江苏徐州市第三中学2026届高三下学期第二次学情调研数学试题

徐州市第三中学2026届高三第二次学情调研 数学试卷 2026.3.17 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式， 解得，即。 绝对值不等式， 化简得或， 即或， 又因为，因此 所以. 2. 已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，可能平行于平面，也可能(此时不平行于平面，)，故A错； 对于B，若，，直线，可能平行、相交或异面，故B错； 对于C，如果两平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，故C正确； 对于D，若，，直线与平面可能相交、平行或. 3. 已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模. 【详解】因为，又， 所以. 所以：， 所以. 故选：A 4. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得. 【详解】由和正弦定理，得（*）， 因， 将其代入（*）整理得， 即得，故. 5. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得，再由等比数列的通项公式，化简求得，进而求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，则 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即， 令，可得，解得或（舍去），所以， 法一：由，提取公因式，可得， 因为，代入化简得，即，所以，解得； 法二：由等比数列的通项公式，可得， 因为，可得，即， 则，即， 因为，所以，可得，所以. 6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分, 由于，， 所以 ，所以D正确. 7. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】如图所示，作出轴截面， 分别为上下底面圆的圆心，为侧面切点，为内切球球心， 则为的中点， ， 因，所以， 则 过点作，垂足为， 则， 在中，由勾股定理得， 即，解得或， 因，所以，，故， 所以圆台的侧面积为. 故选：D. 8. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据为正数可得，根据为正数及为上的增函数可得，从而可得正确的选项. 【详解】因为为正数，故. 由题设有， 而，故，故， 故，且， 故 设，因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而，故， 故A正确，BCD错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 关于复数、，下列说法正确的是（ ） A. B. 若， C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用特殊值法可判断BC选项；利用复数的运算法则结合共轭复数的定义可判断D选项. 【详解】设，. 对于A选项，， 所以， ，A对； 对于B选项，取，，则， 但，，则，B错； 对于C选项，取，，则，， 此时，，但，C错； 对于D选项， ，D对. 故选：AD. 10. 对于事件与事件，若发生的概率是0.72，事件发生的概率是事件发生的概率的2倍，下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件互斥，则事件发生的概率为0.36 B. C. 事件发生的概率的范围为 D. 若事件发生的概率是0.3，则事件与事件相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的性质、条件概率公式、独立事件的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于，若事件与事件互斥，则，所以，故A错误； 对于B，，故正确； 对于C，， 若事件与事件互斥，则，此时取到最小值为0.24，若，此时取到最大值为，故C正确； 对于D，，则，由， 得，则事件与事件相互独立，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断，对于B，若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾，对于C，根据线面垂直判定定理证明结论即可判断，对于D，证明，，由此即可判断. 【详解】对于A，取的中点D，连接，. 在中，P，D分别为，中点， ，且. 在直三棱柱中，，. Q为棱的中点，，且. ，. 四边形为平行四边形，从而. 又平面，平面，平面，A正确， 对于B，因为为的中点，若，则， 连接，为的中点，则，又平面， 所以平面，平面， 所以，设，， 则，， 所以，，与矛盾， 所以不成立，B错误， 对于C，在直三棱柱中，平面. 又平面，.，D为中点，. 由选项A的推理知，，. 又，平面，平面， 所以平面，C正确； 对于D，因为为的中点，四边形为矩形， 所以点为的中点，又为的中点， 所以，且， 又分别为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线x+y=a与圆交于A､B两点，且，其中O为坐标原点，则实数a的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由结合向量加减法意义可得为等腰直角三角形，再经计算得解. 【详解】因，由向量加法和减法的几何意义知，以线段OA，OB为一组邻边的平行四边形两条对角线长相等， 从而这个平行四边形是矩形，即，又，则是等腰直角三角形，于是点O到直线AB距离为， 所以，即. 故答案为： 13. 平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设平行于x轴的直线方程为，然后求出的坐标，进而判断四边形的形状，进而求出面积. 【详解】由题意可得，，设平行于x轴的直线方程为. 则，因为， 所以，化简解得. 根据对称性，不妨取，所以四边形矩形， 所以四边形的面积为. 14. 已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合函数最值的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 当时，当时，该函数单调递增， 所以， 所以对任意，都有，一定有成立， 解得，这与相矛盾，不符合题意； 当时，当时，， 所以对任意，都有，一定有成立，而， 所以； 当时，设表示两数中最大的数， 因为当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以当时，， 对任意，都有，一定有且， 解得， 综上所述：， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知是圆锥的轴截面，，. （1）求圆锥的外接球的表面积； （2）若为弧的中点，求二面角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥轴截面的特征得到线面垂直，判断出球心位置，结合勾股定理求出球的半径，代入球的面积公式求解即可. （2）建立空间直角坐标系，结合二面角的向量求法及同角的三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 因为是圆锥的轴截面，所以平面. 