外出旅游，在给汽车加油过程中，果果爸爸说每次加油200元更划算，果果妈妈说每次加满更划算.果果想弄清楚这个问题的答案，你知道怎么解决吗？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 观察下列运算： 你还记得分数的乘法与除法的运算法则吗？ 探究新知 如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘法法则，说出分式的乘法法则吗？ 分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 分数的乘法法则：分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 式子表示 4 探究新知 分数的除法法则：分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘. （2） 解：（1） 计算：（1） ; （2） 5 探究新知 如果将分数换成分式，那么你能类比分数的除法法则，说出分式的除法法则吗？ 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 分数的除法法则：分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘. 式子表示 6 例题练习 （1） （2） 解：（1） （2） 结果为最简分式 7 1. 教材P146例1 计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 2. 化简 的结果是( ) A A. B. C. D. 3. 若“”可以进行约分化简，则“ ”不可以是( ) B A. 1 B. 2 C. 4 D. 返回 举一反三 8 归纳总结 【总结】对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘、除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式． 9 例题练习 计算： 【分析】分子、分母是多项式时，先分解因式，再约分 解：（1）原式 = 10 例题练习 解：（2）原式＝ 计算： 11 归纳总结 分式乘除运算的一般步骤： （1）先把除法统一成乘法运算； （4）结果应是最简分式. （2）分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； （3）确定分式的符号，然后约分； 12 探究新知 如图，“丰收 1 号”小麦的试验田是边长为 a m (a＞1)的正方形减去一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收 2 号”小麦的试验田是边长为 (a - 1) m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg. （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 1 m a m (a-1) m 13 探究新知 a m 1 m (a-1) m 解：(1)“丰收 1 号”小麦的试验田面积是(a2－1) m2，单位面积产量是 kg/m2； “丰收 2 号”小麦的试验田面积是 (a－1)2 m2，单位面积产量是 kg/m2. ∵a >1， (a－1)2 > 0， a 2 - 1 > 0， 由图可得(a－1)2＜ a 2-1， ∴ ， ∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高. 14 探究新知 解：(2) a m 1 m (a-1) m ∴“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍. 15 当堂练习 QING JING YIN RU 1.计算 的结果是( ). C 2.化简 的结果是( ). B 3.计算 的结果是( ). C 当堂练习 QING JING YIN RU 4.果果的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是 ( ). A 6.化简： 5.计算： (1) = (2) = 当堂练习 QING JING YIN RU 解：（1）原式 （2）原式 （1） （2） 7.计算： 当堂练习 QING JING YIN RU 8.计算： 解：原式 原式 (2) (1) 4. 下面是某同学化简式子 的过程，则横线上依次填入的序号为( ) . C ；；； . A. ③②① B. ③①② C. ④②① D. ④①② 返回 举一反三 20 5.已知，则式子 的值是___. 6. 八年级的三名同学在一起讨论一个分式乘 法题目： 4 甲：它是一个整式与一个分式相乘. 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解. 丙：计算结果是 . 请写出一个符合上述条件的题目:________________________ ____. （答案不唯一） 返回 举一反三 21 小结 分式的乘法与除法 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 式子表示： 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 式子表示： 22 谢谢观看 THANKS $