18.4.1负整数指数幂 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

18.4.1 负整数指数幂 专项练习 一、核心知识点梳理 1. 负整数指数幂定义（核心公式） 一般地，当$$a eq0$$，$$n$$为正整数时： $$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$$ 文字解读：一个不为0的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数。 重要前提：底数$$a eq0$$，$$0$$的负整数次幂无意义。 2. 零指数幂补充（衔接考点） $$a^0=1\ (a eq0)$$，任何非零数的0次幂都等于1。 3. 指数幂五大运算性质（整数指数通用） 正负指数、零指数全部适用，是本节运算核心依据： ① 同底数幂相乘：$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$ ② 同底数幂相除：$$a^m\div a^n=a^{m-n}$$ ③ 幂的乘方：$$(a^m)^n=a^{mn}$$ ④ 积的乘方：$$(ab)^n=a^nb^n$$ ⑤ 商的乘方：$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$$ 4. 负指数幂快速变形口诀 底数颠倒，指数变号 分式形式速算：$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^n$$，直接颠倒分子分母，负指数转正指数，大幅简化计算。 5. 运算最终要求 计算题结果禁止保留负指数，必须化为正整数指数幂形式（分数或整式）。 二、重点易错点汇总 1. 底数范围忽略：默认0可以取负指数，忘记0的负整数次幂无意义。 2. 负指数与负数混淆：$$a^{-n}$$不是负数，是正数的倒数，结果符号由底数决定。 3. 运算公式误用：负指数幂运算时，错误将指数与底数直接相除、相减。 4. 括号范围出错：$$-2^{-2} eq(-2)^{-2}$$，有无括号底数完全不同，结果天差地别。 5. 结果保留负指数：最终答案未化简，残留负整数指数，考试直接扣分。 6. 混合运算顺序乱：负指数幂混合运算，未先算乘方，直接从左到右盲目计算。 三、基础专项练习 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 计算$$3^{-2}$$的结果是（ ） A. $$-6$$ B. $$\dfrac{1}{9}$$ C.$$-\dfrac{1}{9}$$ D. $$9$$ 2. 下列式子无意义的是（ ） A. $$2^{-3}$$ B. $$0^{-2}$$ C. $$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}$$ D. $$1^{-5}$$ 3. 计算$$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$$的结果是（ ） A. $$3$$ B. $$-3$$ C.$$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 下列运算正确的是（ ） A. $$a^{-2}=-a^2$$ B. $$2^{-2}=-4$$ C. $$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}=\dfrac{3}{2}$$ D. $$0^0=1$$ 5. 计算$$x^3\cdot x^{-1}$$的结果是（ ） A. $$x^2$$ B. $$x^{-3}$$ C. $$x^4$$ D. $$\dfrac{1}{x^2}$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. $$5^{-1}=$$________，$$(-4)^{-2}=$$________。 2. $$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}=$$________。 3. 计算$$2^0-3^{-1}=$$________。 4. 化简$$a^{-3}\cdot a^5=$$________。 5. 将$$2x^{-2}y$$化为正指数形式：________。 （三）解答题（共60分） 1.（15分）直接计算下列负指数幂： （1）$$4^{-2}$$ （2）$$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$$ （3）$$(-5)^{-2}$$ 2.（15分）整数指数幂混合运算： （1）$$a^2\cdot a^{-4}\cdot a^3$$ （2）$$(x^{-2})^3\div x^{-4}$$ 3.（15分）分数型负指数运算： $$\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^0-5^{-1}$$ 4.（15分）化简求值：已知$$a=2$$，求$$a^{-1}+(a-1)^0$$的值。 四、参考答案及详细解析 （一）选择题解析 1. B 解析：$$3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$$，负指数取倒数，底数不变。 2. B 解析：0的所有负整数次幂无意义，其余选项底数均非0，式子有意义。 3. B 解析：$$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=-3$$。 4. C 解析：A$$a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}$$；B$$2^{-2}=\dfrac{1}{4}$$；D$$0^0$$无意义，只有C正确。 5. A 解析：同底数幂相乘，指数相加：$$x^{3+(-1)}=x^2$$。 （二）填空题解析 1. $$\dfrac{1}{5}$$；$$\dfrac{1}{16}$$ 解析：$$(-4)^{-2}=\dfrac{1}{(-4)^2}=\dfrac{1}{16}$$，偶次幂消去负号。 2. $$\dfrac{16}{9}$$ 解析：颠倒底数，指数变正：$$\left(\dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{16}{9}$$。 3. $$\dfrac{2}{3}$$ 解析：原式$$=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$$。 4. $$a^2$$ 解析：指数相加：$$-3+5=2$$。 5. $$\dfrac{2y}{x^2}$$ 解析：仅$$x^{-2}$$变倒数，其余项保留原式。 （三）解答题解析 1. 解：（1）原式$$=\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{16}$$； （2）原式$$=\dfrac{1}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3}=-8$$； （3）原式$$=\dfrac{1}{(-5)^2}=\dfrac{1}{25}$$。 2. 解：（1）原式$$=a^{2-4+3}=a^1=a$$； （2）原式$$=x^{-6}\div x^{-4}=x^{-6-(-4)}=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$$。 