18.5.1分式方程及其解法（教学课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

18.5.1 分式方程及其解法 专项练习 一、核心知识点梳理 1. 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 区分要点：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数，这是两者最核心的区别。 示例：$$\dfrac{1}{x+1}=2$$、$$\dfrac{x}{x-3}+1=0$$ 是分式方程；$$\dfrac{x+1}{2}=3$$ 是整式方程。 2. 解分式方程的核心思想 转化思想：将分式方程通过去分母，转化为熟悉的一元一次整式方程求解。 3. 解分式方程标准五步解题法（必考规范） ① 找公分母：确定方程中所有分母的最简公分母； ② 去分母：方程两边同时乘以最简公分母，消去所有分母，化为整式方程； ③ 解整式方程：按照一元一次方程解法求解未知数； ④ 检验（重中之重）：将解得的根代入最简公分母： 若公分母≠0，根是原分式方程的解；若公分母=0，根是增根，原方程无解。 ⑤ 写结论：明确写出方程的解或无解。 4. 增根的定义与产生原因 增根：去分母过程中产生的、不适合原分式方程的根。 产生原因：方程两边同乘含未知数的整式，扩大了未知数的取值范围，因此必须检验。 核心性质：增根是整式方程的根，但不是分式方程的根，且增根一定能让原方程分母为0。 二、重点易错点汇总 1. 忘记检验：解分式方程不检验，直接扣分，是最高频必考易错点。 2. 漏乘常数项：去分母时，方程两端的常数项忘记乘最简公分母，导致方程变形错误。 3. 符号出错：分子为多项式时，去分母后未加括号，去括号符号混乱。 4. 增根概念混淆：误以为增根是计算错误，实则是变形产生的无效根。 5.检验方式错误：将根代入化简后的整式方程检验，必须代入原方程公分母检验。 6. 无解情况遗漏：算出整式方程有根，但为增根，需判定原方程无解，不能漏写结论。 三、基础专项练习 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程中，属于分式方程的是（ ） A. $$\dfrac{x+1}{2}=3$$ B. $$\dfrac{1}{x}+2=5$$ C. $$2x+1=0$$ D. $$\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{2}=1$$ 2. 解分式方程 $$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{3}{x}$$，去分母正确的是（ ） A. $$2x=3(x-1)$$ B. $$2x=3x-1$$ C. $$2(x-1)=3x$$ D. $$2x=3$$ 3. 分式方程 $$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-1}{x-2}$$ 的增根是（ ） A. $$x=1$$ B. $$x=2$$ C. $$x=3$$ D. 无解 4. 解方程 $$\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{x-1}$$ 的解为（ ） A. $$x=3$$ B. $$x=-3$$ C. $$x=1$$ D. 无解 5. 下列说法正确的是（ ） A. 分式方程一定有解 B. 分式方程可能有增根 C. 增根是原分式方程的解 D. 解分式方程无需检验 （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 方程 $$\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2}{x}$$ 的解是________。 2. 分式方程 $$\dfrac{x}{x-3}=2+\dfrac{3}{x-3}$$ 的结果是________。 3. 解分式方程的核心步骤是________，必须进行的步骤是________。 4. 方程 $$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x+1}$$ 的解为________。 5. 若 $$x=2$$ 是分式方程的增根，则原方程分母必含有因式________。 （三）解答题（共60分） 1.（20分）解下列基础分式方程： （1）$$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x+3}$$ （2）$$\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{4}{x}$$ 2.（20分）解含常数项的分式方程： （1）$$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-3}{x-2}$$ （2）$$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$$ 3.（20分）综合题型：已知分式方程 $$\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{kx}{x^2-4}=\dfrac{3}{x+2}$$ 有增根，求增根的值。 四、参考答案及详细解析 （一）选择题解析 1. B 解析：分式方程定义为分母含未知数，仅B选项符合，其余均为整式方程。 2. A 解析：最简公分母为$$x(x-1)$$，两边同乘公分母得：$$2x=3(x-1)$$。 3. B 解析：分式方程增根使分母为0，令$$x-2=0$$，得增根$$x=2$$。 4. A 解析：去分母得$$3(x-1)=2x$$，解得$$x=3$$，检验公分母不为0，是有效解。 5. B 解析：分式方程可能无解、有增根，解分式方程必须检验，增根不是原方程的解。 （二）填空题解析 1. $$x=-2$$ 解析：交叉相乘得$$x=2(x+1)$$，解得$$x=-2$$，检验有效。 2. 