18.1.2.2分式的约分和通分（教学课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

18.1.2.2 分式的约分和通分 专项练习 一、核心知识点梳理 1. 分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 约分核心原则：约分只可约公因式，不可约多项式中的加减项。 最简分式：分子、分母没有公因式的分式，化简最终结果必须为最简分式或整式。 约分步骤：① 分子、分母能因式分解的先分解因式；② 找出分子、分母的全部公因式；③ 约去所有公因式，化为最简。 2. 分式的通分 定义：根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 最简公分母：通分时选取的最简单的公共分母，是所有分母的最小公倍数。 最简公分母确定方法： ① 系数：取各分母系数的最小公倍数； ② 字母（因式）：取所有分母中出现的所有不同因式； ③ 指数：相同因式取最高次幂。 3. 约分与通分的联系与区别 联系：都依据分式的基本性质，变形前后分式值不变，都需要先因式分解。 区别：约分是针对一个分式，化简分式、使分式变简单；通分是针对多个异分母分式，统一分母、方便分式加减运算。 二、重点易错点汇总 1. 约分误区：只能约乘积形式的公因式，严禁约分分子分母的加减项，如$$\dfrac{x+2}{x+3}$$不能约分。 2. 约分不彻底：只约部分公因式，结果不是最简分式，是考试高频扣分点。 3. 最简公分母找错：系数不取最小公倍数、因式找不全、次数不取最高次幂。 4. 通分漏项：通分时只改动分母，忘记同步改动分子，违背分式基本性质。 5. 分母为多项式不通分：分母是多项式未因式分解，直接找公分母，导致通分错误。 6. 混淆约分与通分目的：约分化简单个分式，通分统一多个分式分母，用途完全不同。 三、基础专项练习 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列分式属于最简分式的是（ ） A. $$\dfrac{2x}{4x+2}$$ B. $$\dfrac{x+1}{x^2+1}$$ C. $$\dfrac{x-1}{x^2-1}$$ D. $$\dfrac{3x-3}{6x}$$ 2. 对分式$$\dfrac{2x^2-2}{x^2-2x+1}$$约分，结果正确的是（ ） A. $$\dfrac{2(x+1)}{x-1}$$ B. $$\dfrac{2(x-1)}{x+1}$$ C. $$2$$ D. $$\dfrac{x+1}{x-1}$$ 3. 分式$$\dfrac{1}{2x^2}、\dfrac{1}{3xy}$$的最简公分母是（ ） A. $$6x^2y$$ B. $$6xy$$ C. $$x^2y$$ D. $$5x^2y$$ 4. 对$$\dfrac{1}{x-2}、\dfrac{1}{x+2}$$通分，最简公分母是（ ） A. $$x-2$$ B. $$x+2$$ C. $$x^2-4$$ D. $$x^2+4$$ 5. 下列变形正确的是（ ） A. $$\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x^2}{x^2+x}$$ B. $$\dfrac{x+2}{x+3}=\dfrac{2}{3}$$ C. $$\dfrac{2x}{3y}=\dfrac{2x+1}{3y+1}$$ D. $$\dfrac{x}{y}=\dfrac{x+1}{y+1}$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 约分：$$\dfrac{4xy}{6x^2y}=$$________。 2. 约分：$$\dfrac{x^2-4}{x^2+4x+4}=$$________。 3. 分式$$\dfrac{2}{3a^2}、\dfrac{1}{6ab}$$的最简公分母为________。 4. 分式$$\dfrac{1}{x^2-x}、\dfrac{1}{x^2+x}$$的最简公分母为________。 5. 化简$$\dfrac{3-3x}{x^2-1}=$$________。 （三）解答题（共60分） 1.（15分）将下列分式化为最简分式： （1）$$\dfrac{8a^2b}{12ab^2}$$（2）$$\dfrac{x^2-9}{x^2-6x+9}$$ （3）$$\dfrac{4-4x}{x^2-2x+1}$$ 2.（15分）对下列两组分式进行通分： （1）$$\dfrac{1}{2x^2}$$和$$\dfrac{3}{4xy}$$ （2）$$\dfrac{2}{x-1}$$和$$\dfrac{3}{x+1}$$ 3.（15分）先约分，再求值：$$\dfrac{x^2-2xy}{x^2-4y^2}$$，其中$$x=4，y=1$$。 4.（15分）通分完善：将$$\dfrac{1}{x^2-2x}、\dfrac{1}{x^2-4x+4}$$通分。 四、参考答案及详细解析 （一）选择题解析 1. B 解析：A、C、D均可因式分解后约去公因式，不是最简分式；B分子分母无公因式，为最简分式。 2. A 解析：原式$$=\dfrac{2(x^2-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{2(x+1)}{x-1}$$。 3. A 解析：系数最小公倍数6，字母取$$x^2、y$$，最简公分母为$$6x^2y$$。 4. C 解析：分母因式分解为$$x-2、x+2$$，最简公分母为$$(x-2)(x+2)=x^2-4$$。 5. A 解析：A分子分母同乘$$x$$（$$x eq0$$），符合分式基本性质；B、C、D均为分子分母同加减，变形错误。 （二）填空题解析 1. $$\dfrac{2}{3x}$$ 解析：约去公因式$$2xy$$，化简得最简分式。 2. $$\dfrac{x-2}{x+2}$$ 解析：原式$$=\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2}=\dfrac{x-2}{x+2}$$。 3. $$6a^2b$$ 解析：系数最小公倍数6，字母取$$a^2、b$$。 4. $$x(x+1)(x-1)$$ 解析：分母分解$$x(x-1)、x(x+1)$$，最简公分母取全部最高次因式。 5. $$-\dfrac{3}{x+1}$$ 解析：原式$$=\dfrac{-3(x-1)}{(x+1)(x-1)}=-\dfrac{3}{x+1}$$。 （三）解答题解析 1. 解：（1）原式$$=\dfrac{2a}{3b}$$，约去$$4ab$$；（2）原式$$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2}=\dfrac{x+3}{x-3}$$；（3）原式$$=\dfrac{-4(x-1)}{(x-1)^2}=-\dfrac{4}{x-1}$$。 2. 