3. 解：原式$$=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{25}{4}+1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{125+20-4}{20}=\dfrac{141}{20}$$。 4. 解：原式$$=\dfrac{1}{a}+1$$，代入$$a=2$$，原式$$=\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}$$。 课时总结：本节核心掌握负整数指数幂公式$$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}(a eq0)$$，牢记“底数非0、负指数变倒数、结果无负指数”三大原则。熟练运用“底数颠倒，指数变号”速算技巧，区分有无括号的底数差异，掌握整数指数幂通用运算性质。本节是科学记数法（小数）、分式幂运算的基础，是中考基础计算题必考知识点。 人教版数学（新教材）八年级上册 18.4.1负整数指数幂 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/22 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十八章 分式 素养目标 复习回顾 FU XI HUI GU 回顾已学过的正整数指数幂的运算性质： （1）同底数的幂的乘法： (m,n是正整数)； （2）幂的乘方： (m,n是正整数)； （3）积的乘方： (n是正整数)； （4）同底数的幂的除法： ( a≠0，m,n是正整数，m＞n)； （5）商的乘方： (n是正整数)； 此外，我们还学习过0的指数幂，即当 a≠0时，a0=1. 你知道am这个符号是怎么来的吗？ 思考 数学文化 QING JING YIN RU 3世纪，丢番图 16世纪， 韦达（1540-1603） 17世纪， 哈里奥特（1560-1621） 1637，笛卡儿 幂的符号的演变经历了漫长的时间， 探究新知 由分式的约分可知，当 a ≠ 0 时， a3÷a5= 把正整数指数幂的运算性质am ÷an=am-n (a≠0，m，n都是正整数， m＞n )中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像 a3÷a5 的情形也能使用，则有 a3÷a5 =a3 - 5 = a-2 4 探究新知 由上面两式，如果规定 ，就能使am÷an=am – n这条性质也适用于像 a3÷a5 这样的情形. am÷an=am – n （a≠0，m，n是正整数）. 可以m＞n；可以m = n；可以m＜n. a3÷a5 =a3 - 5 = a-2 a3÷a5= 5 归纳总结 负整数指数幂的意义 一般地，当 n 是正整数时， 这就是说，a-n (a≠0) 是 an 的倒数. a–n = (a≠0). a-n (a≠0) 属于分式 6 探究新知 【思考】引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质 am · an = am+n （m，n是正整数） 能否推广到m，n是任意整数的情形？ 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数. 7 探究新知 【总结】一般地，am ∙ an = am+n 这条性质对于m、n是任意整数的情形仍然适用. 8 探究新知 事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂. （n是整数）； am∙an=am+n （m，n是整数）； (am)n=amn （ m，n是整数）； (ab)n= anbn （n是整数）； am÷an=am – n （a≠0，m，n是整数）； 整数指数幂的运算性质： 9 例题练习 解：(1) (2) (3) (4) 计算：（1）a-2÷a5 （2） （3）(a-1b2)3 （4） 10 探究新知 根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， am ÷ an = am-n ，am ∙ a-n = am+(-n) = am-n ， 因此am ÷ an = am ∙ a-n 即同底数幂的除法am ÷ an可以转化为同底数幂的乘法am ∙ a-n 11 1. 下列结果正确的是( ) A A. B. C. D. 2. 母题教材P162习题 若 有意义， 则 的取值范围是( ) C A. B. C. 且 D. 或 返回 举一反三 12 3. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 4. 若，则 等于( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 13 探究新知 特别地， ，所以 ， 即商的乘方 可以转化为积的乘方 . 14 当堂练习 QING JING YIN RU 3.下列运算正确的是(　　) A. B. C. ()-1 = - D.(-a3 )2=a6 1.2－3可以表示为(　　) A．22÷25　　　　B．25÷22 C．22×25 D．(－2)×(－2)×(－2) A 2.(－2)－2等于(　　) A．－4　　B．4　　C．　　　D. D D 当堂练习 QING JING YIN RU 4.计算a·a－1的结果为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－a C 6.在空军红剑演戏汇总，歼-20战斗机凭借隐身优势，在0.0000425秒内锁定并 “击落”一架四代机.数据0.0000425可以表示为4.25×10n,n的值为(　　) A. 5 B. -5 C. -6 D. -4 B 5.若 则a,b,c的大小关系为(　　) A. a<b<c B. a<c<b C. b<c<a D. c<a<b B 当堂练习 QING JING YIN RU 7.填空： （1）30= ，3 －2= ； （2）(－3)0= ，(－3) －2= ； （3）b0= ，b－2= (b≠0). 1 1 1 8.计算： . 3 9.计算： . 典例精析 DIAN LI JING XI 解： (1)原式＝6x－2·2－3x6y3 (2)原式＝－23a－6b2÷2a－8b－3 ＝－4a2b5； (3)原式＝x－4y2·x3y－6÷x4y－4 ＝x－5y0＝x－5 10.计算： 当堂练习 QING JING YIN RU 11.计算. 当堂练习 QING JING YIN RU 12.用小数表示下列各数： (1) 2×10－7； (2) 3.14×10－5； (3) 7.08×10－3； (4) 2.17×10－1. 解：(1) 2×10－7＝0.0000002. (2) 3.14×10－5＝0.0000314. (3) 7.08×10－3＝0.00708. (4) 2.17×10－1＝0.217. 5.已知,,，,则,, , 的大小关系为______________.（用“ ”号连接起来） 【点拨】,,, , , . 返回 举一反三 6.［2025郴州期中］计算： . 【解】 返回 举一反三 22 小结 整数指数幂 一般地，当 n 是正整数时， 这就是说，a-n (a≠0) 是 an 的倒数. a–n = (a≠0). 整数指数幂的运算性质(m，n是整数) am∙an=am+n ； (am)n=amn ； (ab)n= anbn ； am÷an=am – n （a≠0）； 23 谢谢观看 THANKS $