无解 解析：去分母解得$$x=3$$，代入公分母为0，是增根，方程无解。 3. 去分母化为整式方程；检验 解析：解分式方程核心是转化，必备步骤是检验。 4. $$x=2$$ 解析：去分母得$$2(x+1)=3x$$，解得$$x=2$$，检验有效。 5. $$x-2$$ 解析：增根使分母为0，故分母含$$x-2$$。 （三）解答题解析 1. 解： （1）最简公分母$$x(x+3)$$，去分母得：$$x+3=2x$$，解得$$x=3$$。 检验：当$$x=3$$时，$$x(x+3) eq0$$，故方程的解为$$x=3$$。 （2）最简公分母$$x(x-1)$$，去分母得：$$3x=4(x-1)$$，解得$$x=4$$。 检验：当$$x=4$$时，$$x(x-1) eq0$$，故方程的解为$$x=4$$。 2. 解： （1）最简公分母$$x-2$$，去分母得：$$1+3(x-2)=x-3$$， 整理得：$$1+3x-6=x-3$$，解得$$x=1$$。 检验：当$$x=1$$时，$$x-2 eq0$$，故方程的解为$$x=1$$。 （2）最简公分母$$(x-1)(x+2)$$，去分母得：$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$， 展开整理：$$x^2+2x-x^2-x+2=3$$，解得$$x=1$$。 检验：当$$x=1$$时，公分母为0，$$x=1$$是增根，原方程无解。 3. 解：分式方程的增根满足原方程分母为0， 原方程分母为$$x^2-4=(x+2)(x-2)$$，令$$(x+2)(x-2)=0$$， 解得$$x=2$$ 或$$x=-2$$，即该方程的增根为$$x=2$$或$$x=-2$$。 课时总结：本节核心掌握分式方程的定义、标准化解法和增根知识点。牢记“去分母化整式、求解后必检验”的核心流程，区分整式方程与分式方程，理解增根的产生原理。解分式方程检验步骤绝对不能省略，重点攻克漏乘、符号错误、增根判断三大易错点，是后续分式方程应用题的基础，也是期中期末必考核心题型。 人教版数学（新教材）八年级上册 18.5.1分式方程及其解法 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/22 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十八章 分式 素养目标 1. 理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤. (重点) 2. 理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法. (难点) 3. 在将分式方程转化为整式方程，在解分式方程的方法中培养探究、合作学习的习惯. 素养目标 新知导入 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行 60 km所用时间相等，江水的流速为多少？ 如果设江水的流速为 v km/h. 速度(km/h) 路程(km/h) 时间(h) 顺流 逆流 30+v 30 – v 90 60 3 探究新知 观察方程 你能发现他有什么特点？ 分母中含有未知数 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程. 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中． 4 探究新知 【思考】如何解分式方程 ？ 分母中含有未知数 能否将分式方程化为整式方程呢？ 去分母 分式方程 整式方程 转化 5 探究新知 方程各分母的最简公分母是(30+v)(30-v).把方程两边乘最简公分母可化为整式方程，解这个整式方程可得方程的解. 解：方程两边同乘(30+v)(30-v)，得 90(30-v) = 60(30+v)， 解得 v = 6. 检验：将v = 6代入原分式方程中，左边 = = 右边， 因此v = 6是原分式方程的解. 所以江水的流速为6 km/h. 6 归纳总结 解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程. 具体做法:是“去分母”， 即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 去分母 分式方程 整式方程 转化 7 探究新知 尝试运用 “去分母化为整式方程”的方法解分式方程 解：去分母，方程两边乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得整式方程 x + 5 = 10. 解得 x = 5. 【思考】x = 5是原方程的解吗？ 8 探究新知 检验： x = 5 代入 分式无意义 x - 5 = 0 x2 - 25 = 0 分母 分式方程无解 x = 5 是整式方程的解 不是分式方程的解 9 探究新知 【思考】上面两个分式方程中，为什么 ①去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 ②去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 10 探究新知 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母). 方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解为v=6. 当v=6时，(30+v)(30-v)≠0， 这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子， 因此所得整式方程的解与①的解相同. 11 探究新知 方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5. 当x=5时，(x-5)(x+5)=0， 这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解. 