又平面，所以. 在中，，，所以. 设圆锥的外接球的球心为，半径为， 结合圆锥的定义及对称性易知球心在上. 在中，，则， 整理得，解得. 所以圆锥外接球的表面积. 【小问2详解】 因为为弧的中点，所以. 因为平面，平面，所以. 又， 所以可以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，. ，， 设平面的法向量为， 则，，令，则，，所以. 因为，，，所以平面， 则即为平面的一个法向量，. 设二面角的平面角为， 则， ， 所以. 故二面角的正切值为. 16. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）使用等差中项性质即可求解； （2）使用累加法求得的通项公式，再使用裂项相消即可得证. 【小问1详解】 设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，则的公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即，而满足上式， 因此，， 则， 因为，则，则，得证. 17. 已知函数. （1）对任意，是的必要条件，求的最小值； （2）对任意，函数存在两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得在上单调递增，即在恒成立，计算即可； （2） 由已知构造函数可得存在两个零点，利用导数证明单调性，进而只需，即，利用导数计算可得的取值范围； 小问1详解】 ∵对任意，是的必要条件， ∴， 在上单调递增， 则，即在上恒成立， 令，， 在单调递减， . 【小问2详解】 因为对有两个不等的实根， 所以有两个零点 令， 当，则，当，则， 所以在单调递减；单调递增， ， 要使有两个零点，只需， 即，令， 在(0,1)单调递增；单调递减， . 18. 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， （1）若，求； （2）求的概率分布列和数学期望； （3）证明：当且仅当时，. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）得2分以上可能是随机选一个选项时，当为三个正确选项时选对1个，或者两个正确选项时选对1个，由互斥事件的加法公式得解； （2）可能的取值为，得0分为三个正确选项或两个正确选项的均选到错误选项，得2分只可能是三个正确选项的选对1个，得3分为两个正确选项的选对一个，分别由互斥事件的加法公式求解； （3）可能的取值为，类似（2）的分析得出的期望，结合（2）中的作差比较，得出证明. 【小问1详解】 恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此 【小问2详解】 由题知，可能的取值为， ， ， ， 分布列为： 【小问3详解】 由题知，可能的取值为， ， ， 故， ， 故当且仅当时， 19. 已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）证明：的外接圆的圆心在定直线上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用双曲线的几何性质，列出方程组，求得，即可求解； （2）设，联立方程组，由，求得，且，结合，根据向量数量积的运算公式，列出方程，求得的值，即可求解； （3）由（2）求得线段的垂直平分线的方程为，设点的坐标为，根据及，列出方程，化简得到，代入，求得，得到圆心在定直线上，即可得证. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为，且是上一点， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，解得，所以或， 且， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以 ， 将代入上式得， ， 因为，可得，即， 解得或， 又因为或，所以， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 由（2）知，可得的中点的横坐标为， 则点的纵坐标为，即， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 设点的坐标为， 因，可得 ， 又因为， 代入得， 整理得， 又由，可得， 则，可得， 其中， 则， 整理得， ①当时，两边同除以，可得， 代入，可得，即， 所以的外接圆的圆心在定直线上； ②当时，即时，可得直线的方程为， 此时点满足直线的方程，此时三点共线，不能构成三角形，舍去， 综上可得，的外接圆的圆心在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市第三中学2026届高三第二次学情调研 数学试卷 2026.3.17 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知两条直线，和平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 关于复数、，下列说法正确的是（ ） A. B. 若， C. 若，则 D. 10. 对于事件与事件，若发生的概率是0.72，事件发生的概率是事件发生的概率的2倍，下列说法正确的是（ ） A. 若事件与事件互斥，则事件发生的概率为0.36 B. C. 事件发生的概率的范围为 D. 若事件发生的概率是0.3，则事件与事件相互独立 11. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线x+y=a与圆交于A､B两点，且，其中O为坐标原点，则实数a的值为________. 13. 平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________. 14. 已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知是圆锥的轴截面，，. （1）求圆锥的外接球的表面积； （2）若为弧的中点，求二面角的正切值. 16. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）证明：. 17. 已知函数. （1）对任意，是的必要条件，求的最小值； （2）对任意，函数存在两个零点，求的取值范围. 18. 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， （1）若，求； （2）求的概率分布列和数学期望； （3）证明：当且仅当时，. 19. 已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）证明：的外接圆的圆心在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $