18.1.2.2 分式的约分与通分-课件-2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式的约分与通分，通过分数约分实例、因式分解复习及分式基本性质填空导入，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生理解约分（约去公因式得最简分式）与通分（确定最简公分母化同分母）的核心步骤。 其亮点是类比分数学习分式，培养推理意识，强调多项式分母先因式分解的关键，提升抽象能力，练习分层含中考题与变式题，助力学生夯实基础，教师可通过系统内容高效开展教学。

人教版（新教材）数学八年级上册 第十八章 分式 18.1.2.2 分式的约分与通分 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/1 18.1.2.2 分式的约分与通分 专项练习（人教版八年级上册） 一、核心知识点梳理 分式的约分与通分是分式基本性质的直接应用，是分式加减运算、分式化简、比较分式大小的必备基础，在分式章节起到承上启下的关键作用。约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；约分后分子、分母没有公因式的分式，叫做最简分式。约分核心步骤：先对分子、分母分别因式分解，再找出公共因式，最后同时约去公因式，必须约分彻底。通分：把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。最简公分母找法：系数取各分母系数的最小公倍数；字母取所有分母中出现的所有字母；字母次数取各分母中最高次幂；多项式分母需先因式分解，再确定最简公分母。核心总结：约分针对单个分式，化繁为简；通分针对多个异分母分式，统一分母，二者均依据分式基本性质，变形不改变分式值。 二、基础专项练习（选择+填空） 1. 下列分式属于最简分式的是（）A.$$\frac{2xy}{x^2}$$ B.$$\frac{x+1}{x^2+1}$$ C.$$\frac{x-1}{x^2-1}$$ D.$$\frac{4}{2x}$$ 2. 分式$$\frac{1}{2x^2}$$与$$\frac{1}{3xy}$$的最简公分母是（）A.$$6x^2y$$ B.$$6xy$$ C.$$5x^2y$$ D.$$x^2y$$ 3. 填空：约分$$\frac{3x^2}{6xy}=$$______；$$\frac{x-y}{(x-y)^2}=$$______。 4. 分式通分：$$\frac{1}{a^2}$$和$$\frac{2}{ab}$$的最简公分母为______。 5. 化简分式$$\frac{x^2-4}{x+2}$$的结果为______。 三、提升专项练习（计算+解答） 1. 基础约分计算：（1）$$\frac{4a^2b}{6ab^2}$$ （2）$$\frac{x^2+2x}{x^2}$$ （3）$$\frac{m^2-9}{m+3}$$ 2. 基础通分运算：对下列两组分式进行通分。（1）$$\frac{2}{3x^2}$$、$$\frac{1}{6xy}$$ （2）$$\frac{1}{a-1}$$、$$\frac{2}{a+1}$$ 3. 多项式分母通分：通分$$\frac{1}{x^2-2x}$$与$$\frac{3}{x^2-4}$$。 4. 化简求值：先约分化简$$\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}$$，再代入$$x=4$$求值。 四、参考答案与详细解析 基础练习解析：1. B 解析：最简分式无公因式，A可约去x，C可因式分解约去x-1，D可约去2，只有B无法约分。2. A 解析：系数最小公倍数6，字母最高次幂$$x^2、y$$，最简公分母为$$6x^2y$$。3. $$\frac{x}{2y}$$、$$\frac{1}{x-y}$$ 解析：分别约去公共单项式与整体公因式，化简为最简分式。4. $$a^2b$$ 解析：取系数、字母最高次幂，确定最简公分母。5. $$x-2$$ 解析：分子因式分解为$$(x+2)(x-2)$$，约去公因式$$x+2$$。 提升练习解析：1.（1）原式$$=\frac{2a}{3b}$$；（2）原式$$=\frac{x(x+2)}{x^2}=\frac{x+2}{x}$$；（3）原式$$=\frac{(m+3)(m-3)}{m+3}=m-3$$，先因式分解再彻底约分。2.（1）最简公分母$$6x^2y$$，通分结果$$\frac{4y}{6x^2y}$$、$$\frac{x}{6x^2y}$$；（2）最简公分母$$(a-1)(a+1)$$，通分结果$$\frac{a+1}{a^2-1}$$、$$\frac{2a-2}{a^2-1}$$。3. 先因式分解分母：$$x^2-2x=x(x-2)$$，$$x^2-4=(x+2)(x-2)$$，最简公分母$$x(x+2)(x-2)$$，通分后$$\frac{x+2}{x(x+2)(x-2)}$$、$$\frac{3x}{x(x+2)(x-2)}$$。4. 原式化简$$=\frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)}=\frac{x-3}{x+3}$$，代入$$x=4$$得$$\frac{1}{7}$$。 易错总结：一是约分不彻底，残留公因式，未化为最简分式；二是多项式分母未先因式分解，直接盲目找公因式、公分母；三是找最简公分母出错，系数不取最小公倍数、字母不取最高次幂；四是通分时分子漏乘对应因式，只变分母不变分子，破坏分式等值关系；五是整体公因式约分遗漏符号，互为相反数因式未变形直接约分；六是化简求值未先约分，直接代入计算量大、易出错。约分与通分的核心是因式分解与分式基本性质的综合运用，熟练掌握可彻底解决分式化简与运算的基础难点。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 会对分式进行约分. 会对异分母的分式通分. 体会用类比转化的思想研究数学问题． 1. 