将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根. 12 归纳总结 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 13 1. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后 比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造 前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为 ( ) B A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 返回 举一反三 14 2. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的 投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有 三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ， 剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的 工期为天，根据题意列出了方程： ，则方案③ 中被墨水污染的部分应该是( ) 举一反三 15 A. 甲、乙两队合作了4天 B. 甲队先做了4天 C. 甲队先做了工程的 D. 甲、乙两队合作了工程的 √ 返回 举一反三 16 例题练习 解方程 解：方程两边乘 x(x-3)，得 2x = 3x-9. 解得x = 9. 检验：当x = 9时， x(x-3) ≠ 0. 所以，原分式方程的解为x = 9. 检验是必不可少的一步. 17 例题练习 解方程 解:方程两边乘(x-1)(x +2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验:当 x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此 x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. x=1是该分式方程的增根. 18 归纳总结 解分式方程的一般步骤如下： 分式方程 去分母 整式方程 解整式方程 x=m 最简公分母为0 x=m是分式方程的解 最简公分母不为0 x=m不是分式方程的解 目标 检验 19 当堂练习 QING JING YIN RU 　1.下列说法中，正确的是(　　) A．分母中含有未知数的式子就是分式方程 B．含有字母的方程叫做分式方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分式方程就是含有分母的方程 C 2.下列关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范围是(　　) 　 A.a<2 　 B.a<2且a≠1 C. a<-2 D.a<-2且a≠-3 B 当堂练习 QING JING YIN RU A.2－（2－x）=1 B.2+（2－x）=1 C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1） 3.把分式方程 两边同乘（x－1），约去分母后，得（ ） D 4.分式方程 的解是（ ） A. x=1 B. x =－1 C. x=－14 D.无解 D 当堂练习 QING JING YIN RU 5.有下列方程： 其中是分式方程的是________．（填序号） 6.， 则x的值为_________． 7.关于x的分式方程无解，则m的值是______． 2 当堂练习 QING JING YIN RU 8.解下列分式方程： (1)； (2)． （1）解：方程两边同时乘以最简公分母得∶ 解得 检验：当 时，， ∴是原方程的的解． 当堂练习 QING JING YIN RU （2）解：方程两边同时乘以最简公分母得 ， ， ， ． 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． 8.解下列分式方程： (1)； (2)． 当堂练习 QING JING YIN RU 9.若关于的分式方程的解是正数，的取值范围是. 解：， 去分母，得1-m-(x-1)=-2， 去括号，得1-m-x+1=-2， 移项，合并得x=4-m， ∵方程的解为正数， ∴4-m>0且4-m 1， 解得m<4且. 3. 教材P169习题 某物流仓储公司用， 两种型号 的机器人搬运物品，已知型机器人比 型机器人每小时多搬 运，型机器人搬运所用时间与 型机器人搬运 所用时间相等，则型机器人每小时搬运物品____ . 80 返回 举一反三 26 4.［2024自贡］为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某 校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比 乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包 120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各 包多少个粽子. 举一反三 27 【解】设乙组同学平均每小时包 个粽子，则甲组同学平均 每小时包个粽子，根据题意,得 ，解得 .经检验，是原方程的解， .; 答： 甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包 80个粽子. 返回 举一反三 28 小结 解分式方程的一般步骤： 一去：去分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程； 二解：解这个整式方程； 三验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解； 四写：写出原分式方程的解. 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程. 谢谢观看 THANKS $