解：（1）最简公分母$$4x^2y$$，$$\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{2y}{4x^2y}$$，$$\dfrac{3}{4xy}=\dfrac{3x}{4x^2y}$$；（2）最简公分母$$(x-1)(x+1)$$，$$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{2x+2}{x^2-4}$$，$$\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{3x-3}{x^2-4}$$。 3. 解：原式$$=\dfrac{x(x-2y)}{(x+2y)(x-2y)}=\dfrac{x}{x+2y}$$，代入$$x=4，y=1$$，原式$$=\dfrac{4}{4+2}=\dfrac{2}{3}$$。 4. 解：分母因式分解：$$x^2-2x=x(x-2)$$，$$x^2-4x+4=(x-2)^2$$，最简公分母$$x(x-2)^2$$；通分结果：$$\dfrac{x-2}{x(x-2)^2}$$、$$\dfrac{x}{x(x-2)^2}$$。 课时总结：本节核心掌握约分、通分两大分式基础运算，二者均依托分式基本性质和因式分解。约分核心是找全部公因式、化最简；通分核心是找准最简公分母、同步变形分子。牢记“加减项不能约分、多项式先分解再运算”，是后续分式加减运算的必备基础，属于期中期末必考基础题型。 人教版数学（新教材）八年级上册 18.1.2.2分式的约分和通分 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/22 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十八章 分式 素养目标 问题： 什么是分数的约分？其依据和关键是什么？ 分数的约分：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分. 依据：分数的基本性质. 关键：约去分子分母的最大公约数. 情境导入 知识回顾 分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个 ，分式的值 . 式子表示： 其中A，B，C是整式. 不等于0的整式 不变 3 新知导入 分数的约分：把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值保持不变，这个过程叫分数的约分. 给下列的分数约分. 最大公因数 最大公因数 4 探究新知 ÷3x ÷3x （2） （1） ÷ ÷ 公因式 公因式 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 5 探究新知 ÷3x ÷3x （2） （1） ÷ ÷ 最简分式 最简分式 经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样，分子与分母没有公因式的式子，叫最简分式．　 注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式. 6 例题练习 约分：（1） ； （2） ； （3） . 【分析】为约分，要先找出分子和分母的公因式. 找公因式方法: （1）找系数的最大公因数； （2）找分子、分母相同字母的最低次幂； （3）两者的乘积即为公因式. 7 例题练习 解：（1） （2）（3）分子、分母都是多项式，先分解因式，再找公因式约分 （2） （3） 约分：（1） ； （2） ； （3） . 8 1. ［2025上海嘉定区月考］下列分式， ， ， 中，最简分式有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列分式与分式 相等的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 9 3. 化简 的结果是( ) D A. B. 1 C. D. 4. 分式，， 的最简公分母是( ) D A. B. C. D. 举一反三 10 找最简公分母的方法: （1）找系数:如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最 小公倍数. （2）找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式 子都要选取. （3）找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子 中指数的最大值. . . . . . . 返回 举一反三 11 探究新知 【思考】如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？ 如果分式的分子或分母是多项式，约分时先分解因式容易看出它们的公因式，使约分彻底，便于把分式化为最简分式或整式. 12 归纳总结 约分的一般方法： （1）若分子、分母都是单项式，直接约去分子、分母的公因式（分子、分母系数的最大公因数和分子、分母相同字母的最低次幂的乘积） （2）若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 13 探究新知 分数的通分：把分母不同的分数化成分母相同的分数，这个过程叫分数的通分. 通分： 通分结果为 和 . 分数通分的关键是确定几个分母的最小公倍数. 5与25的最小公倍数是25 14 探究新知 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫分式的通分.　 15 探究新知 分式通分的关键：确定最简公分母. 通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫最简公分母. 最简公分母 16 例题练习 通分：（1） 与 ；（2） 与 解：（1）最简公分母是2a2b2c. 17 例题练习 解：（2）最简公分母是2(x-5)(x+5). 通分：（1） 与 ；（2） 与 18 归纳总结 确定最简公分母的一般方法：（1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和单独出现的字母及其指数的乘积. （2）若分母是多项式，则应先进行因式分解，再按照分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母. （3）特殊情况：①只有一个分母时，这个分母就是最简公分母； ②分母互为相反数时，每个分母都可作为最简公分母； ③若有能约分的分式，则应化简后再找最简公分母. 19 探究新知 约分和通分有什么联系与区别？ 约分 通分 区别 分式的个数 目的 联系 依据 分式的值 将分式化为最简分式或整式 使几个异分母的分式化为同分母的分式 分式的基本性质 不变 1个 2个及2个以上 20 5. 小明化简分式时， 部分不小心滴上了墨水，请 推测*部分的式子应该是( ) B A. B. C. D. 【点拨】， 部分的式子 应该是 .故选B. 返回 举一反三 21 小结 分式的约分与通分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫分式的通分.　 通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫最简公分母. 22 谢谢观看 THANKS $