把下列分数化为最简分数或整数： = ( )， = ( ) ， = ( ) ； 2 2. 因式分解：(1) x2 + xy = ________； (2) 4m2 – n2 = _______________. 3. 填空： x(x + y) (2m + n)(2m – n) 12a2bc2 2x 情境导入 问题： 什么是分数的约分？其依据和关键是什么？ 分数的约分：把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分. 依据：分数的基本性质. 关键：约去分子分母的最大公约数. 探究新知 想一想：类比分数的约分，观察课本例3(1)(2)，你能想出如何对分式进行约分吗？ 约去分子分母的公因式. 探究点一：约分及最简分式 ÷x2 ÷3x 探究新知 　　像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.　 最简分式： 分子与分母没有公因式的式子. 注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式. 探究点一：约分及最简分式 探究新知 例1 (教材P142 例4) 约分： 分析：约分要先找出分子和分母的公因式：_______ ①找系数：最大公约数：___ ②找相同因式：最低次幂的因式：___ abc 5abc 5 探究点一：约分及最简分式 探究新知 分析：分子或分母若是多项式，能分解则必须先进行因式分解. 再找出分子和分母的公因式进行约分. 原式 原式 探究点一：约分及最简分式 探究新知 返回 x2 举一反三 9 2.［唐山期中］化简 ，括号内应填( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 10 【练一练】1. 下列分式是最简分式的个数为( ). A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 B 探究点一：约分及最简分式 探究新知 通分的关键是确定几个分母的最小公倍数 最小公倍数：24 分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值. 解： 问题：通分： 与 探究点二：分式的最简公分母与通分 探究新知 讨论1：你能确定分数 的公分母吗？ 公分母为 23×3²×5². 讨论2：若把讨论1 中分数分母中的 3，5 用 x，y 来代替，则分式 的公分母如何确定呢？ 公分母为 23x²y². 探究新知 2 最简公分母：一般取各分母的所有因式的________的积作公分母. 最高次幂 x3 (1) y2 z 最小 公倍数 最高次幂 单独字母 最简公分母 探究新知 例2 (1) 分式 的最简公分母是 ； (2) 的最简公分母是 ； (3) 分式 的最简公分母是 . a2b2 x2－y2 abc (x＋y)(x－y) 探究新知 3.［教材 例4变式］约分： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 举一反三 16 返回 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 举一反三 17 想一想：类比分数的通分，观察课本例3(3)(4)，你能想出如何对分式进行通分吗？ ab a2 a2b 分式 通分后的分式 通分步骤 分母 化为 公分母 分子，分母同乘_____ 分子，分母同乘_____ a b 探究点二：分式的最简公分母与通分 探究新知 　　根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.　 通分的关键：确定最简公分母. 探究点二：分式的最简公分母与通分 探究新知 4.下列分式中是最简分式的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 20 5.有分别写有，， 的三张卡片，若从中任选一张，将其上写 有的式子作为分式 的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 ___的卡片. 返回 举一反三 21 最简公分母 例3 (教材P143 例5) 通分： 解：最简公分母是 6a2b2c. 探究点二：分式的最简公分母与通分 6 a 探究新知 探究点二： 分式的最简公分母与通分 不同的因式 最简公分母 (x + 5)·(x - 5) (x - 5) 2·(x + 5) 2 (x + 5) 探究新知 探究点二：分式的通分 (2) 最简公分母是 2(x－5)(x＋5). 探究新知 6. （1）与 的最简公分母是______； （2）与 的最简公分母是______________； （3）与 的最简公分母是_______； （4）与 的最简公分母是___________. 返回 举一反三 25 知识点4 分式的通分 7.［邢台期中］若将分式与分式通分后，分式 的分 母变为，则分式 的分子应变为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 26 8.通分： （1）1， ； 解：最简公分母是 , ， . （2）， ； 举一反三 27 （3）， ； 解：最简公分母是 , ， . （4）， . 解：最简公分母是 , ， . 返回 举一反三 28 9.已知分式，，是这两个分式中分母的公因式， 是这两个分 式的最简公分母，则 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 29 10.如图，若为正整数，则表示分式 的值的点落在( ) B A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 返回 举一反三 30 约分 方法 依据 结果 分子和分母同时除以它们的公因式 分式的基本性质 最简分式或整式 通分 确定各分式的最简公分母 用这个最简公分母除以各分式的分母 用所得的商去乘原各分式的分子、分母 1 3 2 课堂小结 谢谢观看 THANKS 1．湖南中考约分：＝________． 解: 最简公分母是20a2b2， ＝，＝. $